數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件 第13章、決策分析

AnIntroductiontoManagementScience,16e第十三章、決策分析章節(jié)內(nèi)容13-1 問題的構(gòu)建13-2 未知概率的決策13-3 已知概率的決策13-4 風(fēng)險(xiǎn)分析與靈敏度分析13-5 有樣本信息的決策分析13-6 用貝葉斯定理計(jì)算分支概率13-7 效用理論

本章小結(jié)章節(jié)目標(biāo)(1/2)完成本章后，你將能夠:LO13.1 用支付表來分析決策面臨的問題，并用備選方案、隨機(jī)事件和隨機(jī)事件所產(chǎn)生的結(jié)果描述問題狀況LO13.2 根據(jù)各選方案、隨機(jī)事件和隨機(jī)事件所產(chǎn)生的結(jié)果，為問題情境構(gòu)建決策樹LO13.3 構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)組合并解釋其含義LO13.4 使用靈敏度分析來研究問題輸入的變化如何影響或改變推薦的決策LO13.5 評(píng)估額外信息的潛在價(jià)值章節(jié)目標(biāo)(2/2)LO13.6 使用新信息和修正概率的決策分析方法推薦解決問題的方案LO13.7 評(píng)估額外決策信息的價(jià)值和效率LO13.8 使用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率LO13.9 使用效用理論分析決策者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者、風(fēng)險(xiǎn)偏好者還是風(fēng)險(xiǎn)中性者LO13.10 將貨幣支付值轉(zhuǎn)為效用值，會(huì)使用指數(shù)效用函數(shù)介紹當(dāng)決策者面臨多個(gè)備選方案，且未來事件具有不確定性或充滿風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，決策者可利用決策分析得到一最優(yōu)策略。即使非常小心地進(jìn)行決策分析，不確定的未來事件還是會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果的不確定性.任何一個(gè)決策方案的風(fēng)險(xiǎn)都是由最終結(jié)果的不確定性產(chǎn)生的。一個(gè)好的決策分析包含了風(fēng)險(xiǎn)分析。通過風(fēng)險(xiǎn)分析，決策者既能得知好結(jié)果出現(xiàn)的概率信息，又能得知壞結(jié)果出現(xiàn)的概率信息。我們從考慮涉及較少的決策方案和較少的可能的未來事件的問題入手，來開始學(xué)習(xí)決策分析。我們引入影響圖和支付矩陣作為決策問題的分析工具，進(jìn)而闡明決策分析的基本原理。我們還引入了決策樹用于分析夏雜的問題并做出最優(yōu)決策順序，即最優(yōu)決策戰(zhàn)略。靈敏度分析顯示問題在不同方面的變化如何影響決策方案的選擇。13-1匹茲堡發(fā)展有限公司：?jiǎn)栴}的構(gòu)建決策問題的特征包括決策備選方案、自然狀態(tài)和由此產(chǎn)生的收益：決策備選方案是決策者可以采用的可能策略。不確定的未來事件被稱為隨機(jī)事件。自然狀態(tài)被定義為相互排斥且共同窮盡的，是機(jī)會(huì)事件的唯一結(jié)果。收益是由每個(gè)決策方案和每個(gè)隨機(jī)事件所產(chǎn)生的結(jié)果。讓我們先考慮匹茲堡發(fā)展有限公司（PDC）的建筑項(xiàng)目。PDC購(gòu)買了一塊土地用于建造新的豪華公寓樓群。從該地點(diǎn)可以看到匹茲堡市區(qū)和金三角的壯觀景色。PDC已委托制定了三個(gè)不同項(xiàng)目的建筑草圖，這三個(gè)項(xiàng)目分別有30棟樓、60棟樓和90棟樓。項(xiàng)目在收入上的成功取決于樓群的大小和與樓房需求相關(guān)的隨機(jī)事件。因而，PDC的決策問題表述為，在給定樓房需求的不確定性的情況下，選定一個(gè)能夠帶來最大利潤(rùn)的新豪華樓群項(xiàng)目規(guī)模。