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Postulate1:概率波與概率幅一、對物質波的理解，概率波的概念薛定諤：波是基本的，波包總要擴散，而電子是穩(wěn)定的。

德布羅意：物質波是引導粒子運動的“導波”?！举|是什么，不明確。電子是“物質波包”。通過電子衍射可以在空間不同方向上觀測到波包的一部分，如果波代表實體，那就意味著能觀測到電子的一部分，這與顯示電子具有整體性的實驗結果矛盾。

—夸大了波動性，抹煞了粒子性。另一種理解：粒子是基本的，電子的波動性是大量電子之間相互作用的結果。

為防止電子間發(fā)生作用，讓電子一個一個地入射，發(fā)現(xiàn)時間足夠長后的干涉圖樣和大量電子同時入射時完全相同。

這說明，電子的波動性并不是很多電子在空間聚集在一起時相互作用的結果，而是單個電子就具有波動性。換言之，干涉是電子“自己和自己”的干涉。

無論是大量電子同時入射，還是電子一個一個地長時間地入射，都只是讓單個電子干涉的效果在底片上積累并顯現(xiàn)出來而已。一個一個電子依次入射雙縫的衍射實驗：700003000200007個電子100個電子電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000電子數(shù)N=20000電子數(shù)N=70000單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計規(guī)律。出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣底片上出現(xiàn)一個個的點子電子具有粒子性?！耙粋€電子”所具有的波動性，

來源于而不是電子間相互作用的結果。隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣一定條件下（如雙縫），還是有確定的規(guī)律的。玻恩（M.Born）：子在空間的概率分布的“概率波”。德布羅意波并不像經(jīng)典波那樣是代表實在物理量的波動，而是描述粒盡管單個電子的去向是概率性的，但其概率在二、波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋1、波函數(shù)（wavefunction）平面簡諧波函數(shù)：

y=Acos(t-kx)復數(shù)表示：概率波波函數(shù)：2、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋一維三維物質波是“概率波”，在空間各處出現(xiàn)的概率呢？它是怎樣描述粒子

量子力學假定：微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)表示。

玻恩對

的統(tǒng)計解釋(1926)：波函數(shù)是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”。其模方代表

t時刻，在坐標附近單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的概率，rdVxyz

在t時刻，在附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：在空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：稱為“概率密度”。它無直接的物理意義，對單個粒子：不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，和波函數(shù)的位相。有意義的是給出粒子概率密度分布；對大量粒子：給出粒子數(shù)的分布；3、用電子雙縫衍射實驗說明概率波的含義只開上縫

P1只開下縫

P2雙縫齊開

P12=P1+P2（1）子彈穿過雙縫（2）光波只開上縫光強I1只開下縫光強I2雙縫齊開通過上縫的光波用描述通過下縫的光波用描述雙縫齊開時的光波為光強為+干涉項干涉項

雙縫齊開時，電子可通過上縫也可通過下縫，（3）電子

電子的狀態(tài)用只開上縫時,電子有一定的概率通過上縫，其狀態(tài)用

描述，只開下縫時,電子有一定的概率通過下縫，電子的概率分布為其狀態(tài)用

描述，電子的概率分布為

、都有。

通過雙縫后，分布是d不是c。波函數(shù)描述。通過上、下縫各有一定的概率，出現(xiàn)了干涉。是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的。即使只有一個電子，當雙縫齊開時，兩部分概率幅的疊加就會產(chǎn)生干涉。

微觀粒子的波動性，實質上就是概率幅的它的狀態(tài)也要用來描述。衍射圖樣是概率波的干涉結果?？梢?，干涉是概率波的干涉，總的概率幅為相干疊加性。4、統(tǒng)計解釋對波函數(shù)提出的要求1）有限性：在空間任何有限體積元V中找到

歸一化：在空間各點的概率總和必須為1?！獨w一化因子歸一化條件：根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，它應有以下性質：必須為有限值。粒子的概率若則2）單值性：度在任意時刻、任意位置都是確定的。3）連續(xù)性：波函數(shù)應單值，從而保證概率密對于勢場連續(xù)點，或勢場不是無限大的間斷點，波函數(shù)的一階導數(shù)連續(xù)。（后面證明）波函數(shù)連續(xù)，保證概率密度連續(xù)。波函數(shù)作出的統(tǒng)計解釋，獲得了1954年諾貝玻恩（M.Born，英籍德國人，18821970）由于進行了量子力學的基本研究，特別是對爾物理學獎。

波函數(shù)本身“測不到，看不見”，是一個很抽象的概念，但是它的模方給我們展示了粒子在空間分布的圖像，即粒子坐標的取值情況。當測量粒子的某一力學量的取值時，只要給定描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，按照量子力學給出的一套方法就可以預言一次測量可能測到哪個值，以及測到這個值的概率是多少。

