高考數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題如何解

.z數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題怎么解數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的一個(gè)新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問(wèn)題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計(jì)型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),則就稱為條件開(kāi)放題;如果未知的是解題目標(biāo),則就稱為結(jié)論開(kāi)放題;如果未知的是解題推理,則就稱為策略開(kāi)放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開(kāi)放題其“開(kāi)放度〞是較弱的,如何解答這類問(wèn)題,還是通過(guò)假設(shè)干例加以講解.講解存在型開(kāi)放題的求解一般是從假設(shè)存在入手,逐步深化解題進(jìn)程的.設(shè)存在常數(shù)，使數(shù)列成等比數(shù)列.=0但,于是不存在常數(shù)，使成等比數(shù)列.，使成等比數(shù)列. 等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類,極易忘記公比例2*機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，方案第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)場(chǎng)，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用*年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元.〔1〕寫出y與*之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕從第幾年開(kāi)場(chǎng)，該機(jī)床開(kāi)場(chǎng)盈利〔盈利額為正值〕；(3)使用假設(shè)干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種：(i)當(dāng)年平均盈利額到達(dá)最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床；(ii)當(dāng)盈利額到達(dá)最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床，問(wèn)用哪種方案處理較為合算.請(qǐng)說(shuō)明你的理由.講解本例兼顧應(yīng)用性和開(kāi)放性,是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題.〔1〕=.〔2〕解不等式＞0,得＜*＜.∵*∈N，∴3≤*≤17.故從第3年工廠開(kāi)場(chǎng)盈利.〔3〕(i)∵≤40當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即*=7時(shí)，等號(hào)成立.∴到2021年，年平均盈利額到達(dá)最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬(wàn)元.(ii)y=-2*2+40*-98=-2〔*-10〕2+102，當(dāng)*=10時(shí)，yma*=102.故到2021年，盈利額到達(dá)最大值，工廠共獲利102+12=114萬(wàn)元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實(shí)際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具.例3函數(shù)f(*)=(*<-2)(1)求f(*)的反函數(shù)f-1(*);(2)設(shè)a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,有bn<成立.假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在說(shuō)明理由.講解本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問(wèn)題,具有一定的典型性和探索性.(1)y=,∵*<-2，∴*=-,即y=f-1(*)=-(*>0). (2)∵,∴=4.∴{}是公差為4的等差數(shù)列.∵a1=1,∴=+4(n-1)=4n-3.∵an>0,∴an=. (3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>對(duì)于n∈N成立.∵≤5,∴m>5,存在最小正數(shù)m=6,使得對(duì)任意n∈N有bn<成立.為了求an,我們先求,這是因?yàn)閧}是等差數(shù)列,試問(wèn):你能夠想到嗎?該題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個(gè)典.例4數(shù)列在直線*-y+1=0上.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值；(3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試問(wèn):是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?假設(shè)存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;假設(shè)不存在,說(shuō)明理由. 故存在關(guān)于n的整式使等式對(duì)于一切不小2的自然數(shù)n恒成立. 事實(shí)上,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,你知道嗎.例5深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車公司——紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō)，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色，并對(duì)證人的區(qū)分能力作了測(cè)試，測(cè)得他識(shí)別的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑.請(qǐng)問(wèn)警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平嗎.試說(shuō)明理由.講解設(shè)該城市有出租車1000輛，則依題意可得如下信息：證人所說(shuō)的顏色〔正確率80%〕真實(shí)顏色藍(lán)色紅色合計(jì)藍(lán)色〔85%〕680170850紅色〔15%〕30120150合計(jì)7102901000從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車是紅色時(shí)，且它確實(shí)是紅色的概率為，而它是藍(lán)色的概率為.在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車顯然是不公平的.此題的情景清新,涉及到新教材中概率的知識(shí),上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性,在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見(jiàn)的.