直線(xiàn)和圓的方程第一輪復(fù)習(xí)詳案

個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)個(gè)人收集整理 僅供參考學(xué)習(xí)第七章直線(xiàn)和圓的方程知識(shí)結(jié)構(gòu)第一節(jié)直線(xiàn)的傾斜角和斜率學(xué)習(xí)目標(biāo).了解直線(xiàn)的方程、方程的直線(xiàn)的定義；.掌握直線(xiàn)的傾斜角、直線(xiàn)的斜率的定義及其取值范圍；.掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式，會(huì)運(yùn)用公式求出有關(guān)直線(xiàn)的斜率和傾斜角.重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：正確地理解斜率的概念，熟練地掌握已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)求直線(xiàn)斜率的公式，這是學(xué)好直線(xiàn)這部分內(nèi)容的關(guān)鍵.本節(jié)難點(diǎn)：正確理解直線(xiàn)傾斜角定義中的幾個(gè)條件，如直線(xiàn)與 x軸相交與不相交，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)、最小正角等.求傾斜角時(shí)，要特別注意其取值范圍是高考中，由于本節(jié)內(nèi)容是解析幾何成果中最基礎(chǔ)的部分，一般是隱含在綜合題中進(jìn)行考查.典型例題怎樣描述直線(xiàn)的方向呢?,傾斜角a：當(dāng)直線(xiàn)/與工軸相交時(shí)“軸統(tǒng)著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和i重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為昂；當(dāng)直線(xiàn)？與工軸平行或重合時(shí)，規(guī)定戶(hù)口，故OWE了.冗 冗.斜率k；Aretan型,當(dāng)一口時(shí)，k=0；當(dāng)OVor<—時(shí).A>0；當(dāng)卡一時(shí)，后不存在（直線(xiàn)2 2n沒(méi)有斜率上當(dāng)cc>一時(shí)」k<L2.兩點(diǎn)斜率公式一一直線(xiàn)方向坐標(biāo)化：已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)戶(hù)1（應(yīng),冷）、馬（通『為）』則直線(xiàn)的斜率k=不二上（工］#4）.迪一再注意工1）斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)；（2）斜率公式，不需求出直線(xiàn)的做斜角,因此使用較方便；（3）斜率公式是冊(cè)究直線(xiàn)方程的各種龍式的基礎(chǔ)」必須熟記并靈活運(yùn)用：兀（4）當(dāng)與=%」為=內(nèi)時(shí)，直線(xiàn)與上軸垂直」傾斜角口=一」而沒(méi)有斜率.用下面的例題檢射是否理解和掌握了傾斜角與斜率的概念.例，已知直線(xiàn)的斜率分處的比=2、七=一1后=［CtaeRk^4=sm國(guó)，求相應(yīng)的傾斜角％、色、8r/.【分析】已知斜率k求傾斜角&』要利用定義k=tan3,當(dāng)角杯是特殊值時(shí)，還要注意傾斜角的取值范圍與反三角函數(shù)的取值范圍.【解】8t=arctan2;Jm=Larctan3;arctana(a>arctana(a>01.：%=4兀+arctana(a<0)arctan(sincz)(since>0)兀+arctarufsintz)(sincs<0)【點(diǎn)評(píng)】注意傾斜角的取值范圍為［口，川，而反正切函數(shù)的取值范圉是（--,三）.如果本題還要向8的取值范圍呢3答案227T 37T是九毛［口,一］U［—,五］，4 4例Z已知直線(xiàn)1的傾斜角s滿(mǎn)足條件sina+cos卡1,求直線(xiàn)I的斜率k.【分析】美理是怎樣從sinod-cos口=—,求程tanor,并注意隱含條件.5【解】sinorhcosor=—,且。這5TOC\o"1-5"\h\z冗 3兀^ . 1—V—j且(sinarFcosor)2=l+sin2a=—?2 4 25._2tana_24sin2cs= z-=———.1+tan3a25\o"CurrentDocument"4解襟tan(x=——或__.\o"CurrentDocument"3. 4■.由tancr＜一1知」所求的斜率*二一一.3【點(diǎn)評(píng)】\o"CurrentDocument"3 1本題很多同學(xué)不會(huì)舍去一一＞錯(cuò)為兩解.假斜角泰滿(mǎn)足sinb+cqscr=—，A 5兀 371說(shuō)明角魘在第二象限，且疝0rAic口sM,故一＜出＜二.善于發(fā)現(xiàn)題設(shè)中的隱2 4含條件*是數(shù)學(xué)能力的提高.例3已知兩點(diǎn)月"in2(r，cqs20*).B(cos1QQ,sin10Q),求直線(xiàn)屋的斜率咫和傾斜角&【解法一】代數(shù)方法：套兩點(diǎn)斜率公式.cos20"-sin10'sin70'—san10" o凝= = =—tan50sin20"-cos10acos70a-coslO*(9=180°-50°-130°.【解法二】數(shù)形結(jié)合二利用平面幾何知識(shí).,//月。E=(5(r,/-△月。E為正三第形，二 的外角3=/工064=7『+如°=130&..二k=tan1300.

【點(diǎn)評(píng)】“解析幾何的特點(diǎn)之一是數(shù)形結(jié)合，數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀(guān)，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微.”在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)該記住華羅庚的這段話(huà).4.教材上還涉及證明三點(diǎn)共線(xiàn)的練習(xí)題，怎樣證明三點(diǎn)共線(xiàn)呢？請(qǐng)看下面例4.M4已知三點(diǎn)兌Cl>-1)>E3)、C(4,5).求證兒aC三點(diǎn)共線(xiàn).【分析】證明三點(diǎn)共線(xiàn)，可以用代數(shù)方法、幾何方法，可以用直接證法、間接證法，你能想出至少一個(gè)方法嗎？下面是同學(xué)們討論出的幾種證法供參考.【證法一】5+14—5+14—1％- -￡,心3-1/■月三點(diǎn)拇E.【證法二】利用直線(xiàn)方程f—1=Q+B3=3k+b伏二2■力=-3二'ABty=2x-3當(dāng)戶(hù)4時(shí)，j=2x4—3=5,故點(diǎn)C(4,5)在月B上.【證法三】利用兩點(diǎn)間距離公式AB\=7(3-1/+(3+1)2=275,雕尸石，|50|=36AB\+\BC\=|HC|,4B、(7三點(diǎn)共線(xiàn).第二節(jié)直線(xiàn)的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、參數(shù)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線(xiàn)的方程式.重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式和一般式，點(diǎn)斜式是推導(dǎo)直線(xiàn)方程其他形式的基礎(chǔ)，一般式是直線(xiàn)方程統(tǒng)一的表述形式.本節(jié)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用直線(xiàn)方程的各種形式解題.在高考中幾乎每年都要考查這部分內(nèi)容，題型以選擇題、填空題居多.典型例題學(xué)習(xí)了直線(xiàn)的方程，應(yīng)思考如1下問(wèn)題：直線(xiàn)方程各種形式的適用范圍？哪種形式適用范圍更廣？哪種形式更利于作圖？注意：發(fā)現(xiàn)關(guān)系」發(fā)現(xiàn)優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)特殊.以下歸輛供參考：①點(diǎn)斜式y(tǒng)—為=k（x一如），要求斜率既存在，因此不能表示與工軸垂直的直線(xiàn)：②斜截式7二h.適用范圍同①；③兩點(diǎn)式‘’1= ,要求勺#電且入#力，因此不能表示與工軸垂直的直線(xiàn)，也乃一乂x廠(chǎng)占不能表示與『軸垂直的直線(xiàn)：XV④截距式一+==L要求在r軸上的截距s和7軸上的截距&存在，且辦#0」因此不能表ab示與工軸或F軸垂直的直線(xiàn)，也不能表示過(guò)原點(diǎn)的直批；x=+?看⑤參數(shù)式 6是參數(shù)）,任何直線(xiàn)均能表示,特別當(dāng)犀+械=1時(shí)"的絕對(duì)值等y-y^+hL于線(xiàn)段尸小的長(zhǎng)度，其中點(diǎn)為，為）、P5，川；⑥一般式月工+By+C=0（X.B不同時(shí)為零）,任何直線(xiàn)均能表示.總之，一般式、參數(shù)式適用范國(guó)廣』而截距式更利于作圖.用下面的例題檢驗(yàn)是否理解和掌握了方程的幾種形式.例1求直線(xiàn)J的方程:4CDJ在p軸上的截距是一2,傾斜角的正弦為m；（2）/過(guò)點(diǎn)力（1，2），且與兩坐標(biāo)軸的截距和為0；31過(guò)點(diǎn)P（2,3）,且與兩坐標(biāo)軸的截距相等；2rr《4”的傾斜角力——，且與原點(diǎn)距寓為7.3【分析】關(guān)鍵是確定直線(xiàn)方程中的待定系數(shù).

