高二數(shù)學(xué)空間向量及運(yùn)算人教版知識(shí)精講

PAGE高二數(shù)學(xué)空間向量及運(yùn)算人教版1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。2.了解空間向量基本定理。3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用。重要知識(shí)點(diǎn)：1.共線向量定理：2.共面向量定理：3.空間向量基本定理：4.兩空間向量的數(shù)量積：性質(zhì)：運(yùn)算律：1、空間向量及其運(yùn)算：（1）空間中的平行（共線）條件：（2）空間中的共面條件：共面（不共線）推論：對(duì)于空間任一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)、、，，則四點(diǎn)、、、共面（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算若，則：注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；注2：空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：（1）證明，即證明（2）證明，即證明（3）證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明垂直于平面的法向量或證明與平面內(nèi)的基底共面；（4）證明，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；（5）證明兩平面（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。3、空間向量在立體幾何求值中的應(yīng)用：異面直線和的成角直線和平面的成角（為平面的法向量）平面與平面的成角（，分別為兩平面的法向量）或（需具體分析取哪一個(gè)）點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量）（其中點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）直線平面（）的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離平面與平面（）的距離（為平面的法向量）轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離異面直線和的距離（為既垂直于也垂直于的向量）（可以用，，，即兩直線上分別取一點(diǎn)）空間兩點(diǎn)，的距離坐標(biāo)形式下：兩點(diǎn)間距離公式基底形式下：若表示成，則可以得到：【典型例題】例1.判斷題解：（1）正確。例2.的值（x、y、z∈R）解：例3.解：例4.解：例5.解：例6.證明：同理可證∠B、∠C均為銳角?！唷鰽BC為銳角三角形。例7.已知在平行六面體ABCD—A’B’C’D’中，AB=AD=3，AA’=5，∠BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。（1）求證AC’⊥BD；（2）AC’的值。證：【模擬試題】基礎(chǔ)鞏固題1.給出下列命題：（1）a=“從南昌往正北平移6km”，b=“從北京往正北平移3km”，那么a=2b；（2）；（3）把正方形ABCD平移向量m到的軌跡所形成的幾何體，叫做正方體；（4）有直線，且，在上有點(diǎn)B，若，則。其中正確的命題是（）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（2）（4）D.（1）（2）（3）2.在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，下列關(guān)于的表達(dá)式中錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.3.以下四個(gè)命題正確的是（）A.若，則P、A、B三點(diǎn)共線B.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底C.D.△ABC為直角三角形的充要條件是4.給出下列命題（1）已知，則；（2）A、B、M、N為空間四點(diǎn)，若不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A、B、M、N共面；（3）已知向量，則a、b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；（4）已知向量是空間的一個(gè)基底，則基向量a和b可以與向量構(gòu)成空間另一個(gè)基底。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.45.如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2是下列哪個(gè)向量的數(shù)量積？（）A. B.C. D.6.已知a，b是異面直線，，且，CD=1，則a與b所成的角是（）A.30° B.45° C.60° D.90°7.已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，M是CC1上一點(diǎn)且，N是上一點(diǎn)且，P為的中點(diǎn)，則_______。8.長(zhǎng)為4的向量a與單位向量e的夾角為，則向量a在向量e方向上的投影向量為___________。9.在空間平移正△ABC到△A1B1C1得到如圖所示的幾何體。若D是AC的中點(diǎn)。AA1⊥平面ABC，，則異面直線與BD所成的角是__________。10.設(shè)OE是以O(shè)A，OB，OC為棱的平行六面體的對(duì)角線，OE交平面ABC于M，試用向量法證明M是△ABC的重心。【試題答案】基礎(chǔ)鞏固題1.C 2.B 3.B 4.C 5.B6.C提示：適合用直角坐標(biāo)系求解。7.8.9.60°解1：設(shè)解2：如圖所示，為所求。10.證明：設(shè)取BC中點(diǎn)D，連DA，取即M’是△ABC重心，下面證M’與M重合故M是△ABC的重心?？臻g向量與立體幾何單元測(cè)試一、選擇題（每題5分共25分）1．在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量?jī)蓛晒裁?，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（） A．0 B．1 C．2 D．32．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（） A． B． C． D．3．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角為（） A．30° B．45° C．60° D．以上都不對(duì)4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為（） A．2 B．3 C．4 D．55已知i,j,k為單位正交基底，且 （）A．－15 B．－5 C．－3 D．－1二、填空題（每題5分共20分）6．已知向量，，，則向量的坐標(biāo)為.7．若a=(m＋1，n－1,3)，b=(m＋3,n－3,9)且a與b平行，則m+n=．8．設(shè)||＝1，||＝2，2＋與－3垂直，＝4－，＝7＋2，則<,>＝．9.已知空間四邊形OABC,點(diǎn)M,N分別是邊OA,BC的中點(diǎn),且OA=,OB=,OC=,用表示MN=.空間向量與立體幾何單元測(cè)試答題卷三、解答證明題10．（本題滿分15分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中， E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．11.（本題滿分20分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF與平面ABCD所成的角的大小．12.（本題滿分20分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)， （I）求證：平面BCD； （II）求異面直線AB與CD所成角的余弦； （III）求二面角A-DC-B的余弦值．參考答案1-5ADCBA6．8．0°9.10．.(15分)解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2) (2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝(0,-2,2)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝(0,1,2)∴|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|＝2EQ\R(2)，|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|＝EQ\R(5)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝0－2＋4＝2,∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝EQ\F(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1,|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|·|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|)＝EQ\F(2,2\r(2)×\r(5))＝EQ\F(\r(10),10)．∴AB1與ED1所成的角的余弦值為EQ\F(\r(10),10)．11．(20分)證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，則：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)， D(0,2b,0)，P(0,0,2c) ∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn) ∴E(a,0,0)，F(xiàn)(a,b,c)(1)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(0,b,c)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝(0,0,2c)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD＝(0,2b,0) ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝EQ\F(1,2)(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＋EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD)∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF與EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP、EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD共面 又∵E平面PAD ∴EF∥平面PAD．(2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()CD＝(-2a,0,0)∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()CD·EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0 ∴CD⊥EF．(3)若PDA＝45，則有2b＝2c，即b＝c， ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(0,b,b)， EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝(0,0,2b) ∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝EQ\F(2b2,2b·\r(2)b)＝EQ\F(\r(2),2) ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝45∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP⊥平面AC，∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP是平面AC的法向量∴EF與平面AC所成的角為：90－EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝45．12.【解】方法一： （I）證明：連結(jié)OC ………1分 在中，由已知可得 而 即……………3分 又 平面……………5分 （II）解：