高三數學一輪復習第八章立體幾何第四節(jié)直線平面垂直的判定與性質課件理

理數課標版第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質理數第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內的①

任意一條

直線都垂直,就說直線l與平面α互相

垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理教材研讀

文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的②

兩條相交直線

都垂直,則該直線與此平面垂直

?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線⑦

平行

?a∥b1.直線與平面垂直教材研讀文字語言圖形語言符號語言判定一條2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的

銳角

,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內,就說它們所成的角是0°的角.如圖所示,

∠PAO

就是斜線AP與平面α所成的角.(2)線面角θ的范圍:θ∈

.2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平3.二面角的有關概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的

兩個半平面

所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分

別作

垂直于棱

的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有關概念4.平面與平面垂直的判定定理

4.平面與平面垂直的判定定理?1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m

∥α,n⊥β,則

()A.m∥l

B.m∥nC.n⊥l

D.m⊥n答案

C對于A,m與l可能平行或異面,故A錯;對于B、D,m與n可能平

行、相交或異面,故B、D錯;對于C,因為n⊥β,l?β,所以n⊥l,故C正確.故

選C.1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直2.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置關系為()A.b?α

B.b∥αC.b?α或b∥α

D.b與α相交答案

C由a⊥b,a⊥α知b?α或b∥α,但直線b不與平面α相交.2.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故選D.3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關系是

.答案垂直解析由線面平行的性質定理知,若一直線平行于一平面,則該面內必

有一直線與已知直線平行,再根據“兩平行線中一條垂直于一平面,另

一條也垂直于該平面”得出結論.4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關系5.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數為

.

答案4解析題圖中直角三角形為△PAC、△PAB、△BCP、△BCA,故直角

三角形的個數為4.5.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形考點一直線與平面垂直的判定與性質典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.

(1)證明:CD⊥AE;(2)證明:PD⊥平面ABE.考點突破考點一直線與平面垂直的判定與性質考點突破證明(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD內的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P-ABCD中,方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與一平面垂直,則另一條也與這個平面垂

直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線與另一個

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥面SAC.方法技巧證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分別為AC、AB的中點,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB為等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,∴AB⊥面SDE.又SD?面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,則BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD?面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.∴AB⊥面SDE.又SD?面SDE,∴AB⊥SD.考點二平面與平面垂直的判定與性質典例2

(2016天津,17改編)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED

⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G為BC的中點.(1)求證:FG∥平面BED;(2)求證:平面BED⊥平面AED.

考點二平面與平面垂直的判定與性質證明(1)取BD的中點O,連接OE,OG.在△BCD中,因為G是BC的中點,所

以OG∥DC且OG=

DC=1,又因為EF∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE.又FG?平面BED,OE?平面BED,所以FG∥平面BED.

證明(1)取BD的中點O,連接OE,OG.在△BCD中,因(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,進而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因為平面AED⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因為BD?平面BED,所以平面BED⊥平面AED.(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由方法技巧面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面

角,將證明面面垂直問題轉化為證明二面角的平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經過另一個

平面的一條垂線,進而把問題轉化成證明線線垂直加以解決.方法技巧2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.(1)設M是PC上的一點,證明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面A解析(1)證明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過點P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO為四棱錐P-ABCD的高.解析(1)證明:在△ABD中,平面PAD∩平面ABCD=A又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜邊AB上的高為

=2

,此即為梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=4×?=2?.∴V考點三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關系的證明典例3

(2016江蘇,16,14分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為

AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

考點三平行與垂直的綜合問題證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC命題角度二平行與垂直關系中的探索性問題典例4如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中點.(1)求證:AB∥平面SCD;(2)求證:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,請說明理由.

命題角度二平行與垂直關系中的探索性問題解析(1)證明:因為ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因為AB?平面SCD,CD?平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)證明:因為AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因為SN?平面SAD,所以AB⊥SN.因為SA=SD,且N為AD的中點,所以SN⊥AD.又因為AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.解析(1)證明:因為ABCD是矩形,所以AB∥CD,(3)在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如圖,連接BD交NC于點F,在△SNC中,過F作FP∥SN,交SC于點P,

連接PB,PD.

因為SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因為FP?平面PBD,(3)在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD.所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因為ND∥BC,且N為AD的中點,所以

=

=

.在△SNC中,因為FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此時

=

.所以平面PBD⊥平面ABCD.命題角度三平行與垂直關系中的折疊問題典例5

(2016課標全國Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交

于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折

到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱錐D'-ABCFE的體積.

命題角度三平行與垂直關系中的折疊問題解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.

(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(4分)(2)由EF∥AC得

=

=

.

(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

(8分)解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由

=

得EF=

.五邊形ABCFE的面積S=

×6×8-

×

×3=

.

(10分)所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=

×

×2

=

.