【解】【解】（1）設(shè)直線(xiàn)】的傾斜角為唐，4 4則疝*=一，故斜率4=tanot=±—，5 34由斜截式得y=±-r一2,二所求直線(xiàn)1的方程為土4H+3尸+2=1xy￡2）設(shè)直線(xiàn)？的方程為一+二一=1，或了=取，1 2由點(diǎn)月（1,2）在？上得一+—=1,或2=后，a-a數(shù)&=—1＞或尢=2./的方程為了一7+1=。或2工一7=0.（3）方法一：利用點(diǎn)斜式（本題斜率存在且不為零）設(shè)直線(xiàn)1的方程為y—3=布（x—2）.令工=0,得在7軸上的截距匕=-2k+3;3 ,令/=口，得在M軸上的截距&=2--（k^0）.k3由兩坐標(biāo)軸上截距相等，得一2才+3=2一—，k即出二-1或孑j2二1的方程為T(mén)+》一5二0或3/~ly=0.方法二：利用一般式設(shè)直線(xiàn)？的方程為r+y+c=口或日=口，由于點(diǎn)P（2,3）在？上得2+3+c=0或2上一3=口」3故。=—5或比=一C下略）.2C4）方法一：利用點(diǎn)線(xiàn)距黑公式（公式見(jiàn)§7.3）設(shè)直線(xiàn)1的方程為尸=工3二+61即」=一看r+匕由原點(diǎn)到1的距離為7得回=7,2=±14,2/的■為75H+y±14=1方法二：利用直皴方程的法線(xiàn)式?二法線(xiàn)角g=5土巴=里士巴，TOC\o"1-5"\h\z2 3 2—7=0或rcos(——7=0或rcos(———')3 2.二直線(xiàn)i的方程為rcos(——+—)+ysin(——+—3 2 3 22rritx sin(一——)—7=0j\o"CurrentDocument"3 2二l的方程為1r+j±14=1【點(diǎn)評(píng)】學(xué)習(xí)直線(xiàn)的方程常犯的錯(cuò)誤是忽略方程各種形式的應(yīng)用條件，因此造成丟解.本例中各個(gè)小題均為兩解，你做對(duì)了嗎？第(4)小題的解法一要用到下節(jié)學(xué)到的公式，解法二用到課外知識(shí)，供有興趣的同學(xué)欣賞.例z在&中,BC邊的中點(diǎn)M(―2?33直線(xiàn)工C的方程為工+1=0,直線(xiàn)的方程22為工+y-1=0,求直線(xiàn)的方程.【解法一】利用兩點(diǎn)式設(shè)8(a，C(一1,匕),—fa-1)=--TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2“ 口1_(1—q+g)=一,12 2。二T， B(-4」5XCJ.—4).b=-4.V+4K+1.二BC的方程為—二 .即3x+v+7-0.54-4-4+1【解法二】

利用點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)BC的方程為了一1=由（工+2）（上存在）.2 21一5比 <k1一5比 <k存在L2上+2y--=k(x-^—)2 停B點(diǎn)限坐標(biāo)屯=x+y-1-0.又點(diǎn)C摘坐標(biāo)打=-1>由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,一―2t+2解得k=-3.直線(xiàn)BC的方程為+/+7=1【解法三】利用兩點(diǎn)式57作MD//AC交于Q，則點(diǎn)D（--,-）為月B邊中點(diǎn)，22,**A（一1.2）」二8（一4,5）.「?由點(diǎn)M、B的坐標(biāo)可得」直線(xiàn)BC的方程為3x+/+7=0.【點(diǎn)評(píng)】靈活運(yùn)用直線(xiàn)方程的各種形式，常常要和平面幾何的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合.本題還有別的解法，不再一一列舉.例3過(guò)定點(diǎn)M（2>1）作直線(xiàn)？交工軸軸的正半軸于工、B兩點(diǎn)，求使△ROE的面積最小時(shí)直線(xiàn)J的方程.【解法一】利用點(diǎn)斜式設(shè)】的方程為F~\=k(r―2),其中北<0今y=口」得?在r軸上的微距〃=2——：k令工=口，令工=口，修？在/軸上的截距為=1-2此.^AOB的面積S=--\OA\■\OB\^AOB的面積S=--\OA\■\OB\2=—ab=—2k——+2^=4.當(dāng)且僅當(dāng)一2際=一,，即出=一工時(shí)，等號(hào)成立.

2k 21的方程是r+2y-4=0.【解法二】利用截距式xy設(shè)1的方程為一+之=1,其中">0>*>1ab■「M0，二-+1=13=2'J—.ablab1 2 1 1;S=—ab5=4,當(dāng)月僅當(dāng)—=—=一時(shí)等號(hào)成立.2 ab 2這時(shí)直線(xiàn)J的方程是蕓+27-4=0.【解法三】利用兩點(diǎn)式或截距式由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)M為線(xiàn)段月E中點(diǎn)時(shí)&4(?占的面積最小(注明見(jiàn)附錄L'/M(2」1),二此時(shí)H(4>OkB(0,2).二^AOB的面積最小時(shí)，直線(xiàn)1的方程為r+2y-4=0.附錄：已如：、CD交于點(diǎn)M*M為的中點(diǎn)>CA.BD交于點(diǎn)。求證：S&AQ3<芯40001CNDCND【證明】過(guò)M作&W//A0交0D于浦.'/AM=MB，J.ON=NB>ND』上CM>MD.二 =--W'CW-sinZCMA?A/B?MD?ss/Q暇B=/注出.一%<w>必皿?【點(diǎn)評(píng)】思路一、二用到函數(shù)的思想方法」分別構(gòu)造了關(guān)于面積的輔助函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)最值得解.思路三用到平面幾何的知識(shí),附錄中給出的證明沒(méi)有用到條件力口1W,說(shuō)明結(jié)論可推廣.將本題改為：量定點(diǎn)尸（6」4）作直線(xiàn)？交r軸的正半軸于月，交射線(xiàn)J?=4r（r孑0）于B,求使△月0g的面積最小時(shí)直線(xiàn)？的方程.請(qǐng)自己做一遍.提示：設(shè)點(diǎn)E（r』4冷（r>o）方法一：利用兩點(diǎn)式和函數(shù)思想則直線(xiàn)則直線(xiàn)］的方程為故~~' 4tItAl），2￡—1所以10-St+S-0>A=W-4QSMO.所以當(dāng)才=2時(shí)j面積S取最小值40.所以直線(xiàn)］的方程為了+『-10=0.方法二：利用兩點(diǎn)式和平面幾何知識(shí)設(shè)點(diǎn)H［a,0）m>0）,則當(dāng)點(diǎn)戶(hù)為統(tǒng)段力不中點(diǎn)時(shí)，Aaqe面積最小.t+a=12 ￡=2這時(shí)LA故<，人（下夠M也=& 匕=10例4直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)月（3,2）,且被八：x-3/+10=口和A，2工一/一8=0所截的線(xiàn)段恰以H為中點(diǎn)，求直線(xiàn)I的方程.【分析】本即容易陷入金列式,不會(huì)求解的設(shè)區(qū)」使解題半途而廢.例如.設(shè)直線(xiàn)，交h于點(diǎn)B（應(yīng)，入），交匕于點(diǎn)C（4，為），則由題意，列方程組內(nèi)-3必+1。=02町~—s=C1彳］+=6Z1十七=4往下不合解而放棄.為避免解多元方程組『必須減少未知數(shù)」并巧用中心對(duì)稱(chēng).【解法一】減少未知數(shù)設(shè)直線(xiàn)［交1］于點(diǎn)H《3t-10,t"交％于點(diǎn)C（厘」la-8）,攵-10+(2=6￡+2a—8=4.“￡二4視 ,點(diǎn)E《2,4）.a=4.v—2x-3由兩點(diǎn)式得?AB所在的直線(xiàn)的方程為^―=—4-2 2-3即直線(xiàn)〕的方程為2r+y-8^0.【解法二】巧用中心對(duì)稱(chēng)設(shè)直線(xiàn)？交h于點(diǎn)E（"—1。"）』則E關(guān)于人（3,2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C（16—打，4-Q在直線(xiàn)±.放2（16-3J）-（4-D-8=0,解得t=4」點(diǎn)F（2,4）（下同解法一，喈L【解法三】利用參數(shù)方程x=3+^cose設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為《 (t為參數(shù)Ly-2+/sin0代人方程(x-3/+10)(2r一『-8)=0,即2戶(hù)一7守+3/+12工+14/-80=0中*得(2cos23—7sin8-cos+3sin2)P+(10cos+5sin)：—28=0j由“+%=口，咎1。cos。+5sinJ=□■故？的斜率k=tan。--2>所以，直線(xiàn)J的方程為21+/-8=0.【點(diǎn)評(píng)】解析幾何中，寓常遇到有思路但運(yùn)篁繁難的麻煩,因此要研究運(yùn)算的方法和技能,設(shè)四個(gè)未知數(shù)列四個(gè)獨(dú)立的方程，理論上說(shuō)沒(méi)有精誤」但實(shí)際上這樣做的同學(xué)卻沒(méi)有解出來(lái).解法一利用點(diǎn)B、C分別在直線(xiàn)八、馬上，只設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，克服了“多元”的困難.解法二利用BU的中點(diǎn)為力（3,2）等.只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，也解決了問(wèn)題.解法三用到直線(xiàn)參數(shù)式方程的特殊龍式，其幾何意義是團(tuán)國(guó)=|“|,|4C|=|切，由BC的中點(diǎn)為火（，2）?知力+玄=。，從而求出直線(xiàn)?的斜軍卷解.三種解法中,以解法二最簡(jiǎn)便，其余兩種解法給我們方法上的后示，值得學(xué)習(xí).第三節(jié)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo).掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，以及兩條直線(xiàn)的夾角和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式..能夠根據(jù)直線(xiàn)的方程判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系.重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.本節(jié)難點(diǎn)：了解解析幾何的基本思想，并用解析幾何方法研究角.在高考中，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系幾乎年年必考，常常單獨(dú)出現(xiàn)在選擇題和填空題中，或作為綜合題的一部分出現(xiàn)在解答題中.典型例題學(xué)習(xí)了本節(jié)以后，應(yīng)該對(duì)兩條直線(xiàn)平行與垂直的充要條件，怎樣求直線(xiàn)的斜率、距離與角有哪些公式等問(wèn)題進(jìn)行歸納小結(jié),以便提綱挈領(lǐng)地掌握有關(guān)知識(shí)，并靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題..兩條直線(xiàn)平行、垂直的充要條件是什么？答：直線(xiàn)J］；月］1+B/+G=0；直線(xiàn)白：4工+珈+G=0.①A//i2=方程蛆，②當(dāng)小為6時(shí)，h//hqa=2壬e瑪BlC③1i±/3今44+瓦房=必.怎樣求直線(xiàn)的斜率?答:

