高中數(shù)學必修2-第二章《點、直線、平面之間的位置關(guān)系》單元測試題

第二章綜合素能檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．(2013～2014·福建師大附中模塊)設(shè)α，β表示兩個平面，l表示直線，A，B，C表示三個不同的點，給出下列命題：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?α；②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若l?α，A∈l，則A?α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則α與β重合．則上述命題中，正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]根據(jù)公理1可知①正確；根據(jù)公理3可知②正確，根據(jù)公理2可知④正確；當點A為直線l與平面α的交點時，可知③錯誤．2．菱形ABCD在平面α內(nèi)，PC⊥α，則PA與對角線BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交但不垂直C．相交垂直 D．異面垂直[答案]D[解析]∵PC⊥平面α，∴PC⊥BD，又在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴BD⊥PA.顯然PA與BD異面，故PA與BD異面垂直．3．設(shè)P是△ABC所在平面α外一點，H是P在α內(nèi)的射影，且PA，PB，PC與α所成的角相等，則H是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心[答案]B[解析]由題意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圓圓心．4．已知二面角α－l－β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．120°[答案]B[解析]易知m，n所成的角與二面角的大小相等，故選B.5．(2013～2014·珠海模擬)已知a，b，l表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個不同的平面，有下列命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，則b⊥α；④若a∩α，b∩α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α.其中正確的有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]C[解析]可借助正方體模型解決．如圖，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，可令平面A1B1CD為α，平面DCC1D1為β，平面A1B1C1D1為γ.又平面A1B1CD∩DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CD∥C1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即α與γ不平行，故①錯誤．因為a，b相交，可設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．由兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知③正確．a(chǎn)∥b時，由題知l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，得不出l⊥α，6．(2013·新課標全國Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l[答案]D[解析]由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點重合的動點，如果A1E＝B1F①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF與AC異面；④EF∥平面ABCD.其中一定正確的有()A．①② B．②③C．②④ D．①④[答案]D[解析]如右圖所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，則EF⊥AA1，所以①正確；當E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點時，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，則EF∥AC，所以③不正確；當E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點時，EF與AC異面，所以②不正確；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥8．如圖，若Ω是長方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EH∥A1D1，A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺[答案]D[解析]因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH?平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，又EH∥B1C1，所以Ω是棱柱，所以A，C正確；因為A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF?平面ABB1A9．(2012·大綱版數(shù)學(文科))已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點，那么直線AE與D1FA．－eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．－eq\f(3,5)[答案]B[命題意圖]本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運用．[解析]首先根據(jù)已知條件，連接DF，然后則∠DFD1即為異面直線所成的角，設(shè)棱長為2，則可以求解得到eq\r(5)＝DF＝D1F，DD1＝2，結(jié)合余弦定理得到結(jié)論．10．如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點E，F(xiàn)，H，K分別為AC′，CB′，A′B，B′C′的中點，G為△ABC的重心，從K，H，G，B′中取一點作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則點P為()A．K B．HC．G D．B′[答案]C[解析]應用驗證法：選G點為P時，EF∥A′B′且EF∥AB，此時恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故選C.11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC[答案]D[解析]由平面圖形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.12．(2013·全國卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于A．eq\f(2,3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[答案]A[解析]如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O，過C作CH⊥C1O于點H，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥AC,AA1⊥BD,AC∩AA1＝A))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥面ACC1A1,CH?面ACC1A1))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BD⊥HC,OC1⊥HC,BD∩OC1＝O))?CH⊥面BDC1，∴∠HDC為CD與面BDC1所成的角，設(shè)AA1＝2AB＝2，OC＝eq\f(\r(2),2)，CC1＝2，OC1＝eq\f(3\r(2),2)，CH＝eq\f(OC·CC1,OG)＝eq\f(2,3)，∴sin∠HDC＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3)，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)13．直線l與平面α所成角為30°，l∩α＝A，m?α，A?m，則m與l所成角的取值范圍是________．[答案][30°，90°][解析]直線l與平面α所成的30°的角為m與l所成角的最小值，當m在α內(nèi)適當旋轉(zhuǎn)就可以得到l⊥m，即m與l所成角的最大值為90°.14．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)．[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]連接AC，則BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，平面MBD⊥平面PCD.15．(2014·北京高考理科數(shù)學)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為________．