第十一章 橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性計算理論

第十一章橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性計算理論11.1概述Oden說過“我們生活在一個非線性世界里”。早在十九世紀(jì)未，科學(xué)家就發(fā)現(xiàn)，固體力學(xué)的經(jīng)典線性理論在許多情況下并不適用，于是開始了對非線性力學(xué)問題的研究。二十世紀(jì)中，科學(xué)家奠定了非線性力學(xué)的理論基礎(chǔ)。但由于計算繁復(fù)，許多非線性微分方程的邊值問題無法求解，用解析法解決非線性工程問題仍顯得無能為力。直到二十世紀(jì)六十年代末，有限元法與計算機相結(jié)合，才使工程中的非線性問題逐步得以解決。固體力學(xué)中有三組基本方程，即本構(gòu)方程、幾何運動方程和平衡方程。經(jīng)典線性理論基于三個基本假定，即材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足廣義虎克定律；位移是微小的；約束是理想約束，這些假定使得三組基本方程成為線性。只要研究對象不能滿足線性問題基本假定中任何一個時，就轉(zhuǎn)化為各種非線性問題。表11.1給出了非線性問題的分類及基本特點。非線性問題的分類及基本特點表11.1非線性問題定義特點橋梁工程中的典型問題材料非線性由材料的非線性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系引起基本控制方程的非線性問題。材料不滿足虎克定律。砼徐變、收縮和彈塑性問題。幾何非線性放棄小位移假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線性的幾何運動方程，由此造成基本控制方程的非線性問題。幾何運動方程為非線性。平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的位置上，結(jié)構(gòu)剛度除了與材料及初始構(gòu)形有關(guān)外，與受載后的應(yīng)力、位移整體也有關(guān)。柔性結(jié)構(gòu)的恒載狀態(tài)確定問題，柔性結(jié)構(gòu)的恒、活載計算問題；橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析問題。接觸問題不滿足理想約束假定而引起的邊界約束方程的非線性問題。受力后的邊界條件在求解前未知。懸索橋主纜與鞍座的接觸狀態(tài)；支架上預(yù)應(yīng)力梁張拉后的部分落架現(xiàn)象。由表11.1可知，幾何非線性理論將平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后位置上。事實上，任何結(jié)構(gòu)的平衡只有在其變形后的位置上滿足，才是真實意義上平衡的。線性理論之所以能得以廣泛應(yīng)用，只是因為一般結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)不因變形而發(fā)生明顯改變。而有些問題則不然，以圖11.1所示結(jié)構(gòu)為例，按線性理論求解就無法找到平衡位置，按幾何非線性分析方法處理，在P力作用下，B點產(chǎn)生豎向位移，當(dāng)位移達到一定值8時，AB、BC兩桿件中軸力的豎向分力與P平衡，8即為B點位移的解?？梢?，受力狀態(tài)因變形而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進行分析。幾何非線性理論一般可以分成大位移小應(yīng)變即有限位移理論和大位移、大應(yīng)變理論，即有限應(yīng)變理論兩種，橋梁工程中的幾何非線性問題一般都是有限位移問題。A,rBCf-■--]P"—」8