JT TT①已知直線(xiàn)的假斜角值金一）」則斜率上=tan〃，當(dāng)&=一時(shí),直線(xiàn)沒(méi)有斜率；2 2②已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)尸1（XifJj）?P2（的（/W向），則斜率匯=―—―；向一看L③已知直批荏工軸、」軸上的截距分別為白、b（曰#口），則斜率*=--；aA④已知直線(xiàn)方程的一般式總工+昴+C=D（B#0），則斜率R=——：B⑤已知直姓A 」且11斜率為瓦，則6的斜率期=%:⑥已知直線(xiàn)AJJ之」且?】斜率為向（句#口3則b的斜率后=-—.氏注意：直線(xiàn)的便斜角值一定存在，且0W&Wn.直線(xiàn)的斜率k不一定存在,且出WR..距離和角有哪些公式？能靈活運(yùn)用嗎？答:①兩點(diǎn)間距離公式：B5】?尸1），呂（4則J&-電廠(chǎng)+5一9產(chǎn);②點(diǎn)線(xiàn)距離公式二尸（隔，比"直線(xiàn)】的方程力工+By+C=0,則F到？的距離d+現(xiàn).5:

京③兩平行線(xiàn)間距離公式：h、U的方程分別為月T+即+5=0』月1+爭(zhēng)+5=口其中IG—GIS工G」則?1與4之間的距密d=-M=U;JN十#④兩條直線(xiàn)h,匕的夾角e的公式：當(dāng)j4 工口時(shí),tsn9=當(dāng)明、冷存在且北松不一1當(dāng)明、冷存在且北松不一1時(shí)』tan8=⑤直批L與h的夾角W的公式:當(dāng)工+為為*口時(shí)■tan。=k,—總當(dāng)%％防存在*且年1%二一1時(shí).13nB= 用下面的例題檢驗(yàn)是否理解和掌握了以上這些內(nèi)容.1.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系例1試判斷兩條直線(xiàn)。工工+（m+1）F=2—附…12+2/=-4的位置關(guān)系.'/2—如（陽(yáng)+!）=-（M3+2）（用-1）.且系數(shù)幺出q+BA+2（m+1）=3ra+2,2/-當(dāng)刑W1且m啟一2時(shí)，直赧A與匕相交；＞1$別網(wǎng)=-]時(shí)，八JJ].當(dāng)用=】時(shí)』八/心.當(dāng)網(wǎng)=—2時(shí)，/1與h重合?例2已知直燃/的方程為2工+3p+5=0』點(diǎn)力（1,—41（1）求過(guò)點(diǎn)力且平行1的直線(xiàn)h的方程.（2）求過(guò)點(diǎn)月且垂直1的直線(xiàn)"的方程.【解】(1)思路一：利用點(diǎn)斜式2//1r/-=卜———.32二h的方程為＞+4=一§口一〉即2M+3/+10=0.思路二：利用一般式設(shè)八：2r+3/+。=0」;A曰1,，2-12+C=0.C=10.h的方程為2x+”+10=0.思路三：利用公式八的方程為2(r-1)+3(/+4)二口，即2%+3/+10-0,(2)思路一：利用點(diǎn)斜式'/JaJJj3:h的方程為y+4=;(工一—2即3x-2y-11-0,思路二：利用一般式設(shè)U的方程為3x-2y+X=0，丁Ae?2,3+8+Z=0,二工=一11,右的方程為3r—27-11=0.思路三：利用公式h的方程為3(x-1)-2(/4-4)=0,即3r-2/-11=0.2兩條直線(xiàn)所成的角例3求直線(xiàn)占，白的夾角呂：(1)?1：工一27+4=0,％：y=3x-2.(Z)[i；3X+4『+2=0,%：工=1.(3)1]、4的斜率分別為方程X2—4工+1=0的兩根.【解】C1V/即1=g*%=3*2（2）方法一：套公式/&=3,5L=4.G=2,4=1>Bj=（hG--1.._ _|0-4|_4**tan& ■~1 —強(qiáng)44+3向|3-0|34/.&"arctan—?3方法二：數(shù)形結(jié)合作出直線(xiàn)A、h，如圖.則匕、4的夾角與1】的傾斜角的補(bǔ)角arctan之互余.4. .k 3..9=——arctan—.2 4(3)方法一二解一元二次方程T,一4K+L=Q的兩根即=2+73,%=2-0--對(duì)應(yīng)直線(xiàn)的傾斜角a1=75"=15"j/■兩條直線(xiàn)的夾角日=cq—嗎=加0.方法二：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：X1-4T+1=(］的兩根為陶,M(於一垃)3=依1+尾＞一4比胡=12.…黜噌=技例4^ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為AC3>4k的直線(xiàn)的方程.7t,4?/IC【解法一】利用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的性質(zhì)一一"CD\AC\10、?定比%=—= =—=2DB|破57 2。(一，一一33 3直嫌兒D的方程為7r—J-17=0.【解法二】利用“到角”公式t之一)設(shè)AD的斜率為k,由HC、AB斜率分別為比=(，疝二j3 4 ,j —— ———此A 4 3tan—=——丹=-4—A0,9 3 4上1+巳1t\-lk4 3k=7或一工(舍).7二直線(xiàn)RD的方程為『一4=7(工-即7x-7-17=0.3.有關(guān)交點(diǎn)的問(wèn)題網(wǎng)S三條直線(xiàn)工+47+7=口，21-y(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解法一】B16.0）.C（一5」一2）,求NR的平分線(xiàn)工D所在A裊J=-->組3-33-4=0,5x+2y-1=0交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是t J.先求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)』再檢噩該交點(diǎn)是否在第三條直踐上.Px+4v+7-0由 解得直線(xiàn)A、辦交于點(diǎn)P（1，-2），［2x-y-4=0將工=1元=-2代入方程5H+2/-1=口適合，故三條直線(xiàn)交于一點(diǎn),選（A）.例6已知直筵?1；x+哈+6=0,%；（mi—2）X3my+2m=口，當(dāng)陋為何實(shí)數(shù)時(shí)，A與6重合7【解】常規(guī)方法，對(duì)參數(shù)用分類(lèi)討論.當(dāng)叩=0時(shí)，八日￡不重合；當(dāng)用#口時(shí)，L與匕重合的充要條件是：僧一2 3m 2?n 一= =—=——』即用=3時(shí)，〃與?會(huì)重合.1 雁 6【解法二】反常現(xiàn)方法?利用公理“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”.2Y八過(guò)定點(diǎn)月（一6」口）.占過(guò)定點(diǎn)B（0,一］）「*令點(diǎn)H曰士01即可.2—拉+6=0這時(shí)，由方程組\3 解得用=3.一6（幽一2）+2冽=0.?二此=3時(shí)，I】算%重合.4.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例7（】）直線(xiàn)J到了軸上的截距是一1,它的傾斜角的正弦值等于二，求］的方程；13TT（2）直線(xiàn)I的傾斜角是一，且與原點(diǎn)的距離是5,求？的方程；3（3）直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)J（3,5）,且與直線(xiàn)3工-2j+7=0的夾角為45O,求f的方程；（4）直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)P（1>口）」且與兩點(diǎn)』（-4,OXB（0.-2）距寓相等，求？的方程：（5）直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)力（一3,一23且與兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求，的方程；（6）直踐1過(guò)點(diǎn)。（L2）,且與圓爐+/=1相切，求1的方程.【錯(cuò)誤的解】~12

