非圓齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2橢圓齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)2.1橢圓的基本數(shù)學(xué)理論2.1.1橢圓定義橢圓定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)距離與到一定直線距離之比為一個(gè)常數(shù)e(0<e<1)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡稱為橢圓。其中，該定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，定直線稱為該焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線，e稱為橢圓的離心率。2.1.2橢圓的方程如圖2.1所示，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作AN⊥Ox，垂足為N，過點(diǎn)B作BM⊥AN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。圖2.1橢圓形成示意圖解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），φ是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正角，取φ為參數(shù)。那么x=ON=OAcos∴x=acosφy=b以上（2.1）式即為橢圓的參數(shù)方程，其中φ稱為“離心角”對（1）式進(jìn)行消參xa=cosφ以上（2.2）式即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.2齒輪的基本理論2.2.1齒輪傳動(dòng)齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中最重要的傳動(dòng)之一，形式很多，應(yīng)用廣泛，傳遞的功率可達(dá)數(shù)十萬千瓦，它的圓周速度和轉(zhuǎn)速分別可達(dá)300m/s，100000r/min。同摩擦輪傳動(dòng)和帶輪傳動(dòng)相比較，齒輪傳動(dòng)齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)功率大，效率高，壽命長及傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)[2]。齒輪傳動(dòng)特點(diǎn)：（1）效率高在常用的機(jī)械傳動(dòng)中，以齒輪傳動(dòng)效率為最高。例如一級圓柱齒輪的傳動(dòng)效率可達(dá)99%。這對大功率傳動(dòng)十分重要，因?yàn)榧词剐侍岣?%，也有很大的經(jīng)濟(jì)意義。（2）機(jī)構(gòu)緊湊在同樣的使用條件下，齒輪傳動(dòng)所需空間尺寸一般較小。（3）工作可靠、壽命長設(shè)計(jì)制造正確合理、使用維護(hù)良好的齒輪傳動(dòng)，工作十分可靠，壽命可長達(dá)一、二十年，這也是其他機(jī)械傳動(dòng)所不能比擬的。（4）傳動(dòng)比穩(wěn)定傳動(dòng)比穩(wěn)定往往是對傳動(dòng)性能的基本要求。齒輪傳動(dòng)獲得廣泛應(yīng)用，也就是由于具有這個(gè)特點(diǎn)。2.2.2圓柱齒輪結(jié)構(gòu)圓柱齒輪可分為直齒圓柱齒輪、斜齒圓柱齒輪、人字齒輪、曲線齒圓柱齒輪。其中直齒圓柱齒輪簡稱直齒輪，其輪齒排列與軸線平行；斜齒圓柱齒輪簡稱斜齒輪，其輪齒與軸線斜成一個(gè)角度，沿軸線螺旋方向排列在圓柱體上；人字齒輪形如“人”字，相當(dāng)于兩個(gè)全等但旋向相反的兩個(gè)斜齒輪拼接而成；曲線齒圓柱齒輪簡稱曲線齒輪，其輪齒沿軸向彎曲成弧面。2.2.3漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的基本參數(shù)和幾何尺寸如圖2.2所示為一直齒外齒輪的一部分。