換元積分法與分部積分法

§2換元積分法與分部積分法教學(xué)目的：換元積分法與分部積分法．教學(xué)內(nèi)容：第一、二換元積分法；分部積分法．基本要求：熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．教學(xué)建議：(1)布置足量的有關(guān)換元積分法與分部積分法的計(jì)算題．(2)總結(jié)分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環(huán)法．一.第一類(lèi)換元法——湊微法：有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分例如，求不定積分cos2xdx，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2，使成為cos2xdx1

cosx2xdx

cos2xd2x令2xu則上述右端積分

cos2xd2x

cosudu sinuCxcos2xdx1sin2xC更一般的，若函數(shù)Fx是函數(shù)fx的一個(gè)原函數(shù)，x是可微函數(shù)，定積分的定義，有由于fuduFuCfuduux 133x4dx3x41d3x4，令u3x4有所述，可得如下結(jié)論【定理8.4】（第一換元積分法

）設(shè)fu是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)

是fu的一個(gè)原函數(shù).又f 第一換元積分公式（2）說(shuō)明如果一個(gè)不定積分gxdx的被積表達(dá)式gxdx能夠?qū)懗蒮uduFu 容易求得，那么再將ux代入F，便求出原不定積分分法為“湊微分法”.湊微分法技巧性強(qiáng)，無(wú)一般規(guī)律可循，因而不易掌握，初學(xué)者只有多做練習(xí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用自如

f(axb)dx

1a

f(axb)d(axb)

1a

f(u)du.【例１】利用dx

1daxba

a,bR,a0，求下列積分33x4dxuduaa2x2 a1uaaarctanuC如果運(yùn)算比較熟練，為了簡(jiǎn)化解題步驟，變量代換如果運(yùn)算比較熟練，為了簡(jiǎn)化解題步驟，變量代換u

1334 14u3Cu3C再將u3x4代入，有

3

3x4dx1

C2

a2x2

a1()2a

1()2ad()a

a0令ux，有a

a2x2a1u2

a2x2

arcsinxCa3

a2x2

a2[(1()2)]a

a

d()a1()2a令uxa

du

再將ua

a2x2

aarctanxC就可以了22111x21dxdxdfxdxxln55 x7＝ C 15X27Cee1 12 11

1 xk1f(xk)dx f(xk)d(xk) f(u)du.特別地,有 1 1 f(x) f(x2)xdx f(x2)d(x2) f(u)du和 dx2f2 2

dx.

a1

ax1b

a,b,R,a0,1，求下列積分

71

5x2710

5x27 10

20

3

dx

dx

4 1x2

x0 【解】x2 1x2

1x2

11

1

d1

121122

C112

３】若被積函數(shù)

x,利用f

xx，有如下公式xdxx

dx

xa 1ex1ex11ex xxln 1 e列積分

dlnx

lnlnxC2tanxdx

sinxdx

dcosx

lncosxC3cotxdx

cosxdx

dsinx

lnsinxC以上３例都是直接利用“湊微分法”求不定積分如果進(jìn)一步把“湊微分法”與不定積分的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，就可以利用基本積分表來(lái)處理非常廣泛的初等函數(shù)的積分.【例４】將下列被積函數(shù)先作代數(shù)恒等變形再求其不定積分

a2x2

111dx2aax ax dxa2a

dxa

2a

2

1exex

dx

1ex

1exex1ex

1ex

1ex1ex

1ex

1sin2xdx

1

dcotx2cot2x

x

cotx1 2

12

arctan

cotx 2【例５】對(duì)于【例５】對(duì)于sinxdx與cosxdxnN形式的積分，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，可利用三角恒等式sinsinx11cos2x 1 sinxdx12cos2xcos2xdx＝coscosxdxsinxdsinxsinxsinxC 1

f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinxf(u)du;f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosxf(u)du;f(tgx)sec2xdxf(tgx)dtgxf(u)du.n 2

cos2x11cos2x來(lái)降低三角函數(shù)的冪，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，變正（余）弦函數(shù)的積分為余（正）弦函數(shù)的積分.