[答案]2eq\r(2)[解析]三棱錐的直觀圖如右圖．AB⊥面BCD，△BCD為等腰直角三角形．AB＝2，BD＝2，BC＝CD＝eq\r(2)，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(6)，AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).16．(2013·高考安徽卷)如圖正方體ABCD－A1B1C1D1，棱長為1，P為BC中點，Q為線段CC1上的動點，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是________．(寫出所有正確命題的編號①當0<CQ<eq\f(1,2)時，S為四邊形②當CQ＝eq\f(1,2)時，S為等腰梯形③當CQ＝eq\f(3,4)時，S與C1D1交點R滿足C1R1＝eq\f(1,3)④當eq\f(3,4)<CQ<1時，S為六邊形⑤當CQ＝1時，S的面積為eq\f(\r(6),2).[答案]①②③⑤[解析]設(shè)截面與DD1相交于T，則AT∥PQ，且AT＝2PQ?DT＝2CQ.對于①，當0<CQ<eq\f(1,2)時，則0<DT<1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，所以為真．對于②，當CQ＝eq\f(1,2)時，DT＝1，T與D重合，截面S為四邊形APQO1，所以AP＝D1Q，截面為等腰梯形，所以為真．對于③，當CQ＝eq\f(3,4)，QC1＝eq\f(1,4)，DT＝2，D1T＝eq\f(1,2)，利用三角形相似解得，C1R1＝eq\f(1,3)，所以為真．對于④，當eq\f(3,4)<CQ<1時，eq\f(3,2)<DT<2，截面S與線段A1D1，D1C1相交，所以四邊形S為五邊形，所以為假．對于⑤，當CQ＝1時，Q與C1重合，截面S與線段A1D1相交于中點G，即即為菱形APC1G，對角線長度為eq\r(2)和eq\r(3)，S的面積為eq\f(\r(6),2)，所以為真，綜上，選①②③⑤.三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如右圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC與△A1B1C1都為正三角形且AA1⊥面ABC，F(xiàn)、F1分別是AC，A1C求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A[分析]本題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，尋找使結(jié)論成立的充分條件．[證明](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1∵F、F1分別是AC、A1C1∴B1F1∥BF，AF1∥C1又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝∴平面AB1F1∥平面C1BF(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB∴平面AB1F1⊥平面ACC1A18．(本小題滿分12分)(2013·四川·文科)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1(2)設(shè)(1)中的直線l交AC于點Q，求三棱錐A1－QC1D的體積．(錐體體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)[解析](1)在平面ABC內(nèi)，過點P作直線l和BC平行．理由如下：由于直線l不在平面A1BC內(nèi)，l∥BC，故直線l與平面A1BC平行．在△ABC中，∵AB＝AC，D是線段AC的中點，∴AD⊥BC，∴l(xiāng)⊥AD.又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l.而AA1∩AD＝A，∴直線l⊥平面ADD1A1(2)過點D作DE⊥AC于點E.∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A1B1C1則易得DE⊥平面AA1C在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，∴AD＝AC·cos60°＝1，∴DE＝AD·sin60°＝eq\f(\r(3),2).∴S△QA1C1＝eq\f(1,2)·A1C1·AA1＝eq\f(1,2)×2×1＝1，∴三棱錐A1－QC1D的體積VA1－QC1D＝VD－QA1C1＝eq\f(1,3)·S△QA1C1·DE＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).19．(本小題滿分12分)如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)證明：如下圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中點，所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.(2)過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交于F，G，連接PF.由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA為直線PB與平面ABCD所成的角．由題意，知∠PBA＝∠BPF，因為sin∠PBA＝eq\f(PA,PB)，sin∠BPF＝eq\f(BF,PB)，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以BG＝eq\r(AB2＋AG2)＝2eq\r(5)，BF＝eq\f(AB2,BG)＝eq\f(16,2\r(5))＝eq\f(8\r(5),5).于是PA＝BF＝eq\f(8\r(5),5).又梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)×(5＋3)×4＝16，所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝eq\f(1,3)×S×PA＝eq\f(1,3)×16×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(128\r(5),15).20．(本小題滿分12分)(2013·全國新課標卷Ⅰ)如圖三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°(1)證明AB⊥A1C(2)若AC1＝eq\r(6)，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積S.[命題意圖]本題主要考查空間線面，線線垂直的判定與性質(zhì)，及體積的計算，考查空間想象能力，邏輯推理論證能力，屬容易題．[解析](1)證明：取AB中點E，連接CE，A1B，A1E，∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是等邊三角形，∴A1E⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥面CEA1，∴AB⊥A1C(2)由于△CAB為等邊三角形，∴CE＝eq\r(3)，A1E＝eq\r(3)，在△A1CE中A1C＝eq\r(6).即有A1C2＝CE2＋A1E2，故A1E⊥CE，S底面積＝eq\f(1,2)×AB×CE＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，A1E⊥AB，A1E⊥CE，∴h＝A1E＝eq\r(3)，V＝Sh＝2eq\r(3)×eq\r(3)＝6.21．(本小題滿分12分)(2013·福建改編)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)當正視方向為從A到D的方向時，畫出四棱錐P－ABCD的正視圖(要求標出尺寸，并寫出演算過程)；(2)若M為PA的中點，求證：DM∥平面PBC；(3)求三棱錐D－PBC的體積．[解析](1)如圖1，在梯形ABCD中，過點C作CE⊥AB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依據(jù)勾股定理得BE＝3，從而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，從而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4eq\r(3).正視圖如圖2所示：(2)方法一：如圖3，取PB的中點N，連接MN，CN.在△PAB中，∵M是PA的中點，∴MN∥AB，MN＝eq\f(1,2)AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四邊形MNCD為平行四邊形，∴DM∥CN.又DM?平面PBC，CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：如圖4，取AB的中點E，連接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE∥BC.又DE?平面PBC，BC?平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME?平面PBC，PB?平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM?平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝eq\f(1,3)S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4