2019-2020學(xué)年安徽省池州市貴池區(qū)高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

第第頁共25頁???SABCD為正四棱錐,??ACBD,。為AC、BD中點，SO面ABCD,又?AC,BD面ABCD,SOAC,SOBD,又ACBD,SOBDO,??AC面SBD,?ACBD,EF//BD,ACEF,又???ACPE,且PEEFE,AC面PEF,又AC面SBD,.??面PEF//面SBD,又面PEFI面SDCPF,面SBDI面SDCSD,PF//SD,.P點在線段GF上運動，因為正方形ABCD的邊長為4,TOC\o"1-5"\h\z1 - -OD -BD — 4、222,\o"CurrentDocument"2SO BD,SO 4技SDOD2SO22.-4,??EF//BD,E為BC中點，??F為CD中點，同理，G為SC中點，GF-SD-4.2

本題考查了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查了平面與平面平行的判定和性本題考查了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查了平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理，屬于中檔題三、解答題17.已知在ABC中，A1,2,B4,4,點C在拋物線y=x2上.(1)求ABC的邊AB所在的直線方程；(2)求ABC的面積最小值，并求出此時點 C的坐標(biāo)；(3)若Px,y為線段AB上的任意一點，求丫的取值范圍.x【答案】(1)2xy40(2)ABC的面積最小值為3,此時C點坐標(biāo)為1,1.(3)2,1【解析】(1)直接由兩點式可得直線方程；(2)設(shè)點C坐標(biāo)為t,t2，利用點到直線的距離求出點C到AB的距離，再根據(jù)二次函數(shù)知識求出這個距離的最大值，以及取得最大值的條件，再根據(jù)面積公式可求得面積的最大值，根據(jù)取得最大值的條件可求得點 C的坐標(biāo)；⑶根據(jù)丫的幾何意義，轉(zhuǎn)化為OA,OB的斜率，結(jié)合圖象可得答案.x【詳解】解：（1）???A1,2,B4,4,???直線AB的方程為——，即412xy4???直線AB的方程為——，即412xy40.t,t2,(2)設(shè)點C坐標(biāo)為又-IAB& 422押,i1____SABC21ABd3,ABC的面積最小值為3.當(dāng)且僅當(dāng)t1時等號成立，此時C點坐標(biāo)為1,1(3) Px,y為線段AB上任意一點,???Y的幾何意義為坐標(biāo)原點O0,0與線段AB上的點所確定直線的斜率,x即y的幾何意義為當(dāng)直線xOP即y的幾何意義為當(dāng)直線xOP與線段AB有交點時，直線OP的斜率，如圖所示：【點睛】本題考查了直線方程的兩點式，考查了點到直線的距離公式，考查了斜率公式，數(shù)形結(jié)合本題考查了直線方程的兩點式，考查了點到直線的距離公式，考查了斜率公式，數(shù)形結(jié)合思想，考查了二次函數(shù)求最值，考查了拋物線方程，屬于中檔題思想，考查了二次函數(shù)求最值，考查了拋物線方程，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐PABCD中，E為棱PC中點，底面ABCD是邊長為2的正方形，PAD為正三角形，平面ABE與棱PD交于點F,平面PCD與平面PAB交于直線l,且平面PAD平面ABCD.(1)求證：l//EF;(2)求四棱錐PABEF的表面積.【答案】(1)證明見解析(2)2J3【解析】(1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理得 AB//面PCD,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理得AB//EF,同理AB//1,再根據(jù)平行公理4可證l//EF,(2)利用三角形的面積公式和直角梯形的面積公式計算五個面的面積再相加即可得到答案.【詳解】解：(1)如圖所示：P4 B???ABCD為正方形，AB//CD,aAB面PCD,CD面PCD,..AB//面PCD.E為PC中點，平面ABE與^^PD交于點F,，面ABEFI面PDCEF,AB//EF.同理AB//1,???l//EF.(2)由(1)知AB//EF,又「AB//CD,???EF//CD,1”)又「E為PC中點，，F(xiàn)為PD中點，且EF-CD1,又「PAD正三角形，且邊長為2,AFPD,AFJ3,PF1,1 .3??SPAF-PFAF--.2 2ABCD為正方形，ABAD,又面PAD面ABCD,面PADI面ABCDAD,AB面PAD,又AF面PAD,ABAF.又???AB//EF, ABEF為直角梯形，SabefAB面PAD,PA面PAD,ABPA.c 1 18PAB -AB PA - 222.2同理Spcd2,

…SPEF…SPEF1sSPCD4ABPA，pbTab2pa2J2222272，同理PCPB2.,2,又BC2，?一Spbc2又BC2，?一Spbc2BC「PB22BC2又「E為PC中點，???Spbe1二SPBC2,72四棱錐PABEF的表面積SPAF SSPAF SPAB SPBE SPEFSABEF2.35二.2 2【點睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理 ，性質(zhì)定理，平行公理4,考查了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，考查了三角形和梯形的面積公式 ，本題屬于中檔題.19.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分別在線段BC,AD上，EF//AB,將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為 MNEF,且平面MNEF，平面ECDF.⑴在線段BC⑴在線段BC是否存在一點E,使得NDXFC,若存在，求出EC的長并證明；若不存在，請說明理由.(2)求四面體N-EFD體積的最大值.【答案】(1)見解析； (2)2.【解析】(1)EC=3時符合；連接ED,交FC于點O,先證明FCL平面NED,再證明ND±FC.(2)設(shè)NE=x,則FD=EC=4-x,其中0<x<4,再求出… 1八 一1 , 一……一一……八 VNFED —SEFD NE —x4 x，再利用基本不等式求四面體 N-EFD體積的取大值2【詳解】(1)證明：EC=3時符合；連接ED,交FC于點O,如圖所示.???平面MNEFL平面ECDF,且NEXEF,平面MNEF平面ECDF=EF,NE?平面MNEF,?.NEL平面ECDF.???FC?平面ECDF, FC±NE.