13-1匹茲堡發(fā)展有限公司：影響圖PDC有以下三個(gè)決策方案：d1=一個(gè)有30棟樓的小型樓群d2=一個(gè)有60棟樓的中型樓群d3=一個(gè)有90棟樓的大型樓群在PDC的問題中，樓房需求這一隨機(jī)事件有兩種自然狀態(tài)：s1=樓房的強(qiáng)需求s2=樓房的弱需求影響圖是一種描述決策、隨機(jī)事件和決策問題的結(jié)果之的關(guān)系的圖表工具。在影響圖中，節(jié)點(diǎn)被用來表示決策、隨機(jī)事件和決策結(jié)果。矩形或正方形被用來描述決策節(jié)點(diǎn)圓形或橢圓被用來描述機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)菱形被用來描述結(jié)果節(jié)點(diǎn)連接節(jié)點(diǎn)的線路被稱作弧，表示節(jié)點(diǎn)相互影響的方向13-1匹茲堡發(fā)展有限公司：支付矩陣在決策分析中，我們將由某一決策方案和某一自然狀態(tài)的特定組合產(chǎn)生的結(jié)果稱為支付。描述決策方案和自然狀態(tài)的所有組合的支付的表格就是支付矩陣。支付可以用利潤(rùn)、成本、時(shí)間、距離或任何其他適合于所分析決策問題的指標(biāo)來表示。因?yàn)镻DC想要選擇一個(gè)能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)的樓群規(guī)模，所以利潤(rùn)就是結(jié)果。右表是一個(gè)以百萬美元為單位的顯示利潤(rùn)的支付矩陣。例如，如果建造中型樓群，且有強(qiáng)需求，那將會(huì)實(shí)現(xiàn)1400萬美元的利潤(rùn)。我們用符號(hào)Vij表示與決策方案i和自然狀態(tài)j相對(duì)的支付。V31=20表示如果決策是建造大型樓群（d3）且自然狀態(tài)是強(qiáng)需求（s1），那么將產(chǎn)生2000萬美元的利潤(rùn)。V32=-9表示如果決策是建造大型樓群（d3）且出現(xiàn)的是弱需求（s2）的自然狀態(tài)，那么將損失900萬美元。13-1匹茲堡發(fā)展有限公司：決策樹決策樹是決策過程的一種圖形表示方法,決策樹顯示了隨著時(shí)間的推移而發(fā)生的自然或邏輯進(jìn)程。每個(gè)決策樹有兩種類型的節(jié)點(diǎn)：方框用來表示決策節(jié)點(diǎn)圓圈用來表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)右圖的決策樹有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別編為1、2、3、4。因此，節(jié)點(diǎn)1是一個(gè)決策節(jié)點(diǎn)，而節(jié)點(diǎn)2、3和4是機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)。分支連接了不同的節(jié)點(diǎn)，從決策節(jié)點(diǎn)生出的分支對(duì)應(yīng)于決策方案，即決策支。從每個(gè)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)生出的分支對(duì)應(yīng)于自然狀態(tài)，即機(jī)會(huì)支。支付顯示在自然狀態(tài)支的后面。例如，頂端的支付8表示如果PDC建造了一個(gè)小型樓群（d1），且是強(qiáng)需求（s1），那么將會(huì)得到一個(gè)800萬美元的利潤(rùn)。13.2未知概率的決策樂觀法樂觀法根據(jù)決策方案所能帶來的最大支付來評(píng)價(jià)每個(gè)決策方案。該決策方法推薦的決策方案也必然是可能帶來最大支付的方案。在一個(gè)追求最大化利潤(rùn)的問題中（如PDC題），樂觀法會(huì)使決策者選擇最大利潤(rùn)所對(duì)應(yīng)的決策方案。對(duì)于最小化問題，樂觀法會(huì)使決策者選擇最小支付所對(duì)應(yīng)的決策方案。悲觀法悲觀法根據(jù)決策方案產(chǎn)生的最壞支付來評(píng)價(jià)每一個(gè)決策方案。該決策方法推薦的決策方案是能帶來最壞支付中最好的支付的那個(gè)方案。對(duì)于用利潤(rùn)衡量結(jié)果的問題（如PDC問題），悲觀法將使決策者選擇能最大化最小利潤(rùn)的決策方案。對(duì)于最小化問題，悲觀法確認(rèn)的決策方案是能最小化最大支付的方案。13-2最小化最大后悔值法

