2019屆河南省九師聯(lián)盟高三1月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

第第頁共23頁(2)若M是棱BC的一個靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求二面角A—AIM—B的余弦值.(2)為1?！敬鸢浮浚?）3白⑵20【解析】（1）根據(jù)正弦定理求底面的面積，再由棱柱的體積公式求得體積，即可;根據(jù)題干條件得到以及圖形特點(diǎn)得到 AM，平面ABB1A1再建立坐標(biāo)系，求得二面角的余弦值即可.(1)因?yàn)?BAC=120°,AC=AB=2,SAaR=-x2x2?sinl20*-2x—J3所以2 2 .V三棱注A日匚-abq='&abc.AA]=&m3="3所以(2)在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2XAO<ABXcos/BAC2 2 1=2+2-2X2X2X(--)=122所以BC=2.出.因?yàn)镸是棱BC的一個靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),所以因?yàn)?BAC=120°,AC=AB=2,所以/ACB=ZABC=30°.由余弦定理，得AM2=AC2+CM2—2XACXCMKcosZACB22M2之甲J34=2+{—)-2x2x—x—=-3 3 23AM=——所以3.所以CM=AM,所以/ACM=/CAM=30°,所以/MAB=/CAB—/CAM=120°—30°=90°,即AMLAB.易知AAJ平面ABCAM2平面ABC所以AAJAM.又因?yàn)锳BAAA1=A,所以AML平面ABBA1.以A為原點(diǎn)，AMAB,AA分別為x,y,z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:2坐則點(diǎn)A(0,0,0),M(m,0,0),Ai(0,0,3),B(0,2,0),- 2^3 .2色A]M=(——-3)BM=(——「2,。)所以3 , 3-yxo_3zo-。丁產(chǎn)￥。=口.設(shè)平面AiBM的法向量為m=(X0,y°,z°),則！5令Z0=2,得m=(*3,3,2),易得平面AA|M的一個法向量為n=(0,1,0)設(shè)二面角A-AiM-B的平面角為。，由題意，得0為銳角，則

v'27+9+4 20v'27+9+4 20|m||n|所以二面角A—AiWB的余弦值為20【點(diǎn)睛】這個題目考查了空間幾何體的體積的計(jì)算，平面和平面的夾角。求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離， 除以線段長度就是線面角的正弦值； 還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。面面角一般是定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，也可以建系來做。2 2*V—■+—=120.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:a0 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,版 澗離心率為,點(diǎn)I,J分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)， AIOJ的邊IJ上的中線長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)H(—2,0)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，若AF1XBF1,求直線AB的方程.2X2一+￥=1【答案】(1)2 (2)x—2y+2=0或x+2y+2=0/a2'1忖+b*=J3,【解析】(1)由直角三角形中線性質(zhì)得到“二百，再根據(jù)條件得到=+ 求解即可；(2)設(shè)出直線AB,聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，由 AFJBF1,得到1口「1?整理得(1+2k2)(X1+X2)+(1+k2)X1X2+1+4k2=0,代入韋達(dá)定理即可.【詳解】(1)由題意得AIOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為 飛,所以“二舊.c板設(shè)橢圓C的半焦距為c,則=也ta=J2,解得

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 .(2)由題知，點(diǎn)Fi的坐標(biāo)為(一1,0),顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)(kw0)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(X2,12聯(lián)立[v=k(x+2),消去y,得(i+2k2)x2+8k2x+8k2—2=0,0<k2<-所以A=(8k2)2—4(1+2k2)(8k2—2)=8(1—2k2)>0,所以2.()8k 8k-2且 1+2*l+2kAFRF=0因?yàn)锳FJBF1,所以附11則(一1一x1，一y1),(一1—x2,—y2)=0,1+x1+x2+x〔x2+y〔y2=0,1+x〔+x2+x[x2+k(x1+2)k(x2+2)=0,整理，得(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.38k(1+k)(8k-2) 7(l+2k)(- )+ +l+4k=0即 「 ? .y=-(x+2)y=*-(x+2)化簡得y=-(x+2)y=*-(x+2)因?yàn)?都滿足()式，所以直線 AB的方程為2或2即直線AB的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系， 所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是sM=-1+sM=-1+21.已知函數(shù)f(x)=ln(2+ax)(a>0),(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(3,f(3))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行，求a,b之間的關(guān)系;(2)在(1)的條件下，若 b=a,且f (x) >mg(x)對任意xC[ 2,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2+7a 1b= -【答案】(1) 2+工(2)(—8,勺【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)在兩點(diǎn)處的切線的斜率相等，得到f(3)=g'(1),m+2rnxh(x)=ln(2+2k) 進(jìn)而得到參數(shù)的關(guān)系；(2)先由b=a求出參數(shù)值，令 1+K,則問題轉(zhuǎn)化為h(x)>0對任意xC[2,+可恒成立，對m分情況，對h(x)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)最小值，最小值大于等于 0即可.【詳解】a b(l+x)-(1+bx)b-1f'(x)= B'W= ； = (1) 2+叫 (1+x)口+x),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(3,f(3))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行，所以f(3)=g'(1).日b-1 2+73所以2.3a4,化簡得”輻.2+7ab= (2)由(1)得，2+3a,2+7a 1m= a=--若b=a,則2+也解得a=2或3(舍去，因?yàn)閍>。).所以a=b=2.1+2*sW=~—所以f(x)=ln(2+2x), 1+x.令2+2x>0,得x>-1,則函數(shù)f(x)=In(2+2x)的定義域是(—1,十8)；1+2xsW=~—令1+xw0,得xw—1,則函數(shù)1+x的定義域是(―00,—1)u(—1,+8).1 m+2mx 1-- ln(2+ >0 --f(x)>mg(x)對任意xC[2,+8)恒成立，即 1+x 對任意xC[2,