B圖11.1受集中力的二力桿幾何非線性分析理論在橋梁工程中的發(fā)展，起因于橋跨的長大化和柔性結(jié)構(gòu)的應(yīng)用。早在1888年，Melan就在懸索橋結(jié)構(gòu)分析中提出了幾何非線性的撓度理論，在考慮主纜拉力二階影響的基礎(chǔ)上將懸索橋的平衡方程建立在變形后的位置上，但忽略了吊桿伸長、結(jié)構(gòu)水平位移及加勁梁剪切變形的影響。撓度理論從1908年開始應(yīng)用于紐約的Manhattan大橋設(shè)計，大大節(jié)省了工程造價，充分顯示了它的優(yōu)越性。此后的數(shù)十年中，撓度理論為懸索橋和大跨徑拱橋的發(fā)展作出了巨大貢獻。但是，撓度理論平衡微分方程的求解仍是十分復(fù)雜的。Timoshenko于1928年提出了三角級數(shù)解，Godard通過忽略后期荷載對結(jié)構(gòu)剛度的影響提出了線性撓度理論，我國李國豪教授于1941年提出了用于懸索橋分析的等代梁法，將撓度理論中的非線性項等代于偏心受拉梁的彎矩減小系數(shù)，揭示了懸索橋受力的本質(zhì)。現(xiàn)代橋梁工程的發(fā)展和跨徑的增大，使得結(jié)構(gòu)越來越柔，越來越復(fù)雜，結(jié)構(gòu)分析中梁柱效應(yīng)、索的伸長、結(jié)構(gòu)水平位移及后期荷載的二階影響變得不可忽略，對各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)，建立撓度理論的平衡微分方程及其求解也越來越困難。為此，工程界渴望出現(xiàn)更精確、方便的理論和方法。六十年代初，M.J.Turner、Brotton等開始發(fā)表求解結(jié)構(gòu)大位移、初應(yīng)力問題的研究成果，Poskitti、Saffan等也在此領(lǐng)域里作出了貢獻。這些理論方法都可歸入幾何非線性力學(xué)的有限位移理論。在建立以桿系結(jié)構(gòu)有限位移理論為基礎(chǔ)的大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析平衡方程時，一般考慮了三方面因素的幾何非線性效應(yīng)：1）單元初內(nèi)力對單元剛度矩陣的影響。一般情況下是指單元軸力對彎曲剛度的影響，有時也考慮彎矩對軸向剛度的影響。常通過引入穩(wěn)定函數(shù)或單元幾何剛度矩陣的方法來考慮。在大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)分析中遇到的初應(yīng)力（或初應(yīng)變）問題，就是指結(jié)構(gòu)現(xiàn)有內(nèi)力引起的結(jié)構(gòu)剛度變化對本期荷載響應(yīng)的影響問題。2）大位移對建立結(jié)構(gòu)平衡方程的影響。在這個問題上，目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的處理方法。前者將參考座標(biāo)選在未變形的結(jié)構(gòu)上，通過引入大位移單元剛度矩陣來考慮大位移問題；后者將參考座標(biāo)選在變形后的位置上，讓節(jié)點座標(biāo)跟隨結(jié)構(gòu)一起變化，從而使平衡方程直接建立在變形后的位置上。3）用桿單元近似模擬索類構(gòu)件，由索垂度引起的單元剛度變化。簡單的處理方法是引入Ernst公式，通過等效模量法來近似修正垂度效應(yīng)。也可以通過導(dǎo)出索元切線剛度矩陣，用索單元直接描述索類構(gòu)件。今天，有限位移理論一般用有限元方法通過計算機程序來求解。因此，程序的編制也應(yīng)看成是非線性計算理論和方法不可分割的一部分。七十年代未，國外相繼推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等結(jié)構(gòu)分析綜合程序。它們可用于橋梁結(jié)構(gòu)的部分非線性計算和局部應(yīng)力分析。但由于缺少許多必備的功能，這些程序無法完整地完成橋梁設(shè)計計算。國內(nèi)學(xué)者根據(jù)規(guī)范要求和實際情況，開發(fā)了橋梁通用程序，如同濟大學(xué)橋梁系開發(fā)的BAP系統(tǒng)、交通部公規(guī)院開發(fā)的QJS系統(tǒng)，有的已具備非線性計算功能。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，橋梁結(jié)構(gòu)分析軟件也得到了迅速發(fā)展，經(jīng)歷了從單一化結(jié)構(gòu)分析到將數(shù)據(jù)管理、用戶接口、圖形加工與管理、面向?qū)ο蟮能浖O(shè)計和可視化技術(shù)融為一體的發(fā)展過程。本章結(jié)合程序計算流程，討論橋梁結(jié)構(gòu)有限位移分析的理論與方法。11.2大跨度橋梁幾何非線性分析的有限元方法本節(jié)以桿系結(jié)構(gòu)為對象，討論拉格朗日列式的大跨度橋梁幾何非線性有限元方法。11.2.1變形體的運動描述任何變形體在空間都占據(jù)一定的區(qū)域，構(gòu)成一定的形狀，這種幾何形狀簡稱為構(gòu)形，物體在問題求解開始時的構(gòu)形稱為初始構(gòu)形，在任一瞬時的構(gòu)形稱為現(xiàn)時構(gòu)形，物體位移的改變叫運動。在下面討論中，字母的左上標(biāo)表示構(gòu)形所處時刻。圖11.2中有一物體，在t=0t時，物體有初始構(gòu)形0A。物體中一點0P的坐標(biāo)為（0x1，0x，0x），在t=nt時，物體運動有構(gòu)形nA，點0P運動到nP，在t=n+1t=nt+△t時，23物體運動有構(gòu)形n+1A，點0P運動到n+1P。變形體及其上質(zhì)點的運動狀態(tài)，隨不同坐標(biāo)選取有以下幾種描述方法：圖11.2變形體的運動物質(zhì)描述：獨立變量為0xi(i=1,2,3)和0t，即給出任意時刻物體中各質(zhì)點的位置。這種描述在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與有限元中很少使用。參照描述：獨立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點？的當(dāng)前坐標(biāo)與時刻t。這種描述法稱為拉格朗日法(LagrangianFormulation)。當(dāng)選擇t=0時的構(gòu)形為參照構(gòu)形時，稱總體拉格朗日描述(T.LFormulation)。相關(guān)描述：以nt為獨立變量。參照構(gòu)形與時間有關(guān)，取nt為非線性增量求解時增量步的開始時刻，則稱為更新的拉格朗日描述(U.LFormulation)?？臻g描述：獨立變量是質(zhì)點？當(dāng)前位置n+1x與時間n+1t。這種描述稱為歐拉描述。在歐拉描述中，有限元網(wǎng)絡(luò)在空間中是固定的，材料流過這些網(wǎng)絡(luò)。這種描述適用于流體及定常狀態(tài)。11.2.2總體拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)在整個分析過程中，以t=0時的構(gòu)形作為參考，且參考位形保持不變，這種列式稱為總體拉格朗日列式。對于任意應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系與幾何運動方程，桿系單元的平衡方程可由虛功原理推導(dǎo)得到:J[B卜{。}dV-{f}=0(11-1)式中：單元的應(yīng)力向量；{f}單元桿端力向量；V單元體積分域，對T.L列式V是變形前的單元體積域；[B]—應(yīng)變矩陣，是單元應(yīng)變與節(jié)點位移的關(guān)系矩陣。即：(￡}=[B]{5}(11-2){5}桿端位移向量。在有限位移情況下[B]是位移{5}的函數(shù)。后面將看到，田]矩陣可分解為與桿端位移無關(guān)的部分[B]和與桿端位移有關(guān)的部分[B]兩部分，即：°[B]=[B]+[B]L(11-3)0L直接按式(11-1)建立單元剛度方程并建立結(jié)構(gòu)有限元列式，稱為全量列式法。在幾何非線性分析中，按全量列式法得到的單元剛度陣和結(jié)構(gòu)剛度陣往往是非對稱的，對求解不利。因此多采用增量列式法。將式(11-1)寫成微分形式：Jd([B]t)dV-d{f}=0(11-4)V或：Jd[B]t(b}dV+J[B]TddV=d{f}(11-5)根據(jù)式(11-3)和(11-5)等式左邊第一項可寫成：Jd[B]tdV=Jd[Bl]tdV=0[k]d{5}(11-6)另一方面，單元的應(yīng)力、應(yīng)變增量關(guān)系可表示成：'式中：[D]——彈性矩陣。當(dāng)材料滿足線彈性時：=[D]({s}—{sj)+{氣}式中：{s0}——單元的初應(yīng)變向量;{b0}單元的初應(yīng)力向量。由(11—式中：[D]——彈性矩陣。當(dāng)材料滿足線彈性時：=[D]({s}—{sj)+{氣}式中：{s0}——單元的初應(yīng)變向量;{b0}單元的初應(yīng)力向量。由(11—2),(11—3)代入(11—7)得：d=[D]([B0]+[BL])d{5}

