北部灣中考數(shù)學(xué)課件第十七講

第十七講等腰三角形和直角三角形第十七講等腰三角形和直角三角形知識(shí)清單·主干回顧一、等腰三角形底邊上的中線(或底邊上的高或頂角平分線)所在的直線相等等邊對(duì)等角平分線高相等等角對(duì)等邊知識(shí)清單·主干回顧一、等腰三角形底邊上的中線(或底邊上的高或二、等邊三角形三邊相等60°三相等等腰二、等邊三角形三邊相等60°三相等等腰三、線段的垂直平分線1.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_____.2.判定:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的___________上.四、直角三角形的性質(zhì)與判定相等垂直平分線互余一半一半直角互余三、線段的垂直平分線相等垂直平分線互余一半一半直角互余五、勾股定理及逆定理1.勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么________.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足________,那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2五、勾股定理及逆定理a2+b2=c2a2+b2=c2六、命題、定理1.互逆命題:如果兩個(gè)命題的_____和_____正好相反,我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題,如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的_______.2.互逆定理:若一個(gè)定理的逆命題是正確的,那么它就是這個(gè)定理的逆定理,稱(chēng)這兩個(gè)定理為_(kāi)____定理.題設(shè)結(jié)論逆命題互逆六、命題、定理題設(shè)結(jié)論逆命題互逆【自我診斷】(打“√”或“×”)1.若等腰三角形的一個(gè)角為50°,則另外兩個(gè)角分別是65°,65°. ()2.等腰三角形一個(gè)底角的度數(shù)可以為100°. ()3.等腰三角形底邊上的高為等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸. ()4.若一個(gè)三角形有兩個(gè)角分別為80°和50°,則這個(gè)三角形為等腰三角形. ()5.若一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)等邊三角形的面積為

. ()×××√√【自我診斷】(打“√”或“×”)×××√√6.在一個(gè)三角形中,30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半. ()7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,D為AB中點(diǎn),則CD=6.5. ()8.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為5. ()9.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為7,24和25,則最長(zhǎng)邊上的高為

. ()10.“同角的余角相等”的逆命題是真命題. ()11.任何一個(gè)定理都有逆定理. ()×√×√××6.在一個(gè)三角形中,30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半. (高頻考點(diǎn)·疑難突破【考點(diǎn)一】等腰三角形的性質(zhì)與判定【示范題1】(2020·廣東)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE與CD相交于點(diǎn)F.求證:△ABC是等腰三角形.【自主解答】略高頻考點(diǎn)·疑難突破【考點(diǎn)一】等腰三角形的性質(zhì)與判定【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】三線合一的作用等腰三角形的“三線合一”,包括以下三個(gè)結(jié)論:如圖,在△ABC中,AB=AC(1)若AD⊥BC,則BD=DC,∠BAD=∠CAD.(2)若BD=DC,則AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】(3)若∠BAD=∠CAD,則BD=DC,AD⊥BC.等腰三角形的“三線合一”是證明兩角相等、兩線段相等以及兩條直線垂直的重要依據(jù).解題時(shí),要靈活運(yùn)用上面的結(jié)論.(3)若∠BAD=∠CAD,則BD=DC,AD⊥BC.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·南充)如圖,在等腰△ABC中,BD為∠ABC的平分線,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,則CD= (

)

A.

B.

C.a-b

D.b-aC【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·宿遷)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),若BC=12,AD=8,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

5

2.(2020·宿遷)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BA【考點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)與判定【示范題2】(2020·銅仁)已知等邊三角形一邊上的高為2

,則它的邊長(zhǎng)為

(

)A.2 B.3 C.4 D.4

C【考點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)與判定【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】等邊三角形的性質(zhì)1.三條邊相等.2.三個(gè)角相等,并且都等于60°.3.是軸對(duì)稱(chēng)圖形,并且有三條對(duì)稱(chēng)軸.4.具有“等邊對(duì)等角”及“三線合一”的性質(zhì).【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】【跟蹤訓(xùn)練】1.(2017·天津)如圖,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是 (

)A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠CC.AD∥BC D.AD=BCC【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·寧波)△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形,將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若求五邊形DECHF的周長(zhǎng),則只需知道 (

)A.△ABC的周長(zhǎng) B.△AFH的周長(zhǎng)C.四邊形FBGH的周長(zhǎng) D.四邊形ADEC的周長(zhǎng)A2.(2020·寧波)△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角3.(2020·臺(tái)州)如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6,E,F是邊BC上的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,F沿著平行于BA,CA方向各剪一刀,則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是______.

