（精心整理）二次函數(shù)的圖像

咸陽育才中學(xué)電子教案課題。二次函數(shù)的圖像主備郝妮濤審核人上課人上課時(shí)間教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力：（1）理解二次函數(shù)中參數(shù)a，b，c，h，k對(duì)其圖像的影響。(2)掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，掌握從函數(shù)的性質(zhì)推斷圖象的方研究法。過程與方法：掌握從函數(shù)解析式、性質(zhì)出發(fā)去認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的高度理解和研究函數(shù)的方法。情感態(tài)度和價(jià)值觀：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法之美、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法重要；培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流的意識(shí)等。教學(xué)重、難點(diǎn)探索平移對(duì)函數(shù)解析式的影響及如何利用平移的規(guī)律求函數(shù)解析式，并能將平移的規(guī)律遷移到其它函數(shù)。教學(xué)方法教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一學(xué)法指導(dǎo)自主探索、合作交流、歸納方法教學(xué)過程上課教師補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容要點(diǎn)一、導(dǎo)入新課在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了二次函數(shù)，知道其圖像為拋物線，并了解其圖像的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等特征，本節(jié)課進(jìn)一步研究一般的二次函數(shù)的性質(zhì)，引出課題．復(fù)習(xí)回顧①請(qǐng)回顧二次函數(shù)的定義.②二次函數(shù)的解析式有幾種形式？③二次函數(shù)的圖像是什么形狀？如何快速畫出其草圖？學(xué)生討論后回答，教師PPT演示結(jié)果一般地，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)且a≠0)叫作二次函數(shù)．②有三種形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函數(shù)的解析式均有一般式和頂點(diǎn)式，但是不一定有交點(diǎn)式．當(dāng)且僅當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸相交時(shí)，二次函數(shù)的解析式才有零點(diǎn)式．二次函數(shù)的圖像是拋物線．畫拋物線的草圖時(shí)，通常根據(jù)“三點(diǎn)一線一開口”來畫．“三點(diǎn)”是指：頂點(diǎn)，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線，“一開口”是指拋物線的開口方向，根據(jù)拋物線的這些特征描出其草圖．如果拋物線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)或沒有交點(diǎn)時(shí)，可以先在拋物線上任取一點(diǎn)(除頂點(diǎn))，再作出此點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)和頂點(diǎn)合起來組成“三點(diǎn)”．二、講解新課問題提出（板書在黑板一側(cè)）1.和的圖像之間有什么關(guān)系？2.和的圖像之間有什么關(guān)系？3.和的圖像之間有什么關(guān)系？問題探索（學(xué)生獨(dú)立完成）1.和的圖像之間有什么關(guān)系？動(dòng)手實(shí)踐：（1）填寫表1，用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中畫出y＝x2和y＝2x2的圖像．.表1x…－3－2－10123…x2[來……2x2……（2）要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大為原來的幾倍？這種情況是如何在圖像上表現(xiàn)的？（3）如何由的圖像得到的圖像？呢？（4）你能總結(jié)出和的圖像之間的關(guān)系嗎？參數(shù)對(duì)圖像有何影響？（5）通過類比，你能說出如何由函數(shù)y＝f(x)的圖像得到函數(shù)y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的圖像嗎？圖1圖2【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際操作，是學(xué)生對(duì)圖像的伸縮變換能有較深刻的認(rèn)識(shí)，問題串的設(shè)置層層遞進(jìn)，學(xué)生能在其中感受到自我探索的樂趣。在問題（4）的回答之后教師還通過幾何畫板改動(dòng)中參數(shù)的值演示圖像，讓學(xué)生有更直觀的感知。問題探索2.和的圖像之間有什么關(guān)系？動(dòng)手實(shí)踐：（1）在同一坐標(biāo)系中畫出、、的圖像，觀察圖像，如何由的圖像得到和的圖像？（2）如何由的圖像得到的圖像？參數(shù)對(duì)函數(shù)的圖像有何影響？在不變的前提下，改變參數(shù)的值，拋物線的形狀會(huì)改變嗎？（3）請(qǐng)你寫出一個(gè)開口向下，頂點(diǎn)為（-3,1）的二次函數(shù)的解析式，并畫出簡(jiǎn)圖。（4）你能用類比的思想，歸納出如何由函數(shù)的圖像平移至函數(shù)的圖像嗎？結(jié)果呈現(xiàn)：（1）y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的圖像，如圖3.圖3觀察圖3，得把y＝2x2的圖像向左平移一個(gè)單位長度得y＝2(x＋1)2的圖像，再把y＝2(x＋1)2的圖像向上平移3個(gè)單位得y＝2(x＋1)2＋3的圖像．（2）把y＝ax2的圖像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|個(gè)單位長度得y＝a(x＋h)2的圖像，再把y＝a(x＋h)2的圖像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個(gè)單位得y＝a(x＋h)2＋k的圖像．只改變函數(shù)圖像的頂點(diǎn)位置，不改變圖像形狀．圖像形狀只與有關(guān)。（3）例如y＝－(x＋3)2＋1.其圖像如圖4所示，圖4（4）把y＝f(x)的圖像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|個(gè)單位長度得y＝f(x＋h)的圖像，再把y＝f(x＋h)的圖像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|個(gè)單位得y＝f(x＋h)＋k的圖像．師：平移變換口訣：左+右-，上+下-問題探索3.和的圖像之間有什么關(guān)系？問1：回顧一下函數(shù)與，即的圖像之間的聯(lián)系，你能得出什么結(jié)論？師生共同概括：一般地，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通過配方得到它的恒等形式y(tǒng)＝a(x＋h)2＋k，從而就可以知道由y＝ax2的圖像如何平移得到y(tǒng)＝ax2＋bx＋c的圖像．問2：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，確定函數(shù)圖像開口大小及方向的參數(shù)是什么？確定函數(shù)圖像位置的參數(shù)是什么？生：確定函數(shù)圖像開口大小及方向的參數(shù)是a，確定函數(shù)圖像位置的參數(shù)是a，b，c.三、講解范例例1.