于是，式(11—5)左邊第二項可表示為：

i[B]TddV=(J[B]t[D][B:dV

「—V己…0+J[B]t[D][B]dV+J[B]t[D][BVL0VLL記：o[k]0=j[B0]t[D][B0]dVo[k]L=j[B0]t[D][Bl]dV+j旦]t[D][Bl]dV則式(11—5)最后可表達為：(o[k]+0[k]+0[k])d{5}=0[k]0Lb+J[B0]T[D][B:dV]dV)d{5}J[Bl]t[D][B0]dVd{5}=d{f}T式(11—13)就是增量形式T.L列式的單元平衡方程。(11—8)(11—9)(11—10)(11—11)(11—12)(11—13)(11—7)式中o[K]是三個剛度陣之和，稱為單元切線剛度矩陣，它表示荷載增量與位移增量之間的關(guān)系，也可理解為單元在特定應(yīng)力、變形下的瞬時剛度。0[k]與單元節(jié)點位移無關(guān)，是單元彈性剛度矩陣，0[k]稱為單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是d{5}的函數(shù)。0[k]稱為初應(yīng)力剛度矩陣，它表示初應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響，當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力時，單元切線剛度減，、，反之單元切線剛度增加。將各單元切線剛度方程按節(jié)點力平衡條件組集成結(jié)構(gòu)增量剛度方程，即有:0[K]Td{A}=d{P}(11—14)式中：o[K]t為結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，可以由單元切線剛度矩陣按常規(guī)方法進行組集形成；d{P}為荷載增量，由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式，結(jié)構(gòu)在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一差量，即失衡力，結(jié)構(gòu)必須產(chǎn)生相對位移以改變結(jié)構(gòu)的抗力來消除這個失衡力。在計算中，一般通過迭代法來求解。11.2.3更新的拉格朗日列式法(U.L列式)在建立t+At時刻物體平衡方程時，如果我們選擇的參照構(gòu)形不是未變形狀態(tài)t=0時的構(gòu)形，而是最后一個已知平衡狀態(tài)，即以本增量步起始時的t時刻構(gòu)形為參照構(gòu)形，這種列式法稱為更新的拉格朗日列式法(U.L列式)。由于采用了U.L列式，平衡方程式(11—5)中的積分須在t時刻單元體積內(nèi)進行，且t[k]L的積分式是t[k]0的一階或二階小量，此點在下一節(jié)將作進一步說明。因此，代表[k]的積分式可以略去。這是U.L列式與T.L列式的一個重要區(qū)別。最后增量形式的U.L列式平衡方程可寫成：(t[k]0+，[k]b)d{A}=d{P}(11—15)11.2.4T.L列式與U.L列式的異同及適用范圍T.L列式與U.L列式是不同學(xué)派用不同的簡化方程及理論導(dǎo)出的不同方法，但是，它們在相同的荷載增量步內(nèi)其線性化的切線剛度矩陣應(yīng)該相同，這一點已得到多個實際例題的證明。T.L列式與U.L列式的不同點由表11—2給出。T.L列式與U.L列式的不同點表11—2比較內(nèi)容T.L列式U.L列式一、17注意點

計算單剛的積分域在初始構(gòu)形的體積域內(nèi)進行在變形后的t時刻體積域內(nèi)進行U.L列式必須保留各節(jié)點座標(biāo)值精度保留了剛度陣中所有線性與非線性項忽略了高階非線性項U.L列式的荷載增量不能過大單剛組集成總剛用初始時刻各單元結(jié)構(gòu)總體座標(biāo)系中的方向余弦形成轉(zhuǎn)換陣，計算過程中不變用變形后t時刻單元在結(jié)構(gòu)總體座標(biāo)中的方向余弦形成轉(zhuǎn)換陣，計算過程中不斷改變U.L列式中組集載向量也必須注意方向余弦的改變本構(gòu)關(guān)系的處理在大應(yīng)變時，非線性本構(gòu)關(guān)系不易引入比較容易引入大應(yīng)變非線性本構(gòu)關(guān)系U.L方法更適用于砼徐變分析從理論上講，這兩種方法都可以用于各種幾何非線性分析，但通過表11-2的對比可以發(fā)現(xiàn)T.L列式適用于大位移、中等轉(zhuǎn)角和小應(yīng)變的幾何非線性問題，而U.L列式除了適應(yīng)于上述問題外，還適用于非線性大應(yīng)變分析、彈塑性、徐變分析?？梢宰粉欁冃芜^程的應(yīng)力變化。目前，國內(nèi)使用的橋梁非線性分析程序，一般都采用U.L列式方法。11.3橋梁結(jié)構(gòu)分析常用單元的切線剛度矩陣由前面討論可知，T.L列式下單元切線剛度陣可分為三個部分，即彈性剛度陣o[k]、初位移剛度陣o[k]和幾何剛度陣o[k]，而U.L列式下單元切線剛度陣只有t[k]和t[k]兩部分，本節(jié)進一步討論橋梁結(jié)構(gòu)分析中常用單元切線剛度陣的具體表達形式。?！?1.3.1平面桁架單元圖11.3所示的桁架單元ij，桿長為1，截面積為A，在外荷載作用下，i、j端發(fā)生了位移。圖11.3桁架單元將桁架單元軸向應(yīng)變由線性形式改寫成大位移形式：e=du+—2(11-⑹xdx2dx()du式中：dx——氣的線性表達式；/dv、c,QC)2一大位移情況下e由豎向位移引出的附加項。dxx取桁架單元的形函數(shù)矩陣為：0j(11-17)[N]=x_?10彳-彳o則單元上任意點的位移可寫成：fU〕m{}=^N]〔v〕{5}(11-18)式中：{5}一單元的節(jié)點位移向量。得:8=1—010{5}+1(01—一01x|_ll」2ll」式(11—18)代入式(11—16)整理得:和血x其中:(11—19)-1010d{5}+0-101{5}0-101Lll」Lll」Lll」{5})2Ld{5}([B0]+[B])d{5}(11—20)[B0]=考慮到：0(11—21)(11—22)[Bl]=°0(11—23)在T.L列式下，單元的局部座標(biāo)建立在變形前的初始狀態(tài)，將(11—21)代入式(11—11)[k]0=10-100000-10100000EAl將式(11—21)和(11—23)代入式(11—12)計算。得:(11—24)[k]由式(11—23)得:[B]t000-0002-0-020-000-0-02002EAlr-(11—25)式(11—26)代入式(11—6)，并注意到:得:jd[B]t{y}dV即:0000010-100000-101LN1000u,10-15Vi000u—101Vl廠00r000000010-100000-101Nd1(11—26)(11—27)(11—28)(11—29)最后，T.L列式下桁架單元的切線剛度矩陣為:(11-31)考慮到0角較小，則[T]=cos0sin000一一1000-一sin0cos000一一0100(11-31)考慮到0角較小，則[T]=cos0sin000一一1000-一sin0cos000一一010000cos0sin0?0010_00一sin0cos0__00一01txty座標(biāo)系變換到變形前的位置0x0y上現(xiàn)將彈性剛度矩陣t[k]0從sin0~0，cos0~1，其變換矩陣為:(11-32)在U.L列式下，單元的局部坐標(biāo)系建立在t時刻，即變形后的位置上，其單元切線剛度矩陣為:t[k]T=t[k]0+t[k]b卜面我們來考察TL列式與UL列式兩種切線剛度陣的等價性。圖11.4了給出桁架單元發(fā)生變形前、后的位置，其中oxoy坐標(biāo)系為變形前的單元局部坐標(biāo)系，txty為變位后的單元局部坐標(biāo)系，兩者夾角為0,xy為整體坐標(biāo)系。用U.L列式法建立單元切線平衡方程時，局部坐標(biāo)系是建立在txty上的。y0x圖11.4發(fā)生變形前、后的桁架單元(11-33)(11-33)于是：[k]t=[T]Tt[k]0[T]-10-1-0_EA002-0-02/一1一010-02-02002■10-10一■000-0-EA0000EA002-0-02=+一1-101010-000_0000_-0-02002=。[k]。+[k]l由此說明，T.L列式和U.L列式的單元切線剛度矩陣具有等價性。T.L列式下單元初位移矩陣的實質(zhì)是讓單元在變形后的位置上發(fā)揮其作用，以滿足平衡方程必須建立在結(jié)構(gòu)變形后位置上這一重要條件，而U.L列式則通過節(jié)點坐標(biāo)的不斷遷移來實現(xiàn)這一目標(biāo)。11.3.2平面柔索單元的切線剛度矩陣橋梁結(jié)構(gòu)分析中，常遇到柔索構(gòu)件。斜拉橋的斜拉索、懸索橋的主纜、施工中用的纜風(fēng)和扣索等都可抽象成柔索。柔索的特點是抗彎剛度小，索的自重對結(jié)構(gòu)平衡影響不可忽略，用拉壓桿模擬柔索會引起誤差。因此，有必要建立柔索單元的剛度方程。為討論方便，且不影響計算精度，作如下假定：