通過使用后悔值公式和支付矩陣，我們可以計(jì)算每個(gè)決策方案di和自然狀態(tài)sj組合相關(guān)的后悔值。因?yàn)镻DC問題是一個(gè)最大化問題，所以Vj*是支付矩陣中第j列中最大的一項(xiàng)。因此，要計(jì)算后悔值，我們只需簡(jiǎn)單地用每列中最大的一項(xiàng)減去該列中的每一項(xiàng)。最小化最大后悔值法選擇產(chǎn)生最大后悔值中最小的決策方案。因此，對(duì)于PDC問題來說，d2

是最佳選擇。13-3已知概率的決策

13-3期望值法

然后在每一個(gè)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)上，我們用發(fā)生的概率對(duì)每一個(gè)可能的支付進(jìn)行加權(quán)求和。這樣，我們就得到了節(jié)點(diǎn)2、3和4的期望值。因?yàn)闆Q策者控制著從決策節(jié)點(diǎn)1發(fā)出的分支，并且希望獲得最大的期望利潤(rùn)，因此節(jié)點(diǎn)1處最優(yōu)的決策方案是d3。13-3完美信息的期望值

13-4風(fēng)險(xiǎn)分析決策方案的風(fēng)險(xiǎn)組合顯示了某決策方案可能的支付以及相關(guān)的概率。利用期望值法，我們得出大型樓群（d3）為最優(yōu)決策方案。方案d3的期望值1420萬美元是基于有0.8的概率獲利2000萬美元以及有0.2的概率損失900萬美元而得到的。有0.8的概率產(chǎn)生2000萬美元的支付和有0.2的概率產(chǎn)生-900萬美元的支付，這就是大型樓群決策方案的風(fēng)險(xiǎn)組合。有時(shí)候評(píng)估與最優(yōu)決策方案相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)組合可能會(huì)使決策者選擇其他的決策方案，即使那個(gè)決策方案的期望值并不十分理想。例如，中型樓群決策方案（d2）的風(fēng)險(xiǎn)組合是0.8的概率產(chǎn)生1400萬美元的支付和0.2的概率產(chǎn)生500萬美元的支付。13-4匹茲堡發(fā)展有限公司：靈敏度分析靈敏度分析可用來確定以下的變化是如何影響所推薦的決策方案的:自然狀態(tài)概率的變化支付的變化如果一個(gè)輸入值的微小變化都引起了推薦方案的改變，那么這一決策分問題的解決方案對(duì)那個(gè)特定的輸入值是敏感的。因此，對(duì)這個(gè)特定的輸入值，就需要花費(fèi)額外的努力和精力來確保它的準(zhǔn)確性。如果一個(gè)輸入值的較大變化都不能對(duì)推薦方案產(chǎn)生改變，那么這一決策分析問題的解決方案對(duì)那個(gè)特定輸入值是不敏感的，我們也就不需要花費(fèi)額外的時(shí)間和精力在它上面。

