數(shù)學命題及其教學課件

數(shù)學命題及其教學數(shù)學命題概述數(shù)學命題學習的心理分析命題教學的基本要求和教法探討數(shù)學命題及其教學數(shù)學命題概述1數(shù)學命題概述判斷的意義和種類1.數(shù)學判斷對思維對象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。數(shù)學判斷是關于數(shù)學對象及其屬性的判斷。按照思維對象的量，判斷可分為：全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷；按判斷的質(zhì)來分有：肯定判斷、否定判斷；按判斷的關系來分有：定言判斷、選言判斷和假言判斷。數(shù)學命題概述判斷的意義和種類22.常用的判斷形式及其之間的關系

如果用S表示判斷的對象，P表示性質(zhì)（1）全稱肯定判斷“所有的S是P”（2）全稱否定判斷“所有的S都不是P”（3）特稱肯定判斷“有的S是P”（4）特稱否定判斷“有的S不是P”S也叫做判斷的“主項”，P也叫做“謂項”，“所有的”或“有的”表示主項的數(shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞常常省略不寫；“是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示肯定或否定。2.常用的判斷形式及其之間的關系3SAPSIPSOPSEP反對關系矛盾關系下反對關系差等關系差等關系系關矛盾SAPSIPSOPSEP反對4數(shù)學命題的意義在數(shù)學中，用來表示數(shù)學判斷的陳述句或符號的組合叫做“數(shù)學命題”。通常用“p,q,r,s,t···”來表示，并且稱為命題變量（變項）。對于無法判斷其真假的語句，稱為開（語）句。注：形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的內(nèi)容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關系。但在數(shù)學中，既研究命題的內(nèi)容，又研究命題的形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學命題。如在形式邏輯中，命題“如果1>3,那么1+2>3+2.”√但在數(shù)學中×數(shù)學命題的意義5請大家判斷以下語句是否是數(shù)學命題：（1）數(shù)學是一門科學；（2）；（3）6<3;（4）x+5=9;（5）x>7;（6）你在干什么？（7）禁止吸煙！（8）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！請大家判斷以下語句是否是數(shù)學命題：6復合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞數(shù)學命題一般可分為簡單命題和復合命題兩大類。簡單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關系命題兩種。象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素數(shù)”等都是性質(zhì)命題；象“一切正數(shù)都大于零”、“直線a平行于直線b”等都是關系命題。復合命題是由兩個或兩個以上簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來而構(gòu)成的命題。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有以下五種：否定、合取、析取、蘊涵、等價復合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞71.否定（非），其真值表如下：01101.否定（非）0182.合?。ㄅc，且）100010101100P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝2.合?。ㄅc，且）111P:△ABC是93.析?。ɑ颍?11010101100p:x>2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.3.析取（或）111p:x>2P:△A104.蘊涵（如果···，則···）110010101011P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。當前件為假時，無論后件為真還是假，都不與原來的命題矛盾。4.蘊涵（如果···，則···）11115.等價（當且僅當）1001101011005.等價（當且僅當）11112復合命題的值求復合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的強弱順序，逐步得出各層復合命題的值，直到最后求出整個復合命題的值。聯(lián)結(jié)詞的強弱順序：復合命題的值求復合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可13111110000111010110101100恒真命題1100114111100001010101011001100用真值表驗證是恒真命題1011101111110101111110011011000111111111111用真值表驗證是恒真命題1111115邏輯等價如果兩個復合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價。記為“”0111100001110101001110101100結(jié)果相同邏輯等價如果兩個復合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏16可以驗證下列邏輯等價式：冪等律雙重否定律交換律結(jié)合律分配律德·摩根律余補律同一律吸收律可以驗證下列邏輯等價式：冪等律雙重否定律交換律結(jié)合律分配律德17假言命題的四種形式及其之間的關系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互逆互否互否逆否（等價）假言命題的四種形式及其之間的關系原命題逆命題否命題逆否命題互18例子：1.原命題：如果兩個三角形全等，則這兩個三角形等積。逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角形全等。否命題：如果兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等積。逆否命題：如果兩個三角形不等積，則這兩個三角形不全等。真假假真例子：逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角否命題：如果兩192.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分。逆命題：如果一個四邊形的對角線互相平分，則它是平行四邊形。否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相平分。逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相平分，則它不是平行四邊形。真真真真2.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它逆命題：如果一個203.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直。逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。逆命題：如果一個四邊形的對角線互相垂直，則它是平行四邊形。否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相垂直。假假假假3.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直21它們之間的關系可以用真值表來證明：10111101110110110101001110101100結(jié)果相同它們之間的關系可以用真值表來證明：122偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。

