湖北省武漢市蔡甸區(qū)第二中學(xué)2013-2014學(xué)年高一下學(xué)期六科競賽（數(shù)學(xué)理）

蔡甸區(qū)第二中學(xué)2013-2014學(xué)年高一下學(xué)期六科競賽數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題（（本大題共10小題，每小題5分，共50分））1.將函數(shù)y=cosx+sinx（x∈R）的圖像向左平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖像關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）A.B.C.D2.已知，則的值為（）A．B．－C．D．－3.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如右，此函數(shù)的解析式為（）A．B．C． D．4.在中，角所對的邊分別為，若，且，則下列關(guān)系一定不成立的是（）A.B.C.D.5.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和記為（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或4006.已知數(shù)列的首項，且，則為（） A．7 B．15 C．30 D．317.用火柴棒擺“金魚”，按照上面的規(guī)律，第個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）①②③①②③A．B．C．D.8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（ ）A．5 B．6C． 7D．9.等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．10.《張丘建算經(jīng)》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加（）A．eq\f(4,7)尺B．eq\f(16,29)尺C．eq\f(8,15)尺D．eq\f(16,31)尺二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.給出下面命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實數(shù)，使得；③若是第一象限角且，則；④是函數(shù)的一條對稱軸；⑤在區(qū)間上的最小值是－2，最大值是，其中正確命題的序號是．12.已知，若，化簡______________．13.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a,b,c，若△ABC的面積為S=a2－(b－c)2，則=.14.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為．15．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(,3)sin2x＋2cos2x＋m在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最大值為3，則（Ⅰ）m＝；（Ⅱ）對任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零點個數(shù)為．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（本小題滿分12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且角A、B、C成等差教列．(I)若，求邊c的值；(II)設(shè)，求t的最大值．17．（本小題滿分12分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．（Ⅰ）若a＝3eq\r(,2)，b＝eq\r(,10)，求c；（Ⅱ）求eq\f(acosC－ccosA,b)的取值范圍．18.（本小題滿分12分）已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求實數(shù)的值．19.（本小題滿分12分）成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的、、.(I)求數(shù)列的通項公式;(II)數(shù)列的前n項和為,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.20.(本小題滿分13分)已知等差數(shù)列{an}的首項為a．設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n都有．(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn；(2)是否存在正整數(shù)n和k，使得成等比數(shù)列？若存在，求出n和k的值；若不存在，請說明理由．21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的首項．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，若，求最大正整數(shù)的值；（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？如果存在，請給予證明；如果不存在，請說明理由.蔡甸區(qū)第二中學(xué)六科競賽數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題（每小題5分，共50分）題號12345678910答案BABBADDCCB11.①④12.13.414.﹣215．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或4116.解：（Ⅰ）因為角成等差數(shù)列，所以，因為，所以.………2分因為，，,所以.所以或(舍去)．…………6分17．解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(eq\f(π,2)－C)．∵△ABC是銳角三角形，∴A－B＝eq\f(π,2)－C，即A－B＋C＝eq\f(π,2)，①又A＋B＋C＝π，②由②－①，得B＝eq\f(π,4)．由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得(eq\r(,10))2＝c2＋(3eq\r(,2))2－2c×3eq\r(,2)coseq\f(π,4)，即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．當c＝2時，b2＋c2－a2＝(eq\r(,10))2＋22－(3eq\r(,2))2＝－4＜0，∴b2＋c2＜a2，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．故c＝4．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知B＝eq\f(π,4)，∴A＋C＝eq\f(3π,4)，即C＝eq\f(3π,4)－A．∴eq\f(acosC－ccosA,b)＝eq\f(sinAcosC－cosAsinC,sinB)＝eq\f(sin(A－C),eq\f(eq\r(,2),2))＝eq\r(,2)sin(2A－eq\f(3π,4))．∵△ABC是銳角三角形，∴eq\f(π,4)＜A＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)＜2A－eq\f(3π,4)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(eq\r(,2),2)＜sin(2A－eq\f(3π,4))＜eq\f(eq\r(,2),2)，∴－1＜eq\f(acosC－ccosA,b)＜1．故eq\f(acosC－ccosA,b)的取值范圍為(－1，1)．………12分18.解：（1）==，∵，∴∴=2cosx.………6分（2）由（Ⅰ）得即∵，∴時，當且僅當取得最小值－1，這與已知矛盾．時，當且僅當取最小值由已知得，解得時，當且僅當取得最小值由已知得，解得，這與相矛盾．綜上所述，為所求．………12分19.解:(Ⅰ)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為依題意,得所以中的依次為依題意,有(舍去)故的第3項為5,公比為2.由所以是以為首項,2為以比的等比數(shù)列,其通項公式為………6分(Ⅱ)數(shù)列的前項和,即所以所以，數(shù)列是等比數(shù)列.………12分20.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，在中，令n=1可得=3，即故d=2a，。經(jīng)檢驗，恒成立所以，………6分(2)由(1)知，，假若，，成等比數(shù)列，則，即知，又因為，所以，經(jīng)整理得考慮到n、k均是正整數(shù)，所以n=1，k=3所以，存在正整數(shù)n=1和k=3