例6向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到*縣進(jìn)展社會(huì)實(shí)踐，對(duì)該縣的養(yǎng)雞場(chǎng)連續(xù)六年來(lái)的規(guī)模進(jìn)展調(diào)查研究，得到如下兩個(gè)不同的信息圖：〔A〕圖說(shuō)明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞;〔B〕圖說(shuō)明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年的10個(gè). 請(qǐng)你根據(jù)提供的信息解答以下問(wèn)題：〔1〕第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少.〔2〕哪一年的規(guī)模最大.為什么.講解〔1〕設(shè)第n年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)為，平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)雞萬(wàn)只， 由圖〔B〕可知,=30，且點(diǎn)在一直線上，從而 由圖〔A〕可知,且點(diǎn)在一直線上，于是=〔萬(wàn)只〕，〔萬(wàn)只〕 第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)是26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬(wàn)只； 〔2〕由〔萬(wàn)只〕， 第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬(wàn)只. 有時(shí)候我們需要畫出圖形,有時(shí)候我們卻需要從圖形中采集必要的信息,這正反映了一個(gè)事物的兩個(gè)方面.看來(lái),讀圖與識(shí)圖的能力是需要不斷提升的.例7動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P〔1，0〕，且與定直線相切，點(diǎn)C在l上.〔1〕求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；〔2〕設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn).〔i〕問(wèn)：△ABC能否為正三角形.假設(shè)能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不能，說(shuō)明理由；〔ii〕當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值圍.講解本例主要考察直線、圓與拋物線的根本概念及位置關(guān)系，是解析幾何中的存在性問(wèn)題.〔1〕由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，知曲線M的方程為.〔2〕〔i〕由題意得，直線AB的方程為消y得于是,A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B〔3，〕，(3，)假設(shè)存在點(diǎn)C〔－1，y〕，使(3，)即有①②①②由①－②得因?yàn)椴环息伲杂散?，②組成的方程組無(wú)解.故知直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.〔ii〕設(shè)C〔－1，y〕使△ABC成鈍角三角形，由即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是〔－1，〕時(shí)，三點(diǎn)A，B，C共線，故.，，.(i)當(dāng)，即，即為鈍角.(ii)當(dāng)，即，即為鈍角.(iii)當(dāng)，即，即.該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角.故當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值圍是.需要提及的是,當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),鈍角的位置可能有三個(gè),需要我們進(jìn)展一一探討.例8是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足關(guān)系式.〔1〕求f〔0〕，f〔1〕的值；〔2〕判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；〔3〕假設(shè)，求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)的和Sn.講解此題主要考察函數(shù)和數(shù)列的根本知識(shí)，考察從一般到特殊的取特值求解技巧.〔1〕在中,令得.在中,令得，有.〔2〕是奇函數(shù),這需要我們進(jìn)一步探索.事實(shí)上故為奇函數(shù).從規(guī)律中進(jìn)展探究,進(jìn)而提出猜測(cè).由,………………猜測(cè).于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.1°當(dāng)n=1時(shí)，，公式成立；2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，公式仍然成立.綜上可知，對(duì)任意成立.從而.，.故例9假設(shè)、，(1)求證：；(2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.講解(1)采用反證法.假設(shè)，即,解得從而與題設(shè),相矛盾，故成立.(2)、、、、,.〔3〕因?yàn)橛?所以,因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、. 我們證明相等的問(wèn)題太多了,似乎很少見(jiàn)到證明不相等的問(wèn)題,是這樣嗎?例10如圖，圓A、圓B的方程分別是動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：．〔1〕求圓P的軌跡方程，并證明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到定直線l距離的比為定值；〔2〕延長(zhǎng)PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q，求的最小值；〔3〕如果存在*一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C，滿足求a的取值圍．講解〔1〕設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則｜PA｜＝ｒ＋，｜PB|=r+，∴|PA|－｜PB|=2．∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右準(zhǔn)線的右支，其方程為〔*≥1〕．假設(shè),則l的方程為雙曲線的右準(zhǔn)線,∴點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e=2.(2)假設(shè)直線PQ的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線PQ的方程為y=k(*－2)代入雙曲線方程,得由，解得＞３．∴｜PQ｜＝．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，得，｜PQ|＝６．∴｜PQ|的最小值為６．〔3〕當(dāng)PQ⊥QC時(shí)，P、