壽險(xiǎn)精算 第二講 生存分布與生命表課件

§1.1死亡年齡的概率

1.1.1連續(xù)型死亡年齡的有關(guān)概率對(duì)于一個(gè)剛出生的嬰兒來(lái)說(shuō)，其死亡年齡X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，用F(x)表示這個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則

(1.1.1)

這里，通常假設(shè)F(0)=0。假設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是可導(dǎo)的，且用f(x)表示隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，則這時(shí)，其均值與方差分別是：

§1.1.2離散型死亡年齡的有關(guān)概率若將新生嬰兒的死亡年齡X取整數(shù)值（即取周歲數(shù)）并用字母K表示，則K=[X]，那么，離散型隨機(jī)變量K的概率分布律可表述為：其中，分布函數(shù)為：均值為：方差為：死亡年齡(K)0123…概率(q)q0q1q2q3…§1.2生存分布1.2.1生存函數(shù)定義意義：新生兒能活到x歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率條件概率新生嬰兒在x歲時(shí)仍活著的條件下,于年齡x歲與z(x<z)歲之間死亡的條件概率是:

新生嬰兒在x歲時(shí)仍活著的條件下,于年齡y歲與z(y<z)歲之間死亡的條件概率是:

新生兒在x歲時(shí)的未來(lái)壽命:

用符號(hào)(x)表示年齡為x歲的人,X是新生兒的死亡年齡,則X-x稱為新生兒在x歲時(shí)的未來(lái)壽命(余命),并用符號(hào)T(x)表示,即

T(x)=X-x

1.2.2連續(xù)型未來(lái)壽命的生存分布剩余壽命與分布函數(shù)定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡(jiǎn)記(x)），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命，記作T(x)。分布函數(shù)：剩余壽命的生存函數(shù)：特別：：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率關(guān)系式:

運(yùn)用式(1.2.2),并且z=x+t,則1.2.3離散型未來(lái)壽命的生存分布設(shè)K(x)表示(x)未來(lái)壽命的周年數(shù),即K(x)=[T(x)],則隨機(jī)變量K(x)的概率分布率為:對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量T(x),有故K(x)的概率分布率又可表示為:例2已知計(jì)算

的值為（）。

(A).0.85(B).0.86(C).0.87(D).0.88(E).0.89解答：1.3.2死力的若干解析形式DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)補(bǔ)充：未來(lái)（剩余）壽命期望值

一、連續(xù)型未來(lái)（剩余）壽命期望值和方差二、離散型未來(lái)（剩余）壽命期望值和方差離散型未來(lái)（剩余）壽命期望值和方差兩種余命之間的關(guān)系：.記lx=E[L(x)

]，lx=l0s(x)lx表示數(shù)目為l0

個(gè)零歲新生嬰兒能活到x歲的期望人數(shù)。類似地，用nDx

表示l0

個(gè)零歲新生嬰兒在x歲與x+n歲之間的死亡人數(shù)，

ndx=E(nDx)=l0[s(x)-s(x+n)]=

lx-lx+n

n=1時(shí)，ndx簡(jiǎn)寫成dx

，則

dx=

lx-lx+12.生存人年數(shù)(存活年數(shù))（Lx）與累積生存人年數(shù)（Tx）(存活年數(shù))(x)歲的生存人數(shù)lx在一年（x歲至x+1歲）的生存人年數(shù)，記作Lx，則：假設(shè)每個(gè)生存者的死亡年齡X在[x,x+1]上服從均勻分布，則

lx+t=

lx–tdx(0≤t≤1)（1.4.2)故(x)歲以后的生存人數(shù)總和稱為累積生存人年數(shù)，記作Tx，則：或：3.平均余命

(x)歲的生存人數(shù)lx，其以后生存的平均年數(shù)，稱為x歲時(shí)的完全平均余命，記作，則：利用分部積分得

4.平均生存函數(shù)

(x)在x歲與x+1之間，死亡者在這一年中的平均生存年數(shù)，記作α(x)，則：或分?jǐn)?shù)期死亡均勻分布的生存函數(shù)圖示三種假定下生存函數(shù)比較圖示三種假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布常數(shù)死亡力Ballucci例子例子1.4.1設(shè)(x)在[x,x+1]上服從均勻分布，試證：例子1.4.2試證：在常值死力假設(shè)的條件下，有補(bǔ)充例1已知計(jì)算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。補(bǔ)充例1解答：補(bǔ)充例2已知

分別在三種分?jǐn)?shù)年齡假定下，計(jì)算下面各值：補(bǔ)充例2答案§1.4.4生命表實(shí)例表1.4.3中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(1990~1993)(混合表)附錄I(C)例子例子1.4.4根據(jù)表1.4.3,并在死亡均勻分布條件下估計(jì)：解：§1.4.5選擇-終極生命表需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用選擇-終極表實(shí)例表1.4.41967年~1970年英國(guó)選擇—終極生命表摘要例子1.4.5試用表1.4.4中的數(shù)字估計(jì)下列各值：

補(bǔ)充例子1已知：

為未來(lái)剩余壽命隨機(jī)變量計(jì)算Var[T(10]的值為()。

(A)65(B)93(C)133(D)178(E)333補(bǔ)充例子1解答解:因?yàn)樗约碭服從均勻分布，所以故即