???EC=CD??????EC=CD???四邊形ECDF為正方形，F(xiàn)CXED.又.EDnNE=E,ED,NE?平面NED,FC,平面NED.???ND?平面NED,..ND±FC.(2)設(shè)NE=x,則FD=EC=4-x,其中0<x<4,由⑴得NEL平面FEC,???四面體NEFD的體積為Vnfed???四面體NEFD的體積為Vnfed21 x4 x所以Vnfed 21 x4 x所以Vnfed 2 22,當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x,即x=2時,當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x,即x=2時,【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明， 考查體積的最值的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力 .20.如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC//平面DEFG,AD平面DEFG,ABAC,EDDG,EF//DG.且ABADDEDG4,ACEF2.(1)求證：BF〃平面ACGD;(2)求二面角DCGF的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)叵6【解析】(1)取DG中點H,連接FH、AH，通過證明EFHD為平行四邊形，可證ED//FH，且EDFH，通過證明ABFH為平行四邊形，可證BF//AH，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證BF//面ACGD;(2)以D為坐標(biāo)原點，以DE所在直線為x軸，以DG所在直線為y軸，以DA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系后，利用平面的法向量可求得結(jié)果.【詳解】(1)取DG中點H,連接FH、AH,如圖所示：EF1,H為DG中點，DG2,EFDH,又「EF//DG,1?EFHD為平行四邊形,??ED//FH，且EDFH,.面ABC//面DEFG,且面ABCI面ABEDAB,面DEFGI面ABEDED,AB//ED,又「ABED,ED//FH且EDFH,??AB//FH，且ABFH,??ABFH為平行四邊形，BF//AH,又BF面ACGD,AH面ACGD,??BF〃面ACGD.(2)以D為坐標(biāo)原點，以DE所在直線為x軸，以DG所在直線為y軸，以DA所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0,C0,1,2,G0,2,0,F2,1,0ur設(shè)平面CGF的法向量為m x1,y1,1,uuur uuur.GF2,1,0,GC0,1,2,ULUVvGFm2x1y10ULUVvGC吊y120

X1 1% 2,irm1,2,1,同理，面DCG的法向量irr同理，面DCG的法向量irrur'.mncos（m，n）-ir-r-' /mnn1,0,0,112010、6. ■1222121 6二面角DCGF的余弦為叵.【點睛】本題考查了直線與平面平行的判定定理 ，考查了二面角的向量求法，關(guān)鍵是正確建系，求出平面的法向量，本題屬于中檔題.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線 l的方程為3xk2y3k60，kR.(1)若直線l在x軸、y軸上的截距之和為-1,求坐標(biāo)原點O到直線l的距離；(2)若直線l與直線I，：3x2y50和I2：xy10分別相交于A、B兩點,點P0,3到A、B兩點的距離相等，求k的值.【答案】(1)一(2)k115【解析】(1)根據(jù)直線l在x軸、y軸上的截距之和為-1,列等式可得k 2,從而可得直線l的方程，再用點到直線的距離公式可得答案 ；(2)先判斷得點P為線段AB的中點，設(shè)出Aa,b,根據(jù)中點公式求出Ba,6b,將其代入直線l,代入直線l,可解得A的坐標(biāo)，再將A的坐標(biāo)代入l的方程可解得k11.1,1,即3x4y120.[12| 12.32—42 —(1)解法一：令x0得橫截距y03；令y0,得橫截距％k2；則有k23 1,解得k2,此時，直線l的方程為—y43坐標(biāo)原點O到直線l的距離d(2)???點P0,3在直線l上，且點P到A、B距離相等,點P為線段AB的中點,如圖所示：如圖所示：點￡是$口上的點，且DE(1)求證：對任意白點￡是$口上的點，且DE(1)求證：對任意白0,2，都有ACBE設(shè)直線l與l1：3x2y50的交點為Aa,b,則直線l與舊xy10的交點Ba,6b3a2b50a 6b10解得A3,2.又丁點A在直線l上，..33k223k60,解得k11.【點睛】本題考查了截距的概念，考查了點與直線的位置關(guān)系，考查了直線與直線的交點，考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題22.如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SD2a,ADJ2a,a(0 2)(2)設(shè)二面角C-AE-D的大小為 ，直線BE與平面ACE所成的角為若cos J3sin，求的值.【答案】（1）見解析； （2） 夜.【解析】（1）因為SDL平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理只要證AC±BD即可.（2）先找出。計算出cos。再找到，求出點。到BE的距離，再求出sin，解方程cos J3sin得到的值.【詳解】（1）證明：連接BE、BD,由底面ABCD是正方形可得ACXBD.,「SD，平面ABCD, BD是BE在平面ABCD上的射影，AC±BE（2）解：由SDL平面ABCD知，ZDBE=）,.SD，平面ABCD,CD?平面ABCD,SDXCD.又底面ABCD是正方形，.,.CDXAD,而SDHAD=D,CD,平面SAD.連接AE、CE,過點D在平面SAD內(nèi)作DFXAE于F,連接CF,則CFXAE,故/CFD是二面角C-AE-D的平面角，即ZCFD=）.在Rt^ADE中，???AD=72a,DE=Xa，AE=a^^~2ADDE2aTOC\o"1-5"\h\z從而DF= =AE「2在Rt^CDF中，tan0￡D-=A 2,所以cos,9 .DF .222過點B作E