2016題型全歸納文科-第三章導(dǎo)數(shù)

第三章

導(dǎo)數(shù)

第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算?考綱解讀1.利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.利用求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率和切線方程，這也是高考的熱點(diǎn)問題.?知識(shí)點(diǎn)精講一、基本概念

1.導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)

在

處附近有定義，如果

時(shí)，

與

的比

（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限，即

無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫函數(shù)在

處的導(dǎo)數(shù)，記作即

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在這定點(diǎn)處的切線斜率

函數(shù)

在

處的導(dǎo)數(shù)

，表示曲線

在點(diǎn)

處的切線

的斜率，即

，如圖3-1所示.過點(diǎn)的切線方程

為 .同樣可以定義曲線在

的法線為過點(diǎn)

與曲線在的切線垂直的直線.過點(diǎn)

的法線方程為

3.導(dǎo)數(shù)的物理意義:瞬時(shí)速度設(shè)

時(shí)刻一車從某點(diǎn)出發(fā)，在

時(shí)刻車走了一定的距離

.在

時(shí)刻，車走了

，這一段時(shí)間里車的平均速度為，當(dāng)與很接近時(shí)，這個(gè)平均速度近似于時(shí)刻的瞬時(shí)速度.若令，則可以認(rèn)為

，即就是時(shí)刻的瞬時(shí)速度.圖3-1二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表3-1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

，為正整數(shù)

，為有理數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(和、差、積、商)設(shè)

，

均可導(dǎo)，則（1）

（2）（3）

（4）

?題型歸納及思路提示

題型34導(dǎo)數(shù)的定義【例3.1】設(shè)

存在，求下列各極限.

（1）

；（2） .【分析】 ，導(dǎo)數(shù)的定義中，增量

的形式是多

樣的，但不論

選擇哪種形式，

必須選擇相應(yīng)的形式.利用函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)的條件，可以將已知極限變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的

結(jié)構(gòu)形式.【解析】（1）

（2）

【例3.2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；（5）

；

（6）.【解析】（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

（5）

（6）【評(píng)注】對(duì)于基本初等函數(shù)（指、對(duì)、冪、三角函數(shù)），可以直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)

公式求解其導(dǎo)數(shù)，這是整個(gè)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，一定要熟練掌握基本初

等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

題型35求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

按照導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可，注意常用導(dǎo)數(shù)公式的正確使用.【分析】【解析】

【評(píng)注】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要根據(jù)法則逐步進(jìn)行，不要跳步，熟練以后再簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.題型36導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【分析】

【解析】

第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?考綱解讀

1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.3.生活中的優(yōu)化問題，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.?知識(shí)點(diǎn)精講

基本概念與性質(zhì)

1.利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間

內(nèi)，如果

，那么函數(shù)

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

，那么函數(shù)

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2.函數(shù)極值的概念

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且，若在點(diǎn)附近的左側(cè)

，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若在點(diǎn)附

近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn). 函數(shù)的極值是相對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個(gè)

定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，且極大值不一定比極小值

大.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值

點(diǎn).3.函數(shù)的最大值、最小值若函數(shù)

在閉區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在

上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)處取得.

?

題型歸納及思路提示題型37利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的圖像【例3.6】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)

與

的圖像不可能的是（

）.A.B.C.D.【分析】本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)與三次函數(shù)的圖像的判斷，需要借助導(dǎo)數(shù)研究.

當(dāng)

時(shí)，

與

的圖像，如圖選項(xiàng)D；當(dāng)

時(shí)，

二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程.

三次方程

，

，令

，得

，

，所以函數(shù)

的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為

，.

若

時(shí)，

；當(dāng)

時(shí)，

，即二次函數(shù)

的對(duì)稱軸在函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間.觀察選項(xiàng)A，B，C，選項(xiàng)

B不符合題意.故選B.評(píng)注

本題的難點(diǎn)在于當(dāng)

時(shí)，利用三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

研究其圖像的性質(zhì)（單調(diào)性、極值點(diǎn)）以及與二次函數(shù)對(duì)稱軸的比較.