真真(a是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a+b是偶數(shù))偏逆1：(a是偶數(shù))∧(a+b是偶數(shù))→(b是偶數(shù))偏逆2：(a+b是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a是偶數(shù))偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得23請大家作出下面這個命題的偏逆命題：如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對邊相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)請大家作出下面這個命題的偏逆命題：(AB∥CD)∧(BC∥A24充分條件和必要條件如果命題“p→q”為真，那么，p就稱為使q成立的充分條件，q就稱為使p成立的必要條件。充分而非必要條件：p→q真但q→p假.必要而非充分條件：p→q假但q→p真.充分必要條件：p→q和q→p均真，簡稱充要條件.充分條件和必要條件如果命題“p→q”為真，那么，p就稱為使q25公理和定理公理：作為證明其他一切命題的基礎，而不加證明就承認其真實性的一組命題。

公理化方法：從盡可能少的原始概念和公理出發(fā)，應用形式邏輯的演繹推理，建立數(shù)學各分支理論體系的一種方法。如：歐氏幾何公理體系公理的選取必須滿足：相容性、獨立性、完備性公理和定理公理：作為證明其他一切命題的基礎，而不加證明就承認26定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運用正確邏輯方法來證明其真實性的命題。

逆定理：一個定理的逆命題若為真，則稱其為該定理的逆定理。

判定定理：用來確定某個對象存在的充分條件的定理。

性質(zhì)定理：確定某個對象存在的必要條件的定理。

引理：為證明一個主要定理作準備，先證明的一個或幾個“小定理”。

推論（或系）：從公理或定理直接推出來的定理。

證明題：在教材中通常列入例題或習題，作為推理論證的練習。定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運用正確邏輯方法來27分斷式命題和配套定理在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠C＞∠B；如果AB＝AC，那么∠C＝∠B；如果AB＜AC，那么∠C＜∠B.象上例，一個命題是由幾個命題總合而成，而它們的條件和結(jié)論有相同的特點：所含事項互不相容，又包括了一切可能的情形，則把這樣的命題稱為“分斷式命題”.分命題分斷式命題和配套定理在△ABC中，分命題28學生學習數(shù)學命題的心理分析對公理、定理、公式的學習很大程度上依賴于直接感知難以從條件與結(jié)論的關系上把握條件命題孤立地學習定理、公式學生學習數(shù)學命題的心理分析對公理、定理、公式的學習很大程度上29公理、定理、公式的教法探討公理的教法采用學生熟知的具體事例或生活經(jīng)驗出發(fā)定理、公式的引入方法(1)通過對具體事物觀察和實驗與實踐活動，做出猜想（2）通過推理直接發(fā)現(xiàn)結(jié)論（3）通過命題間的關系，對一個命題做出變形（逆命題、偏逆命題等）公理、定理、公式的教法探討公理的教法30注意問題使學生明確公理的意義由學生探索定理、公式等先發(fā)現(xiàn)、猜想，后教師歸納和邏輯證明注意命題間的關系，滲透必要的邏輯知識注意問題使學生明確公理的意義31數(shù)學命題及其教學數(shù)學命題概述數(shù)學命題學習的心理分析命題教學的基本要求和教法探討數(shù)學命題及其教學數(shù)學命題概述32數(shù)學命題概述判斷的意義和種類1.數(shù)學判斷對思維對象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。數(shù)學判斷是關于數(shù)學對象及其屬性的判斷。按照思維對象的量，判斷可分為：全稱判斷、特稱判斷、單稱判斷；按判斷的質(zhì)來分有：肯定判斷、否定判斷；按判斷的關系來分有：定言判斷、選言判斷和假言判斷。數(shù)學命題概述判斷的意義和種類332.常用的判斷形式及其之間的關系