柔索僅能承受張力而不承受彎曲內(nèi)力(抗彎剛度為0)；柔索僅受索端集中力和沿索長均勻分布的荷載作用，荷載合力效應(yīng)為q;柔索材料符合虎克定律；局部座標(biāo)系取在柔索荷載合力平面內(nèi)?？疾靾D11.5中所示柔索，無應(yīng)力索長為S0，索的荷載集度q向下為正。圖11.5柔索單元圖11.5中參變量之間有如下關(guān)系:l-x-x,h-y-yjiji-F，-HF--F+qS>土"2=T。IT-IF2+F2-Tj丫Xjyj0J易導(dǎo)得各力素與幾何變量之間的關(guān)系如下：(11—34)l--F性+1lnT+F)XiEAqT-F

h-S0(F-qs。)-jTEAy,2(T2-T2)+Tj-Ti2EAqjiq(11—35)對式(11—35)取全微分有：Al-迂AF+^-AF6Fx,dFy,idhdh>△-dF^Fxi+d^AFyiXyiJ于是，i端力和位移的增量關(guān)系可寫成：(11—36)AF=BAl+-A2AhXiCCAF=—BiAl+AiAhy’CCJ(11—37)j端位移和力的增量關(guān)系可寫成：―BAA12Al+^AhCCB―A,=—iAl+yAhCCAFXj(11—38)其中:AFyjAl=Au.一Au]Ah=Av.-Av.11FF——+_(—+f)FqTT(11—39)x.jiF11A=B=ii()21qTTjiS1FFB=—0—(y+y2EAqTTjii)(11—40)將式(11—37)?(11—39)合并整理后寫成矩陣形式:{AF}e=[k]e{AS}T式中:xiyirxjyjkkkkii121314kkk[k]e=222324Tkk3334Symmk44(AF}e=(AFAFAFAF)t(11—41)(11—42)(11—43)其中：B〕k=k二—k=—2114433Ck=—k=—k=k=12142334C\k==k=k=A——222444C(11—44){AS}=(Au,Av,Au,Av)tiijj)式(11—41)即為柔索單元切線剛度方程，在索端平衡力已知的情況下，可直接計算柔索切線剛度矩陣；在索端平衡力未知的情況下，首先按單根柔索計算索端力，求解時先初估一個「對和F.，產(chǎn)生的誤差為:若(11—35)式自然滿足，初估值即為真實值。否則，設(shè)估算值使式(11—35)(11—45)AFXiAFyi(11—46)(11—47)式中：1一由估算的AFXiAFyi(11—46)(11—47)h°—由估算的七,和Fyi計算出的柔索垂直投影長下一次計算希望通過AZ和Ah的修正，使誤差趨于零，即:Al+e=01Ah+e=0j將式(11—36)代入(11—46)易得：eA-eB—y2x2Cc

eB-eA=^_LCJ用A/,AF”修正F.和q，再按照圖11.6所示的流程迭代，就可以在已知1,h,q,E,A,S0y的情況下，求出所有索端力。最后，計算切線剛度陣流程見圖11.7。e<8和e<8Y計算l,h0計算"e<8和e<8Y計算l,h0計算"初估Fxi,Fyi輸入已知量座標(biāo)允許誤差8計算各索端節(jié)點力計算索有應(yīng)力索長計算A,B,C,AF,AFiixiyi「1Fxi,Fyj「計算ex,ey帶出A.,B.,C及索端力、返^回帶出A.,B.,C及索端力、返^回圖11-6求索端力的計算流_>索長計算kj在橋梁結(jié)構(gòu)分析中還經(jīng)常會用到平面梁單元、空間梁單元等。與11-3.1中平面桁架單元一樣，通過給出合適的幾何運動方程。由式(11-4)出發(fā)作相應(yīng)的推導(dǎo)，就能得到各自的單元切線剛度矩陣，限于篇幅，這里不作推導(dǎo)地給出平面剛架單元U.L列式下的單元切線剛度矩陣：平面受彎曲的梁單元，橫截面積為A，長度為1，慣矩為I，軸向位移用一次多項式插值，梁豎向位移和轉(zhuǎn)角用三次多項式插值，可導(dǎo)出平面梁單元的彈性剛度陣為:-A1200-Al20011216Il0-12I6I1「7】E4Il20-6I12I12[k]—e13A1200(11—48)12I-6I1Symm4112_平面梁單元的初應(yīng)力剛度陣為:一000000136310-3631N4120-31-12叫=301000(11—49)36-31Symm41_N是t時刻梁單內(nèi)的軸向力，受拉為正。11.3.4算例下面給出兩個算例的計算結(jié)果，供讀者參考。例11.1如圖11.8所示，桿AB連線長度L=100m,與水平線夾角a=45°,具有初始力T（=71.9208kN,桿的截面剛度系數(shù)EA=1000kN,分成10個等長的桿單元，在中點C受一豎直力P=52.8374kN的作用。數(shù)值與理論計算結(jié)果基木一致，見表11—3。圖11.8有初軸力的直桿受豎直力作用有初軸力直桿分析結(jié)果（單位:M-kN）表11—3方法位移內(nèi)力uvuv本文解6.559977.8388574.9276112.9214理論解6.559977.8388574.9276112.9214例11.2用柔索單元計算圖11.9所示的柔索索端力與索端位置的關(guān)系。圖11.9給出了柔索索端力與索端位置的關(guān)系。11.4橋梁結(jié)構(gòu)幾何非線性分析特殊問題的討論11.4.1穩(wěn)定函數(shù)與幾何剛度矩陣如圖11.10所示壓桿的M、Q和位移為正，其撓曲平衡微分方程為:圖11.10壓桿變形、內(nèi)力(11-50)xx-EIy〃=M(1--)-M-+N(y—ax)

