2018屆高三數(shù)學(xué)每天一練半小時(shí)：第38練數(shù)列的通項(xiàng)含答案

一題6數(shù)列第38練數(shù)列的通項(xiàng)訓(xùn)練目標(biāo)(1)求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法；(2)等差、等比數(shù)列知識(shí)的深化應(yīng)用.訓(xùn)練題型(1)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng).解題策略求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：(1)公式法;(2)累加法；(3)累乘法；(4)構(gòu)造法.一、選擇題iTOC\o"1-5"\h\z.在數(shù)列｛an｝中，ai=2,an+i=an+ln1+\,則&等于( )A. 2+lnn B. 2+(n-1)ln nC. 2+ nlnn D. 1+n+Inn.已知S為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，且log2($+1)=n+1,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為( )A.nan=23n=1,

Ban=A.nan=2C.n-1HC.n-1Hn=2n+1D.an=2.在數(shù)列｛an｝中，a=2,an+=—2an+3,則數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式an等于( )A.(-2)n1+1 B.2n一十1C.(-2)n1 D.(-2)n+1-1*4.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列 ｛an｝,定義向量cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),neN.下列命題中真命題是( )A.*.若？nCNA.*.若？nCN總有Cn// bn成立，則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列B.若？nCN總有Cn//bn成立，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列J、*- C.若？nCN總有Cn^bn成立，則數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列、*- D.若？nCN總有O成立，則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列J5.(2016?寶雞二模)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為S,且滿足4(n+1)(S+1)=(n+2)2an,B.(2n+1)2D.(2n+1)2—1則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式aB.(2n+1)2D.(2n+1)2—1A.(n+1)3- 2C.8n

、填空題、,i- 4一 an—、/3 * ~.數(shù)列｛an｝滿足a=0,an+i=——N—(n€N),則a2015=3an+1.定義：稱x+x：…+x為n個(gè)正數(shù)X1,X2,…，Xn的“平均倒數(shù)”，若正項(xiàng)數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為2ng,則數(shù)列｛Cn｝的通項(xiàng)公式Cn=.2an，8.已知數(shù)列8.已知數(shù)列｛an｝滿足：ai=1,an2a2an1,-2~入，使得數(shù)列里黑3n=2,3,4,…，設(shè)bn=a21+1,n=1,2,3,…，則數(shù)列｛bn｝入，使得數(shù)列里黑3.數(shù)列｛an｝中，d=1,an=3an—1+3n+4(nCN*,n>2),若存在實(shí)數(shù)為等差數(shù)列，則入=三、解答題.已知數(shù)列｛2門｝滿足&=1,|an+1-an|=pn,nCN*.(1)若｛an｝是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值;1(2)若P=2,且｛a2n—1｝是遞增數(shù)列，｛a2n｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛切的通項(xiàng)公式.石小二合奈相析A[因?yàn)閍n+1=an+In1+-,n所以an+1—an=In1+-=lnn——=ln(n+1)—Inn.nn又 a1=2,所以 an= a1 +(a2— a1) +(a3— a2) +(a4— a3) +…+(an—an1)=2+[ln2—In1+n—In1=2+Inn.]時(shí)，ai=S=3；當(dāng)n>2時(shí)，an=Sln3—ln2+n—In1=2+Inn.]時(shí)，ai=S=3；當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn1B[由Iog2(Sn+1)=門+1,得&=2-Sn1=2n,-Sn1=2n,所以數(shù)列｛卻｝的通項(xiàng)公式為an=3?n=1?,2n?n>2?.故選B.]A[an+1=—2an+3,即為an+1—1=—2(an—1),又a1—1=1,所以數(shù)列｛an—1｝是首項(xiàng)為1,公比為一2的等比數(shù)歹U,an—1=(—2)n1,an=(—2)nT+1.故選A.]4.A[若Cn//bn,4.A[若Cn//bn,可得(n+1)an=na+1,an+1 n+1an nan an-1 an-2an-1 an-2 an-3史a2nn—1n—2a2aln—1n-2n-32?彳.所以an=nab所以數(shù)列｛a所以數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列.易判斷當(dāng)O時(shí)，數(shù)列｛Hn｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,故選A.]25.A[當(dāng)n=1時(shí)，4(1+1)(ad1)=(1+2)ab解得a1=8,當(dāng)n>2時(shí)，由4(&+1)=(n+2)an-n^,得4(S-+1)=(n+1)(n+2)an-n^,得4(S-+1)=(n+1)2an1,兩式相減,得 4an=2 2(n+2)an(n+1)an-1

—n+13an(n+1) anan-1即 = 3一，所以an= - an-1n an—1an-2a2一?a1=a1(n+1)33n33X(n-1)3X---X23X8=(n+1)經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也符合，所以an=(n+1)3.]an—3斛析由an+1=-?=~匚,3an+1得a2:守二-a

a3=莘班「無f=業(yè)d3a2+1 —3+1na4-a3-.3 3—,，3_a-#a3+1—3+1—0,所以數(shù)列｛an｝的循環(huán)周期為3.故a2015=a3X671+2=a2=—，3.4n-1解析由已知可得，數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和$=n(2n+1),所以數(shù)列｛cn｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)c=S=3,C2=S>—81=10—3=7,故公差d=C2—C1=7—3=4,得數(shù)列的通項(xiàng)公式為Cn=C1十(n—1)X4=4n-1.bn=2n解析 由題意得，對于任意的正整數(shù) n,bn=a2-1+1,所以bn+1=an+1,又an+1=2(a21+1)=2bn,所以bn+1=2bn,又bi=a1+1=2,所以｛bn｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，所以bn=2n.2解析設(shè)bn=~Tn,得an=3bn—入，代入已知得3bn—入=3(31bn―1—入)+3+4,變形3為3n(bn—bn—1—1)=—2入+4,這個(gè)式子對大于1的所有正整數(shù)n都成立.由于｛bn｝是等差數(shù)列，bn—bn—1是常數(shù)，所以b—bn—1—1=0,即—2入+4=0,可得入=2.解(1)因?yàn)椋鸻n｝是遞增數(shù)列，所以an+1—an=|an+1-an|=p.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又白,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2=a1+38,因而3p2-p=0,解得p=1或p=0.3當(dāng)p=0時(shí)，an+1=an,、， I、，一一一一 1這與｛an｝是遞增數(shù)列矛盾，故p=-.3(2)由于｛a2n_1｝是遞增數(shù)列，因而 a2n+1—a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-H2n—1)>0.①因?yàn)?2n因?yàn)?2n<22n—1,以|a2n+1—a2n|<|a2n一a2n11.(2)由①②知，a2n—a2n1>0“ 2n0 /Jn-1 ?—1?因此；a2n—a2n-1=(2) =2印—1-因?yàn)椋鸻2n｝是遞減數(shù)列,2n+1二一.④同理可得，a2n+1—2n+1二一.④12n故a2n+1一a2n=一(2),八n+1,…三,_，… (—1)由③④可知,