sin9 ?1312tan6=—.5/=*+1)/：12x-5j+12=0.(2)設(shè)，(2)設(shè)，的方程為護(hù)大一7+C=0,則巳=52尢二T』，i尢二T』，i+為2k=-5./t5r+7-20=0.：y=k(x—1).一?一21則上=也=—=--14 2/-/：x+27—1=0.(5)設(shè)1:-+-=1-aa則一^+——=1,a=-5.aa/.?rx+7+5=0.C6)設(shè)？：y=k(x—1)+2?ii3x—4/+5=0.【正確的解】

S、'sin。.（OS。。）1312tan9=±——.5二?I的方程為12工±5/+12=0.（2）設(shè)1詼程為g工-7+C=0,則EJ=5」c=±10.2二1的方程為超工一7±1。=口..**k=—5或化=」■5/.I的方程為51+/一2口=0或工-5/+22=0.(4>/t與HF平行或？過(guò)期中點(diǎn)(一2』一1).二i的方程為x+2『一1=0或M—”-1=1(5)當(dāng)1過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為2工―3y=0：當(dāng)？不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為x+y+5=0.(6】當(dāng)斜率立不存荏時(shí)，1=1為回的切線(xiàn)：當(dāng)斜率立存在時(shí)，31-Ay+5=0為圓的切線(xiàn).二?I的方程為r=1或3r—47+5=1例8已知直線(xiàn)！的方程是3工-y-2=。，兩點(diǎn)月(-1,-IkF(5,3),求直線(xiàn)乂耳與，的交點(diǎn)P的坐標(biāo).【解法一】利用解方程組.得《y=571.得《y=5717f2x-3v-l=0解方程組《[34-y-2-0即交點(diǎn)9的坐標(biāo)為(---X77【解法二】利用點(diǎn)P.1P0，:沒(méi)PH，打一23PE力尸且月產(chǎn)的方程為2K~3y=L.二2t—3（3t—2）=h/=-.7（下略，.【解法三】利用點(diǎn)p到直線(xiàn)RP距離為零設(shè)Fh,3t-2）,|2i-3(3i-2)-l|則點(diǎn)尸到月尸的距離d= "-''=0.713（下略【解法四】利用斜率相等*/A（-B-IkF（5>3XP（t—2）三點(diǎn)共線(xiàn),.,攵—2+13+1, 5.?k*— Aliejt——.r+1 5+1 7（下略L(fǎng)第四節(jié)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃學(xué)習(xí)目標(biāo)了解用二元一次不等式表示平面區(qū)域.了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：掌握直線(xiàn)力式+勤+C=口把平面上的點(diǎn)分為三類(lèi),直線(xiàn)上的點(diǎn)（/，為）都有力々+取0+C=口，直線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)（Xj,外）都有AXi+毋1+C>口，直線(xiàn)另一側(cè)的點(diǎn)5,內(nèi)）都有力孫+切m+C<0.本節(jié)短點(diǎn)：運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)嫁問(wèn)題.在高考中，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題出現(xiàn)在埴空題，選擇題中.本節(jié)重點(diǎn)：掌握直批Rm+母+C=口把平面上的點(diǎn)分為三類(lèi)』直踐上的點(diǎn)（冷，為）都有力。+為。+C=口，直線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)5』門(mén)）都有Hr1+期】+C>口，直線(xiàn)另一側(cè)的點(diǎn)（/，乃）都有力勺+By7+C<0.本節(jié)難點(diǎn)：運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.在高考中，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題出現(xiàn)在埴空題、選擇題中.典型例題學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃以后，常見(jiàn)的題型是用二元一次不等式表示平面區(qū)域，以及用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.下面的例題可檢驗(yàn)是否掌握了這些內(nèi)容.1.二元一次不等式表示的區(qū)域網(wǎng)1已知白＞0,3＞0,求不等式斷+如+c＞口表示的區(qū)域.【分析】作出直線(xiàn)歐+如+心=0（虛綾）后，關(guān)健是判斷直線(xiàn)哪一加1的點(diǎn)（X1，入L使+如1+cA0恒成立.【解】因?yàn)樾甭蚀?一色＜口,在工軸上的截距為一土：在J軸上的截距為一巳，砂作直線(xiàn)『的示意b a bEb如圖y?■「*，￡＞1TKIX:、 、 ?j匕、對(duì)于？上方『點(diǎn)P（勺，門(mén)"過(guò)P作與F軸平行的直踐交1于Q（rj，凡），則》＞氏.欠i+帆+￡=口，b＞口，.'.1axi+如l+c=（dXi+如o+。）+匕31—九）〉0,/.不等式欠+by+$＞口表示的區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)F右上方的平面區(qū)域（不含邊界LFA一石人!，：, ! X ?C\ -邑、X【點(diǎn)評(píng)】作FQ///軸交［于。是美蹉的一步，當(dāng)P在『軸上，產(chǎn)Q即為7軸.例2試討論點(diǎn)線(xiàn)距離公式中，去掉絕對(duì)值符號(hào)的規(guī)律？【分析】關(guān)鍵是判斷月孫+班+C的符號(hào).

