2020年普通高等學(xué)校招生全國1卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題

2020年普通高等學(xué)校招生全國Ⅰ卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.（-1，1） B.[-1，1） C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，利用集合的交集定義計(jì)算得出答案．【詳解】因?yàn)?所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知復(fù)數(shù)z＝，則＝（）A.﹣1 B.﹣i C.1 D.i【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡后，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得出結(jié)果.【詳解】，∴,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，虛數(shù)單位的冪的運(yùn)算的周期性，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題.3.若拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線與拋物線y＝﹣x2﹣2x+1相切，則a＝（）A.8 B.﹣8 C.﹣4 D.4【答案】B【解析】【分析】求出拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線與拋物線相切可得，得出答案.【詳解】拋物線拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線為則與拋物線y＝﹣x2﹣2x+1相切，所以，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程，考查拋物線的切線，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的特值可得結(jié)果.【詳解】由，則當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)A，C又，排除除選項(xiàng)B故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及特值是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.5 B.3 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，依此寫出每次循環(huán)時(shí)的的值并判斷，直到當(dāng)時(shí)，退出循環(huán)，輸出的值.【詳解】第一次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第二次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第三次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第四次循環(huán)：，，，退出循環(huán)，此時(shí)輸出.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)構(gòu)的輸出，對(duì)于這類問題，通常是利用程序框圖給出的算法計(jì)算出每一步的結(jié)果并判斷即可，屬于基礎(chǔ)題.6.連續(xù)擲三次骰子，先后得到的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，z，那么點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離不超過3的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合古典概型的概率公式，即可得出答案.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離不超過3，則，即連續(xù)擲三次骰子，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)共有個(gè)其中滿足條件則點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離不超過3的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，涉及了空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.7.函數(shù)f（x）＝2sin2（ωx﹣）＞（ω＞0）的最小正周期為π．則f（x）在上的最小值是（）A.1+ B. C.2 D.1﹣【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期得到的值，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的最小值；【詳解】解：因?yàn)?，且的最小正周期為，所以解得，所以因?yàn)樗?，所以所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系．是中華民族的瑰寶．某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足y＝15x﹣2x2．檢測這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分甲的含量的平均值為5克．標(biāo)準(zhǔn)差為克．則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（）A.14藥物單位 B.15.5藥物單位C.15藥物單位 D.16藥物單位【答案】C【解析】【分析】設(shè)6個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為，根據(jù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差列出方程，再代入平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)6個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為，因?yàn)槌煞旨椎暮康钠骄禐?克，所以，標(biāo)準(zhǔn)差為克，所以，可得，又由，所以，所以這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，其中解答中熟記平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.9.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊．已知且b＝，則a+c＝（）A.4 B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理角化邊可得，再根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式可得，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，化簡得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)A為雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線上一點(diǎn)，且A在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量＝(1，1)，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由已知可設(shè)，其中，由且，可得，，建立關(guān)于的方程，解之，再由雙曲線離心率的公式可得選項(xiàng).【詳解】由已知可得A為直線上一點(diǎn)，且A在第四象限，故可設(shè)，其中，，其中，，，，，，即，，.所以該雙曲線的離心率為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出關(guān)于的方程，屬于中檔題.11.三棱錐S﹣ABC的各頂點(diǎn)均在球O的球面上，SC為該球的直徑，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱錐S﹣ABC的體積為2，則球O的半徑為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】作出示意圖，求得的面積，并計(jì)算出三棱錐的高，利用正弦定理計(jì)算圓的直徑，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直徑，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，可得面積為，設(shè)的外接圓為圓，連接，則平面，作圓的直徑，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，所以平面，所以三棱錐的體積為，解得，由正弦定理，可得，，設(shè)球的半徑為，則，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積的計(jì)算公式及應(yīng)用，其中解答中作出示意圖，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，找出線面垂直關(guān)系，求得三棱錐的高是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.12.已知函數(shù)與的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意與的圖象在存在兩對(duì)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，即可知的反函數(shù)與在有兩交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而根據(jù)函數(shù)值的對(duì)稱性確定參數(shù)范圍即可【詳解】∵與的圖象在存在兩對(duì)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)由，得，且與關(guān)于對(duì)稱∴在上有兩解，即在上有兩解令，則∵上單調(diào)遞增，且∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴，∴要使在上有兩解，即有的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，首先將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的反函數(shù)與一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求參數(shù)范圍第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.