13-4靈敏度圖解法分析

13-5有樣本信息的決策分析通常，決策者會(huì)對(duì)自然狀態(tài)的概率做出先驗(yàn)概率估計(jì)，而這種估計(jì)在當(dāng)時(shí)是能夠獲取到的概率信息的最佳值。為了盡可能地做出最優(yōu)的決策，決策者也許會(huì)想搜尋更多關(guān)于自然狀態(tài)的信息。這些新信息能被用來修正或更新先驗(yàn)概率，這樣，最終決策的制定就能依賴更準(zhǔn)確的自然狀態(tài)的概率信息。大多數(shù)情況下，人們?cè)O(shè)計(jì)試驗(yàn)來獲取關(guān)于自然狀態(tài)的樣本信息，這樣試驗(yàn)者能夠獲得一些額外信息。修正或更新自然狀態(tài)的概率被稱為后驗(yàn)概率。讓我們回到PDC問題，假設(shè)管理者正考慮一個(gè)長(zhǎng)達(dá)6個(gè)月的市場(chǎng)調(diào)研，這個(gè)市場(chǎng)調(diào)研是為了深入了解PDC樓群項(xiàng)目的潛在市場(chǎng)的接受情況。管理者預(yù)料到這個(gè)市場(chǎng)調(diào)研會(huì)產(chǎn)生以下兩種結(jié)果：（1）有利報(bào)告：被調(diào)查的很大一部分人對(duì)購(gòu)買PDC樓群感興趣。（2）不利報(bào)告：在被調(diào)查者中，只有很少一部分人表示對(duì)PDC樓群感興趣。13-5有樣本信息問題的影響圖擴(kuò)展后的PDC問題的影響圖如右圖所示。注意，兩個(gè)決策節(jié)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于調(diào)研以及樓群規(guī)模決策。兩個(gè)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于調(diào)研的結(jié)果以及樓群的需求。最后，結(jié)果節(jié)點(diǎn)是利潤(rùn)。從影響圖的弧可以看到，需求影響了調(diào)研的結(jié)果和利潤(rùn)。從調(diào)研決策節(jié)點(diǎn)到樓群規(guī)模決策節(jié)點(diǎn)的弧顯示，調(diào)研決策先于樓群規(guī)模決策。從調(diào)研決策節(jié)點(diǎn)到調(diào)研結(jié)果節(jié)點(diǎn)之間沒有弧，那是因?yàn)閷?shí)施調(diào)研的決策實(shí)際上并不影響調(diào)研的結(jié)果。實(shí)施調(diào)研的決策會(huì)產(chǎn)生調(diào)研的結(jié)果，但并不對(duì)它產(chǎn)生影響。最后，樓群規(guī)模節(jié)點(diǎn)和需求節(jié)點(diǎn)都影響利潤(rùn)。13-5有樣本信息問題的決策樹PDC的管理者必須先決定是否開展市場(chǎng)調(diào)研。如果決定開展，若市場(chǎng)研究報(bào)告是有利的，則PDC的管理者必須準(zhǔn)備一個(gè)關(guān)于樓群項(xiàng)目規(guī)模的決策；若市場(chǎng)研究報(bào)告是不利的，還應(yīng)再準(zhǔn)備一個(gè)不同的關(guān)于樓群項(xiàng)目規(guī)模的決策。這里有四個(gè)決策節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)1、3、4和5：節(jié)點(diǎn)1顯示PDC必須首先做出是否開展市場(chǎng)調(diào)研的決策。節(jié)點(diǎn)3表示在有利報(bào)告的情況下，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。節(jié)點(diǎn)4表示如果市場(chǎng)報(bào)告不利的話，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。節(jié)點(diǎn)5表示在沒有開展調(diào)研的情況下，PDC決定是建造小型、中型還是大型樓群。其余節(jié)點(diǎn)都是機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)。機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)2表示不管是有利報(bào)告分支還是不利報(bào)告分支都是隨機(jī)產(chǎn)生的。節(jié)點(diǎn)6～14是機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，表明強(qiáng)需求或弱需求的自然狀態(tài)分支都將隨機(jī)決定。13-5決策樹分析

13-5決策策略：機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)期望值決策策略是一系列的決策以及機(jī)會(huì)結(jié)果，其中選擇的決策取決于隨機(jī)事件的結(jié)果。在決策樹中，按照以下步驟，用反推法來確定最優(yōu)的決策策略：在機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)上，將每一分支末端的支付與對(duì)應(yīng)的分支概率相乘再相加得到期望值。在決策節(jié)點(diǎn)上，選擇導(dǎo)致最優(yōu)期望值的決策分支。這個(gè)期望值就是決策節(jié)點(diǎn)上的期望值。根據(jù)反推法，先計(jì)算機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)6～14的期望值，結(jié)果如右圖所示。13-5決策策略：決定節(jié)點(diǎn)期望值對(duì)于決策節(jié)點(diǎn)3、4和5，我們都選擇能產(chǎn)生最優(yōu)期望值的決策方案分支。例如，對(duì)于節(jié)點(diǎn)3，EV(d3)=18.26，這大于EV(d1)和EV(d2)的值。

