空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用

空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識(shí)1．空間向量及其有關(guān)概念概念語(yǔ)言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于冋一個(gè)平面的向量共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(bHO),a〃bo存在久wR,使a=Ab共面向量定理若兩個(gè)向量a,b不共線，則向量p與向量a,b共面o存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb空間向量基本定理及定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存推論在唯一的有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝使得p=xa+yb+zC.推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的二個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,乙使—F=xOA+y—B+zOC且x+y+z=12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a?b=|a||b|cos〈a,b〉；②a丄boab=O(a,b為非零向量)；③設(shè)a=(x,y,z),則|a|2=a2，|a|=px2+y2+z2.(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：a=(Q],a2,a3),b=(b],b2，b3)向量和a+b=(a1+b1，a2+b2,a3+b3)向量差a—b=(a1—b1，a2—b2，a3~b3)數(shù)量積a?b=a1b1+a2b2+a3b3共線a〃bna1=%b],°2=久方2,°3=久方3(久wR,bHO)垂直a_Lboa]b]+a』?+。3方3=0夾角公式cos〈a,b).aibi+a2b;+a3b3丫°2+。2+。3冷何+方2+方23．直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或或共線,則稱(chēng)此向量a為直線l的方向向量.平面的法向量：直線l丄a取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.4．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2n1ln2on1=kn2(keR)A丄‘2n1丄0『n2=0直線l的方向向量為n,平面a的法向量為ml〃an丄mon?m=0l丄an〃mon=km(keR)平面a,B的法向量分別為n,mallBn〃mon=km(keR)a丄Bn丄mon?m=0．空間向量基本定理的3點(diǎn)注意空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．由于0與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，故0不能作為基向量．基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．2．有關(guān)向量的數(shù)量積的2點(diǎn)提醒若a,b,c(bMO)為實(shí)數(shù)，則ab=bc=a=c;但對(duì)于向量就不正確，即a?b=b?C a=C.數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即(a?b)c不一定等于a(b?c).這是由于(a?b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b?c)表示一個(gè)與a共線的向量，而C與a不一定共線．3．方向向量和法向量均不為零向量且不唯一二、常用結(jié)論

證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線:⑴前=APBUWR)；⑵對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OA+tAB(t^R)；對(duì)空間任一點(diǎn)O，OP=xOA+yOB(x+y=1).證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P,M,A,B除空間向量基本定理外也可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面：MtP=xMA+yMS；⑵對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OM+xMA+yMB；PM^AB(或PA〃褊或PB//AM).確定平面的法向量的方法直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有，則此向量就是法向量.待定系數(shù)法：取平面內(nèi)的兩條相交向量a,b,設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),由n?a=O,n?b=0.解方程組求得.考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算[1?如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若Ap=a,AD=b,AA1=c，貝9下列向量中與麗相等的是()A一^a+^b+c B.^a+^b+cA.2222C.-C.-ia-!b+cd.H+c解析：選AbM=bM+b1M=aa1+2(ad—ab)=c+|(b-a)=-|a+2b+c.2?如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AAA=a,AAB=b,AAD=c,M,N,P分別是AA1，BC,C1D1的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量:存;⑵―;(3}MP+NCV解：(1)TP是C1D1的中點(diǎn)，MP=——p+AD]+—p=a+AD+2D]C]=a+c+2—P=a+2b+c?⑵?:N是BC的中點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z^D .1A^N=AA+AB+BN=—a+b+2BC1P 1=—a+b+2ad=—a+b+2c,VM是AA1的中點(diǎn)，???MMp=MA+AAp= 判斷MA,MB,MF三個(gè)向量是否共面; 判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解：(1)由已知OAA＋OAB＋O 判斷MA,MB,MF三個(gè)向量是否共面; 判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解：(1)由已知OAA＋OAB＋OAC=3OAM,P P P 1 P P 1 P P 1又NC]=NC+CC]=2BC+AA]=jAD+AA]=a+2c^mmp+ND=da+1b+c)+(a+2c)=|a+1b+|c.考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用若A(—1,2,3),B(2,l,4),C(m,n,1)三點(diǎn)共線，則m+n= .解析：TAB=(3,—1,1),AC=(m+1,n—2,—2),且A,B,C三點(diǎn)共線，.?.存在實(shí)數(shù)九使得AC=AAB.即(m+1,n—2,—2)=A(3,—1,1)=(3久，一久，久)，m+1=32,n—2=—A, 解得2=—2,m=—7,n=4.、一2=2,.m＋n=—3.答案：—3已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿(mǎn)足OOM=j(OOA+