6

3.(2020·臺(tái)州)如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6,【考點(diǎn)三】線段的垂直平分線【示范題3】(2020·宜昌)如圖,點(diǎn)E,F,G,Q,H在一條直線上,且EF=GH,我們知道按如圖所作的直線l為線段FG的垂直平分線.下列說(shuō)法正確的是 (

)A.l是線段EH的垂直平分線B.l是線段EQ的垂直平分線C.l是線段FH的垂直平分線D.EH是l的垂直平分線A【考點(diǎn)三】線段的垂直平分線A【跟蹤訓(xùn)練】(2020·寧夏)如圖,在△ABC中,∠C=84°,分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于

AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧分別交于點(diǎn)M,N,作直線MN交AC于點(diǎn)D;以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交BA,BC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于

EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,此時(shí)射線BP恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則∠A=_______度.

32

【跟蹤訓(xùn)練】32【考點(diǎn)四】直角三角形【示范題4】(2020·玉林)如圖是A,B,C三島的平面圖,C島在A島的北偏東35°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西55°方向,則A,B,C三島組成一個(gè)

(

)A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形C【考點(diǎn)四】直角三角形C【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·威海)七巧板是大家熟悉的一種益智玩具.用七巧板能拼出許多有趣的圖案.小李將一塊等腰直角三角形硬紙板(如圖①)切割七塊,正好制成一副七巧板(如圖②).已知AB=40cm,則圖中陰影部分的面積為 (

)A.25cm2 B.

cm2C.50cm2 D.75cm2C【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·哈爾濱)在△ABC中,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,AD=6

,CD=1,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)________.

3.(2020·柳州)如圖,已知?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AD=12,BD=10,AC=26.(1)求△ADO的周長(zhǎng);(2)求證:△ADO是直角三角形.

5或7

2.(2020·哈爾濱)在△ABC中,∠ABC=60°,AD【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴OD=

DB=

×10=5.OA=

AC=

×26=13.∴△ADO的周長(zhǎng)為12+5+13=30.(2)在△ADO中,∵AD2+OD2=122+52=169.OA2=132=169,∴AD2+OD2=OA2,∴△ADO是直角三角形.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形.【考點(diǎn)五】勾股定理及逆定理【示范題5】(2020·淄博)如圖,在△ABC中,AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,且AD⊥BE,垂足為點(diǎn)F,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是 (

)A.a2+b2=5c2 B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2 D.a2+b2=2c2A【考點(diǎn)五】勾股定理及逆定理A【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·河北)如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片,面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊(可重復(fù)選取)按圖的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三塊紙片的面積分別是(

)A.1,4,5

B.2,3,5

C.3,4,5

D.2,2,4B【跟蹤訓(xùn)練】B2.(2020·蘇州)如圖,在△ABC中,已知AB=2,AD⊥BC,垂足為D,BD=2CD.若E是AD的中點(diǎn),則EC=______.