+00)恒成立.ITI+2ITIX 1h(x)=ln(2+2x) --令 l*x,則問題轉(zhuǎn)化為h(x)>0對任意xC[2,+8)恒成立.2m(l+x)-(m+2mx)x1 1mx+1-m - - zz (1+X)綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(—8,【點(diǎn)睛】這個題目考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 以及恒成立求參的問題；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(—8,【點(diǎn)睛】這個題目考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 以及恒成立求參的問題；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于 0;或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)。1m<-①當(dāng)2,即x+1-m^0時，h'(x)>0且h'(x)不恒為0,TOC\o"1-5"\h\zm+2itix 1h(x)=ln(2+2k) --所以函數(shù) ,'在區(qū)間[’+oo)上單調(diào)遞增.+oo)上單調(diào)遞增.m+2nn(--)1 1 2h(--)=ln(2+2x(--)) =0又 ?11

工一 ms—所以h(x)>0對任意xC[2,+8)恒成立.故 2符合題意.x+1-m 1m>-h[x)= -< x<m-1②當(dāng)2時，令(1+x)，得2 ；x+1-mh'(x)= >0令(1+x]，得x>nn-1.m+2mx 1h[x)=ln(2+2x)- --所以函數(shù) 1+x在區(qū)間[2,m_i)上單調(diào)遞減，在區(qū)間( m-1,十8)上單調(diào)遞增，111%斗一存在2,使h(x0)v0.故知h(x)>0對任意xC[2,+8)不恒成立.故 2不符合題意.h(m-1)<h(1%斗一存在2,使h(x0)v0.故知h(x)>0對任意xC[2,+8)不恒成立.故 2不符合題意.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(V=m-t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知曲線 C的極1+sin6=一坐標(biāo)方程為 且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點(diǎn)F.(1)求直線l的普通方程；(2)設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L,求L的最大值.【答案】(1)x+2y+1=0(2)3【解析】(1)由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式可得到曲線 C的普通方程，消去參數(shù)t可得到直線普通方程，再代入F點(diǎn)坐標(biāo)可得到直線方程；(2)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為(&8S%sin0內(nèi)接矩形的周長為L=2{“5cos8+25in削，化一求最值即可.【詳解】U21+sin9=一(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為 P,即p2+p2sin29=2.將p2=x2+y2,psin0=y，代入上式，得TOC\o"1-5"\h\z2* 2 1一+V=1x2+2y2=2,即2 .2X2一+y=1所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為2 .于是c2=a2—b2=1,所以F(—1,0).2由(￥= 消去參數(shù)t,5x+2y=-mTOC\o"1-5"\h\z得直線l的普通方程為 2.2m?■一將F(―1,0)代入直線方程得 5.所以直線l的普通方程為x+2y+1=0.n— 0<6<—(2)設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為( 也83,sinE( 2),所以橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=日+2而。)=4^引理+巾)(其中3仲=/),

故橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值4a【點(diǎn)睛】這個題目主要考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程的化法， 以及橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，參數(shù)方程的引入很好地將多元問題化為一元問題， 參數(shù)方程多數(shù)可以用于求最值或范圍.23.已知函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)若不等式f(x)引2奸1|—1的解集為A,且求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)在(1)的條件下，若亂“心，證明：f辿)>f㈤—f(—b).3【答案】(1)(工2](2)詳見解析【解析】(1)零點(diǎn)分區(qū)間去掉絕對值，得到解集為{x|—1WxW1}由集合間的包含關(guān)系3—<t2得到一1W1—tvt—2W1,解得2 ;(2)原式等價于|ab+1|>|a+b|,即證|ab+1|2>|a+b|2,兩邊展開，提公因式即可得證.【詳解】(1)不等式f(x)引2x+1|—1,即|x+1|—|2x+1|+1>0.當(dāng)x<-1時，不等式可化為一x-1+(2x+1)+1>0,解得x>-1,這時原不等式無解；1-14x￡--當(dāng) 2不等式可化為x+1+(2x+1)+1>0,解得x>-1,這時不等式的解1?1￡X0一2.所以不等式不等式可化為 x+1—(2x+1)+1>0,解得x<1,這時不等式的解為所以不等式因?yàn)閇1-t,f(x)>|2x+1|—1的解集為因?yàn)閇1-t,3—<t2所以—1w1—t<t-2<1,解得2 .3即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,2].(2)證明：因?yàn)閒(a)—f(b)=|a+1|—|—b+1|Wa+1—(—b+1)=|a+b|,所以要證f(ab)>f(a)-f(—b)成立，只需證|ab+