iljl(11-50)方程的解為:y=Csiny-+Ccos/-性(1--)+1l2y=Csiny-+Ccos/-性(1--)+1l2lNlN其中：y=l、「\EI引入邊界條件：yl=0=0,yl=l=alM+McosyM，2—~N~M-+a-

Nl(11-51)(11-52)得：Nsiny

shy(1-X)

(——7-—

snyxsny—Ni(——1Nshy于是:n,dy、［6i*i+"=辰)'-=oI,>6*+a=(當(dāng)jjd--=l,l一、〕V=E(山.一吧),>中j=百(sM"cM」)其中：c=如―)y2tgy如果軸力為拉力，則：c=—-1)

y2tghys=—(1-—^)y2sinhy(11-53)X\1)+ax(11-54)(11-55)(11-56)(11-57)(11-58)c、s為軸力影響下，桿端單位力矩引起的桿端角變形，c為力矩作用端的角變形，s為另端的角變形。最后，可導(dǎo)出有初軸力的桿單元剛度方程：或：EIEIM=i[CO,+通.-(C+S)a]EIM=—[COj+SO/-或：EIEIM=i[CO,+通.-(C+S)a]EIM=—[COj+SO/-(C+S)a]EIQ=—[(C+S)(O+O)-(2C+2S-”)a]Qj2C+2S-y2(11—59)QjMij(2C+2S-y2)T2

c+S

—I2C+2S—y212其中,SymmIS(C+S)-1-Cu°\\1卜(11—60)uOjIjj是軸力N的函數(shù)，稱為穩(wěn)定函數(shù)，其值隨丫的變化而穩(wěn)定函數(shù)與單元切線剛度系數(shù)隨丫的變化曲線(11—61)(11—62)圖11.11事實上，將C展開成級數(shù)形式有:y219y4C=4(1—^——^+......)305040I,,Nl2y2應(yīng)(k033+、)=4(1-密)=4(1-孑對比表明，幾何剛度陣系數(shù)就是穩(wěn)定函數(shù)忽略高階項的軸力影響系數(shù)。從以上討論可以看到：當(dāng)y>3時，隨著丫的增大，幾何剛度矩陣的誤差也增大。但由于y與1成正比，有限元分析中，只要減小單元長度，就可避免使用幾何剛度陣產(chǎn)生的這種誤差。11.4.2彎矩對軸向剛度的影響桿單元的彎曲將引起桿件計算長度（桿件兩端節(jié)點的距離）的改變，從而影響桿件的軸向剛度。在桿件微段上，彎曲引起的桿件軸線計算長度的改變SdS為：