【解】已知點(diǎn)P（而，為3直線(xiàn)LAx+By+C=0.要去撞d=E+板+口中組對(duì)值的符號(hào)，至十中關(guān)犍是判斷力勒+電口+。的正'負(fù)號(hào).為簡(jiǎn)便，設(shè)點(diǎn)尸不在直線(xiàn)？上.當(dāng)B=0時(shí),不妨設(shè)月》口.參看下圖（1L若點(diǎn)尸在『右側(cè)』有忠口+c＞工勺+c=0,苴中點(diǎn)Q（應(yīng),70）在，上，且商＞ii,故4+班+C＞0：同理，若點(diǎn)P在I左側(cè),則月4+切0+c＜0T當(dāng)B壬。時(shí)，不妨設(shè)E＞口.參看下圖（2）.若點(diǎn)尸在？上方』有力工0+與0+C＞月如+母1+C=0，其中點(diǎn)R，為）在，上,且內(nèi)＞了1故漢勒+緲Q+C＞0；同理，若點(diǎn)尸在1下方，則力%+切Q+C＜0.(2)【點(diǎn)評(píng)】利用二元一次不等式表示平面區(qū)域的知識(shí)，我們解決了點(diǎn)線(xiàn)距離公式中力順+切Q+。的正、負(fù)問(wèn)題，這有利于提高我們的運(yùn)算能力.2線(xiàn)性規(guī)劃初步例3鋼管長(zhǎng)11.1米，需要截下1.5米和2.5米兩種不同長(zhǎng)度的小鋼管，問(wèn)如何截取可使殘料最少?關(guān)鍵是利用約束條件，列出線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù).關(guān)鍵是利用約束條件，列出線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù).【解】設(shè)截15米長(zhǎng)的輛首無(wú)根，截2.5米長(zhǎng)的鋼管7根，其中工、y它N.則我料t=111-（15x+2.5j）三0.作直線(xiàn)1：111-（15r+257）=0,如圖yi下方最靠近？的格點(diǎn)（播、飆坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）為P（4>2）.答::當(dāng)截取1.5米長(zhǎng)的鋼管4根*2.5米長(zhǎng)的輛首2根時(shí)，我料最少，最少為。1米.【評(píng)析】本題要求作圖準(zhǔn)確.當(dāng)看不很清楚時(shí)』可以用代入檢驗(yàn)的輔助辦法，如本題點(diǎn)Q（6,1L代入檢監(jiān)t=11.1-（1.5X6+2.5X1）<0不合要求.例4用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)，軟件至少買(mǎi)3片，磁盤(pán)至少買(mǎi)2盒，則不同的選購(gòu)方式共有（）.（A）5種 （B）6種（C）7種（D）8種【解法一】解不等式組,等價(jià)轉(zhuǎn)化.設(shè)買(mǎi)軟件工片，跑盤(pán)/盒.r60x+70j<500則qx>3 且工、7WN*”2.整數(shù)斛(r,y)共了組：(3i2X(3,3)、(3,4)、(4」2)、(4>3k(5>2k(6,2)等.故選(CL【解法二】線(xiàn)性規(guī)劃,數(shù)般結(jié)合.'/60x+70/<500,x>3,7三工、同工,7EN,二作直線(xiàn)<5工+7/=5口，如圖.得符合條件的7個(gè)點(diǎn)」故選tC）.【解法三】列表數(shù)點(diǎn).故選（C）【點(diǎn)評(píng)】本題為1999年全國(guó)高考試題第14題，難度系數(shù)0.47.如果有利用二元一次不等式表示平面區(qū)域的知識(shí)，此題將不再困難.例S已知二次函數(shù)7=/(x)的圖像過(guò)原點(diǎn),且1穹(一1)W2,3守(1)W4」求了(一2)的范圍-甲、乙兩位同學(xué)分別用兩個(gè)方法,得到兩個(gè)不同的結(jié)果.甲解：設(shè)f(r)=小十力工(a#口)，f3<a+^<4(1)則，[l<a-b<2(2)-[(1)+(2)]i^2WiW3(3)21 3-[(1)-(2)]得—3W—C4)2 2/(—2)=4b—2b>/.5W7(-2)WH.乙解：設(shè)/(x)=必+核S壬0)1+匕=/(llnil\一gT=/(-I).方上⑴+義-叨-S/(—2)=4?！?b=3f(―1)+/(1)j且IW/f—l)W2,3守U)W4,6W/C-2)W1L試判斷甲、乙同學(xué)的解法，雄正確？【分析】甲的解法錯(cuò)誤，錯(cuò)在(1)、(2) n (3)、(4),反之不行，用必要不充分條件代替原條件，使解的范圍擴(kuò)大， [6,10]是[5,11]的子集.乙的解法正確.本題數(shù)形結(jié)合，利用本節(jié)的知識(shí)還可以有以下的解法.【解】建立s—0—b平面直角坐標(biāo)系.設(shè)f（玲=3+bx.作直線(xiàn)？1：ct—b=h:廿~b=2;卜：a+b=3；J4：a+b=41則點(diǎn)尸（a,b）的范圍如圖中陰影所示./（-2）=4津-2b,作直線(xiàn)1：Aa-22?=r.則當(dāng)1過(guò)點(diǎn)工（2,1）和1）時(shí)』t分別取得最小值6和量大值10」6W/（-2）W10.【點(diǎn)評(píng)】本題數(shù)理結(jié)合的解法.設(shè)/（m）=或+極后，則/口）=&+匕，］（-1）=a-i.由a-Z）>1a—b<2己知得』點(diǎn)（E，b）在不等式蛆 ，、表示的平面區(qū)域內(nèi)?故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在這個(gè)線(xiàn)性約束條件下，a+3之3a+b<4求/（-2）=f=4仃-23的最大值和最小值，得解.第六節(jié)曲線(xiàn)和方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握曲線(xiàn)的方程、方程的曲線(xiàn)等概念.2.了解解析幾何的基本思想和解析法，學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)立統(tǒng)一等辯證唯物主義思想.重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：了解曲線(xiàn)的點(diǎn)集與方程的解集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而掌握曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)這兩個(gè)重要概念，并掌握由曲線(xiàn)的已知條件求方程的方法和步驟，熟悉解析法.本節(jié)難點(diǎn)：理解曲線(xiàn)和方程的概念，以及求曲線(xiàn)的方程的方法.在高考中，曲線(xiàn)和方程常是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，出現(xiàn)在解答題中.典型例題學(xué)習(xí)了本節(jié)后主要要掌握求曲線(xiàn)的方程的步驟，以及用解析法解題的步驟，以下歸納供參考.求曲線(xiàn)的方程的步驟是:一建-選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線(xiàn)，建立坐標(biāo)系；二設(shè)-設(shè)曲線(xiàn)上點(diǎn)P（1以及利用已知條件設(shè)出其他有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)等；三列式-根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（工符合的條件，列出含工、J的方程ffX 二0；四化簡(jiǎn)-化方程/《工，了）=0為最簡(jiǎn)形式；五證明-證曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上（這一步不要求寫(xiě)出）.解析法的主要步驟是：一建-建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.建系原則是使已知條件好用，使表達(dá)式簡(jiǎn)明，運(yùn)算簡(jiǎn)便.因此，盡量利用已知點(diǎn)和已知直線(xiàn);二設(shè)-選取一組基本量，用字母表示出題目涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線(xiàn)的方程；三算-通過(guò)運(yùn)算，得到所要的結(jié)果.用以下例題檢驗(yàn)是否理解和掌握了這些內(nèi)容.1.怎樣求軌跡方程例1兩定點(diǎn)月、B相距為*，求到兌、B的距離的平方和為5。的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.-3【解法一】以RE中點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線(xiàn)HE為工軸建交平面直角坐標(biāo)系，如題目中的左圖.設(shè)動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)Cr,『）、A（一4,口）、B（4,口）.;剛a+P9=50」（X+4）2+/+（r—4）3+戶(hù)—50.「?動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為短+戶(hù)=9.【解法二】以H為原點(diǎn),直線(xiàn)為工軸建立平面直角坐標(biāo)系,如題目中的右圖.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x,7）、A（0>口）、5（8,0）.,/放2=5。.二# +（x-8）2+尸=50,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程（工一4尸+尸=9.【點(diǎn)評(píng)】求軌跡方程注意：①求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，設(shè)四價(jià)點(diǎn)的坐標(biāo)為（xfy）:②求軌次方程與求軌跡有區(qū)別.求軌跡方程悍出方程即可，求軌跡得出方程后還要指出方程的曲線(xiàn)是什么圖形；③建立的坐標(biāo)系不同，同一曲線(xiàn)的軌跡方程不同，但軌跡圖形相同.求軌跡方程的方法有兩大類(lèi)，直接法和間接法，本題為直接法,將幾何關(guān)系式內(nèi)編+正￥=50>直接?'翻譯”為含工、7的方程.這是最基本最重要的方法.例249（7的三邊中』&>3>￡且5= ,若頂點(diǎn)R（-1,口）,B（1,口），求頂點(diǎn)C的軌跡方程.【錯(cuò)誤解法】港占CGV)胤g一 十|BC|改點(diǎn)ctx?Ji『則田切 *2「?45+以+尸+&k-1)、父=4.二點(diǎn)C的軌跡方程為3爐+4/=12.【正確解法】設(shè)點(diǎn)C(x,y)且工＜0,7則陽(yáng)q+|BC|=2|4B|j二7^―+尸+而-1產(chǎn)+r=4(l＜0,7W。).?二點(diǎn)7的軌跡方程為3#+4產(chǎn)=12(工＜口，丁大0).【點(diǎn)評(píng)】要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件,4且H［」1,0),尸(1,0)/畫(huà)出△工BC立即可以看出點(diǎn)C(X 的橫坐標(biāo)rV。,縱坐標(biāo)7壬口.求軌跡方程要注意以下四點(diǎn)，防止可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤二①注意防止忽略動(dòng)點(diǎn)厘滿(mǎn)足的某些隱含條件；②注意方程變理中必須同解的要求：③注意圖也可能有的不同位置：④注意字母親數(shù)取不同值時(shí)的討詒.例？在長(zhǎng)度"的線(xiàn)段工習(xí)上有一動(dòng)點(diǎn)尸在AB同惻以月尸.BP為邊作等邊△月RW和等邊△BJW」求皿中點(diǎn)的軌跡.【解法一】參數(shù)法以直線(xiàn)MB為元軸，點(diǎn)工為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如題目中的圖所示』點(diǎn)工(0.0kB(a>0).設(shè)F(r/0)(o<rV])，訓(xùn)的中點(diǎn)Q(rry).…ufL#cd0+t>/5(cj-Z)■A?\—t> 門(mén),”{ , J,2 2 2 2二廠(chǎng)H是參數(shù)).73y=—a.L4丁點(diǎn)水點(diǎn)N還可能同在r軸下方j(luò)?*,JW中點(diǎn)的軌跡是兩條線(xiàn)段/=±乎1,且工工等，除去線(xiàn)段的端點(diǎn).【解法二】幾何法筵長(zhǎng)月"、BN交于點(diǎn)C』則四邊形MOVP是平行四邊彩，故必/的中點(diǎn)Q即為R7的中點(diǎn).由三角龍中位線(xiàn)定理知，的中點(diǎn)Q的軌跡是正△工BC平行于邊的中位線(xiàn)(除去兩端點(diǎn)).而點(diǎn)C可以在直建.48的兩側(cè),故軌跡為兩條線(xiàn)段(除去端點(diǎn)1【點(diǎn)評(píng)】本題求軌跡方程的方法屬于間接法,利用參數(shù)或參數(shù)方程求軌跡方程時(shí)，參數(shù)的選擇起了美腿性的作用，它不僅決定著參數(shù)方程龍式的繁簡(jiǎn)■而且還關(guān)系到曲線(xiàn)的參數(shù)方程在某種情況下是否能建立起來(lái).一般地，選擇時(shí)間t、角度8r直線(xiàn)斜率上、點(diǎn)的坐標(biāo)l1和力等當(dāng)參數(shù)，并且參數(shù)個(gè)數(shù)少一點(diǎn)為好.利用參數(shù)法求軌跡方程時(shí),要注意參數(shù)的取值范圉」還要注意圖能一切可能的位置，以便完全符合曲線(xiàn)的方程的定義，保證的理的純粹性(不雜)和完備性【不漏L本題常犯的錯(cuò)誤之一是不注意參數(shù)的取值范圍■把軌跡說(shuō)成了直線(xiàn)f雜了"之二星忽喈了點(diǎn)M、"可以同在r軸下方,漏披了無(wú)軸下方的線(xiàn)段(隔了).2解析法與綜合法例4用不同的方法證明余弦定理.已知二在△REC中，三邊長(zhǎng)仃、匕F。，對(duì)應(yīng)的角分別為4、EB、乙C求證：〃=匕*+~-2becqsA?【證法一】