圖2.2齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)齒輪上每一個(gè)用于嚙合的凸起部分稱為輪齒。每個(gè)輪齒都具有兩個(gè)對稱分布的齒廓。一個(gè)齒輪的輪齒總數(shù)成為齒數(shù)，用z表示。齒輪上相鄰輪齒之間的空間稱為齒槽；過所有齒頂端的園稱為齒頂圓，其半徑和直徑分別用rn和dn表示；過所有齒槽底邊的園稱為齒根圓，其半徑和直徑分別用rt在任意半徑rk的圓周上，齒槽的弧線長和輪齒的弧線長分別稱為該圓上的齒槽寬和齒厚，分別用ek和skpk=sk由于該圓的周長為pk?zdk=pkπ?式（2.4）中的比值pk由于式子（2.4）中包含無理數(shù)π，使計(jì)算制造和測量等比較麻煩。為了便于確定齒輪的幾何尺寸，人民有意識地制訂一個(gè)簡單的有理數(shù)列，并在齒輪上選擇一個(gè)圓，取該圓的模數(shù)在這個(gè)有理數(shù)列之中，從而使其直徑為有理數(shù)。這種人為規(guī)定的模數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)，單位為毫米（mm）。在齒輪上，這個(gè)模數(shù)等于選定的標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)的圓稱為分度圓其半徑和直徑分別用r和d表示。顯然，當(dāng)齒輪的齒數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)值選定后，其分度圓就確定了。此后即以此作為齒輪尺寸的基準(zhǔn)。為方便起見，將分度圓上的模數(shù)、齒厚、齒槽寬和齒距簡稱為模數(shù)、齒厚、齒槽寬和齒距，分別用m、s、e和p表示。根據(jù)模數(shù)的定義及式子（2.3）、（2.4）顯然有m=pπp=s+e=md=pπ?另一方面，齒輪在不同圓周上的壓力角是不同的，基圓上的壓力角為零，離基圓越遠(yuǎn)的圓，半徑越大，該圓上的壓力角也越大。分度圓上的壓力角叫簡稱壓力角，用α表示，且有rb=r?式（2.8）表明，當(dāng)齒輪的模數(shù)m和齒數(shù)z一經(jīng)確定，分度圓的大小也就確定；但是壓力角α的大小可以不同，基圓的大小也隨之不同，因此分度圓相同的齒輪，其齒形可能不同。這就使齒輪的設(shè)計(jì)、制造、測量和互換性有很多不便，為此，人民規(guī)定了分度圓上壓力角的標(biāo)準(zhǔn)值，稱為標(biāo)準(zhǔn)壓力角，我國規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)壓力角為20°。此外，為了提高齒輪的綜合強(qiáng)度而需要增大壓力角時(shí)，推薦采用25°.其他國家常用的壓力角除20°外，還有15°、14.5°等。設(shè)計(jì)齒輪時(shí)，一般取標(biāo)準(zhǔn)壓力角，若因特殊需要而選取其他值時(shí)，必須注明并特制加工刀具。分度圓和節(jié)圓又原則性的區(qū)別。分度圓是一個(gè)齒輪的機(jī)會(huì)參數(shù)，每個(gè)齒輪都有一個(gè)大小確定的分度圓；而節(jié)圓則是表示一對齒輪嚙合特性的圓。對于單個(gè)齒輪而言，節(jié)圓無意義；當(dāng)一對齒輪嚙合時(shí)，他們的節(jié)圓隨中心距的變化（可分性）而變化。因此節(jié)圓和分度圓可以重合，也可以把重合。另外，分度圓壓力角是一個(gè)大小確定的角，嚙合角可以與之相等，也可以不相等，但嚙合角與節(jié)圓壓力角則是始終相等的。分度圓吧齒輪分為兩部分，介于分度圓與齒頂圓之間的部分稱為頂圓，其徑向高度成為齒頂高，用ha表示；介于分度圓與齒根圓之間的部分稱為齒根，其徑向高度稱為齒根高，用hf表示；齒頂圓與齒根圓之間的徑向高度成為齒全高，用hh=ha+2.2.4漸開線標(biāo)準(zhǔn)齒輪的幾何尺寸和基本參數(shù)的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)齒輪具有以下三個(gè)特征：（1）模數(shù)m和壓力角α取標(biāo)準(zhǔn)值。