d8=ds-dx=、dy2+dx2—dx，，，■;:~7~-1，，、d5/dx=v'1+(y)2-1q—(y)2'25=1\l(y'￥dx20在外力作用下，桿件總的縮短量△為：A=Nl/(EA)+-\l(y')2dx20EA因此N二丁險1/式中：。——彎矩引起的軸向剛度修正系數(shù)。由于：(11-63)(11-64)(11-65)(11-66)(11-67)(11-68)式中：得Mcosy+MyyxMy.yxM+MNsiny―卜1*7~N1~'Nl'y由式(11-52)(11-63)(11-64)(11-65)(11-66)(11-67)(11-68)式中：得Mcosy+MyyxMy.yxM+MNsiny―卜1*7~N1~'Nl'y由式(11-52)定義，式(11-69)代入式(11-65)積分，(11-69)由式（11-66）、（11-67）可(11-70)(11-71)(11-72)p=1-EA/(4N312)(?M)(11-70)(11-71)(11-72)其中：當(dāng)P>0(壓桿)時(@M)=y(M2+M2)(coty+ycscy)-2(M+M)2+2ycscyMM(1+ycoty)當(dāng)P<0(拉桿)時^^(枷)=y(M2+M2)(cothy+ycsch2y)-2(M.+M)2+2ycschyMM(1+ycothy)11.4.3活載的幾何非線性分析為了討論方便，將非線性狀態(tài)下荷載最不利加載區(qū)域稱為影響區(qū)?；钶d幾何非線性分析，會遇到如下問題：?線性疊加原理失效，無法再用傳統(tǒng)的影響線加載法進行活載分析。?確定影響區(qū)本身是一個非線性問題。僅用恒載初始狀態(tài)計算活載，會帶來影響區(qū)范圍改變和不正確載位引起的誤差。?單位強迫變位產(chǎn)生的等效力很大，用機動法求解影響區(qū)將破壞指定狀態(tài)結(jié)構(gòu)影響區(qū)的真實形狀?？紤]到結(jié)構(gòu)在確定初始狀態(tài)下，影響線函數(shù)的大小，仍代表單位荷載作用對關(guān)心截面計算參數(shù)的影響。因此，可以按如下方法計算非線性活載最不利響應(yīng)：以結(jié)構(gòu)恒載狀態(tài)為初態(tài)，計算影響區(qū)函數(shù)，用相應(yīng)的最不利活載作為試探，求出第一次近似，將前一次試探活載與恒載共同作用時的狀態(tài)代替初態(tài)，重新計算影響區(qū)和最不利荷載。當(dāng)本次活載效應(yīng)與上次活載效應(yīng)的誤差落在某一允許范圍時，計算收斂。這樣，每疊代一次，都加強了活載對計算狀態(tài)的影響。這一計算可歸結(jié)為如下步驟：1）將結(jié)構(gòu)恒載受力狀態(tài)作為求解影響區(qū)的初始狀態(tài)，計算出初始影響函數(shù)。用動態(tài)規(guī)劃加載法，找出最不利加載位置，并作好記錄。以恒載受力狀態(tài)為計算初態(tài)，將活載按最不利載位一次性作用于結(jié)構(gòu)，分析恒、活載共同作用下的結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)和關(guān)心截面力學(xué)量。將恒、活載共同作用下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)作為求解下一步影響區(qū)函數(shù)新的初態(tài)，重復(fù)1)?3)的計算。經(jīng)過數(shù)次迭代計算就可以得到活載作用下關(guān)心力學(xué)量的最值。求解活載影響區(qū)可用機動法，但單位強迫變位必須取用一個很小的數(shù)(如10-5)，這樣，可以保證確定的影響區(qū)不失真，使動態(tài)規(guī)劃法找到的載位即為相應(yīng)內(nèi)力狀態(tài)下的最不利載位。11.4.4幾何非線性調(diào)值計算橋梁結(jié)構(gòu)在設(shè)計和施工計算中，常常遇到如下問題：設(shè)計階段：需要通過調(diào)整部分構(gòu)件的內(nèi)力或支點位移，來優(yōu)化整個結(jié)構(gòu)體系的受力狀態(tài)。比如，調(diào)整斜拉索力來優(yōu)化斜張橋結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力狀態(tài)；調(diào)整預(yù)應(yīng)力索張拉力來改善預(yù)應(yīng)力體系關(guān)心截面應(yīng)力狀態(tài)；調(diào)整連續(xù)梁支座來改善全橋正負(fù)彎矩分配等。施工階段：由于結(jié)構(gòu)模型噪聲、施工精度及其它隨機因素的影響，使結(jié)構(gòu)狀態(tài)偏離控制目標(biāo)或出現(xiàn)超應(yīng)力狀態(tài)。需要通過調(diào)整少量構(gòu)件的內(nèi)力或改變部分約束節(jié)點的位移來減少已建結(jié)構(gòu)與控制目標(biāo)的偏差，并使后期結(jié)構(gòu)的施工狀態(tài)最大限度地逼近目標(biāo)?？⒐ず蟮慕Y(jié)構(gòu)也會遇到與前相仿的問題。如通過拱腳位移頂推來調(diào)整拱圈內(nèi)力;通過斜拉索再張拉，來調(diào)整使用多年的結(jié)構(gòu)由于徐變、收縮引起的線形和內(nèi)力改變等。上述問題可由橋梁結(jié)構(gòu)關(guān)心截面內(nèi)力、位移、應(yīng)力調(diào)值計算來解決，一般情況下，要使關(guān)心截面中n個獨立參量調(diào)整為指定值，就必須改變施調(diào)截面中的n個獨立參量。隨著新技術(shù)和施工新工藝的應(yīng)用與發(fā)展，調(diào)值計算問題在工程中越來越多，調(diào)值計算成了大型結(jié)構(gòu)計算和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計必不可少的計算方法。當(dāng)幾何非線性表現(xiàn)突出時，基于線性疊加原理的調(diào)值計算方法無法直接用于非線性結(jié)構(gòu)的計算，下面討論計入幾何非線性影響的調(diào)值計算求解策略。影響矩陣及其形成方法為了方便討論，首先作如下定義：受調(diào)向量：結(jié)構(gòu)物中關(guān)心截面上m個獨立元素所組成的列向量。這些元素一般由構(gòu)件中的截面內(nèi)力、應(yīng)力或位移組成。它們在調(diào)值過程中接受調(diào)整，以期達到某種期望狀態(tài)。受調(diào)向量記為：TOC\o"1-5"\h\zD=(di,d2,dm)t(11—73)施調(diào)向量：結(jié)構(gòu)物中指定可實施調(diào)整以改變受調(diào)向量的1個獨立元素(IWm)所組成的列向量，記為：X=(x1,x,xi)t(11—74)施調(diào)元素多為桿件內(nèi)力或支座變位。影響向量：施調(diào)向量中第j個元素Xj發(fā)生單位變化，引起受調(diào)向量D的變化向量，記為：Aj=(a,a,a)T(11—75)影響矩陣:ij個施調(diào)向量"分別發(fā)生單位變化，引起的1個影響向量依次排列形成的矩陣，記為：