1

2.(2020·蘇州)如圖,在△ABC中,已知AB=2,AD【考點(diǎn)六】命題、定理及逆命題【示范題6】(2020·呼和浩特)命題:①設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C且α=A+B,β=C+A,γ=C+B,則α、β、γ中,最多有一個(gè)銳角;②順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形;③從11個(gè)評(píng)委分別給出某選手的不同原始評(píng)分中,去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分,剩下的9個(gè)評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比,中位數(shù)和方差都不發(fā)生變化.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為 (

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)B【考點(diǎn)六】命題、定理及逆命題B【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·岳陽(yáng))下列命題是真命題的是 (

)A.一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.等邊三角形是中心對(duì)稱(chēng)圖形D.旋轉(zhuǎn)改變圖形的形狀和大小B【跟蹤訓(xùn)練】B2.(2020·包頭)下列命題正確的是 (

)A.若分式

的值為0,則x的值為±2B.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定比這個(gè)數(shù)小C.若b>a>0,則

D.若c≥2,則一元二次方程x2+2x+3=c有實(shí)數(shù)根D2.(2020·包頭)下列命題正確的是 ()D北部灣5年真題北部灣5年真題中考真題·體驗(yàn)集訓(xùn)中考真題·體驗(yàn)集訓(xùn)第十七講等腰三角形和直角三角形第十七講等腰三角形和直角三角形知識(shí)清單·主干回顧一、等腰三角形底邊上的中線(或底邊上的高或頂角平分線)所在的直線相等等邊對(duì)等角平分線高相等等角對(duì)等邊知識(shí)清單·主干回顧一、等腰三角形底邊上的中線(或底邊上的高或二、等邊三角形三邊相等60°三相等等腰二、等邊三角形三邊相等60°三相等等腰三、線段的垂直平分線1.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_____.2.判定:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的___________上.四、直角三角形的性質(zhì)與判定相等垂直平分線互余一半一半直角互余三、線段的垂直平分線相等垂直平分線互余一半一半直角互余五、勾股定理及逆定理1.勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么________.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足________,那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2五、勾股定理及逆定理a2+b2=c2a2+b2=c2六、命題、定理1.互逆命題:如果兩個(gè)命題的_____和_____正好相反,我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題,如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的_______.2.互逆定理:若一個(gè)定理的逆命題是正確的,那么它就是這個(gè)定理的逆定理,稱(chēng)這兩個(gè)定理為_(kāi)____定理.題設(shè)結(jié)論逆命題互逆六、命題、定理題設(shè)結(jié)論逆命題互逆【自我診斷】(打“√”或“×”)1.若等腰三角形的一個(gè)角為50°,則另外兩個(gè)角分別是65°,65°. ()2.等腰三角形一個(gè)底角的度數(shù)可以為100°. ()3.等腰三角形底邊上的高為等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸. ()4.若一個(gè)三角形有兩個(gè)角分別為80°和50°,則這個(gè)三角形為等腰三角形. ()5.若一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)等邊三角形的面積為

. ()×××√√【自我診斷】(打“√”或“×”)×××√√6.在一個(gè)三角形中,30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半. ()7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,D為AB中點(diǎn),則CD=6.5. ()8.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為5. ()9.若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為7,24和25,則最長(zhǎng)邊上的高為

. ()10.“同角的余角相等”的逆命題是真命題. ()11.任何一個(gè)定理都有逆定理. ()×√×√××6.在一個(gè)三角形中,30°角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半. (高頻考點(diǎn)·疑難突破【考點(diǎn)一】等腰三角形的性質(zhì)與判定【示范題1】(2020·廣東)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE與CD相交于點(diǎn)F.求證:△ABC是等腰三角形.【自主解答】略高頻考點(diǎn)·疑難突破【考點(diǎn)一】等腰三角形的性質(zhì)與判定【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】三線合一的作用等腰三角形的“三線合一”,包括以下三個(gè)結(jié)論:如圖,在△ABC中,AB=AC(1)若AD⊥BC,則BD=DC,∠BAD=∠CAD.(2)若BD=DC,則AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】(3)若∠BAD=∠CAD,則BD=DC,AD⊥BC.等腰三角形的“三線合一”是證明兩角相等、兩線段相等以及兩條直線垂直的重要依據(jù).解題時(shí),要靈活運(yùn)用上面的結(jié)論.(3)若∠BAD=∠CAD,則BD=DC,AD⊥BC.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·南充)如圖,在等腰△ABC中,BD為∠ABC的平分線,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,則CD= (

)

A.