13-5有樣本信息的問題：決策策略PDC的最優(yōu)決策是開展市場(chǎng)調(diào)研，然后執(zhí)行下列決策策略：如果市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告是有利的，則建造大型樓群。如果市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告是不利的，則建造中型樓群。PDC決策樹分析描述了可用來分析更復(fù)雜的有序決策問題的方法。13-5有樣本信息的問題：風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)

通過實(shí)施最優(yōu)決策策略，PDC將得到?jīng)Q策樹分支末端上顯示的四個(gè)支付中的一個(gè)。因此，要構(gòu)造最優(yōu)決策策略的風(fēng)險(xiǎn)組合，我們需要計(jì)算這四種支付的概率。13-5有樣本信息的期望值

13-6用貝葉斯定理計(jì)算分支概率在這一節(jié)中，我們將介紹如何用貝葉斯定理計(jì)算決策樹的分支概率。右圖再次顯示了PDC決策樹。設(shè)：市場(chǎng)研究指標(biāo)：F=有利報(bào)告U=不利報(bào)告市場(chǎng)需求（自然狀態(tài)）:s1=強(qiáng)需求s2=弱需求

我們需要知道以下節(jié)點(diǎn)的分支概率：節(jié)點(diǎn)2: P(F) 和

P(U)節(jié)點(diǎn)6-8: P(s1|F) 和

P(s2|F)節(jié)點(diǎn)9-11: P(s1|U) 和

P(s2|U)節(jié)點(diǎn)12-14: P(s1) 和

P(s2)P(s1|F),P(s2|F),P(s1|U),和P(s2|U)被稱為后驗(yàn)概率，因?yàn)樗鼈兪腔跇颖拘畔⒔Y(jié)果的條件概率。如前所述，P(s1)andP(s2)是在未進(jìn)行市場(chǎng)研究的情況下，兩個(gè)自然狀態(tài)s1

和

s2

的先驗(yàn)概率。13-6計(jì)算后驗(yàn)概率要計(jì)算后驗(yàn)概率，我們必須知道每種自然狀態(tài)下市場(chǎng)研究結(jié)果（樣本信息）的條件概率。這些條件概率可以通過歷史市場(chǎng)研究報(bào)告的頻率來估計(jì)，這些報(bào)告是在觀察到特定需求的情況下獲得的。在PDC問題中，我們假設(shè)可用于這些條件概率的評(píng)估如下：注意，如果需求結(jié)果是強(qiáng)的，有利市場(chǎng)報(bào)告的概率會(huì)高得多；而在不利市場(chǎng)報(bào)告的情況下，情況正好相反。為了計(jì)算后驗(yàn)概率，我們可以按照以下步驟進(jìn)行：步驟1：對(duì)于每種自然狀態(tài)，將先驗(yàn)概率與其條件概率相乘。這將給出自然狀態(tài)和指標(biāo)的聯(lián)合概率。步驟2：將所有狀態(tài)的聯(lián)合概率相加。這將給出指標(biāo)的邊際概率。步驟3：對(duì)于每種自然狀態(tài)，將其聯(lián)合概率除以指標(biāo)的邊際概率。這將得到后驗(yàn)概率分布。13-6貝葉斯定理的應(yīng)用當(dāng)我們應(yīng)用上述步驟時(shí)，得到了以下后驗(yàn)概率：

13-7效用理論效用理論可以使決策者能通過考慮一些無形的因素，比如風(fēng)險(xiǎn)或其他非貨幣性指標(biāo)，評(píng)估備選方案。效用是對(duì)特定結(jié)果的總價(jià)值或喜好程度的一種度量，它反映了決策者對(duì)利潤(rùn)、損失和風(fēng)險(xiǎn)等的態(tài)度。一家小型的不動(dòng)產(chǎn)投資公司Swofford現(xiàn)在有兩個(gè)投資成本基本相同的投資機(jī)會(huì)，必要的現(xiàn)金需求使得Swofford在同一時(shí)間最多只能做一項(xiàng)投資。有三個(gè)可以考慮的可能的決策方案，

