山東大學高等數(shù)學上試題及答案

PAGEPAGE5ft東大學(南新區(qū)、軟件學院)2009～2010年度第一學期高等數(shù)學(本科)課程試卷一、填空題(每小題4分，共20分)limx0

.8sinx8sinxx2cos1x3ln(1x)設yesinxsin ,則y' 1x122lim[ke2

exsinx]存在，則常數(shù)k .x0

ex1

|x|設f(x)是連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)3x20

f(x)dx2,則f(x) .(5)設函數(shù)yy(x)由方程xef(y)eyln2009確定，其中f具有二階導數(shù)，且d2ydx2fd2ydx2二、選擇題(每小題4分，共20分)(6)(,內函數(shù)y

x 的可去間斷點的個數(shù)( tanx(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3函數(shù)yln(1x2單調增加且其圖形為凹的區(qū)間是( )(A)(1) (B)(1,0) (C)(0,1) (D)(1)設函數(shù)zf(xy)(xy0 0

)處存在對x,y的偏導數(shù)，則f'f(f(x,y)f(xx,y)0 0x00

(x,y0

)( )(A) limx0(C) limx0

f(xxfxf(xx,yy)f(x,y)0 0x0 0

2x,y0

)f(x,y)0 0

(B) limf(x,yf(x,y)f(x,y)0 0xx0(D) limxx0曲線xtnt在(0,1處的法線方程( )ytst(A)y2x10 (B)y2x10 (C)y2x10 (D)y2x20曲線y1ln(1漸近線的條數(shù)( )x(A)0 (B)1 (C)2 (D)3三、計算、證明題(每小題10分，共60分))求極限lim(exx...1其中是給定的正整)x0 nln(1ax3)，x0xarcsinx(12)設函數(shù)f(x) 6 ，x0eaxx2ax1，x0 xsinx 4問為何值時，f(x在x連續(xù)；為何值時，x是f(x.13)z3axyx3y3(a0)的極值.(14)求函數(shù)y2x36x218x7在1,4上的最大值和最小值.(15)設f(x)在(0,)上有定義，f(x)在x1處可導且f'(1)4,若對所有的x1

0,x有fxxxf(xxfx).2 12 1 2 2 1試證：f(x)在(0,)上可導，并求f'(x).設拋物線yx2BxC與軸有兩個交點xaxb(a又f(x)在b上有二階導數(shù)，且f(af(b若曲線yf(x)與yx2BxC在（a內有一個交點，求證：在（a內存在一點f(2.答案（請各位老師在閱卷前先演算一遍，發(fā)現(xiàn)錯誤及時反饋。謝謝?。? 一、填空題(每小題4分，共20分8 (1) (2)y'cosxesinxsin 3 x

11x2esinx1x2x

(3)k2103f''(y)(1f103f''(y)(1f'(y))2x2(1f'(y))3二、選擇題(每小題4分，共20分)(6) (D) (7) (C) (8) (B) (9) (A) (10) (D)三、計算、證明題(每小題10分，共60分)(11)令y(exx1， 分)x 2n則lny

1ln(exx). 分x nn12nlimlnylim1ln(exn12nx0 x0limx0

n1

n1 分xx所以原極限e2 分13ax211x2ax3xarcsinx(12)limf(13ax211x2ax3xarcsinxx0 x0 x02xa2xeaxx2ax1x2limf2xa2xeaxx2ax1x2x0 x0 x0limf(x)limf(x)，有2a24a或a2.x0 x0當amf(x6f(0，即f(x在x.x0當a時mf(x)12f(0，則x是f(x的可去間斷 1分x0zx

3ay3x20

(13)解方程組z3ax3y2y

3分2zx2又 2zx2

2z

2z

6y 分y2于是在點處有AB29a20.故0,0不是函數(shù)的極值點.又在點aa處有AB227a20.又A6a，故所給函數(shù)在aa處有極大值

max

a3 分(由于y(x在4上連續(xù)，因此必要最大值M和最小值m 分y'6x212x18,令y'得x3,. 6分因為不在區(qū)間3是y(x)在x 4 1 因為不在區(qū)間3是y(x)在12 12M＝max f(1),f(3),f(4) max29,61,47 29mminf(1),f(3),f61. 10分解令xx由條件fxxxf(xxfx知1 2 12 1 2 2 1f(1)1f(1)1f(1)2f即有f(1)0. 分在x0,xx利用題設條件有f(xx)f(x)x1x ff(xx)f(x)x1x x 1x (1x)f(x)xf(1x)f(x)1xx x 1x 1x

f(xxf(1x) 分f(x)xf(1x)f(x)xf(1x)f(1)xxx，，f(1x)f(1)xf(1x)f(1)xxxf(xx)f(x)xf(x)xf(xx)f(x)xf(x)xf(x)xf(x)xx0 x0f(x)x由導數(shù)定義知f(x)在x處可導且有f'(x) f(x)x(16)令輔助函(x)f(x)(x2xC 5分由題設條件可知(x)在b上也有二階導數(shù)且(a)