MXT-高中數(shù)學-同角三角函數(shù)基本關系及誘導公式

同角三角函數(shù)基本關系及引誘公式◆高考導航·順風出發(fā)◆最新考綱常有題型1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋2sinα＝tanα.本節(jié)在高考中應用很廣，比較靈便，常以選cosα＝1，cosα2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出π擇題，填空題形式出現(xiàn)，5分左右.2±α，π±α的正弦、余弦、正切的引誘公式.[知識梳理]1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.sinα(2)商數(shù)關系：＝tanα.cosα2．三角函數(shù)的引誘公式[知識感悟]1．辨明兩個易誤點(1)在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號．(2)注意求值與化簡后的結果一般要盡可能有理化、整式化．2．三角函數(shù)求值與化簡的三種常用方法sinα(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．cosα(2)和積變換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉變．π(3)巧用“1的”變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan4＝.3．利用引誘公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負—脫周—化銳．[知識自測]1．判斷以下結論可否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1()sinα)恒成立．((2)若α∈R，則tanα＝cosα(3)sin(＋πα)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()π(4)引誘公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍2和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√

(

)11

102．(2018

·營模擬東

)計算：

sin

6π＋cos

3π等于(

)A．－1

B．1C．0D.1－3221155π1[解析]∵sin6π＝sinπ＋6π＝－sin6＝－2，104π4π1cos3π＝cos2π＋3＝cos3＝－2，∴sin11106π＋cos3π＝－1.[答案]A3．化簡2sin2α－21＝________.1－2cosα[解析]sin2α＋sin2α－1sin2α－cos2α原式＝22＝22＝1.1－cosα－cosαsinα－cosα[答案]1題型一同角三角函數(shù)關系式的應用(高頻考點題，多角打破)考向一知弦求弦π3π，則sin(π＋α)等于()＋α＝5，α∈0，21．已知sin23B．－3A.554D．－4C.55π3π[解析]因為sin2＋α＝5，α∈0，2，所以cosα＝3，所以sinα＝4，554所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.[答案]D考向二知弦求切2．(2018遼·寧省五校高三聯(lián)考)已知cosππ3π)＋α＝3，且α∈，，則tanα＝(252243A.3B.4C．－334D．±4π334[解析]因為cos2＋α＝5，所以sinα＝－5，顯然α在第三象限，所以cosα＝－5，故tanα＝34.[答案]B考向三知切求弦3．若α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－1，則sinα＋cosα的值為________.311sin2α＋cos2α＝1，[解析]由tanα＝－3，得sinα＝－3cosα，將其代入得10cos2α＝1，∴cos2α＝9，易知cosα＜0，9103101010∴cosα＝－10，sinα＝10，故sinα＋cosα＝－5.10[答案]－5考向四巧用sin2α＋cos2α＝1.4．sin21°＋sin22°＋＋sin289°＝______.[解析]原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝222222111＝1＋1＋1＋＋1＋＝44(sin1°＋cos1°)＋(sin2°＋cos2°)＋＋(sin44°＋cos44°)＋22.44個21[答案]442考向五sinα、cosα的齊次式的應用5．已知sinα＋3cosα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值為(3cosα－sinα12A．－5B．－512C.5D.5[解析]tanα＋3＝5，∴tanα＝2.依題意得：3－tanαsin2α－sinαcosα∴sin2α－sinαcosα＝22sinα＋cosαtan2α－tanα22－22＝tan2α＋1＝22＋1＝5.[答案]D考向六sinα±cosα關系式的應用16．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝5.(1)求tanα的值；1(2)把cos2α－sin2α用tanα表示出來，并求其值．sinα＋cosα＝1①[解](1)法一：聯(lián)立方程5，sin2α＋cos2α＝1，②由①得cosα＝1－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.54sinα＝5，∴tanα＝－4∵α是三角形內(nèi)角，∴33.cosα＝－5，法二：∵sinα＋cosα＝1，∴(sinα＋cosα)2＝12，55即1＋2sinαcosα＝1，∴2sinαcosα＝－24，2525(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋24＝49.2525sinαcosα＝－12＜0且0＜α＜π，25sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0.7∴sinα－cosα＝5.14sinα＋cosα＝5，得sinα＝5，∴tanα＝－4由3，3.sinα－cosα＝7，cosα＝－55sin2α＋cos2α(2)21sin2α＋cos2αcos2αtan2α＋12＝22＝22＝2.cosα－sinαcosα－sinαcosα－sinα1－tanαcos2αtanα＝－43，1tan2α＋1－42＋125∴232＝2＝4＝－7.cosα－sinα1－tanα21－－3方法感悟同角三角函數(shù)基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型主要利用公式sinθtanθ＝化成正弦、余弦，cosθ切弦互化sinθ表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ也許利用公式＝tanθ化成正切cosθπ“1的”變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan4＝表達式中需要利用“1轉”化(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ和積變換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進表達式中含有sinθ±cosθ或sin行變形、轉變θcosθ【針對補償】1．(福建高考)若sinα＝－5tanα的值等于()13，且α為第四象限角，則1212A.5B．－555C.12D．－12[解析]法一：因為α為第四象限的角，故cosα＝1－sin2α＝1－－52＝12，13135所以tanα＝sinα－135＝＝－12.cosα1213法二：因為α是第四象限角，且sinα＝－5，所以可在α的終邊上取一點P(12，－5)，13則tanα＝y(tǒng)x＝－125.[答案]D2．已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，則tanα等于()2A．－1B．－22C.2D．1[解析]由

sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π3π＝－1.4.∴tanα＝tan4[答案]A3．化簡：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________.[解析]22sin2α2cos2α＋sin2α2α＝1.(1＋tanα)(1－sinα＝)1＋cos2α·cosα＝cos2αcos[答案]1題型二引誘公式的應用(重點保分題，共同商議)(1)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·－sin(1050°)＝______.(2)設f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α，其中1＋2sinα≠0，則f－23π＝______.3ππ61＋sin2α＋cos2＋α－sin22＋α[解析](1)原式＝－sin1200°cos1－290cos°1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210－°cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180＋°30°)－cos(360°－60°)·sin(360－30°°)＝sin60°cos30＋°cos60°sin30＝°3×3＋1×1＝1.2222－2sinα－cosα＋cosα(2)∵f(α)＝1＋sin2α＋sinα－cos2α2sinαcosα＋cosαcosα1＋2sinα1，＝＝＝2sin2α＋sinαsinα1＋2sinαtanα23π123π＝11∴f－6＝tan－π＝π＝3.6tan－4π＋tan66[答案](1)1(2)3方法感悟利用引誘公式化簡三角函數(shù)的基本思路和化簡要求：基本思路：①解析結構特點，選擇適合公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式．化簡要求：①化簡過程是恒等變形；結果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值．【針對補償】cos350－°2sin160°)4．計算：－190°＝(sin3A．－3B．－23C.2D.3[解析]cos360°－10°－2sin180°－20°原式＝－sin180°＋10°13cos10－°2sin30°－10°cos10－°22cos10－°2sin10°＝－－sin10°＝sin10°＝3.[答案]Dtanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2＝________.5．化簡：cos－α－3πsin－3π－αtanαcosαsin－2π＋π[解析](1)原式＝α＋2cos3π＋α[－sin3π＋α]π＋αtanαcosαcosαtanαcosαsinαcosαtanαcosαsin2＝＝＝－sinα＝－·＝－1.－cosαsinα－cosαsinαcosαsinα[答案]－1題型三巧用引誘公式(高頻考點題，多角打破)π3(2018·皖北模擬)若sin＋α＝，則65πcos3－α＝()33A．－5B.544C.5D．－5ππππ3[解析]cos3－α＝cos2－6＋α＝sin6＋α＝5，應選B.[答案]Bπ已知sinα－5＝a(a≠±1，a≠0)，求tanα＋9π5cosα＋14πα－11π＋的值．5·tan526πcos－α5tanα＋9π5[解]cosα＋14πα－11π＋5·tan526πcos5－αtanα－πππ5＝－cosα－5·tanα－5＋π－cos5－αsinα－π＝－sinπ5α－5－cos2α－π5a2＝a3－2a＝－a－1－a2.1－a方法感悟πππππ巧用相關角的關系會簡化解題過程．常有的互余關系有3－α與6＋α；3＋α與6－α；4＋ππ2ππ3πα與4－α等，常有的互補關系有3＋θ與3－θ；4＋θ與4－θ等．【針對補償】π35π6．已知tan－α＝3，則tan＋α＝________.665ππ[解析]tan6＋α＝tanπ－6＋αππ3＝tanπ－6－α＝－tan6－α＝－3.[答案]3－3π22π7．已知cos6－α＝3，則sinα－3＝________.π2π＝－π[解析]∵－α＋α－3，622πππ所以sinα－3＝sin－2－6－α＝－sinππ＝－cosπ2＋－α－α＝－3.266[答案]2－38．(2016全·國乙卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π＝3，則tanθ－π＝________.454[解析]由題意知sinθ＋π＝3，θ是第四象限角，45π所以cosθ＋4＞0，所以cosθ＋π1－sin2θ＋π44＝4＝.5則tanθ－π＝tanππ4θ＋－24ππsin2－θ＋4＝－ππcos2－θ＋4πcosθ＋4＝－πsinθ＋4454＝－×＝－.533[答案]4－3◆牛刀小試·成功靠岸◆課堂達標(十七)[A基礎牢固練]1．(2018濟·南質(zhì)檢)α∈ππ)－，，sinα＝－3，則cos(－α)的值為(2254433A．－5B.5C.5D．－5[解析]ππ因為α∈－，2，sinα＝－3，25所以cosα＝4，即cos(－α)＝4，應選B.55[答案]B2．已知函數(shù)f(x)＝asin(xπ＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2018)的值為()A．－1B．1C．3D．－3[解析]∵f(4)＝asin(4＋πα)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3.即f(2018)＝3.[答案]Cπ3．(2018石·家莊模擬)已知α為銳角，且2tan(－πα)－3cos2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinα的值是()3537A.5B.73101C.10D.3[解析]由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝31010.[答案]Cπ4．已知α和β的終邊關于直線y＝x對稱，且β＝－3，則sinα等于()33A．－2B.211C．－2D.2ππ[解析]因為α和β的終邊關于直線y＝x對稱，所以α＋β＝2kπ＋2(k∈Z)．又β＝－3，5π1所以α＝2kπ＋6(k∈Z)，即得sinα＝2.[答案]D5．已知－π112的值為()<α<0，sinα＋cosα＝，則225cosα－sinα77A.5B.252524C.7D．－2511[解析]∵sinα＋cosα＝5，∴1＋sin2α＝25，24π即sin2α＝－25，又∵－2<α<0，∴cosα－sinα>0.7∴cosα－sinα＝1－sin2α＝5，∴11＝25＝7.cos2α－sin2αcosα＋sinαcosα－sinα[答案]Cπ6．(2018遼·寧沈陽三模)若sinα＋3sin＋α＝0，則cos2α的值為()233A．－5B.544C．－5D.5[解析]π＝0，則sinα＋3cosα＝0，可得：tanα＝sinα由sinα＋3sin(＋α)＝－3；則cos2α2cosα1－tan2α1－94＝cos2α－sin2α＝tan2α＋1＝1＋9＝－5.應選C.[答案]Ctanπ－αcos2π－αsin－α＋3π7．化簡：2＝______.cos－α－πsin－π－αtanα·cosα·－cosα[解析]原式＝cosπ＋α·－sinπ＋αsinα·cosαtanα·cosα·cosαcosα＝－cosα·sinα＝－sinα＝－1.[答案]－1sinsin