(12分)又由?=?得EF=?.方法技巧平行與垂直的綜合應用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明,探索點存

在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據相似知識取點.(2)折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后

變與不變的數量關系及位置關系.3-1如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥

底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點.求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.方法技巧證明(1)因為平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線

AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD,且四邊形ABED為平行四邊形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.證明(1)因為平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點,所以PD∥EF,故CD⊥EF.又因為EF?平面BEF,BE?平面BEF,且EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.又因為CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.由(1)知PA⊥底面ABCD,3-2如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點,F為AE的中點.

現在沿AE將三角形ADE向上折起,在折起的圖形中解答下列問題:

(1)在線段AB上是否存在一點K,使BC∥平面DFK?若存在,請證明你的結

論;若不存在,請說明理由;(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求證:平面BDE⊥平面ADE.3-2如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為C解析(1)如圖,線段AB上存在一點K,且當AK=

AB時,BC∥平面DFK.證明如下:設H為AB的中點,連接EH,則BC∥EH,∵AK=

AB,F為AE的中點,∴KF∥EH,∴KF∥BC,∵KF?平面DFK,BC?平面DFK,∴BC∥平面DFK.

解析(1)如圖,線段AB上存在一點K,且當AK=?AB時,(2)證明:∵在折起前的圖形中E為CD的中點,AB=2,BC=1,∴在折起后的圖形中,AE=BE=

,從而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面ADE,∵BE?平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE.(2)證明:∵在折起前的圖形中E為CD的中點,AB=2,BC編后語老師上課都有一定的思路，抓住老師的思路就能取得良好的學習效果。在上一小節(jié)中已經提及聽課中要跟隨老師的思路，這里再進一步論述聽課時如何抓住老師的思路。①根據課堂提問抓住老師的思路。老師在講課過程中往往會提出一些問題，有的要求回答，有的則是自問自答。一般來說，老師在課堂上提出的問題都是學習中的關鍵，若能抓住老師提出的問題深入思考，就可以抓住老師的思路。②根據自己預習時理解過的邏輯結構抓住老師的思路。老師講課在多數情況下是根據教材本身的知識結構展開的，若把自己預習時所理解過的知識邏輯結構與老師的講解過程進行比較，便可以抓住老師的思路。③根據老師的提示抓住老師的思路。老師在教學中經常有一些提示用語，如“請注意”、“我再重復一遍”、“這個問題的關鍵是····”等等，這些用語往往體現了老師的思路。來自：學習方法網④緊跟老師的推導過程抓住老師的思路。老師在課堂上講解某一結論時，一般有一個推導過程，如數學問題的來龍去脈、物理概念的抽象歸納、語文課的分析等。感悟和理解推導過程是一個投入思維、感悟方法的過程，這有助于理解記憶結論，也有助于提高分析問題和運用知識的能力。⑤擱置問題抓住老師的思路。碰到自己還沒有完全理解老師所講內容的時候，最好是做個記號，姑且先把這個問題放在一邊，繼續(xù)聽老師講后面的內容，以免顧此失彼。來自：學習方法網⑥利用筆記抓住老師的思路。記筆記不僅有利于理解和記憶，而且有利于抓住老師的思路。2022/12/30最新中小學教學課件38編后語老師上課都有一定的思路，抓住老師的思路就能取得良好的學2022/12/30最新中小學教學課件39謝謝欣賞！2022/12/29最新中小學教學課件39謝謝欣賞！理數課標版第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質理數第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義直線l與平面α內的①

任意一條

直線都垂直,就說直線l與平面α互相

垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理教材研讀

文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的②

兩條相交直線

都垂直,則該直線與此平面垂直

?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線⑦

平行

?a∥b1.直線與平面垂直教材研讀文字語言圖形語言符號語言判定一條2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的

銳角

,叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,就說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內,就說它們所成的角是0°的角.如圖所示,

∠PAO

就是斜線AP與平面α所成的角.(2)線面角θ的范圍:θ∈

.2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在這個平3.二面角的有關概念(1)二面角:從一條直線出發(fā)的

兩個半平面

所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分

別作

垂直于棱

的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有關概念4.平面與平面垂直的判定定理

4.平面與平面垂直的判定定理?1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m

∥α,n⊥β,則

()A.m∥l

B.m∥nC.n⊥l

D.m⊥n答案

C對于A,m與l可能平行或異面,故A錯;對于B、D,m與n可能平

行、相交或異面,故B、D錯;對于C,因為n⊥β,l?β,所以n⊥l,故C正確.故

選C.1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直2.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置關系為()A.b?α

B.b∥αC.b?α或b∥α

D.b與α相交答案

C由a⊥b,a⊥α知b?α或b∥α,但直線b不與平面α相交.2.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與

B1O垂直的是

()

A.A1D

B.AA1

C.A1D1

D.A1C1答案

D易知AC⊥平面BB1D1D.∵A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D,∴A1C1⊥B1O,故選D.3.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關系是

.答案垂直解析由線面平行的性質定理知,若一直線平行于一平面,則該面內必

有一直線與已知直線平行,再根據“兩平行線中一條垂直于一平面,另

一條也垂直于該平面”得出結論.4.一平面垂直于另一平面的一條平行線,則這兩個平面的位置關系5.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數為

.

