數(shù)理統(tǒng)計理論與計算實例

摘要本文采用數(shù)理統(tǒng)計的方法對麥秸稈的燃燒熱值數(shù)據(jù)進行分析，首先對燃燒數(shù)據(jù)進行適當整理，給出燃燒數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù)的分布表，并畫出相應的直方圖和折線圖。其次，假定熱值數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，對其進行參數(shù)估計，包括矩估計和最大似然估計，接著研究當數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時的矩估計和最大似然估計。然后對其進行相應的區(qū)間估計，包括“方差未知時數(shù)學期望的置信區(qū)間”和“數(shù)學期望，均未知時方差的置信區(qū)間”兩種情況，當然這些區(qū)間估計都是都是建立在數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的情況下，如果熱值數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，要給出探求分布的方案。在接下來就是對其進行參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗，參數(shù)檢驗包括：t檢驗和檢驗，非參數(shù)檢驗就是指擬合優(yōu)度檢驗，最后給出相應的結(jié)論。關鍵字：正態(tài)分布；參數(shù)估計；區(qū)間估計；假設檢驗AbstractInthisarticle,weusethemethodofmathematicalstatisticstoanalysetheheatofcombustionofwheatstrawdata.Firsttidyingthedataofcombustion,givingthetableaboutfrequencyandthefrequencydistributionfromthenumberofcombustiondata,anddrawingthecorrespondinghistogramandlinecharts.Second,assumingthatthecalorificvalueofthedatafromthenormalpopulation,andtheestimatingparameters,includingmomentestimationandmaximumlikelihoodestimation,thenstudythemwhenthedatadoesnotfollowanormaldistribution.Thenitscorrespondingintervalestimates,includingthevarianceunknownmathematicalexpectationoftheconfidenceintervalandmathematicalexpectation,confidenceintervalsareunknownvariancebothcases,ofcourse,theseintervalsareestimatedarebasedindataobeypositivestatedistributioncase,iftheheatvaluedatadonotfollowanormaldistribution,toexplorethedistributionoftheprogramisgiven.Thenextstepistoitsparametrictestsandnon-parametrictests,parametrictestsincluding:t-testandtest,nonparametrictestsisthegoodnessoffittest,andfinallygivesthecorrespondingconclusions.Keywords:Normaldistribution;Parameterestimation;Intervalestimation;Hypothesistesting目錄TOC\o"1-3"\h\u9953前言 前言隨著當今社會不斷的發(fā)展，能源消耗越來越多，能源供給問題越來越嚴重，伴隨而來的環(huán)境污染問題也逐步為人們所重視。理所應當?shù)模瑢で鬂崈?、安全的可持續(xù)能源成為了人類目前的一個重大課題。