高等代數(shù)復(fù)習(xí)提綱

高等代數(shù)復(fù)習(xí)提綱一．多項(xiàng)式帶余除法—->輾轉(zhuǎn)相除法-ufvg1的運(yùn)用不可約多項(xiàng)式，標(biāo)準(zhǔn)分解式，特別是實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域情形。根與標(biāo)準(zhǔn)分解式（復(fù)數(shù)域），重因式判定。有理根計(jì)算。Eisenstein判別法變形運(yùn)用。二．行列式基本性質(zhì)與算法，行列式僅是后繼高代內(nèi)容的研究工具。三．線性方程組核心內(nèi)容。線性相關(guān)性判定及線性組合方式計(jì)算是兩個(gè)核心概念。消元法：初等行變換是代數(shù)最基本方法。向量組線性相關(guān)性概念，秩的計(jì)算，矩陣非零r級(jí)子式計(jì)算，極大無關(guān)組的求法。方程組三種等價(jià)形式的運(yùn)用。線性方程組有解判別定理與向量組秩關(guān)系。解的結(jié)構(gòu)與極大無關(guān)組。四．矩陣矩陣乘積的秩。逆矩陣計(jì)算初等變換與初等矩陣：左乘變行，右乘變列。分塊的思想：與矩陣乘積，方程組關(guān)系等。五．二次型二次型幾何意義。二次型矩陣，標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算。合同概念。規(guī)范形幾何意義。特別是實(shí)二次型。正定性的判定。與向量內(nèi)積關(guān)系等：例如：r（A）r（ATA）；AtA正定當(dāng)且僅當(dāng)AX0只有零解，其中A不必是方陣。六線性空間線性空間定義?；ňS數(shù)），坐標(biāo)，同構(gòu)VPn.同構(gòu)向量組線性相關(guān)性判定坐標(biāo)向量組相關(guān)性線性方程組。子空間的交與和基的計(jì)算，維數(shù)公式。直和：交為{0}.七．線性變換線性變換矩陣表示：線性變換=矩陣（基固定），這一相等保持線性關(guān)系和乘積，從而一切關(guān)于線性變換問題完全等價(jià)于一個(gè)矩陣問題?；儞Q前后矩陣相似。：首特征值，特征向量的計(jì)算和性質(zhì)。注意特征向量和特征向量坐標(biāo)的區(qū)別先計(jì)算的是特征向量坐標(biāo)?。菏卓蓪?duì)角化判定。值域與核的基的計(jì)算，“維數(shù)公式“。八．矩陣初等變換注意事項(xiàng)。標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算：簡便算法。行列式因子，不變因子，初等因子，Jordan塊之間對(duì)應(yīng)關(guān)系。九．歐氏空間定義和基本性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)正交基。Schmidt正交化方法。正交矩陣，正交變換。實(shí)對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)型正交補(bǔ)。內(nèi)射影計(jì)算。同構(gòu)VRn.附注：特征值特征向量基本性質(zhì)：A和f(A)特征值。如A和EA。A和BP1AP特征向量關(guān)系；特別是和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型以及可對(duì)角化情形。可逆等價(jià)于0不是特征值。3.Jordan標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角線上元素為全部特征值；實(shí)對(duì)稱矩陣正交化標(biāo)準(zhǔn)型就是 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。這一結(jié)論對(duì)相似可對(duì)角化矩陣也成立。冪零矩陣：和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型聯(lián)系。參考p320.例1.參見p327,補(bǔ)充4.可逆變換對(duì)應(yīng)可逆矩陣；矩陣(線性變換)可逆充要條件：0非特征值；逆的特征值為原矩陣特征值逆。例2.EAB,EBA可逆等