[A]=[A1A[A]=[A1A2aa.....aaaa212221A」=....(11—76)在影響矩陣中，aLm1元素可能是內(nèi)力、應(yīng)力、m2ml」位移等力學(xué)量中的一個，影響矩陣是這些力學(xué)量混合組成的。從理論上講，只要將單位施調(diào)向量逐一加到結(jié)構(gòu)上，分別求出相應(yīng)的影響向量，便能形成結(jié)構(gòu)的影響矩陣。但當(dāng)受調(diào)向量為內(nèi)力時，由于內(nèi)力無法直接加在結(jié)構(gòu)上，一般是通過先將相應(yīng)構(gòu)件從結(jié)構(gòu)中“斷開”，并在斷開處施以一對大小相等方向相反的單位力來進行計算的。顯然，這樣做破壞了原有的結(jié)構(gòu)形式，用有限元方法計算，則每計算一個影響向量，就要形成和分解一次結(jié)構(gòu)剛度陣，是很不經(jīng)濟的。為了減少形成影響矩陣的計算量，可先將內(nèi)力元素的影響向量用相應(yīng)位置和方向上桿件的單位強迫變形影響向量來代替，這樣就不必將構(gòu)件斷開，而可在同一力學(xué)模型上進行影響向量的計算。用有限元法計算影響矩陣，可歸結(jié)為如下步驟來進行：a）形成調(diào)值計算階段結(jié)構(gòu)總剛，并作LDLt分解；b）對施調(diào)元j循環(huán)；c）令第j號施調(diào)元調(diào)值量為1（如果是內(nèi)力，則用單位強迫變形代替）形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)荷載列陣；d）回代求相應(yīng)的節(jié)點位移。e）對受調(diào)元i循環(huán)，計算相應(yīng)的受調(diào)元素di，如果di是位移，就從求解得到的位移向量中取出該調(diào)值點對應(yīng)方向的位移作為j列影響向量的第i個元素aij，如果di是內(nèi)力，就由位移向量求出相應(yīng)調(diào)值截面對應(yīng)方向的內(nèi)力值作為aij。如果di是應(yīng)力，則由內(nèi)力求出相應(yīng)點的應(yīng)力值作為aij。如果調(diào)值點又是受調(diào)點本身，在aij中還需扣除單位強迫變位引起的單元的內(nèi)力變化。重復(fù)b?d各步，就可形成所有影響向量，從而形成影響矩陣[A]。2）等變量的調(diào)值計算設(shè)結(jié)構(gòu)中n個關(guān)心截面上期望的內(nèi)力、應(yīng)力、位移組成的向量為{E}，關(guān)心截面中現(xiàn)有相應(yīng)向量為{F}d，活載引起的相應(yīng)向量為{F、，調(diào)值計算就是通過改變n個施調(diào)元的力學(xué)量，使結(jié)構(gòu)狀態(tài)在關(guān)心截面處達到E。此時，結(jié)構(gòu)受調(diào)向量為：（D}={E}-{F}d-{F}l（11—77）受調(diào)向量與施調(diào)向量的元素'相等，這種調(diào)值計算稱為等變量的調(diào)值計算。當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足線性疊加時，有：[A]{X}={D}（11—78）式（11—78））可唯一求得施調(diào)向量{X}，向量{x}表示：要使關(guān)心截面力學(xué)量達到E，必須使施調(diào)變量產(chǎn)生{X}的相應(yīng)變化。3）幾何非線性調(diào)值計算幾何非線性對結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)影響較大時，用式（11—78）求得的施調(diào)向量{X}作用于結(jié)構(gòu)物，并不能使被調(diào)向量達到期望值。這就是幾何非線性的調(diào)值計算問題。幾何非線性調(diào)值計算可以通過迭代法完成，具體步驟如下：a）以調(diào)值前結(jié)構(gòu)狀態(tài)為初態(tài)，計算廣義影響矩陣[A]。b）求解方程（11—78），得到初始施調(diào)向量{X}。。c）將施調(diào)向量{X}0同時作用于結(jié)構(gòu)，進行幾何非線性分析，求結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)。

提取相應(yīng)的初始被調(diào)向量{D}0，并求出受調(diào)差值向量：AD=D-D00(11-79)e)以第三步中得到的結(jié)構(gòu)狀態(tài)替代調(diào)值前初態(tài)，重復(fù)1)?4)的計算，直到△D的范數(shù)||△D||小于指定誤差為止。以上計算收斂較快，一般迭代c?d次就能滿足工程精度要求。11.5非線性方程組的求解11.5.1求解方法概述用有限元法進行結(jié)構(gòu)非線性分析，其控制方程最終是一組非線性代數(shù)方程。非線性代數(shù)方程組的求解方法很多，其選擇往往與物理問題的性質(zhì)、特點、非線性程度、對計算結(jié)果的要求以及計算機的容量、計算速度等因素有關(guān)。這就要求研究者對非線性問題的求解過程以及程序設(shè)計有較全面的了解。以下介紹幾種常用的求解方法。1)直接求解法直接求解法是基于全量列式的求解過程，應(yīng)用最多的是直接迭代法，由虛功原理建立的非線性有限元平衡方程為：(11-80)LK({S})J{5}={P}(11-80)當(dāng)設(shè)定位移向量拘}的初值{50}后，改進的近似解可由下式得到：{5}=[K]-1{P}(11-81)00整個迭代過程可用下式表示：*}=[k]-1{p}(11-82)當(dāng)?shù)Y(jié)果滿足預(yù)定的收斂準(zhǔn)則時，就得到了所要求的節(jié)點位移向量。圖11.12(a)為取{5}={0}時單自由度問題的迭代過程取得收斂的示意圖。0圖11.12圖11.12直接迭代法收斂和發(fā)散過程直接迭代法應(yīng)用簡單，運算速度一般也較快，可應(yīng)用于具有輕微非線性的問題。這一求解過程的成功與否很大程度上取決于對初值位移{5「的正確估計。圖11.12(b)表示的是直接迭代法迭代過程發(fā)散時的情形。為改善收斂性和收斂速度，可以采用將荷載分成若干級的做法。2)增量法增量形式的有限元列式方法具有一個共同的特點:將整個荷載變形過程劃分為一連串增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載反應(yīng)被近似地線性化。簡單增量法將每一級增量荷載下直接求得的狀態(tài)變量視作結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)，計算相應(yīng)的切線剛度陣，進而作下一級荷載計算，并不斷累加其位移增量。圖11.13描述了簡單增量法的求解過程。圖11.13簡單增量法的求解過程幾何非線性問題的有限元分析最初多采用簡單增量法進行，雖然這種求解方法對每一級荷載作用時的計算速度較快，但由于每一級荷載作用前結(jié)構(gòu)并未精確地到達平衡位置，所求得的解答會隨著增量過程的繼續(xù)而越來越偏離真實的荷載一變形過程。為了保證計算精度，常常將增量區(qū)間劃分得相當(dāng)小。此外，為了評價解的精度，一般要對同一問題在進一步細(xì)分增量區(qū)間后再次求解，通過兩次解的比較判定是否收斂。這樣就需要消耗大量的計算時間。作為對這一方法的改進，可將不平衡力作為一種修正荷載并入下一級荷載增量。這就是有一階自校正的增量法。一階自校正增量法求解過程的示意圖如圖11.14所示。一階自校正增量法具有較高的求解速度，同時也比簡單增量法的計算精度高。這一方法在求解非線性問題特別是求解塑性問題時得到廣泛的應(yīng)用。圖11.14一階自校正增量法的收斂過程11.5.2Newton-Raphson法對于式(11-83)給出的單自由度非線性平衡方程中(x)=0(11-83)采用牛頓一下山法，將中(x)在x^點展開成Taylor級數(shù)，取線性近似公式：中(x)=中(x)+(d^)(x—x)(11-84)ndxnn求非線性方程式(11-83)的根x可按如下公式進行迭代計算：駕+1=一中G/崇)j(11-85)x=x+Ax單自由度非線性剛度方程一般為：ek(8)8=R(11-86)或中(8)=k(8)8—R=F(8)—R=0(11-87)式(11-87)代入式(11-84)，有：(來)A8=一中(8)=R—F(8)(11-88)d8nn+1nndR.對式(11-87)求導(dǎo)，并注意到心=0得：d8帥—dF(5)d5=帥—dF(5)d5=d5(5)(11-89)k-A5=R-F5:+1=5"n+1(5n)=ARn(11-90)式(11-89)即為體系在5處的切線剛度表達式，求5相應(yīng)的迭代公式為:SnSn+i圖11.15N-R法的收斂過程ARn為失衡力，式(11—90)即為Newton-Raphson法(N-R法)求解結(jié)構(gòu)非線性問題的最簡單形式，其收斂過程如圖11.15(a)所示。a)b)(11-91)(11-91)對于多自由度體系，同樣可以導(dǎo)出相應(yīng)的迭代公式:[K(A5)](A5}={R}-F(5)=(AR}{5}={5}+{膈}"nn+1nn+1這就是求解結(jié)構(gòu)非線性平衡方程組的N-R方法。由式(91)可見，N?R法在每次迭代后都要重新形成[K]T，對于大跨度橋梁結(jié)構(gòu)進行這一過程很費機時。為了減少形成總剛及其三角化分解的次數(shù)，有時用[K(50)]T代替[K(5n)]T，這樣，僅進行一次切線剛度陣和三角化分解計算，后面的迭代只是線性方程組的回代：這種方法稱為修正的N?R法(M?N?R法)。圖11.15(b)給出了該方法的迭代過程。M?N?R法在每次迭代中均用同一斜率，收斂較N?R差。圖11.16給出了N?R法和M?N?R法求解非線性方程組的流程，編程時可將這兩種方法結(jié)合使用。