綜合法，利用勾股定理.當(dāng)工<一」且&4EC為銳角三角寵」作BD_L4C于0，2設(shè)=1j如圖(1)母—&—+(2一r尸=型+&-7bx=冷+娘一2becos.4當(dāng)月=上.△RBC為直角三角彩，如圖(2)20=爐+0=承+夕一2becosA.再 舄當(dāng)R,ARBC為鈍黃三角形，如圖(3)2〃=t2一要+(辦一x)3=型+W+2我=/+解一2becosj4.總之，〃=〃+聲—2becosA.【證法二】【證法二】解析法，利用兩點(diǎn)間距離公式.以點(diǎn)力為原點(diǎn)』直線(xiàn)HC為工軸.建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.則月(0,0入C(b,0)vB<tcosJl>csin-4).;&=BO=(ccosA一白尸+?加力>=方+點(diǎn)一2從cqsR.【證法三】向量法,利用數(shù)量積.,?S| =%f設(shè)口=C-gr如下圖.則|曰「=s*a—(c—i)(c-)=cac+b■b—2c'b=|用+而一洞的【證法四】復(fù)數(shù)法，利用運(yùn)篁的幾何意義.點(diǎn)C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)向=匕，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)與=￡cosj4+始sinA則樂(lè)=|句—句-5cosH尸+(6in>l尸=排-2bcdos^.【點(diǎn)評(píng)】不同證法，以解析法較簡(jiǎn)便，復(fù)數(shù)將在高三年級(jí)學(xué)習(xí)，這里的證法實(shí)質(zhì)和解析法一樣，不過(guò)是換個(gè)說(shuō)法.Ms已知>1(5,-IXB(-U7)>C(1-23求△怨。中平分線(xiàn)的長(zhǎng).【分析】關(guān)鍵求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式可得⑷。的值.【解】,/\AB\=c=10-\AC\=b=5,BD\AB\又由角平分線(xiàn)性質(zhì)得上=——一^=21DC|j4C|「*由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得——1+2又1_1 _7+2x2_11a=F^=屋力=口7二=1.陽(yáng)尸?5一孑+(一1一》，=yV2.【點(diǎn)評(píng)】平面解析幾何直線(xiàn)和圓與平面幾何有關(guān)部分有較密切的聯(lián)系，本題求△工EC中/工的平分線(xiàn)長(zhǎng)祝 A Aia衽平面幾何中有公式上= cos—.故本題還可由余蘢定理求c加月的由半角公式求c加一＞b^c 2 2然后套公式求*的解法?下面分別用解析法和嫁合法，證明這個(gè)公式.已知：hABC中，ZA的平分線(xiàn)長(zhǎng)ta.— —火乂求證1士工- cos-.TOC\o"1-5"\h\zB+匕 2【證法一】解析法以力為原點(diǎn)」角平分線(xiàn)RD所在直線(xiàn)為工軸」建立平面直角坐標(biāo)系」如圖.J A A A\o"CurrentDocument"劇R(Dj0)j(7(2>cos—jbsin—)』B(ccos—,—csin—"2 2 2 2設(shè)D(x,03.7_CD_b,■X ——1DBc，月占月oCOS—+—CCOS— j..ta=陽(yáng)白尸工=---q ='—cos-.b+c2【證法二】綜合法過(guò)C作OS//AD交胡的延長(zhǎng)踐于E，如圖.'/CT//AD,/￡=ZACE=4Z-4.2￡在等候△HUE中，CE=22c扉一2AD=cECb+ce次At?=AD= cos—,b+e2解析法與綜合法的特點(diǎn)，從中你體會(huì)到了嗎？解析法的優(yōu)點(diǎn)是程序固定（一建二設(shè)三算），操作簡(jiǎn)便，但一般運(yùn)算量較大;綜合法的優(yōu)點(diǎn)是思路靈活，但如何添加輔助線(xiàn)不易掌握.例6直線(xiàn)1：3K+4『-10=口和曲線(xiàn)。：汨+產(chǎn)一5y+2=口交于月、B兩點(diǎn)，且OALOB 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)戶(hù)的值.【解法一】方程的思想方法設(shè)點(diǎn)力（XiB（4，乃）3Hl+4^1-10=03K2+41y2-10=C1-5f]+p=0t4+H-5m+p=0五個(gè)未知數(shù)依、用％4、為、p,五個(gè)獨(dú)立的方程,可求出聲等.（此法理詒上說(shuō)可解,但實(shí)際求解比較困難.）【解法二】常規(guī)方法3x-4y-10=0解方程蛆4., 得交點(diǎn)坐標(biāo)，x+y-5y-hp=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" 5 3 $ 3不昉設(shè)A（i——— \F（一、后，—十— ?24 24其中m——e>+4.25OA±OBt=0【解法三】