（2）具有標(biāo)準(zhǔn)的齒頂高和齒根高。其中標(biāo)準(zhǔn)齒頂高和齒根高表示為：ha=hahf=(ha上式中，ha*和c*分別稱為齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)。我國規(guī)定ha正常齒制：ha*短齒制：ha*顯然，當(dāng)ha*和c*分別取標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)，按照式（2.10（3）分度圓上齒厚等于齒寬，即s=e=只有同時(shí)具備上述三個(gè)特征的齒輪才是標(biāo)準(zhǔn)齒輪，否則為非標(biāo)齒輪。但是需要強(qiáng)調(diào)的是對于任何齒輪，式（2.5）～（2.11）都是適用的。因此標(biāo)準(zhǔn)外圓柱齒輪的齒頂圓直徑和齒根圓直徑分別為：da=d+2綜上所述，標(biāo)準(zhǔn)齒輪的幾何參數(shù)決定于模數(shù)m、壓力角α、齒數(shù)z、齒頂高系數(shù)ha*和齒根高系數(shù)2.2.5圓的漸開線及其方程1、圓的漸開線的定義如圖2.3所示，當(dāng)一直線n-n沿著一個(gè)圓的圓周作純滾動(dòng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)K的軌跡AK稱為該圓的漸開線，簡稱漸開線，這個(gè)圓稱為基圓，其半徑用rb表示，直線n-n稱為漸開線的發(fā)生線，角θk(-∠AOK)稱為漸開線段圖2.3漸開線形成原理圖2、漸開線的性質(zhì)（1）因?yàn)榘l(fā)生線在基圓上作純滾動(dòng)，所以發(fā)生線在基圓上滾過的一段長度等于基圓上被滾過的一段弧長，即。（2）漸開線上任意一點(diǎn)的法線必須與其基圓相切。（3）發(fā)生線與基圓的切點(diǎn)N也是漸開線在點(diǎn)K的曲率中心，故NK是相應(yīng)的曲率半徑。（4）基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直。（5）因?yàn)闈u開線從基圓開始向外展開，故基圓以內(nèi)無漸開線。3、漸開線方程根據(jù)漸開線的形成原理可以得出它的方程式。如圖2.3所示，點(diǎn)A為漸開線在基圓上的起始點(diǎn)，K為漸開線上任意一點(diǎn)，其向徑用rK表示。若以此漸開線為齒輪的齒廓，當(dāng)另一個(gè)齒輪的齒廓同它在點(diǎn)K嚙合時(shí)，該齒廓在點(diǎn)K所受的正壓力應(yīng)該沿著齒廓在該點(diǎn)發(fā)線NK的方向。同時(shí)齒輪繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，齒廓上點(diǎn)K速度的方向垂直于直線OK，即沿著直線mm。法線NK與mm之間所夾的銳角稱為齒廓在該點(diǎn)壓力角，記為α根據(jù)漸開線的性質(zhì)，由ΔOKN中的關(guān)系可得rk又因?yàn)閠anαk=—NK—即θ上式表明，展角θk隨壓力角αk變化而變化，故θk又稱為角αk的漸開線函數(shù)，工程上用invθk=invαk=tan為了方便計(jì)算，工程中已將不同壓力角的漸開線函數(shù)invαk計(jì)算出來列成表格。綜上所述，聯(lián)立（2.13）、（2.14）兩式即得漸開線的極坐標(biāo)參數(shù)方程式為rk=rb2.3橢圓齒輪基本理論2.3.1非圓齒輪的節(jié)曲線1、基本概念節(jié)曲線是一對互相嚙合的齒輪在其嚙合過程中實(shí)現(xiàn)無滑動(dòng)地滾動(dòng)的共扼曲線。知道一個(gè)齒輪的節(jié)曲線后，便可根據(jù)共軛關(guān)系，求出另外一個(gè)共扼齒輪的節(jié)曲線齒輪的齒頂和齒根輪廓線是其節(jié)曲線的等距線（在法線方向上等距）。在切齒過程中，刀具節(jié)線沿齒輪節(jié)曲線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。