2006年1月11日，國務院總理溫家寶主持召開常務會議，經(jīng)過審議并原則通過《煉油工業(yè)中長期發(fā)展專項規(guī)劃》和《乙烯工業(yè)中長期發(fā)展專項規(guī)劃》。會議指出，煉油和乙烯工業(yè)還存在著資源供應能力不足、產(chǎn)業(yè)布局不合理、產(chǎn)業(yè)集中度低、技術創(chuàng)新能力不強、低水平生產(chǎn)能力過大以及企業(yè)及產(chǎn)業(yè)競爭力弱等問題。專家指出，我國能源產(chǎn)業(yè)將長期面臨供應乏力、浪費嚴重和結(jié)構畸形等諸多問題。2002年以來我國高能耗產(chǎn)業(yè)擴張速度驚人，但國內(nèi)一次能源生產(chǎn)總量僅增長11%，其中原油只增長了1.8%。今后幾年，我國原油產(chǎn)量上限為1.8億t/a~2.0億t/a，而2020年估計消費量將高達5億t，對外依存度將逾60%，高于美國目前50%的水平。石油短缺、油價飚升引發(fā)了替代能源熱。我國化石類能源儲量中，煤炭占92%，石油2.9%，天然氣僅0.2%。因此，“煤制油”成為領頭羊。號稱“全球首個”的神華集團煤制烯烴工程也在包頭奠基，包括項目煤制甲醇、甲醇制丙烯以及聚丙烯等。上述煤制油、煤制烯烴項目動輒投資數(shù)百億元，需要相當長的周期回籠資金。[1][2]生物質(zhì)能資源的儲備豐富、可再生等優(yōu)點使其越來越受到人們的廣泛關注。生物質(zhì)儲存量極大，盲目地燃燒不僅浪費資源而且也污染了環(huán)境，如果采取合理的方法使其壓縮成型，從而成為一種鍋爐燃料，可極大緩解我國目前或潛在的能源危機。麥秸稈作為一種典型生物質(zhì)能源，不僅具備生物質(zhì)能源的優(yōu)點，而且麥秸稈基本存在于農(nóng)田之中，只要政策得當，那么開發(fā)費用相較于其他能源會有較大的競爭力。收集完成后通過粉碎處理、堿處理、干燥、熱值分析、工業(yè)和元素分析等研究步驟，可對麥秸稈有更加深入的了解。本文就著眼于利用數(shù)理統(tǒng)計的方法分析麥秸稈燃燒的熱值，從而研究這種典型的生物質(zhì)能源替代煤等礦物燃料的潛力。1采集樣本及數(shù)據(jù)整理1.1數(shù)據(jù)的搜集方法及說明實驗室對麥秸稈進行發(fā)熱量測定時，產(chǎn)生約120組實驗數(shù)據(jù)，下面研究的數(shù)據(jù)就來源于此，測定的數(shù)據(jù)在排除儀器問題的情況下，基本準確可靠。1.1.1數(shù)據(jù)分析用儀器SXHW—2型數(shù)顯恒溫量熱儀。鶴壁市儀表廠有限責任公司。如圖1。BT25S型分析天平。Max=21g，d=0.01mg。如圖2。圖圖1SXHW—2型數(shù)顯恒溫量熱儀Fig1SXHW-2-baseddigitaltemperaturecalorimeter圖2BT25S型分析天平Figure2BT25Stypeanalyticalbalance1.1.2燃燒熱值測試方法先用壓餅機將標準重量的試樣壓成塊狀，再將把塊放在一個不銹鋼坩堝中，試樣下面墊有棉線，上方纏繞金屬絲，完成后把坩堝放入不銹鋼彈筒中，旋緊彈帽，然后往鋼彈筒中充入氧氣，壓力約達2.0Mpa，再把它放進盛有一定量水的橢圓筒內(nèi)，使彈筒浸沒在水中，再把放有彈筒的橢圓形內(nèi)筒放進儀器的雙層水套筒中，當通電點燃筒內(nèi)的試樣后，根據(jù)水溫的上升和量熱系統(tǒng)（包括水筒、鋼彈）的熱容量，即可計算出試樣的發(fā)熱量。1.2燃燒數(shù)據(jù)整理為了方便對數(shù)據(jù)進行數(shù)理統(tǒng)計分析，首先要整理數(shù)據(jù)，得出相應的頻率和頻數(shù)等較簡單的數(shù)據(jù)，以方便對其進一步深入研究。1.2.1直觀數(shù)據(jù)整理表1試樣的發(fā)熱量(kJ/g)Table1Caloricvalueofsamples(kJ/g)17.1120.3917.3518.3418.0619.2719.7117.2218.3317.8619.1419.7212.7717.4321.1920.0418.8619.0515.1812.1517.2720.6716.3918.8519.2617.0917.8614.8616.1419.6818.9018.0818.7621.9817.7119.6114.3119.9120.6815.3922.2119.9017.1218.0119.9419.6520.3820.3619.3120.1517.