對波恩的統(tǒng)計詮釋是有爭論的，愛因斯坦就反對統(tǒng)計詮釋。他不相信“上帝玩擲骰子游戲”，認為用波函數(shù)對物理實在的描述是不完備的，還有一個我們尚不了解的“隱參數(shù)”。雖然至今所有實驗都證實統(tǒng)計詮釋是正確的，但是這種關于量子力學根本問題的爭論不但推動了量子力學的發(fā)展，而且還為量子信息論等新興學科的誕生奠定了基礎。

與自由粒子相聯(lián)系的德布羅意波，是一個單色平面波。5、自由粒子的波函數(shù)沿+x傳播的單色平面波，波函數(shù)：復數(shù)形式可寫成

微觀粒子波函數(shù)一般是坐標和時間的復函數(shù)，因此采用復數(shù)形式的平面波表達式，只要把其中描述波動性的參量ω、k換成描述粒子性的參量E、p就可以了。其中由德布羅意關系，得自由粒子波函數(shù)：（空間因子）自由粒子波函數(shù)：三維：概率密度：空間位置完全不確定，動量取確定值【思考】自由粒子波函數(shù)能歸一化嗎？p>0：向右p<0：向左

原因：Φ(x)代表全空間理想平面波，而實際的自由粒子，例如由加速器引出的粒子束，只能分布在有限的空間內(nèi)。若限定粒子只能出現(xiàn)在某一區(qū)間，則自由粒子波函數(shù)變成

這稱為“箱歸一化”，上式表示的就是自由粒子的“箱歸一化”波函數(shù)?！皻w一化”的自由粒子波函數(shù)：

為回到原來理想平面波的情況，只要在用箱歸一化波函數(shù)所得結果中，令L→∞就可以了。三、狀態(tài)疊加原理量子力學要求：也是該體系的一個可能的狀態(tài)。展開系數(shù)Cn為任意復常數(shù)。

若疊加中各狀態(tài)間的差異無窮小，積分代替求和：則應該用，則它們的線性組合

若體系具有一系列互異的可能狀態(tài)對波函數(shù)的運算、變換或操作。：算符代表用乘波函數(shù)

：算符代表對波函數(shù)關于求導：算符代表對波函數(shù)關于求導算符是通過對波函數(shù)的作用關系來定義的例如算符(operator)Postulate2、力學量算符的引入自由粒子波函數(shù)（一維）微商，得到方程量子力學假設：力學量用算符表達。1、坐標算符其中Ψ

代表任意波函數(shù)。坐標算符假定為2、動量算符

算符和動量的對應關系：坐標算符假定為【例】動量算符對自由粒子波函數(shù)的作用粒子的動量作用結果：等于粒子的動量乘波函數(shù)。自由粒子波函數(shù)是動量算符的“本征態(tài)”。描述的粒子的動量，結果一定等于動量。測量由自由粒子波函數(shù)物理上的理解：動量是動量算符的“本征值”。Postulate3:薛定諤方程1926年，在一次學術討論會上年輕的薛定諤介紹德布羅意關于粒子波動性假說的論文，在薛定諤講完后，物理學家德拜（P.Debey）評論說：認真地討論波動，必須有波動方程。

幾個星期后，薛定諤又作了一次報告。開頭就興奮地說：你們要的波動方程，我找到了！這個方程，就是著名的薛定諤方程。

薛定諤方程是量子力學的基本動力學方程，它在量子力學中的作用和牛頓方程在經(jīng)典力學中的作用是一樣的。

同牛頓方程一樣，薛定諤方程也不能由其它的基本原理推導得到，而只能是一個基本的假設，其正確性也只能靠實驗來檢驗。

對于非相對論性自由粒子：

算符對應關系：作用于波函數(shù)，得自由粒子薛定諤方程一、自由粒子薛定諤方程

設粒子在勢場U(x,t)中運動，能量關系為二、薛定諤方程

算符對應關系：作用于波函數(shù)，得薛定諤方程三維：引入拉普拉斯算符：薛定諤方程：若和是薛定諤方程的解，則也是薛定諤方程的解。是線性齊次微分方程，解滿足態(tài)疊加原理方程中含有虛數(shù)i它的解是復函數(shù)，復數(shù)不能直接測量。而的模方代表概率密度，可測量。是量子力學的基本方程，描述非相對論性粒子波函數(shù)隨時間演化規(guī)律。哈密頓（Hamilton）量若U不顯含時間，則H稱為能量算符。用哈密頓量，薛定諤方程可寫成

勢函數(shù)U不顯含時間的情況很重要。這時，薛定諤方程可分離變量求解。哈密頓量決定了微觀粒子波函數(shù)隨時間的演化，外界對粒子的作用，包括不能用力來表達的微觀相互作用，一般都可以用哈密頓量中的勢函數(shù)U(x,t)來概括。而在經(jīng)典力學中，改變宏觀粒子運動狀態(tài)的原因是作用在粒子上的力。只討論勢函數(shù)U與時間無關的情況。三、不含時薛定諤方程（能量本征方程）除以，得若勢函數(shù)U不顯含t，為求解薛定諤方程,設代入薛定諤方程，得=E(常數(shù))上式可分為以下兩個方程：－（1）－（2）方程（1）的解為方程（2）：式中E具有能量量綱，C可以是復數(shù)。（簡諧振動）或稱能量本征方程。不含時薛定諤方程數(shù)學上：E不論取何值，方程都有解。