如果用S表示判斷的對象，P表示性質(zhì)（1）全稱肯定判斷“所有的S是P”（2）全稱否定判斷“所有的S都不是P”（3）特稱肯定判斷“有的S是P”（4）特稱否定判斷“有的S不是P”S也叫做判斷的“主項”，P也叫做“謂項”，“所有的”或“有的”表示主項的數(shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞常常省略不寫；“是”或“不是”稱為聯(lián)結(jié)詞，表示肯定或否定。2.常用的判斷形式及其之間的關系34SAPSIPSOPSEP反對關系矛盾關系下反對關系差等關系差等關系系關矛盾SAPSIPSOPSEP反對35數(shù)學命題的意義在數(shù)學中，用來表示數(shù)學判斷的陳述句或符號的組合叫做“數(shù)學命題”。通常用“p,q,r,s,t···”來表示，并且稱為命題變量（變項）。對于無法判斷其真假的語句，稱為開（語）句。注：形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的內(nèi)容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關系。但在數(shù)學中，既研究命題的內(nèi)容，又研究命題的形式，把內(nèi)容和形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學命題。如在形式邏輯中，命題“如果1>3,那么1+2>3+2.”√但在數(shù)學中×數(shù)學命題的意義36請大家判斷以下語句是否是數(shù)學命題：（1）數(shù)學是一門科學；（2）；（3）6<3;（4）x+5=9;（5）x>7;（6）你在干什么？（7）禁止吸煙！（8）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！請大家判斷以下語句是否是數(shù)學命題：37復合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞數(shù)學命題一般可分為簡單命題和復合命題兩大類。簡單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關系命題兩種。象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素數(shù)”等都是性質(zhì)命題；象“一切正數(shù)都大于零”、“直線a平行于直線b”等都是關系命題。復合命題是由兩個或兩個以上簡單命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞結(jié)合起來而構(gòu)成的命題。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有以下五種：否定、合取、析取、蘊涵、等價復合命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞381.否定（非），其真值表如下：01101.否定（非）01392.合?。ㄅc，且）100010101100P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形p∧q:△ABC是等腰直角三角形.p:AB∥CDq:AB=CDp∧q:ABCD∥＝2.合?。ㄅc，且）111P:△ABC是403.析取（或）111010101100p:x>2q:x=2p∨q:x≥2P:△ABC是等腰三角形q:△ABC是直角三角形P∨q:△ABC是等腰三角形或直角三角形.3.析?。ɑ颍?11p:x>2P:△A414.蘊涵（如果···，則···）110010101011P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。當前件為假時，無論后件為真還是假，都不與原來的命題矛盾。4.蘊涵（如果···，則···）11425.等價（當且僅當）1001101011005.等價（當且僅當）11143復合命題的值求復合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的強弱順序，逐步得出各層復合命題的值，直到最后求出整個復合命題的值。聯(lián)結(jié)詞的強弱順序：復合命題的值求復合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可44111110000111010110101100恒真命題1100145111100001010101011001100用真值表驗證是恒真命題1011101111110101111110011011000111111111111用真值表驗證是恒真命題1111146邏輯等價如果兩個復合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價。記為“”0111100001110101001110101100結(jié)果相同邏輯等價如果兩個復合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏47可以驗證下列邏輯等價式：冪等律雙重否定律交換律結(jié)合律分配律德·摩根律余補律同一律吸收律可以驗證下列邏輯等價式：冪等律雙重否定律交換律結(jié)合律分配律德48假言命題的四種形式及其之間的關系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互逆互否互否逆否（等價）假言命題的四種形式及其之間的關系原命題逆命題否命題逆否命題互49例子：1.原命題：如果兩個三角形全等，則這兩個三角形等積。逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角形全等。否命題：如果兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等積。逆否命題：如果兩個三角形不等積，則這兩個三角形不全等。真假假真例子：逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角否命題：如果兩502.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分。逆命題：如果一個四邊形的對角線互相平分，則它是平行四邊形。否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相平分。逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相平分，則它不是平行四邊形。真真真真2.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它逆命題：如果一個513.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直。逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。逆命題：如果一個四邊形的對角線互相垂直，則它是平行四邊形。否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相垂直。假假假假3.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直52它們之間的關系可以用真值表來證明：10111101110110110101001110101100結(jié)果相同它們之間的關系可以用真值表來證明：153偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。

真真(a是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a+b是偶數(shù))偏逆1：(a是偶數(shù))∧(a+b是偶數(shù))→(b是偶數(shù))偏逆2：(a+b是偶數(shù))∧(b是偶數(shù))→(a是偶數(shù))偏逆命題及其否命題把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結(jié)論互換后得54請大家作出下面這個命題的偏逆命題：如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對邊相等。(AB∥CD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(AB=CD)→(BC∥AD)∧(BC=AD)(AB=CD)∧(BC∥AD)→(AB∥CD)∧(BC=AD)(AB∥CD)∧(BC=AD)→(AB=CD)∧(BC∥AD)(BC=AD)∧(BC∥AD)→(AB=CD)∧(AB∥CD)請大家作出下面這個命題的偏逆命題：(AB∥CD)∧(BC∥A55充分條件和必要條件如果命題“p→q”為真，那么，p就稱為使q成立的充分條件，q就稱為使p成立的必要條件。充分而非必要條件：p→q真但q→p假.必要而非充分條件：p→q假但q→p真.充分必要條件：p→q和q→p均真，簡稱