6420.1018.9618.4816.1215.4719.7018.4118.2916.8819.5717.9819.1017.3916.8818.2418.9219.0415.7317.3717.1520.7518.2417.9420.7620.6417.5414.3520.9214.9818.5418.0321.0213.1418.4619.3118.8322.5819.4016.5217.3119.3119.0717.3817.5414.9820.7120.7119.4918.0418.0021.0617.6317.3019.8017.5917.9419.3818.2620.5920.5917.1017.1717.5419.4417.7816.8017.9317.1118.321.2.2頻數(shù)和頻率分布表樣本中：最小值X(1)=12.15；最大值為X（n）=22.58；可以取a=12.145，b=22.585；全距L=22.585-12.145=10.44。一般規(guī)律（n為數(shù)據(jù)量，k為組數(shù)）故取k=10。等組距（）：表2燃燒數(shù)據(jù)頻率、頻數(shù)、累計頻率分布表Table2frequency、absoluterfrequencyandcumulativefrequencyfromburndata組序范圍區(qū)間頻數(shù)

Ni頻率

Wj=fj/n累計頻率

Fj1(12.145,13.195]30.0250.0252(13.195,14.245]00.0000.0253(14.245,15.295]60.0500.0754(15.295,16.345]50.0420.1175(16.345,17.395]200.1670.2846(17.395,18.445]290.2410.5257(18.445,19.495]240.2000.7258(19.495,20.545]170.1420.8679(20.545,21.595]130.1080.97510(21.595,22.645]30.0251.0001.3燃燒數(shù)據(jù)直方圖圖3燃燒數(shù)據(jù)直方圖Fig3Thehistogramofburndata根據(jù)表2中的燃燒數(shù)據(jù)頻率，可生成如圖3所示的燃燒數(shù)據(jù)直方圖，該圖比較特殊的地方在于第二組沒有數(shù)據(jù)，這可能是因為我所得到的數(shù)據(jù)不夠多，不能完整的描述其中的規(guī)律。圖4燃燒數(shù)據(jù)折線圖Fig4Thepolygramofburndata同樣，該燃燒數(shù)據(jù)折線圖也是根據(jù)圖2中的頻率，利用excel軟件生成的，就整體而言雖存在些許波動，但趨勢亦表現(xiàn)的很明顯，先增大后減小，在第6組的時候達到高峰。圖5燃燒數(shù)據(jù)累計頻率折線圖Fig5Thepolygramofcumulativefrequency利用表2中燃燒數(shù)據(jù)的累計頻率可得如圖5所示的累計頻率折線圖，在該圖中，從第4組到第7組增大的加速度較大，兩側(cè)則趨于平緩。1.4經(jīng)驗分布函數(shù)用X表示麥秸稈燃燒數(shù)據(jù)總體，X1,X2,……，Xn是來自總體X的樣本，樣本的順序統(tǒng)計量為（n=120），對于任何實數(shù)X，稱下式為總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)。其對應的經(jīng)驗分布圖如下：圖6經(jīng)驗分布函數(shù)圖Fig6thegraphofempiricaldistribution2假定總體服從正態(tài)分布，給出，的估計假定總體服從正態(tài)分布，顯然我們的抽樣樣本容量n=120。2.1矩估計法數(shù)學期望：即，。故的矩估計量為。方差：即，。故的矩估計量為。2.2最大似然估計X的密度函數(shù)為：所以與的似然函數(shù)為取對數(shù)得令，解得所以與的極大似然估計量為，2.3若總體不是正態(tài)分布請?zhí)角笃鋮?shù)估計，并寫出方案若該樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，而從圖形看，可假定其服從泊松分布。泊松分布的概率密度為：可令，則有：由于，所以由上式可得：①矩估計法：令，即，則②最大似然估計：令似然函數(shù)為，則有即，。3參數(shù)區(qū)間估計假設總體服從正態(tài)分布。