主動(dòng)和從動(dòng)非圓齒輪轉(zhuǎn)角間的關(guān)系叫做位置函數(shù)[3]。用下式表示φ2=Fφ其中下腳標(biāo)1和2分別對應(yīng)于主動(dòng)輪和從動(dòng)輪。傳動(dòng)比一主動(dòng)輪回轉(zhuǎn)角的函數(shù)形式確定的齒輪瞬時(shí)角速度比為i21=ω2ω1位置函數(shù)和傳動(dòng)比函數(shù)是非圓齒輪副的幾何特性。非圓齒輪副中的主動(dòng)齒輪，無論其運(yùn)動(dòng)規(guī)律在時(shí)間上怎樣改變，都不會(huì)影響位置函數(shù)和傳動(dòng)比函數(shù)的特性。在定平面內(nèi)節(jié)曲線切點(diǎn)的軌跡叫復(fù)節(jié)曲線。實(shí)際上，復(fù)節(jié)曲線是齒輪副的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心在定平面中的軌跡。2、節(jié)曲線的方程式節(jié)曲線的計(jì)算可以分為兩種情況：（1）按給定的傳動(dòng)比函數(shù)i12=fφ1計(jì)算齒輪的節(jié)曲線。設(shè)齒輪副的中心距為a（圖2.4），主動(dòng)輪1的轉(zhuǎn)角為φ1，瞬時(shí)角速度為ω1，從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)角為φ2φ2=Fφ則齒輪副的傳動(dòng)比函數(shù)i12i12=ω1fφ1=1圖2.4外嚙合非圓齒輪副可以證明，兩齒輪在任一瞬時(shí)，總有一個(gè)相對運(yùn)動(dòng)速度等于零的點(diǎn)P，稱之為瞬時(shí)傳動(dòng)節(jié)點(diǎn)(簡稱瞬心)。它位于聯(lián)心線O1O2上，且滿足條件ω1?O1i12=ω1當(dāng)瞬時(shí)傳動(dòng)比i12是變數(shù)時(shí)，瞬心P的位置及r1、r2是變化的。瞬心在齒輪1由式（2.21）可得主動(dòng)輪1的節(jié)曲線方程為r1φ1=得到從動(dòng)輪2的節(jié)曲線方程為r2=a-r上面是以極坐標(biāo)形式表示的外嚙合非圓齒輪副節(jié)曲線方程。按此式計(jì)算節(jié)曲線時(shí)，兩極角的計(jì)量方向與相應(yīng)的回轉(zhuǎn)角速度方向相反(見圖2.4)。如果給定的條件是齒輪1的節(jié)曲線方程：r1i12=fφ從動(dòng)輪2的節(jié)曲線方程為r2=a-r如果齒輪2是內(nèi)齒輪（圖2.5），則回轉(zhuǎn)角的方向相同。圖2.5內(nèi)嚙合非圓齒輪副用同樣的方法可以求得主、從動(dòng)輪的節(jié)曲線方程r1=air2=a+r1(2)按要求再現(xiàn)的函數(shù)計(jì)算節(jié)曲線設(shè)要求非圓齒輪傳動(dòng)再現(xiàn)某個(gè)函數(shù)y=fx，x在閉x1，x2內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)?？闪钪鲃?dòng)輪1的轉(zhuǎn)角φφ1=k1則傳動(dòng)比為i12=dφ上面兩式中的k1、k2是比例常數(shù)，f'(x)是函數(shù)f(x)對x的一階導(dǎo)數(shù)。由式（2.22）、式（2.23φ1=k1φ2=k2設(shè)齒輪1的節(jié)曲線在P點(diǎn)的切線t的正方向(轉(zhuǎn)角φ1加大的方向)，與r1的正方向夾角用μ1表示(圖2.4)tanμ1=r對于傳遞傳動(dòng)比函數(shù)i12=ftanμ1=-對于再現(xiàn)函數(shù)y=fx的非圓齒輪副，由式（2.30tanμ1=f同樣設(shè)計(jì)齒輪2的節(jié)曲線在P點(diǎn)的切線正方向(轉(zhuǎn)角φ2加大的方向)，與r2正方向夾角用μ2tanμ2=r由式（2.23）和式（2.31）均可得到tanμ1=-tan2.3.2橢圓齒輪副橢圓齒輪是非圓齒輪中最常用的一種。當(dāng)用相同的橢圓齒輪傳動(dòng)時(shí)，隨著橢圓偏心率的不同，可得到不同的傳動(dòng)比變化曲線。