題型38利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【例3.7】求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

【解析】 ，令得或

如表3-2所示.的單調(diào)區(qū)間為和

單調(diào)減區(qū)間為極大值極小值表3-2【例3.8】設(shè)函數(shù)

，在

處取得極值，且曲線

在點(diǎn)處的切線垂直于直線

.

（1）求

、

的值；

（2）若函數(shù)

，討論

的單調(diào)性.【解析】（1）由

，故

，

又

在

處取得極值，故

，從而

，

由曲線

在點(diǎn)

處的切線與直線

垂直

可知該切線斜率為

，即

，有

，從而

（2）由（1）知

，

故

，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)由

來

確定.①當(dāng)

，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在上為增函數(shù)；②當(dāng)

，即當(dāng)時(shí)，方程

有兩個(gè)不相等的實(shí)根

，，當(dāng)變化時(shí)，如表3-3.當(dāng)

時(shí)，，故在

上是增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，

故在

上為減函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，故在

上為增函數(shù).，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，在

和

上為增函數(shù)，在

為減函數(shù).

+0-0+極大值極小值表3-3

【解析】

極大值極小值

極大值極小值

極小值

極大值

【評(píng)注】

【例3.10】已知函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞增，求的

取值范圍.【解析】 在

內(nèi)恒成立.

則

在內(nèi)恒成立，得

所以的取值范圍是【評(píng)注】二次函數(shù)模型是我們?cè)诮鉀Q導(dǎo)數(shù)問題中常用的模型，經(jīng)常用來類比

解決三次函數(shù)（其導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)）以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)只有一個(gè)極值

點(diǎn)的函數(shù)（類二次函數(shù)）的某些問題.【例3.11】已知函數(shù) .（1）若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是

求，的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間

上不單調(diào)，求

的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)

的圖象過原點(diǎn)，得

，

又

，

在原點(diǎn)處的切線斜率

則

，所以或.故

（2）由

，得

，

，

又

在

上不單調(diào)，則

在內(nèi)有實(shí)根，

即有

或

解得

或

綜上，的取值范圍是【例3.12】設(shè)函數(shù)

，若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】函數(shù)在給定的區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)

間上大于零有解.【解析】依題意，

有解，得在

區(qū)間上有解，則

，，

令

，

，易知在上為增函數(shù)，

所以最大值為.題型39利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【例3.13】設(shè)函數(shù)，則（）. A.為的極大值點(diǎn)B.為的極小值點(diǎn) C.為的極大值點(diǎn)D.為的極小值點(diǎn)【分析】求函數(shù)的極值點(diǎn)，即求解導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn).【解析】因?yàn)?，所? ,得

當(dāng)

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.故選D.

題型40方程解（函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問題【例3.16】設(shè)

為實(shí)數(shù)，函數(shù)

.

（1）求

的極值；

（2）若方程

有3個(gè)實(shí)數(shù)根，求

的取值范圍；

（3）若

恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值.【解析】（1）

，令，得.如表3-9所示.

可知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

極小值為，極大值為——極小值極大值表3-9（2）若要有個(gè)實(shí)數(shù)根，只需要，如圖3-7（a）所示.

即，得

，故的取值范圍是.（3）若方程

恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

或

，如圖3-7（b）和圖3-7（c）所示.即

或

，解得

所以當(dāng)有兩個(gè)根時(shí)，【評(píng)注】本類題要結(jié)合函數(shù)用單調(diào)性和極值入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.圖3-7題型41不等式恒成立與存在性問題【例3.17】已知函數(shù)

.

（1）求的最小值；

（2）若對(duì)于所有都有

，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】第（2）問可用分離變量的方法求解.【解析】 的定義域是.

（1），令，解得；

當(dāng)

在

單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)

時(shí)，

的最小值為

.

（2）依題意，得

在上恒成立.即不等式

（2）依題意，得

在上恒成立.即不等式

對(duì)于恒成立

，即

設(shè)

，則

，令得

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/p>

，故在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/p>

，故在上是減函數(shù).

所以在上的最小值是.故的取值范圍是【評(píng)注】第（2）問的解法一應(yīng)用分離變量的方法解題，使得構(gòu)造的新函

數(shù)中不含參數(shù)，避免了對(duì)參數(shù)的分類討論.題型42利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例3.21】設(shè)

為實(shí)數(shù)，函數(shù)

，

.