B.

C.a-b

D.b-aC【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·宿遷)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,E為AB的中點(diǎn),若BC=12,AD=8,則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

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2.(2020·宿遷)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BA【考點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)與判定【示范題2】(2020·銅仁)已知等邊三角形一邊上的高為2

,則它的邊長(zhǎng)為

(

)A.2 B.3 C.4 D.4

C【考點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)與判定【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】等邊三角形的性質(zhì)1.三條邊相等.2.三個(gè)角相等,并且都等于60°.3.是軸對(duì)稱(chēng)圖形,并且有三條對(duì)稱(chēng)軸.4.具有“等邊對(duì)等角”及“三線合一”的性質(zhì).【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】【跟蹤訓(xùn)練】1.(2017·天津)如圖,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是 (

)A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠CC.AD∥BC D.AD=BCC【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·寧波)△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形,將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若求五邊形DECHF的周長(zhǎng),則只需知道 (

)A.△ABC的周長(zhǎng) B.△AFH的周長(zhǎng)C.四邊形FBGH的周長(zhǎng) D.四邊形ADEC的周長(zhǎng)A2.(2020·寧波)△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角3.(2020·臺(tái)州)如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6,E,F是邊BC上的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,F沿著平行于BA,CA方向各剪一刀,則剪下的△DEF的周長(zhǎng)是______.

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3.(2020·臺(tái)州)如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為6,【考點(diǎn)三】線段的垂直平分線【示范題3】(2020·宜昌)如圖,點(diǎn)E,F,G,Q,H在一條直線上,且EF=GH,我們知道按如圖所作的直線l為線段FG的垂直平分線.下列說(shuō)法正確的是 (

)A.l是線段EH的垂直平分線B.l是線段EQ的垂直平分線C.l是線段FH的垂直平分線D.EH是l的垂直平分線A【考點(diǎn)三】線段的垂直平分線A【跟蹤訓(xùn)練】(2020·寧夏)如圖,在△ABC中,∠C=84°,分別以點(diǎn)A,B為圓心,以大于

AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧分別交于點(diǎn)M,N,作直線MN交AC于點(diǎn)D;以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交BA,BC于點(diǎn)E,F,再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于

EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,此時(shí)射線BP恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,則∠A=_______度.

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【跟蹤訓(xùn)練】32【考點(diǎn)四】直角三角形【示范題4】(2020·玉林)如圖是A,B,C三島的平面圖,C島在A島的北偏東35°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西55°方向,則A,B,C三島組成一個(gè)

(

)A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形C【考點(diǎn)四】直角三角形C【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·威海)七巧板是大家熟悉的一種益智玩具.用七巧板能拼出許多有趣的圖案.小李將一塊等腰直角三角形硬紙板(如圖①)切割七塊,正好制成一副七巧板(如圖②).已知AB=40cm,則圖中陰影部分的面積為 (

)A.25cm2 B.

cm2C.50cm2 D.75cm2C【跟蹤訓(xùn)練】C2.(2020·哈爾濱)在△ABC中,∠ABC=60°,AD為BC邊上的高,AD=6

,CD=1,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)________.

3.(2020·柳州)如圖,已知?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AD=12,BD=10,AC=26.(1)求△ADO的周長(zhǎng);(2)求證:△ADO是直角三角形.

5或7

2.(2020·哈爾濱)在△ABC中,∠ABC=60°,AD【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴OD=

DB=

×10=5.OA=

AC=

×26=13.∴△ADO的周長(zhǎng)為12+5+13=30.(2)在△ADO中,∵AD2+OD2=122+52=169.OA2=132=169,∴AD2+OD2=OA2,∴△ADO是直角三角形.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形.【考點(diǎn)五】勾股定理及逆定理【示范題5】(2020·淄博)如圖,在△ABC中,AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,且AD⊥BE,垂足為點(diǎn)F,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是 (

)A.a2+