所以O(shè)A—OM=(OM-OB)+(OM-OC),即祝J=BM^CM=-MB-MC,所以M所以M7,MMB,MC共面.（2）由（1）（2）由（1）知Ma,所以M,A,B,3?如圖所示，已知斜三棱柱ABCABC,點(diǎn)M,N分別在AC1Mb,Mc共面且過(guò)同一點(diǎn)m.C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).和BC上，且滿(mǎn)足AM=kACB1,BN=kBC（0<k<1）.判斷向量MN是否與向量AAB,AAC共面.fi—^B解：?/AM=kAC1,BN=kBC,11C1)+^A , —^A —^A—^A —^AAB=kB1A―+^A , —^A —^A—^A —^AAB=kB1A―+AB=AB—kAB1=AB—k(AA1+AB)=(1—k)AB-kAA1,??.由共面向量定理知向量頑與向量AAB,AAC共面.考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及應(yīng)用［典例精析］如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)EF?BA；(2)EG?BD.E［解］設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=l,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.—AB)=1c—a，欣=—a,所以EF?BA=(^2c—2a/(—a)=2a2—2a^c=1^C —^AEG?BN=(EA+AG)?(AD-AB)=L2AB+2AC+2AD丿(AD-AB)=(-2a+11b+2c)(c—a)=-1,1,1—1,1—1=1—4十2十4 4十2 4_2.［題組訓(xùn)練］如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面［題組訓(xùn)練］如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1=2,ZA1AB=ZA1AD=120°.求線段AC】的長(zhǎng)；求異面直線AC］與A1D所成角的余弦值；求證：AA］丄BD.解：(1)設(shè)AB=a,AD=b,AA1=C,則|a|=|b|=l,|c|=2,a?b=O,c?a=c?b=2Xixcos120°=—1.???AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,|—C1|=|a+b+c|= (a+b+c)2=\.,■11a|2+1b|2+1c|2+2(a?b+b?c+c?a)=\'12+12+22+2x(0—1—1)=V2.???線段AC1的長(zhǎng)為冷2.(2)設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為8,則Cos8=|Cos〈疋,――D>|=―i—c>Q*.*—C1=a+b+c,—]D=b—c,.*.—C1]D=(a+b+c)?(b—c)=a?b—a?c+b2—C2=o+1+12—22=—2,A―S|=\J(b—c)2=\：'|b|2—2b?c+|c|2=\'12—2X(—1)+22=77.?.cos8=|応?—―5||—C?||—―D||—2|=島\'2X;7=7故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為歲.證明：忑=c,BD=b—a,—^D —^D—^DAA1?BD=C?(b—a)=C?b—C￡=(—1)—(—1)=0,.AA1丄BD，即AA[丄BD.考點(diǎn)四利用向量證明平行與垂直問(wèn)題［典例精析］如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD,PD［典例精析］如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF丄PB于點(diǎn)F.求證：PA〃平面EDB；PB丄平面EFD.［證明］以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x軸、尹軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.彳殳DC=a.⑴連接AC交BD于點(diǎn)G,連接EG.依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),El0,因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以G為AC的中點(diǎn)(aa、故點(diǎn)G的坐標(biāo)為百，20丿,—^^ (a a所以PA=(a,0,—a),EG=總，0,_2則叵T=2EG，故PA//EG.而EGU平面EDB,PAG平面EDB,所以PA〃平面EDB.(2)依題意得B(a,a,0)，所以—T=(a,a,—a).又貳=(0,2，2)，故？?DE=0+022—022=0,所以PB丄DE,所以PB丄DE.由題可知EF丄PB,且EFHDE=E,所以PB丄平面EFD.［解題技法］利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系.建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素.通過(guò)空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系.所以BM=BA+A?=所以BM=BA+A?=(—4,5，5丿,則AP?BM=(0,3,4)(—4,1612>—M，M丿=°，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題.［提醒］運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系時(shí)，仍然離不開(kāi)幾何定理?如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行時(shí)，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.［題組訓(xùn)練］如圖，在三棱錐PABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.證明：APIBC；若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3.試證明平面AMC丄平面BMC.證明：⑴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0),A(o,—3,0),B(4,2,0),C(—4,2,0),P(0,0,4).于是喬=(0,3,4),BBC=(—8,0,0),所以喬?BC=(0,3,4)?(一8,0,0)=0,所以BT丄B?，即AP丄BC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且點(diǎn)M在線段AP上,所以AM=5AP=(0,5,切，又B?=(—4,—5,0),所以AP丄前，即AP丄BM,又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP丄BC,且BCHBM=B,所以AP丄平面BMC,于是AM丄平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC丄平面BMC.［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］已知a=(2,l,-3)，b=(—1,2,3),c=(7,6,久)，若a，b，c三向量共面，則2=( )A.9