答案4解析題圖中直角三角形為△PAC、△PAB、△BCP、△BCA,故直角

三角形的個數為4.5.如圖,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形考點一直線與平面垂直的判定與性質典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.

(1)證明:CD⊥AE;(2)證明:PD⊥平面ABE.考點突破考點一直線與平面垂直的判定與性質考點突破證明(1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD內的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P-ABCD中,方法技巧證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與一平面垂直,則另一條也與這個平面垂

直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則該直線與另一個

平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質定理.1-1

S是Rt△ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD⊥面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥面SAC.方法技巧證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,

在Rt△ABC中,D、E分別為AC、AB的中點,∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴△SAB為等腰三角形,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,∴AB⊥面SDE.又SD?面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.(2)由于AB=BC,則BD⊥AC,由(1)知,SD⊥面ABC,又BD?面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥面SAC.∴AB⊥面SDE.又SD?面SDE,∴AB⊥SD.考點二平面與平面垂直的判定與性質典例2

(2016天津,17改編)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED

⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,∠BAD=60°,G為BC的中點.(1)求證:FG∥平面BED;(2)求證:平面BED⊥平面AED.

考點二平面與平面垂直的判定與性質證明(1)取BD的中點O,連接OE,OG.在△BCD中,因為G是BC的中點,所

以OG∥DC且OG=

DC=1,又因為EF∥AB,AB∥DC,EF=1,所以EF∥OG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FG∥OE.又FG?平面BED,OE?平面BED,所以FG∥平面BED.

證明(1)取BD的中點O,連接OE,OG.在△BCD中,因(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=

,進而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因為平面AED⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因為BD?平面BED,所以平面BED⊥平面AED.(2)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由方法技巧面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面

角,將證明面面垂直問題轉化為證明二面角的平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經過另一個

平面的一條垂線,進而把問題轉化成證明線線垂直加以解決.方法技巧2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知AD=4,BD=4

,AB=2CD=8.(1)設M是PC上的一點,證明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積.2-1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面A解析(1)證明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4

,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD?平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)過點P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.即PO為四棱錐P-ABCD的高.解析(1)證明:在△ABD中,平面PAD∩平面ABCD=A又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=4×

=2

.在Rt△ADB中,斜邊AB上的高為

=2

,此即為梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=

×2

=12

.∴VP-ABCD=

×12

×2

=24.

又△PAD是邊長為4的等邊三角形,∴PO=4×?=2?.∴V考點三平行與垂直的綜合問題命題角度一平行與垂直關系的證明典例3

(2016江蘇,16,14分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為

AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

考點三平行與垂直的綜合問題證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因為DE?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因為B1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC命題角度二平行與垂直關系中的探索性問題典例4如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中點.(1)求證:AB∥平面SCD;(2)求證:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,請說明理由.

命題角度二平行與垂直關系中的探索性問題解析(1)證明:因為ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因為AB?平面SCD,CD?平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)證明:因為AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因為SN?平面SAD,所以AB⊥SN.因為SA=SD,且N為AD的中點,所以SN⊥AD.又因為AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.解析(1)證明:因為ABCD是矩形,所以AB∥CD,(3)在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如圖,連接BD交NC于點F,在△SNC中,過F作FP∥SN,交SC于點P,

連接PB,PD.

因為SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因為FP?平面PBD,(3)在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD.所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因為ND∥BC,且N為AD的中點,所以

=

=

.在△SNC中,因為FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一點P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此時

=

.所以平面PBD⊥平面ABCD.命題角度三平行與垂直關系中的折疊問題典例5

(2016課標全國Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交

于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折

到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=

,OD'=2

,求五棱錐D'-ABCFE的體積.

命題角度三平行與垂直關系中的折疊問題解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得

=

,故AC∥EF.

(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.

(4分)(2)由EF∥AC得

=

=

.

(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=

=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2

)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC

⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.

(8分)解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由

=

得EF=

.五邊形ABCFE的面積S=

×6×8-

×

×3=

.

(10分)所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=

×

×2

=

.

(12分)又由?=?得EF=?.方法技巧平行與垂直的綜合應用問題的處理策略(1)探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明,探索點存

在問題,點多為中點或三等分點中的某一個,也可以根據相似知識取點.(2)折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后

變與不變的數量關系及位置關系.3-1如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥

底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點.求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.方法技巧證明(1)因為平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線

AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD,CD=2AB,E