對其進行相應的參數(shù)區(qū)間估計。而粗略的講，參數(shù)的區(qū)間估計其實就是尋找一個值域，期望該值域包含參數(shù)的真實值。3.1方差未知，求數(shù)學期望的置信區(qū)間①選擇t作為樣本函數(shù)，②給定置信水平：0.95，使根據(jù)自由度n-1和0.95的置信水平，從t-分布表查出分位數(shù)為則上式等價于③μ的隨機置信區(qū)間：μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為④μ的確定置信區(qū)間：由樣本可知：n=120，=18.34，s=1.90。取上分位數(shù)=0.05，則查表可得=1.9801經(jīng)計算得μ的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為:[18.00，18.68]，而μ=18.34，顯然位于置信區(qū)間內(nèi)。3.2數(shù)學期望，均未知，求方差的置信區(qū)間①選擇G作為樣本函數(shù)，②給出置信水平0.95，使③則的置信水平為0.95的隨機置信區(qū)間為：④顯然的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為：有樣本可知：n=120，s2=3.60根據(jù)置信水平0.95和自由度119，從分布表查出分位數(shù)==90.6996==151.0844經(jīng)計算的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為：[2.84，4.72]，顯然=3.6位于置信區(qū)間內(nèi)。4參數(shù)假設檢驗4.1樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)的t檢驗設總體服從正態(tài)分布N(，)，其中參數(shù)，均未知，方差未知的情況下，對數(shù)學期望進行假設檢驗：①原假設和備擇假設（雙邊假設）其中為已知常量18.01。②選取檢驗統(tǒng)計量當原假設為真，方差未知時，檢驗統(tǒng)計量為：服從自由度為119的t-分布，即。其中為樣本差。③確定拒絕域給定顯著性水平=0.05，使由上文可知=1.9801顯然拒絕域為：④檢驗統(tǒng)計量的觀察值：⑤判斷：顯然，即觀察值未落在拒絕域中，接受原假設。4.2數(shù)據(jù)的檢驗設總體服從正態(tài)分布N(，)，其中參數(shù)，均未知，對方差進行假設檢驗。①原假設和備擇假設其中為已知常數(shù)。②選擇檢驗統(tǒng)計量當原假設為真時，檢驗統(tǒng)計量為：其中為樣本差。③確定拒絕域給定顯著性水平=0.05，使從分布表查出臨界值為，，則拒絕域為或。由分布表知：則拒絕域為：④計算檢驗統(tǒng)計量的觀察值：⑤作判斷顯然的值為落在拒絕中，故接受原假設。

5非參數(shù)假設檢驗（擬合優(yōu)度檢驗或K—S檢驗）一般地，樣本來自正態(tài)總體，樣本數(shù)據(jù)滿足隨機性和獨立性。然而，對有些情形，總體分布不知道，這時檢驗問題限定的假設條件弱一些，如只要求樣本的隨機性、獨立性，樣本來自同一總體。換句話說，對總體分布不作任何假設，至多假設總體服從連續(xù)分布。像這種不取決于總體分布類型的檢驗稱為非參數(shù)性的假設檢驗。5.1擬合優(yōu)度檢驗或K—S檢驗由圖3可看出，粗略認為麥秸稈燃燒熱值服從正態(tài)分布，假定顯著性水平=0.05。①原假設和備擇假設為：不真其中，均為未知參數(shù)，，的極大似然估計值分別為，②以表2為基礎，原假設為真時，隨機變量X落在各小區(qū)間的概率為，具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：③等價檢驗假設：計算結(jié)果列入下表中：表3熱值數(shù)據(jù)分析表Table3theanalysistableofcalorificdata組序熱值區(qū)間頻數(shù)

NiPi0n*Pi0(Ni-n*Pio)^2/nPio1(12.145,13.195]30.00340.40818.24902(13.195,14.245]00.01201.4403(14.245,15.295]60.03944.7284(15.295,16.345]50.092111.0523.31405(16.345,17.395]200.161619.3920.01916(17.395,