d1,d2,和d3：d1=投資A項(xiàng)目d2=投資B項(xiàng)目d3=均不投資與投資機(jī)會(huì)相關(guān)的貨幣支付依賴于做出的投資決策和接下來6個(gè)月不動(dòng)產(chǎn)市場(chǎng)的價(jià)格走勢(shì)（機(jī)會(huì)事件）。不動(dòng)產(chǎn)的價(jià)格可能會(huì)上升、不變或者下降。將自然狀態(tài)設(shè)為s1、s2、s3：s1=不動(dòng)產(chǎn)價(jià)格上升s2=不動(dòng)產(chǎn)價(jià)格不變s3=不動(dòng)產(chǎn)價(jià)格下降利用可得到的最優(yōu)信息，Swofford估計(jì)了關(guān)于每一種決策在不同自然狀態(tài)下的利潤(rùn)（支付）。支付結(jié)果如下表所示（單位：美元）：13-7Swofford投資公司：期望值法

實(shí)際上，Swofford現(xiàn)在的財(cái)務(wù)狀況是脆弱的，這樣的經(jīng)濟(jì)條件體現(xiàn)在Swofford的能力只允許它做一項(xiàng)投資項(xiàng)目。然而，更重要的是，公司總經(jīng)理認(rèn)為如果下一項(xiàng)投資給公司帶來巨大的損失，那么公司將會(huì)處于非常危險(xiǎn)的境地。盡管最大期望值的方法推薦了決策方案d1，我們懷疑公司總經(jīng)理為了避免一次性損失50000美元而選擇方案d2或d3。事實(shí)上，根據(jù)公司現(xiàn)在的財(cái)務(wù)現(xiàn)狀，即使30000美元的損失也會(huì)使Swofford破產(chǎn)。為此，考慮到項(xiàng)目A和項(xiàng)目B相對(duì)公司現(xiàn)在的財(cái)務(wù)狀況來說風(fēng)險(xiǎn)較大，總經(jīng)理也許會(huì)選擇項(xiàng)目d3

。13-7Swofford投資公司：計(jì)算效用值我們?yōu)镾wofford每一種支付結(jié)果建立效用的過程首先是為最好和最差的支付結(jié)果分配一個(gè)效用值，只要最好方案的效用值大于最差方案的效用值即可:-50000美元的效用=U（-50000）=050000美元的效用=U（50000）=10考慮為30000美元的支付建立一個(gè)效用。首先我們讓Swofford的總經(jīng)理在以下兩個(gè)情境中做一個(gè)選擇：一個(gè)是獲得30000美元的支付，另一個(gè)是參加概率為p的賭博。在賭博事件中，Swofford有p的概率獲得50000美元的支付，有（1-p）的概率獲得-50000美元的支付。假設(shè)當(dāng)p=0.95時(shí)，Swofford的總經(jīng)理相對(duì)于獲得30000美元的支付和賭博的意愿是無差異的。

13-7Swofford投資公司：期望效用利用上述方法，我們?yōu)槭Ｏ碌腟wofford的支付結(jié)果計(jì)算了效用，如下表所示：現(xiàn)在，我們?yōu)槊恳粋€(gè)可能的貨幣價(jià)值計(jì)算了效用值，我們可以用效用的形式寫出支付表。在效用表中我們引入符號(hào)Uij

，代表di決策在sj情況下的效用。

最優(yōu)決策13-7Swofford投資公司：決策分析盡管投資A項(xiàng)目有最高的期望收益9000美元，但分析人員預(yù)測(cè)Swofford會(huì)放棄這些投資。不選擇投資A項(xiàng)目的依據(jù)是，50000美元的損失對(duì)于Swofford的總經(jīng)理來講是個(gè)很大的風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的嚴(yán)重性及其對(duì)于公司的影響，在投資A項(xiàng)目的期望值中并沒有充分地體現(xiàn)出來。我們?yōu)槊恳粋€(gè)支付結(jié)果分配了效用值來更充分地評(píng)價(jià)這種風(fēng)險(xiǎn)。接下來的步驟，是用于解決類似Swofford投資問題的一般辦法:

利用不同自然狀態(tài)發(fā)生的概率，P(s1)=0.3,P(s2)=0.5,P(s3)=0.2，每一個(gè)決策的期望效用是：分析結(jié)果推薦了期望效用最高的B項(xiàng)目。這個(gè)投資的期望值是-1000美元13-7風(fēng)險(xiǎn)偏好者