二次函數(shù)f(x)與g(x)的圖像開口大小相同，開口方向也相同，已知函數(shù)g(x)的解析式和f(x)圖像的頂點(diǎn)，寫出函數(shù)f(x)的解析式；(1)函數(shù)g(x)＝x2，f(x)圖像的頂點(diǎn)是(4，－7)；(2)函數(shù)g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)圖像的頂點(diǎn)是(－3,2)．啟發(fā)提問：確定二次函數(shù)的開口大小和方向的參數(shù)是什么？如題應(yīng)選取二次函數(shù)的哪種形式的解析式才方便解題？解：如果二次函數(shù)的圖像與y＝ax2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)，則其解析式為y＝a(x＋h)2＋k，(1)因?yàn)閒(x)與g(x)＝x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，f(x)圖像的頂點(diǎn)是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因?yàn)閒(x)與g(x)＝－2(x＋1)2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2又與y＝－2x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，所以f(x)與y＝－2x2的圖像開口大小也相同，開口方向也相同．又因?yàn)閒(x)圖像的頂點(diǎn)是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的解析式、其圖像和性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的能力．已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求其解析式時(shí)，常設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．課堂練習(xí)練習(xí)1（1）函數(shù)y＝2x2＋4x－1的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)分別是()．[答案：C來]A．x＝－2，(－2，－1) B．x＝2，(－2，－1)C．x＝－1，(－1，－3) D．x＝1，(－2,3)解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得對(duì)稱軸是x＝－1，頂點(diǎn)是(－1，－3)．(2)將函數(shù)y＝x2－2x的圖像向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后所得函數(shù)解析式為()．A．y＝x2＋6x＋7 B．y＝x2－6x＋7C．y＝x2＋2x－1 D．y＝x2－2x＋1解析：所得解析式為y＝(x－2)2－2(x－2)－1＝x2－6x＋7.答案：B練習(xí)2P45/練習(xí)1,2,3例2已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,0)，B(x2,0)且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\f(26,9)，試問該拋物線由y＝－3(x－1)2的圖像向上平移幾個(gè)單位得到？[來源:學(xué)。科。網(wǎng)]分析：利用題設(shè)條件，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列方程并解出拋物線方程的系數(shù)，之后利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律得到答案．解：由題意可設(shè)所求拋物線的解析式為y＝－3(x－1)2＋k，展開，得y＝－3x2＋6x－3＋k，由題意得x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(3－k,2)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(26,9)，得4－eq\f(23－k,3)＝eq\f(26,9).解得k＝eq\f(4,3).所以該拋物線是由y＝－3(x－1)2的圖像向上平移eq\f(4,3)個(gè)單位得到的，它的解析式為y＝－3(x－1)2＋eq\f(4,3)，即y＝－3x2＋6x－eq\f(5,3).點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二次函數(shù)的知識(shí)解決問題．函數(shù)圖像的平移會(huì)對(duì)解析式產(chǎn)生影響，但函數(shù)圖像中的某些特征不會(huì)產(chǎn)生變化．我們要抓住變化的關(guān)鍵，對(duì)函數(shù)解析式中變化的系數(shù)進(jìn)行討論．課堂練習(xí)練習(xí)3.如果把函數(shù)y＝f(x)的圖像平移，可以使圖像上的點(diǎn)P(1,0)變成Q(2,2)，則函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過此種變換后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()．A．y＝f(x－1)＋2 B．y＝f(x－1)－2C．y＝f(x＋1)＋2 D．y＝f(x＋1)－2解析：點(diǎn)P(1,0)變成Q(2,2)可以看成將點(diǎn)P(1,0)向右平移一個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)Q(2,2)，則將函數(shù)y＝f(x)的圖像向右平移一個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得函數(shù)y＝f(x－1)＋2的圖像．答案：A拓展練習(xí)（看時(shí)間情況，可補(bǔ)充為課后練習(xí)）來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,11)，則()．A．a(chǎn)＝1，b＝－4，c＝－11 B．a(chǎn)＝3，b＝12，c＝11C．a(chǎn)＝3，b＝－6，c＝11 D．a(chǎn)＝3，b＝－12，c＝11解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝2，,\f(4ac－b2,4a)＝－1，,11＝c，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－12，,c＝11.))答案：D2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，,x2＋bx＋c，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤0.))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則f(x)的解析式為f(x)＝__________，關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為__________．解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42－4b＋c＝c，,－22－2b＋c＝－2.))解得b＝4，c＝2，畫出函數(shù)y＝f(x)，y＝x的圖像，它們的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于x的方程f(x)＝x有3個(gè)解．答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，,x2＋4x＋2，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≤0))，33.兩個(gè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c與g(x)＝bx2＋ax＋c的圖像只可能是圖6中的()．圖6解析：這是一道考查二次函數(shù)解析式中a，b，c的性質(zhì)與函數(shù)圖像特征的相關(guān)題目．由于f(x)，g(x)圖像的對(duì)稱軸方程分別是x＝－eq\f(b,2a)，x＝－eq\f(a,2b)，且－eq\f(b,2a)與－eq\f(a,2b)同號(hào)，即它們的對(duì)稱軸位于y軸的同一側(cè)，由此排除A，B；