1cos4xdx sin4xC＝ 1342

2 【例６】對(duì)于sinxsinxdx,cosxsinxdx和cosxcosxdx形式的積分，可利用三角函積化和差公式1cosxcos2xdx1cos12xcos12xdx 1sin12 1

【例７】

2xsi 2 n2cos2

2tx2an

costax

cot 2tanx2cos22

lntx

lxncsxcCcot2secxdx

2

C＝lnsecxtanxC８】

arcsinxdx2

arcsinx1x

dx2arcsinx

dx＝2arcsinxdarcsinx

f(ex)exdxf(ex)dexf(u)du..【例9】

dt2et

f(lnx)dx

f(lnx)dlnxf(u)du.【例】

ddx21xdx1sin2tdsint

dxf(arcsinx)darcsinxf(u)du;f(arctgx)dxf(arctgx)darctgxf(u)du.【例】

arctgx

dx2

arctgx

tx

arctgt

dt2arctgtdarctgt(arctgt)2c(arctgx)2c.其他湊法舉例【例】

exexexex

d(exex)exex

ln(exex)c.【例】

lnx1(xlnx)2

dx(xlnx)2

【例】

secxdx

secx(secxtgx)dx

sec2xsecxtgx

d(secxtgx)ln|secxtgx|c.【例】

【例】

cosx5sinxdx.sinxcosx【例】

dx1

dx 12x2

【例】

x5x22x2

[1]P188—1891⑴—(24)；例子大都采用了初等數(shù)學(xué)（代數(shù)或三角函數(shù)）中的運(yùn)算技巧將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后再進(jìn)行變量帶換.因此在作積分運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該重視有關(guān)初等數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用.二.第二類(lèi)換元法——拆微法：從積分cos2tdt出發(fā)，從兩個(gè)方向用湊微法計(jì)算，即xsint t=cos2tdt=

12

1 (1cos2t)dt tsin2tc,2 引出拆微原理 ，則式（2）右端的不定積分fu

第二換元積分法可以確切的敘述如下【定理8.5】（第二換元積分法）設(shè)fx是連續(xù)函數(shù)，x是連續(xù)可微函數(shù)，且x定號(hào)，復(fù)合運(yùn)算ft有意義.設(shè)F是ftt的一個(gè)原函數(shù)，即

fxdx

Ft1x=1

3其中1 【證明】有定理假設(shè)x定號(hào)，，故函數(shù)t存在反函數(shù)dFtftt

u，又

d

F

dFtdt dt

1x

ftt

1t

t1xf

22taaxdx=acost.acostdtacostdt3x容易求出，那么再代回原來(lái)的變量t1x，便求出原不定積分

dxF

1由于第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇滿足定理8.5條件的變換xt，從而使式（4）的不定積分容易求出.那么如何選擇變換xt呢？這往往與被積函數(shù)的形式有關(guān).例如，若被積分容易求出常用代換有所謂無(wú)理代換,三角代換,雙曲代換,倒代換,萬(wàn)能代換,Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換1.三角代換:⑴正弦代換:正弦代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“弦換”.是針對(duì)型如a2x2(a0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:令xasint,(a0),則a2x2acost,【例19】計(jì)算a2x2dx

dxacostdt,a0

tarcsin

x.a【解】令xasint,

,則tarcsin,axa，且aa2x2acostacost,dxacostdt,從而

a2

a2 1 tsin2tC2 2

a2

t

a2

sinta

cost

a2x2a所以

a2x2dx=

a2 a2 xa2x2arcsin a 2a a

C=a2 a

a2x2C（2）正割代換:正割代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“割換”.是針對(duì)型如x2a2 (a0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:利用三角公式sec2t1tg2t, 令xasect,有x2a2atgt,dxxsecttgtdt.變量還愿時(shí),常用輔助三角形法.【例20】計(jì)算x2a2

a0 2t時(shí)，xasetc存在反函數(shù)tarcsinx.這里僅討論0t2的情況，同法可討論2t的情況.由于0t

，x2a2atantatant,dxatantsectdt，從而a2x2

atantsectdtsectdtlnsecttantCsecta

tant

x2a2a

a2x2

a

x2a2a

Clnxx2a2C這里CClna（3）正切代換:正切代換簡(jiǎn)稱(chēng)為“切換”.是針對(duì)型如a2x2(a0)的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:利用三角公式sec2ttg2t1,即1tg2tsec2t,令xatgt,

dxasec2tdt.此時(shí)有

a2x2asect,

tarctgxa.