解析：選B由題意知c=xa+yb,即(7,6,久)=x(2,l,—3)+y(—1,2,3),2x_y=7,<x+2y=6, 解得X=—9.、一3x+3y=A,2?若平面a“的法向量分別為小=(2,—3,5),n2=(-3,1,-4)，貝％ )A.allB B.a丄〃C.a,B相交但不垂直 D.以上均不正確解析：選C*.*n『n2=2X(—3)+(—3)x1+5X(—4)=_29^0,An1與n2不垂直，又n,n2不共線，:、a與B相交但不垂直.3.在空間四邊形ABCD中，AB-CD+AC-DBB+AD-BC=( )A.—1 B.0C.1 D.不確定解析：選B如圖，令喬=a,AC=b,AD=c,則AB?CD+AC?DB+AD?BC=a?(c—b)+b?(a—c)+c?(b—a)=a?c—a?b+b?a—b?c+c?b—c?a=0.4?如圖，已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線為OB,AC,M,N分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且分MN所成的比為2,現(xiàn)用基向量OA,OB,OC表示向量OA，設(shè)OA=xOA+yOB+zOCC，則x,y,z的值分別是（）A.=1=1=1x3,yA.=1=1=1x3,y3,z311B.x=3,y=3,1z=6C.11y=6，1z=3D.11x=6，y=3，1z=3cc解析:選D設(shè)OA=a,OB=b,OCC=c,???點(diǎn)G分MN所成的比為2,MGG=|MS,???OB=OM+MG=OM+j(ON—OM)=1a+彳少—知=1a+1b+1c—|a=6a+ib+ic，即xW，y=3,z=|.5?如圖，在大小為45。的二面角AEFD中，四邊形ABFE，四邊

形CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是（ ）Aa；3 B車(chē)C.1C.1解析：選D?/BD=BF+FE+ED,???|BD|2=|BF|2十|FE|2十|EDp+2BF-FE+FE?ED+2BF?ED=1+1+1—“叮2=3—吋2,?\|BD\=3—\：2.=OC+CC[=2(AB+6?如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C=OC+CC[=2(AB+AD，洛表示疋，則—OC1= .解析：???OC=2AC=1(AB+AD),：?OCD,—^^11 —^^AD)+AA1=2AB+2AD+AA「答案：2喬+|ak+aa^7?已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分別是CD,PC的中點(diǎn)，并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，MN=解析：連接PD（圖略略），?：M,N分別為CD,PC的中點(diǎn)，:MN=^PD,又尸(0,0,1),D(0,l,0),:.PD=\l02+(—1)2+12=、Q：.MN=^在正三棱柱ABCABC中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1，M為BC的中點(diǎn)，C1N=ANC，且AB1丄MN,則久的值為 .解析：如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)P,連接MP,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MC,MA,MP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,所以A（0,#,°）B（—20,2）,c(|,0,0丿，C]遼，0,2丿,M(0,0,0),M(0,0,0),設(shè)10,J,所以AB]所以AB]=1—12,又因?yàn)锳B、丄肋，所以麗>=0.1 4所以一4+]|丸=0，所以久=15.答案：15如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離.解：VZACD=90°,AAC-CD=0.同理AC-BA=0.?：AB與CD成60°角，.BA,CD>=60?；?20°.■—A■—A ■—A■—A又?：BD=BA+AC+CD,?.|BD|2=|BA|2十|AC|2十|CD》+2BA?AC+2BA?CD■—A■—D .■—A■—A、+2AC?CD=3+2X1X1Xcos<BA,CD>.當(dāng)〈叵t,CD>=60。時(shí)，RD2=4；當(dāng)〈BA,CD>=120°時(shí)，BD2=2..??|BD|=2或邁，即B,D間的距離為2或邁.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形,E，F(xiàn)，G分別是A]D],D1D，D1C1的中點(diǎn).試用向量AB，AD，AAD表示AG；用向量方法證明平面EFG〃平面ABC解：(1)設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則AG=AA】+A]D1+D]G=c+b+空DC=2a+b+c=2AB+AD+AA】.故ag=|ab+ad+aa1.(2)證明：AC=AAB+Be=a+b,EG=￡^+廠]75=2?+23=2ACC,?:EG與AC無(wú)公共點(diǎn)，:.EG//AC,:EGQ平面ABC,ACU平面ABC,:.EG〃平面ABC.又：AB1=AB+BB1=a+c,FG=尸Dj+D]75=2c+2a=2—B1,:FG與AB1無(wú)公共點(diǎn),:FG/AB1,:FGQ平面ABC,AB1U平面ABC,:.FG〃平面ABC.又:FGHEG=G,FGU平面EFG,EGU平面EFG,:.平面EFG〃平面ABC.B級(jí)1.已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP=xOA十尹商+zOC(x,y,zWR)，貝y“x=2,y=-3,z=2"是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的( )A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)x=2,y=-3,z=2時(shí)，即OC=2OC一3OC+2OC.則AP-AO=2OC-3(AB—AO)+2(AC—AO),即AP=-3AB+2AC,根據(jù)共面向量定理知,P,A,B,C四點(diǎn)共面；反之，當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，根據(jù)共面向量定理，設(shè)AP=mACC+CCCCCCCCC

nAC(m,n￡R)，即OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA)，即OP=(1—m-n)OA+mOB+nOC,即x=1_m_n,y=m,z=n,這組數(shù)顯然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.空間四點(diǎn)A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置關(guān)系為( )A.共線 B.共面C.不共面 D.無(wú)法確定解析：選CAB=(2,0,-4),AC=(-2,-3,-5),AD=(0,—3,—4)，由不存在實(shí)數(shù)九使AB=AAC成立知，A,B,C不共線，故A,B,C,D不共線；假設(shè)A,B,C,

0=2x—2y,D共面，則可設(shè)AD=xAB+yA€(x,y為實(shí)數(shù))，即彳一3=—3y, 由于該方程組無(wú)、一4=—4x—5y,解，故A,B,C,D不共面，故選C.3.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q!?Q1B取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 .解析：由題意，設(shè)O(C=AOP，則OQ=(九九2久)，即QU，九2A),則QA=(1—九2—久，3—2久)， QC=(2—久，1—久，2—2久)，.?QA?QC=(1—久)(2—2)+(2—久)(1—2)+(3( 4A 2 4 <448、—22)(2—22)=622—162+10=6”一3J2—亍，當(dāng)2=3時(shí)取最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)是百，亍，寸.4-3

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43?已知四面體PABC中,/PAB=/BAC=/PAC=60°―|=1,—C|=2,—P|=3，貝^\—+AP+—\= ,解析：???在四面體PABC中，ZPAB=ZBAC=ZPAC=60°,—\=1,\—\=2,\——^C —^C —^C\=3,???AB-AC=1X2Xcos60°=1,AC-AP=2X3Xcos60°=3,AB-AP=1X3Xcos60°^^C^^C^^C^^C^^C^^C=2，?\AB+AP+AC