函數(shù)f（x）＝，則f（f（））＝_____．【答案】﹣1【解析】【分析】先計(jì)算出，再計(jì)算得值，由此得出結(jié)果.【詳解】依題意得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量若與平行，則m＝_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示直接列式求解.【詳解】由題意可知若和平行，則，解得：故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型.15.（3x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】216【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】令，解得常數(shù)項(xiàng)為故答案為：216【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)展開式、常數(shù)項(xiàng)的求法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題目.16.在直四棱柱中，側(cè)棱長為6，底面是邊長為8的菱形，且，點(diǎn)在邊上，且滿足，動(dòng)點(diǎn)在該四棱柱的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積為______；當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先可證，在上取，使得，連接，則，可得．記與的交點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在上取一點(diǎn)，由，求出點(diǎn)的位置，從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積，顯然當(dāng)與重合時(shí)，與平面所成角最大，利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖，在直四棱柱中，因?yàn)榈酌媸橇庑危瑐?cè)棱垂直底面，所以平面，所以．在上取，使得，連接，則，所以．記與的交點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．在上取一點(diǎn)，記為，于是，．由，得，即，所以的邊為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．由題意得，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積為．顯然當(dāng)與重合時(shí)，與平面所成角最大．因?yàn)?，，所以，，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以，即異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：；.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用空間向量法解決立體幾何問題，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得的值，令可得出，然后對(duì)的值是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得數(shù)列通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.不符合.綜上所述，；（2）由（1）可得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得，上式下式得，，滿足，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18.在一次廟會(huì)上，有個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個(gè)竹環(huán)，向A，B兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)A擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo)B連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)最終得分發(fā)放獎(jiǎng)品．已知小華每投擲一次，套中目標(biāo)A的概率為，套中目標(biāo)B的概率為，假設(shè)小華每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求小華恰好套中一次的概率；（2）求小華總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分為套中目標(biāo)A和套中目標(biāo)B兩種情形，結(jié)合相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式即可得結(jié)果；（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5求出相對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算期望即可.【詳解】（1）設(shè)“小華恰好套中一次”為事件A，則.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5，；；；；；；∴的分布列為：012345.【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)PF1⊥F1F2時(shí)，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)M′，證明：直線NM′過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可解出，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線l的方程，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的關(guān)系，再表示出直線的方程，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的關(guān)系代入可得直線NM′所過的定點(diǎn).【詳解】（1）由得，，由橢圓的定義得，，，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓的方程中有，又，，解得或，當(dāng)，，故舍去；當(dāng)，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得，，解得，，，又，，設(shè)直線的方程為，，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和簡單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系中直線過定點(diǎn)的問題，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)上去，屬于較難題.20.某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái)，如圖所示，工作臺(tái)的下半部分是個(gè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當(dāng)圓弧E2F2（包括端點(diǎn)）上的點(diǎn)P與B1的最短距離為5時(shí)，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當(dāng)點(diǎn)P在圓弧E2E2（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得，從而可證DB1⊥平面D2EF；（2）設(shè)，則，所以，求出平面的法向量，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，則先求出，從而可得，再由可得的范圍.【詳解】（1）證明：作平面于，則在圓弧上，因?yàn)?，所以?dāng)取最小值時(shí)，最小，由圓的對(duì)稱性可知，的最小值為，所以,如圖，以為原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，,因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，平面?所以DB1⊥平面D2EF，（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,設(shè)，因?yàn)?，設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，顯然是鈍角，則，，則，所以二面角的正切值的取值范圍為，【點(diǎn)睛】此題考查了利用空間向量證明線面垂直，求二面角，考查了空間想象能力和推理計(jì)算能力，屬于較難題.21.設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝aex（a∈R）．（1）若曲線y＝f（x）在x＝1處的切線也與曲線y＝g（x）相切，求a的值．（2）若函數(shù)G（x）＝f（x）﹣g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)．①求a的取值范圍；②當(dāng)ae2≥2時(shí)，證明：G（x）＜0．【答案】（1）；（2）①；②證明詳見解析.【解析】【分析】（1）首先求切線方程，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；（2）①由條件轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解；②首先由已知條件，轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立.【詳解】（1），，，則切線方程為設(shè)切線與相切于點(diǎn)，則，解得：，，；（2）①，，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，；②，當(dāng)，，令，，顯然時(shí)，,在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，，，在上單調(diào)遞增，又,時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，邏輯推理，計(jì)算能力，屬于難題，本題的難點(diǎn)是第三問，需構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的變形求解.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23