變量還原時(shí),

謂輔助三角形法【例】計(jì)算

a2x2

（a0）x2a2asectasect,【解】令xatant, 2t2,則xatant存在反函數(shù).且x2a2asectasect,dxasec2tdt，從而a2x2

=

asec1tasect2dtsectdtlnsecttantCct=

x2a2a

tantxaa2x2

=ln

x2a2a

xClnxx2a2a

這里CClna.總結(jié)例2.192.21，有如下規(guī)律：（1）若被積函數(shù)含有a2x2，一般令xasint或xacost（2）若被積函數(shù)含有x2a2，一般令xasect或xacsct作代換作代換txx,有xtn11t6(1t)dt66 若被積函數(shù)中只有一種根式若被積函數(shù)中只有一種根式naxb或cxcxe,可試作代換taxaxb或22xx1 1 2(t21)t2tdt (t4t2)dtt5 3c155t31（3）若被積函數(shù)含有x2a2，一般令xatant或xacott2.:若被積函數(shù)是n1x,n2x,,nkx的有理式時(shí),設(shè)n為ni(1ik)的最小公倍數(shù),n ,dxntn1dt.可化被積函數(shù)為t的有理函數(shù).x12xdx【解】為了去掉被積函數(shù)的根式，令t12x，即作變量代換x1

t21,t0則dxtdt，從而x12xdx=1

t21ttdt1

t3

1

C【例】

x3x2

t6x

dt

x

xln16xc.axbn tn.

axbcxe.從中解出x來(lái).【例】

x3 x21dx13(x21)2c.本題還可用割換計(jì)算但較繁.3.雙曲代換:利用雙曲函數(shù)恒等式ch2xsh2x1,令xasht,可去掉型如a2x2的根式.dxachtdt.化簡(jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式,如:2a2x2dx2 ux 1 (1t)2c 12ch2t1(ch2t1),sh2t1(ch2t1),sh2t2shtcht.sh12

xln(xx21).:參閱復(fù)旦大學(xué)(陳傳璋等)編,數(shù)學(xué)分析,上冊(cè)P24. asht achtachtdta2ch2tdta2

(ch2t1)dt 4sh2t2tcxa2x2a2ln(xa2

x2)c.本題可用切換計(jì)算,但歸結(jié)為積分sec3tdt,該積分計(jì)算較繁.參閱后面習(xí)題課例3.【例】

(可用切換計(jì)算過(guò)該題.現(xiàn)用曲換計(jì)算).

2cht2cht

dtdttclnx

ln(xx22)c. ccln2.【例】

.(曾用割換計(jì)算過(guò)該題.現(xiàn)用曲換計(jì)算).

ashtdtdttclnxa

x2a2

1cln|xx2a2|c. ccln|a|.4.倒代換:當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù),且分子分母均為“因式”時(shí),可試用

dx1

dt.【例】

xx4x2

uu2u

u1t01dt t2t

c

|x|

5.萬(wàn)能代換:萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參[1]P261).令ttgx2，

sinx2sinx 2cos2sec2

22sec2d(x 2)tgx 2c.

2dt

x2arctgt.【例】1cosx.解法一(用萬(wàn)能代換)

dtdttc

tg2c.解法二(用初等化簡(jiǎn))

I1

cos2

解法三(用初等化簡(jiǎn),并湊微)

ctgx【例30】

sin1xccscxctgxctg2xc.d1sincos.

1t21t2

dtdtt1ln|t1|c=ln|tgx21|c.代換法是一種很靈活的方法Ex[1]P1891(25)(27)(28)—(30);分法設(shè)u(x)與v(x)均為x的連續(xù)可微函數(shù).于是，由函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，有[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)或u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)不定積分的定義及線性性質(zhì)，有u(x)v(x)dx{[u(x)v(x)]u(x)v(x)}dx[u(x)v(x)]dxu(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx

5或u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x) 公式（5）或公式（6）稱(chēng)為不定積分的分部積分公式.一般地說(shuō)，利用分部積分公式求不定積分就是追求被積函數(shù)形式的轉(zhuǎn)變，把比較難求甚至無(wú)法求出的不定積分u(x)v(x)dx轉(zhuǎn)變成容易求的不定積分u(x)v(x)dx，起到化繁為簡(jiǎn)的作用.對(duì)于給定的不定積分f(x)dx作分部積分運(yùn)算，通常要把被積函數(shù)f(x)分解為兩個(gè)因子的乘積，這會(huì)有多種選擇，對(duì)兩個(gè)因子中哪一個(gè)選作u(x)也會(huì)有多種選擇.選擇不同，效果不一樣的.例如，在積分xsinxdx中，若選擇u(x)sinx，v(x)x，則2