圖11.16N-R法和M?N?R法迭代流程圖11.5.3收斂準(zhǔn)則在迭代計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂標(biāo)準(zhǔn)。在實際應(yīng)用中，可以從結(jié)構(gòu)的不平衡力向量和位移增量向量兩方面來判斷迭代計算的斂散性。數(shù)的大小可以用其絕對值來衡量，而對于一個結(jié)構(gòu)，無論其節(jié)點力還是節(jié)點位移都是向量，其大小一般用該向量的范數(shù)來表示。設(shè)列向量{v}=(v,v,v,,v)T，該向量的范數(shù)可以定義為：各元數(shù)絕對值之和；nIKI=丈KI(11-92)1ii=1各元素平方和的根||2=(^")1/2(11-93)i=1元素中絕對值最大者||=maxVJ(11-94)這3個范數(shù)記為|憶|(P=1,2,......,8)，應(yīng)用中可任選其中的一種。有了列向量的范數(shù)，，無論是結(jié)點力向量還是結(jié)點位移向量，其“大小”均可按其范數(shù)的大小來判斷。所謂足夠小就是指其范數(shù)已小于預(yù)先指定的某個小數(shù)。取位移增量為衡量收斂標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)則稱為位移準(zhǔn)則，若滿足下列條件就認(rèn)為迭代收斂：IIAui+1||<ad||ui+Aui+1II(11-95)式中：ad位移收斂容差I(lǐng)IAui+1II一位移增量向量的某種范數(shù)。實踐證明，對有些問題，前后兩次迭代所得到的位移向量范數(shù)之比值會出現(xiàn)劇烈跳動，以導(dǎo)致收斂不可靠。取不平衡結(jié)點力為衡量收斂標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)則稱為平衡力準(zhǔn)則，若滿足下列條件就認(rèn)為迭代收斂：IIAPi||<ap|pI(11-96)式中:P為外荷載向量;^Pi為不平衡力向量;ap為不平衡力收斂容差上面公式中取哪一種范數(shù)，按道理可以任選。有學(xué)者認(rèn)為，在用平衡力準(zhǔn)則時，取|AP||2比較好；在用位移準(zhǔn)則時，取公叫更為方便。在非線性比較嚴(yán)重的問題中，用位移準(zhǔn)則更合適。有的學(xué)者還用能量{p}T{△u)作為收斂標(biāo)準(zhǔn)，綜合了力與位移兩個方面，但要增加更多的計算量。例：圖11.17結(jié)構(gòu)在圖示荷載作用下桿件材料仍將處在線彈性工作階段，彈性模量E=2.0X104kN/cm2,桿件的橫截面積A=4cm2。試采用帶有一階自校正的增量法和Newton-Raphson方法對其進行幾何非線性分析。圖11—17結(jié)構(gòu)示意解：根據(jù)對稱性，該結(jié)構(gòu)僅有一個線位移自由度，即C點的豎向位移，可記為&將CB桿視作一個單元，其長度匕=J1002+22=100.02cm,將該單元局部坐標(biāo)系的原點設(shè)在C點,一°?，2、單元的方向角a°圖11—17結(jié)構(gòu)示意_LkJU乙i)帶有一階自校正的增量法。這一求解方法在每級增量荷載之后對結(jié)構(gòu)進行一次平衡修正，把不平衡力并入下一級荷載增量中，由(11—24)、(11-25)和(11—29)可得:牛,K1L2EA.“2N“2EAaK=sin2oc,K=,K=02oI0CT0牛,K1L八8cosoc八一小9=o-?-0.0150由式(11—21)和(11—23)可知：圓=Eb1+fe]=-[-!90L1將上式代入式(11—4),并注意到N=(jA,C點局部坐標(biāo)系中的桿端力為:由此可計算C節(jié)點豎直方向的節(jié)點合力:F=-2x(Xsina+Ycosa)1010=-2N(sina+0cosa)00?-2A^(0.02+0)采用AP=P/10的荷載增量步，按一階自校正法求解的過程如表n-3所示。表11-3一階自校正法求解的過程

加載級次NP(kN)(kN)N(kN)(A)/尸+(尸一F)7(kN)(kN/cm)(kN/cm)Kt(kN/cm)ND(cm)(cm)1-*0.1-0.100-0.100.6396-0.1563—0.15632-0.3一0.42.5958-0.1119-0.28810.05190.00390.6954-0.4143-0.57063-0.6-110.4255-0.5360-0.46400.208.50.05200.9001一0.5155-1.08614~1-222.0826-1.3630-0.63700.44160.18851.2697-0.5017-1.58785-1.5-3.535；4656—215449-0.9551、0.70