以完成各種機(jī)構(gòu)的變速傳動(dòng)，或作為速度和加速度調(diào)節(jié)之用。圖2.6橢圓齒輪副如圖2.6所示，齒輪1為橢圓齒輪，與其共軛的非圓齒輪為齒輪2。設(shè)齒輪1的基礎(chǔ)圓的半徑為R、向徑r1、變形距為e(也可以稱為偏心量)，非圓齒輪2的向徑為r2，兩齒輪的中心距為2a。當(dāng)非圓齒輪1轉(zhuǎn)過φ1角時(shí)，非圓齒輪2橢圓齒輪的節(jié)曲線方程式為：R1=a1式中φ1——a——橢圓的長半軸；e——橢圓的對稱中心到焦點(diǎn)的距離；b——橢圓的短半軸R即：R2=a1+2e橢圓齒輪傳動(dòng)比函數(shù)為：i12''=2圖2.7傳動(dòng)角變化曲線由上式可知：當(dāng)θ1=0°，360°時(shí)，傳動(dòng)比有最大值，i21max=1+e1-e，當(dāng)當(dāng)主動(dòng)輪1的角速度ω1為常數(shù)時(shí)，從動(dòng)輪2的最大角速度ω2max與最小角速度ω2min之比為:τ≤1/3由此可見，橢圓齒輪的離心率e越大，τ值也越大，則傳動(dòng)比的變化也劇烈。在一般的設(shè)計(jì)中，常取τ≤1/3，可使運(yùn)動(dòng)平滑無突跳。若主動(dòng)齒輪以等角速度ωdφ2dt=當(dāng)φ1dφ2dtmin當(dāng)φ1dφ2dtmax最大角速度和最小角速度交替出現(xiàn)，設(shè)K為最大和最小角速度之比，則：k=a+ca-c2通常取k≤5,就可保證構(gòu)件運(yùn)動(dòng)平滑而無“跳動(dòng)”。設(shè)計(jì)橢圓齒輪時(shí)，通常根據(jù)機(jī)器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選取中心距A＝2a,在滿足某一速比K時(shí)，則短半軸可由下式求出：b=2ak14在大多數(shù)情況下，K值不超過4。這樣的橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不會(huì)太扁平，其周長近似于a+bπ。因此橢圓齒輪的齒數(shù)等于直徑為(a+b)z=a+bm（式中m——齒輪的模數(shù)一對共軛的橢圓齒輪中，每一個(gè)橢圓齒輪的齒數(shù)均為奇數(shù)。因此，計(jì)算出齒數(shù)后，應(yīng)選取相近的奇數(shù)。同時(shí)要準(zhǔn)確的計(jì)算橢圓節(jié)曲線的全場S，使其等于整數(shù)倍齒距，即s=2.4橢圓齒輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)2.4.1結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)由包裝機(jī)原技術(shù)參數(shù)如下，每次包裝機(jī)刀輥需切削的透明紙長度為169.3mm，包裝速度為800包/min，即刀輥轉(zhuǎn)速n則透明紙輸送速度為V產(chǎn)品正常工作時(shí)要求V原機(jī)型采用圓柱齒輪，則V裁切=Dπn改裝型設(shè)備采用橢圓齒輪傳動(dòng)，裁切時(shí)刀輥被加速到最大速度范圍，而且切刀被安裝在很小的斜面內(nèi)，可按最高速度計(jì)算nnε橢圓齒輪傳動(dòng)的最大和最小角速度之比為K，且K=若選取不同的K值來分析他對刀輥上的切刀旋轉(zhuǎn)直徑的影響，即如表2.1所示[4]。表2.1K值分析表KeD（mm）20.171573≥38.106130.267949≥31.113440.333333≥26.945050.381966≥24.100360.420204≥22.0005實(shí)踐證明，當(dāng)K≤5時(shí)，橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不太扁平，可以保證機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平滑而無“跳動(dòng)”，使傳動(dòng)平穩(wěn)，故在大多數(shù)情況下，取K≤5。在