物理上：E

只有取一些特定值，方程的解才能滿足波函數(shù)的條件（單值、有限、連續(xù)）。滿足方程的特定的E值，稱為能量本征值。定態(tài)：能量取確定值的狀態(tài)，薛定諤方程的特解。

ΦE稱為與E對應的本征波函數(shù)。若粒子處于ΦE，則粒子的能量為E。

對于不同的勢能函數(shù)和能量區(qū)間，能量本征值可以取一系列分立的值，也可以取連續(xù)值。為了討論方便，下面假設它取分立值{En，n=1,2,3,…}相應的本征波函數(shù)為{Φn，n=1,2,3,…}薛定諤方程的一系列定態(tài)解為通解可寫成定態(tài)解疊加的形式

式中Cn稱為展開系數(shù)。

后面證明，給定初始時刻的狀態(tài)Ψ(x,0)，Cn可按下式計算

若勢函數(shù)不顯含時間，則薛定諤方程的求解，可通過解能量本征方程（不含時薛定諤方程）來解決。

因此，能量本征方程的求解，在量子力學中占有重要地位。改寫成一類是本征值問題，給定勢能函數(shù)U(x)，求粒子的能量E和相應的本征波函數(shù)Φn(x)；求解兩類問題：另一類是散射問題，假設粒子以能量E射向勢壘U(x)，計算粒子穿透勢壘的概率。Postulate4:全同粒子Fermion：Fermi-DiracDistributionBoson:Bose-EinsteinDistributionLocalizedsys/ClassicalLimit:Maxwell-BoltzmannDistribution三一維勢阱問題粒子勢能滿足邊界條件

(1)是固體物理金屬中自由電子的簡化模型；

(2)數(shù)學運算簡單，量子力學的基本概念、原理在其中以簡潔的形式表示出來.波函數(shù)的標準條件：單值、有限和連續(xù).量子數(shù)

歸一化條件得

波動方程

概率密度

能量

波函數(shù)1

粒子能量量子化討論：基態(tài)能量

能量

激發(fā)態(tài)能量

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的.2

粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同概率密度波函數(shù)

例如，當n=1時，粒子在x=a/2處出現(xiàn)的幾率最大3

波函數(shù)為駐波形式，阱壁處為波節(jié)，波腹的個數(shù)與量子數(shù)

n

相等16E19E14E1E1四一維方勢壘隧道效應

一維方勢壘粒子的能量定態(tài)薛定諤方程：四.隧道效應（勢壘貫穿）勢壘Ⅲ區(qū)Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)0aU0ⅠⅡⅢⅢ區(qū)U(x)=0

x≥aⅠ區(qū)U(x)=0x≤

0Ⅱ區(qū)U(x)=U00≤

x≤

aEB3=0得到4個方程，求出常數(shù)A1、B1、A2

、B2

和

A3

間關系，從而得到反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為波函數(shù)在x=0，x=a處連續(xù)Ⅲ區(qū)

Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)

x=0處：x=a處：0aU0ⅠⅡⅢE三個區(qū)域的波函數(shù)分別為0aU0ⅠⅡⅢ入射粒子一部分透射到達III

區(qū)，另一部分被勢壘反射回I

區(qū)討論(1)E>U0,

R≠0,即使粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子并非全部透射進入III

區(qū),仍有一定概率被反射回I

區(qū)。(2)E<U0

,

T≠0,雖然粒子總能量小于勢壘高度，入射粒子仍可能穿過勢壘進入III區(qū)—

隧道效應E(3)透射系數(shù)T

隨勢壘寬度a、粒子質量m

和能量差變化，隨著勢壘的加寬、加高透射系數(shù)減小。粒子類型粒子能量勢壘高度勢壘寬度透射系數(shù)電子1eV2eV1eV2eV1eV2eV2×10-10m5×10-10m0.0242×10-10m0.51質子3×10-38

當粒子能量E<Ep0

時，從經(jīng)典理論來看,粒子不可能穿過進入的區(qū)域

.但用量子力學分析，粒子有一定概率穿透勢壘，事實表明，量子力學是正確的.隧道效應

從左方射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)中似乎有一個隧道,能使少量粒子穿過而進入的區(qū)域，此現(xiàn)象人們形象地稱為隧道效應.

粒子的能量雖不足以超越勢壘,但在勢壘

隧道效應的本質:來源于微觀粒子的波粒二象性.掃描隧道顯微鏡1982年，賓尼西、羅雷爾