利用韋達(dá)定理3z+4V-10=0. 3 消工程K+y—5y+p=025/-125/+100+9J?=0>_100+9p2516^-100~~25注=—1,p=0.【解法四】數(shù)形結(jié)合的思想方法配方得#+&-^)12TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"25 5數(shù)形結(jié)合的思想方法配方得#+&-^)12——P，幾何意義是動(dòng)點(diǎn)M以，丁)到定點(diǎn)Ct口，-)4 2的距離為定長(zhǎng)25 5的距離為定長(zhǎng)C—故由平面幾何知,斑點(diǎn)的軌跡是以。C0,-)為圓心點(diǎn)C(0.32-)2點(diǎn)C(0.32-)2的坐標(biāo)適合方程3r+4」-10=0,在直線(xiàn)？；3x+4/-10=0上，AB為國(guó)C的直徑j(luò)OA1QB』點(diǎn)O在回C上,即p=□.【點(diǎn)評(píng)】是否可以用代數(shù)中的計(jì)算過(guò)程代替幾何中的證明？”讓代數(shù)和幾何中一切最好的東西互相取長(zhǎng)補(bǔ)短 ”等是笛卡兒創(chuàng)立解析是否可以用代數(shù)中的計(jì)算過(guò)程代替幾何中的證明？幾何的初衷.解析幾何既然是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何對(duì)象的特征和性質(zhì)，當(dāng)然對(duì)運(yùn)算能力要求較高.運(yùn)算能力是一種計(jì)算化了的推理能力，是邏輯思維能力與計(jì)算知識(shí)、方法、技能和技巧的結(jié)合.在解析幾何中，如果不注意運(yùn)算方法上的特點(diǎn)和技能,就可能陷入有思路但算不出或很難算出正確結(jié)果的窘境，如本題的思路一、二.解析幾何中常用的運(yùn)算方法和技能是:①注意利用平面幾何知識(shí)，如思路四;②不忘利用定義，尤其是圓錐曲線(xiàn)的定義解題;③充分利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并不忘對(duì)判別式 △的要求，如思路三;④合理利用曲線(xiàn)系;⑤數(shù)形結(jié)合，依形判數(shù)，就數(shù)論形；⑥靈活運(yùn)用字母的可輪換性，減少同類(lèi)量的重復(fù)運(yùn)算.以上方法和技能，要在實(shí)際解題中逐步掌握.第七節(jié)圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo).掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的參數(shù)方程..初步了解直線(xiàn)和圓中反映出的運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)立統(tǒng)一等辯證思想和觀(guān)點(diǎn).重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程及其相互轉(zhuǎn)化.本節(jié)難點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的綜合運(yùn)用.在高考中，圓的方程在選擇題、填空題、解答題等各類(lèi)題型中出現(xiàn).本節(jié)要掌握三種類(lèi)型的問(wèn)題，之一是求圓的方程，之二是直線(xiàn)和圓的綜合題，之三是應(yīng)用直線(xiàn)和圓的知識(shí)解決一些問(wèn)題.1.圓的方程有哪些形式？①標(biāo)準(zhǔn)式二已知國(guó)心C2，七"半徑為了，則圓C的方程是(x 一匕尸二戶(hù).②一般式：已知圓上三點(diǎn)R5，入)、B(必，%/C(x3則國(guó)的方程是#+/+以+助+尸=0,其中待定系數(shù)D、F、F，由以下方程組解出：甬O+/耳+尸=f；-y；，x2D+y2E+F=/白9=一兩’-y^.③參數(shù)式：已知圓心C(5,3)』半徑為了，則圓C的參數(shù)方程是尸 _x=ti+rcos&,一八(8是參數(shù)).j/=d+rsina.典型例題用下面的例題檢驗(yàn)是否理解和掌握了圓的方程的三種形式：例1已知點(diǎn)月(2,2LB(3,-IkC(5,3),求的外接圓的方程.【解法一】待定系數(shù)法』一般式.設(shè)圓的方程為產(chǎn)+尸+以+助+F=0,。+2￡+9+8=0則■>50+3豆+下十34=03?！埂?10=0一解得，￡二-2/=12A工BC外接圓的方程是爐土產(chǎn)-8V一〃+12=0.【解法二】利用平面幾何的性質(zhì)*標(biāo)準(zhǔn)式.'/AB的垂直平分線(xiàn)的方程為3工+『=13 ①AC的垂直平外線(xiàn)的方程為x—37=1 ②二聯(lián)立方程①、②,解厚圓心Of坐標(biāo)x=4jy—1.又半徑F=|0'月尸加匚加用二W=J5.丁?△月BC外接圓的方程為U—4）?+。-I）3=5.【解法三】數(shù)理結(jié)合，套公式.1-*a"起e=-3乂；=一I，￡BAC=-.2二RtAABC外接圓的直徑為5c，&（，一1）、C（5」3）.外接回方程為（1一3）（r-5）+3+1）3-3）=口.C下咯）.【點(diǎn)評(píng)】思路三用到"工（勺』以入B6，治），以力B為直徑的圓的方程是（X一為）5—4）+。一用）（y—為）=口”.怎樣求圓的方程？這三條思路具有典型意義.例2求通過(guò)直線(xiàn)2M-y+3=。與圓爐+產(chǎn)+2x-47+1=口的交點(diǎn)，且面積為最小的圓的方程.