并沒(méi)有達(dá)到簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的.若選擇u(x)x，v(x)sinx，則由此可見(jiàn)，u(x)與vx的選擇對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，只有認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，才能熟練地運(yùn)用分部積分技巧一般來(lái)說(shuō)，在使用分部積分法求不定積分時(shí)，若被積函數(shù)是冪函數(shù)xn與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇u(x)xn；若被積函數(shù)是冪函數(shù)xn與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇v(x)xn.⑴⑴xedxxxdexeee2xdxxdxxdxxe2(xeedx) dxdxxarcsinx1d 21x2 1.冪X型函數(shù)的積分:分部積分追求的目標(biāo)之一是:對(duì)被積函數(shù)兩因子之一爭(zhēng)取求導(dǎo),以使該因子有較大簡(jiǎn)化,特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會(huì)變繁),但總體上應(yīng)使積分簡(jiǎn)化或能直接積出.對(duì)“冪X”型的積分,使用分部積分法可使“冪”降次,或?qū)Α癤”求導(dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).【例31】計(jì)算下列不定積分2x 2 2x x2ex 2x ex(x22x2)C

xcos2xdx

4x2⑶lnx

1

1xlnxx2

1⑷arcsinxdxxarcsinxxdarcsinx

1x2

1x22(1x2)2Cxarcsinx1x2C⑸(16x2)arctanxdxarctanxd(x2x3)x2x3arctanxx2x31x2

esinbxdx, ecosbx I2,

x2x3arctanxx212建立所求積分的方程求積分:分部積分追求的另一個(gè)目標(biāo)是:對(duì)被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo),進(jìn)行分部積分若干次后,使原積分重新出現(xiàn),且積分前的符號(hào)不為1.于是得到關(guān)于原積分的一個(gè)方程.從該方程中解出原積分來(lái).【例32】exsinxdx.【例33】求I1

2

ax

(a0).I1 a a1 sinbxbaeax aI1.

a2b2a2b2

eaxc,eaxc.【例34】 a2x2dx, (a0).

Ixa2x2xa2x2

xa2x2a2x2a2x2

dx

a2a2x2

xa2x2Ia2ln(xa2x2)c1,

Ixa2x2a2ln(xa2

x2)c.【例35】cos2xdxcosxdsinxcosxsinxsin2xdx=cosxsinxxcos2xdx，=secxtgx(sec2x1)secxdxsecxtgxsec3xdxsecxdx=secxtgxln|secxtgx|sec3xdx,

sec3xdx1 2secxtgx2ln|secxtgx|c.⑴⑴設(shè)設(shè)IIIxx2a2dxxx2a2xxxasinsinxdx和coscosxdx【解】【解】esinxdx=sinxdeecosxesindxdxxxaxaxxaIaxx2a2dx=lnxxaCee= ==esinx 分部積分法也常用來(lái)產(chǎn)生循環(huán)現(xiàn)象，然后經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算求出不定積分【例37】計(jì)算下列不定積分x2a2dx.x2a2dx，則xdx2a2

x2a

2 2 2

a2x2a2 x2a2

x2a2

a2

lnxx2a2C這里CC

1

exsinxexcosxdx

exsinx2x

1 ex

exsinxdxsinsinxdx=coscosxdx= =（（nN，a0)xlnxnI xx2a2xx2a2，整理，有2222在含有自然數(shù)n的不定積分中，常用分部積分法來(lái)建立求不定積分的遞推公式. lnx xdlnxxdxx=xlnxnIn1 n n1這就是遞推公式.例如n3時(shí)有l(wèi)nx3dxxlnx

3Ixlnx

2I n【解】設(shè)In

n

x2a2xx2a2 xx2a2 2na22a2 xx2a2 xx2a2xx2a2xx2a2xx2a2xx2a2

n

n1

a2

n1n

2nI

n

2na2I

n1

n1

2n1I

7）特別當(dāng)n1時(shí)，有x2a2于是利用遞推公式（2.7

1

I

1 2a2x2a21 2a2 x2a2+2a3a+C這里C=

C2a3分部積分法與換元積分法有時(shí)在同一題中配合使用效果更佳【例39】計(jì)算arcsinx1x2 1x2

【解】

arcsinx1x2 1x2

arcsinx

arcsinx 1x2

arcsinxdarcsinxsin2ucosucosudu

作變量代換xsinu=arcsinxudcotu arcsinx