8．已知角θ的極點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則3π()2＋θ＋cosπ－θ＝________.π2－θ－sinπ－θ[解析]由題意可得tanθ＝2，原式＝－cosθ－cosθ－2＝＝2.cosθ－sinθ1－tanθ[答案]2π＝a(|a|≤1)，則cos5π＋sin2π的值是______．9．已知cos－θ＋θ－θ6635ππ[解析]cos6＋θ＝cosπ－6－θπ＝－cos6－θ＝－a.2ππππsin3－θ＝sin2＋6－θ＝cos6－θ＝a，5π2π∴cos6＋θ＋sin3－θ＝0.[答案]010．已知sin(31，求cosπ＋θ＋＋πθ)＝3cosθ[cosπ－θ－1]cosθ－2π的值．3π3πsinθ－2cosθ－π－sin2＋θ11[解]∵sin(3＋πθ)＝－sinθ＝3，∴sinθ＝－3.∴原式＝－cosθ＋cosθcosθ－cosθ－1cosθ·－cosθ＋cosθ＝1＋cosθ＝1＋1＝2＝2＝2＝18.1＋cosθ－cos2θ＋cosθ1＋cosθ1－cosθ1－cos2θsin2θ12－3[B能力提升練]1．(2018廈·門模擬)已知cos31＝°a，則sin239°·tan的149值是°()1－a2B.1－a2A.aa2－1D．－1－a2C.a[解析]sin239°·tan149°＝sin(270－°31°)·tan(180－31°＝)(－cos31°)－·(tan31°)＝sin31°＝1－a2.[答案]B2．設A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，有以下表達式：(1)sin(A＋B)＋sinC；(2)cos(A＋B)＋cosC；A＋BC(3)tan2tan2；(4)sin2A＋B＋sin2C22.無論△ABC的形狀如何變化，向來是常數(shù)的表達式有()A．1個B．2個C．3個D．4個[解析](1)sin(A＋B)＋sinC＝sin(－πC)＋sinC＝2sinC，不是常數(shù)；(2)cos(A＋B)＋cosC＝cos(－πC)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0，是常數(shù)；A＋BCπCC(3)tan2tan2＝tan2－2tan2＝1，是常數(shù)；A＋BCπCCCC(4)sin2(2)＋sin22＝sin22－2＋sin22＝cos22＋sin22＝1，是常數(shù)．故向來是常數(shù)的表達式有3個，選C.[答案]Ccosα1＋tan2α＋sinα13．(2018新·疆阿勒泰二模)已知α為第二象限角，則1＋tan2α＝______.sin2α＋cos2αsin2α＋cos2α1＋sinα1，[解析]原式＝cosαcos2α＋sinαsin2α＝cosα|cosα||sinα|因為α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα1＋sinα1＝－1＋1＝0，|cosα||