【解法一】利用過(guò)兩曲線(xiàn)交點(diǎn)的曲線(xiàn)系設(shè)圓的方程為小+戶(hù)+21-47+1+工(2x-y+3)=口，配方得標(biāo)曜式6+1+工”+6-2--J3=0+丸＞+(2+-)i-3Z-1,:半徑聲=fR+4+4=fj+上尸+丫，4 4 5 5,二所求面積最小的圓的方程為5^+5尸+6工一1叼-1=0.【解法二】利用平面幾何知識(shí)以直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)工《工1，力)、B(叼『內(nèi))連蛾為直徑的圓符合所求.2x-p+3=0由4,” 消去y得—+y+2x—4y+l=0.5r2+6工一2=1二判別式A＞。,月?tīng)I(yíng)中點(diǎn)橫坐標(biāo)題=、+.=一三.59期坐標(biāo)凡=2勒+3=5-9即圓心0，(一一，一).519~53 19~5所求面積最小的圓的方程是0+-)3+。~-)【點(diǎn)評(píng)】要熟第地進(jìn)行圓的一股式與標(biāo)推式之間的互化』這里配方法十分重要,思路二用到求免長(zhǎng)的公式3叫=|沖一切廠(chǎng)J1十4；對(duì)于回的花長(zhǎng),還可以利用勾股定理求得，即用切=20二^,其中產(chǎn)為國(guó)半徑，d為圓心到弦的距灣-例3求過(guò)點(diǎn)P(4,-1)且與圓C：/+戶(hù)+2x-6』+5=。切于點(diǎn)M(1』2)的圓的方程.【解法一】利用平面幾何知識(shí)（特定系數(shù)法之一）設(shè)所求的國(guó)的圓心月的坐標(biāo)為（制，⑴，半徑為F.則力、”、C三點(diǎn)共線(xiàn)，且|M4尸四尸尸，且周C：（r+1）1+0—取=5,點(diǎn)CC-1,外\-2_2-3敵4制一1 1+1?。ㄕ?1）。+（用-2），=癡”4），+（月+1）。-r解得曜=3rM=l、F=J5，.，所求圓的方程是c-3尸+。一1尸=5.【解法二】利用過(guò)兩曲線(xiàn)交點(diǎn)的曲線(xiàn)系（待定系數(shù)法之二）二圓C過(guò)點(diǎn)“（1,2）的切線(xiàn)方程為2工一7二（h丁?設(shè)所求圄R的方程為聲+戶(hù)+2r-ty+5+A（2x-y）=口』,/點(diǎn)戶(hù)（4,-1）在圓月上,二代r=4,y=—1入圓工的方程求得上=—4,二所求圓的方程是N+戶(hù)-6r—2尸+5=0.【點(diǎn)評(píng)】本題涉及兩圓相切.要充分利用平面幾何知識(shí)，以減少運(yùn)算量.思路二中，用到過(guò)兩曲畿巴以，*=1后（工，『）=口交點(diǎn)的曲線(xiàn)系是用1（工，［）+工巧（x,y）=0（AER）和乃（r，P）=0,這也應(yīng)該掌握.例4設(shè)圓滿(mǎn)足：①截丁軸所得弦長(zhǎng)為2,②被m軸分成兩段圓邨，那長(zhǎng)之比為3：1.在滿(mǎn)足條件①、②的所有圓中，求圓心到直畿/：r-2y=口的距離最小的圓的方程.【分析】關(guān)鍵確定圓心坐標(biāo)和半徑.【解】設(shè)圓心月（口"3則半徑＞=42\b\.由截了軸弦長(zhǎng)為2知，出+1=聲=2加；又回心力到！距離d=3依-2i|：5#—&+4/-4ab三〃+4型一？（〃+〃）=2型一砂=1,一a=b這里由，以？十一a=b這里由，以？十1二戶(hù)2b1=?F /0=1a=-\解得“二1或，萬(wàn)二一1r-^（2.r-^/2.V圓的方程為a-i）2+o-i尸=2或（工+i/+。+i尸=2.【點(diǎn)評(píng)】本題為1997年全國(guó)高考理科第25題，難度系數(shù)0.20.難在什么地方呢？第一文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，有同學(xué)讀不懂題；第二涉及眾多知識(shí)，有同學(xué)不會(huì)運(yùn)用；第三丟解，忽略了不同的位置關(guān)系.會(huì)不會(huì)用知識(shí)和怎樣用知識(shí)，是一個(gè)人有沒(méi)有能力和能力高低的重要標(biāo)志，努力吧！2直線(xiàn)和圓綜合題網(wǎng)S一直統(tǒng)過(guò)原點(diǎn)且與半圓（工一2）7十戶(hù)=1U三口）的交點(diǎn)為尸1Q,礴足QP|=2|FQ|,求此直魏方程.【分析】由于|閉=引產(chǎn)0,用直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義求解，可能較得便.【解】0P當(dāng)——=—2時(shí)，如圖PQ設(shè)直線(xiàn)方程為＜ (：為參數(shù)),二fsmtz代入感方程。匚usor—2)2+(fsiner)1=1..*+t2—4tcos&+3=0--11+巧=4cos(X3ti力=3?且力鼻=2Jj?二直線(xiàn)方程為y=x.OP當(dāng)——=2時(shí)，如圖PQOl1 2 3x同理可用直線(xiàn)方程為7總之，所求的直線(xiàn)方程為F【點(diǎn)評(píng)】本題如果不用直線(xiàn)的參數(shù)方程，可設(shè)所求直線(xiàn)方程為了=心得解.但要注意代入半國(guó)的方程求交點(diǎn)時(shí),4=2&或勒=W/，否則要丟捶一解.目點(diǎn)乂（一3，3）蚩出的光踐?射到工軸上，械工軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓N十戶(hù)-4x~4y+7=口相切.求光線(xiàn)?所在直戰(zhàn)的方程.【解法一】

常規(guī)方法c待定系數(shù)法）設(shè)光線(xiàn)/所在直線(xiàn)的方程為F-3=45+3）.則反射點(diǎn)的坐標(biāo)為（一、”無(wú)）,0）{k存在旦山土用.k；光線(xiàn)的入射角等于反射角，二反射線(xiàn)V所在直線(xiàn)的方程為」=-k[x ].k即r：/+丘+3（1+k）=0.■/圓小一2尸+0—2尸=\tV與回相切；=i,, |2+24+3(1+幻]=i,圓心到廠(chǎng)的距寓4=' ~--3戢4=—

4/.光線(xiàn)J所在直線(xiàn)的方程為31+47一3=?；?K+3y+3=，【解法二】利用對(duì)稱(chēng)已知回0—2>+。-2尸=1關(guān)于工軸的對(duì)稱(chēng)圓C'的方程為（X一2尸+0+2尸=1.設(shè)光線(xiàn)1所在的直線(xiàn)方程為7一3=上6+3）.則1與圓C'相切，如圖.八|5k+51f卜3.丘 4d=-,=Lk=一一或k4 3＜下下).【點(diǎn)評(píng)】已知曲線(xiàn)的類(lèi)型，關(guān)犍是確定曲線(xiàn)的方程中待定的系數(shù)-在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上，應(yīng)學(xué)習(xí)和運(yùn)用關(guān)于對(duì)稱(chēng)等特殊方法I使運(yùn)篁過(guò)程得以簡(jiǎn)化和優(yōu)化.高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾種對(duì)稱(chēng)小結(jié)如下：①中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)PCr 關(guān)于點(diǎn)月（a,i）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q{la—丫，2占-7）；曲線(xiàn)尸（工，川=0關(guān)于點(diǎn)火S?力）的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是F（2a-工，22-j）=0j②軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P（1,7）關(guān)于直線(xiàn)J=履+5的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。一包五+%8一》歸一1?+2（辰+叭，7陞4，k2+1 /+1特別地：點(diǎn)尸（X，門(mén)關(guān)于直線(xiàn)工=】的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。1（2（7-X,『），關(guān)于直線(xiàn)j=r的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)0二34關(guān)于直線(xiàn)了=H+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)QW—七?工+b），關(guān)于直線(xiàn)F=一工+h的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q*（-/+i，—r+力：曲線(xiàn)95a二口關(guān)于直解/=丘+方的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是(1-M)工+次8一句右一1?+2(辰+S)2*I ， 7 /—U-d十1 1+1特別地：曲線(xiàn)F（x』『）=0關(guān)于直線(xiàn)M=〃的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是尸匕"一工，『）=0，關(guān)于直踐y=工的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是尸（/，幻=0,關(guān)于直線(xiàn)F=r+b的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是F3—b，工+冷=口，關(guān)于直線(xiàn)『=-r+8的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)是F（—y+i」一r+b）=0.③代數(shù)中的對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于/軸對(duì)稱(chēng)；互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)『二工對(duì)稱(chēng)：7—Asin（分工+乎）（月工;口，齒>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)，口）對(duì)稱(chēng)*其中由鼻+獷=上加（k€Z）；關(guān)于直線(xiàn)工=昭對(duì)稱(chēng)，耳中分叩+g>=k砥+］三幻，W7已知定回x3+尸=&與同外1定點(diǎn)？I（xbry0）過(guò)點(diǎn)R引圓的兩條切線(xiàn)，求經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)嚴(yán)、C的直線(xiàn)的方程.本題若設(shè)直線(xiàn)FC的方程為Ax+By+C=0,一是待定系數(shù)較多,二是已知條件不好用，運(yùn)苴較繁難.若利用平面幾何知識(shí)?得出以CM為直徑的圓工（x一0）+『（『一』0）=0,再求其與定圓0的交點(diǎn)即尸、。點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)FC的方程，運(yùn)算也不容易.下面介紹一種新思路求解.設(shè)尸（其1」￥】）、C，%）則兩切線(xiàn)方程為孫工+了第=RA，0工+/少=尺:.,/點(diǎn)工（瓦，打）在切線(xiàn)工尸、處7上，■*■勺/+/譏=R“且均工。+>常o=R**六過(guò)尸、D兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為xrr+jnF=相.【點(diǎn)評(píng)】本題解法沒(méi)有用常規(guī)的待定系數(shù)法,即設(shè)尸C的方程為/=壯+匕（k存在時(shí)），這樣做較繁推-轉(zhuǎn)變著問(wèn)題的殆度『兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)」F、C點(diǎn)的坐標(biāo)（勺，7J（勺率的），都適合直線(xiàn)方程T必十網(wǎng)=R3」則"的方程即為飛1+為y=R2，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖軗p,把它從一種理式轉(zhuǎn)換為另一種形式，往往能化繁為簡(jiǎn)、化難為易.回想分析中講到的第二種思路.在以Q4為直徑的圓的方程工（r_畫(huà)）4/U一見(jiàn)）=口中，只要將N+尸用R*換即得FC的方程?但怎樣解釋呢？例8已知回