楊輝三角教學設計

“楊輝三角”中的一些秘密》“楊輝三角”中的一些秘密》教學設計說明1.3.2“楊輝三角”中的一些秘密A齊刀^A曲**LS朮年賓總幣2闿乘才皋A訃草曰tllAKP品也刊-打WTX滬箭小-KT刨王価IXT觀此-J隔肆"a丁甲、前^1書儀那止?乩=7*3-上恨時X*盂恒丹鷲系巧也丐七下-仏閒-一O.&加算知浙Ti曙呃恢一住KW扎華-匚iKA4-T.；■丄禪4代陽卡王>三入亠：：二爐L冉”-亠粉S—二11-卡ztL*tK卡廬十盡上亠八滬7^*“二亦一^曲黑第蚪3課題：1.3.2“楊輝三角”中的一些秘密―、教學內容解析：本課題來自人教A版選修2—3第一章后的“探究與發(fā)現”。楊輝三角蘊含了豐富的數字規(guī)律和數學思想方法，所以它是一個很有價值的探究性課題。楊輝三角是一個特殊的數陣。探究楊輝三角中的數字規(guī)律,有利于鞏固學習二項式系數的性質，并對進一步認識組合數、進行組合數的計算和變形有重要的作用。對楊輝三角的研究，可以讓學生通過總結，得到研究一般數陣的方法。同時通過欣賞分形、斐波那契數列等有趣的數學內容，學生由此發(fā)現數學之美，激發(fā)對數學的學習興趣。另外，通過組織不同形式的探究，可以讓學生學會觀察、歸納等探究方法，體驗數學當中發(fā)現和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，也有利于學生理解數學知識，培養(yǎng)數學應用意識。二、教學目標設置：1、知識與技能：1、從不同的角度，研究楊輝三角所蘊含的規(guī)律，并用組合數表示；2、通過本節(jié)課的研究，歸納出楊輝三角的研究方法；3、將楊輝三角的研究方法拓展為對一般數陣的研究方法。2、過程與方法：1、通過探究楊輝三角的數字規(guī)律，學會觀察和分析問題，運用聯系、類比的觀點看待問題，從而解決問題，并能培養(yǎng)學生“從特殊到一般”進行歸納猜想的能力；2、通過自主探究與合作交流，養(yǎng)成發(fā)現問題、探究知識、建構知識的學習習慣；3、通過從不同角度探究問題，體會再發(fā)現再創(chuàng)造的過程，發(fā)展創(chuàng)造性思維。3、情感態(tài)度與價值觀：1、以歷史文化的實例引入，激發(fā)學生的學習興趣，提升學生的民族自豪感；2、通過歸納性思維的訓練，養(yǎng)成踏實細致，嚴謹科學的學習習慣；3、通過探索楊輝三角中的數字規(guī)律，形成獨立思考、合作交流等良好的學習習慣，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的精神。三、學生學情分析：知識結構：學生已經學習過組合數的定義和性質以及二項式系數的性質，并對楊輝三角有一定的了解。能力結構：作為正始中學高二創(chuàng)新班的學生已經具備了一定的綜合分析問題的能力，適時的問題引導就能建立知識之間的相互聯系，解決相關問題。但是，他們對于規(guī)律的歸納還有一定的困難，需要適當的引導。四、教學策略分析：因為發(fā)現楊輝三角中的部分數字規(guī)律有一定的難度，本節(jié)課采用的是學生自主探究為主，教師引導探究為輔的探究課類型。為了讓學生感受數學的趣味性，本節(jié)課具體采用的是自主探究與合作交流相結合的探究方式。探究時采用個人獨立思考后小組合作互動的方式,重點在于發(fā)現數陣中的規(guī)律，使學生通過思維碰撞，擦出智慧的火花，達到共同完成建構知識的目的；也使不同層次的學生都學有所獲，讓學生體會發(fā)現和創(chuàng)造的趣味感，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維。多媒體輔助教學的應用，節(jié)省時間，增大信息量，增強直觀形象性。提倡學習方式的多樣化，本節(jié)課從情境引入一發(fā)現數字規(guī)律一利用組合數表述結論一證明結論，始終堅持讓學生主動參與，親身實踐。在學生合作、師生互動中，學生真正成為知識的發(fā)現者和研究者。在這樣的課堂中，不僅學生對本節(jié)課的知識結構有一個清晰的認識，而且對所用到的數學方法和涉及到的數學思想得以領會。五、教學過程：【教學目標】1、從不同的角度，研究楊輝三角中所蘊含的規(guī)律，并用組合數表示；2、通過楊輝三角的研究，總結歸納出楊輝三角的研究方法；3、將楊輝三角的研究方法拓展為對一般數陣的研究方法?！窘虒W重點】通過不同的角度研究楊輝三角，得到楊輝三角的性質，并最終總結出一般數陣的研究方法。【教學難點】將楊輝三角的規(guī)律用組合數來進行總結?！窘虒W過程】1.1、引經據典，步入新課（展示圖片）今天這節(jié)課，我們從一幅圖畫開始，大家認識這兩個圖案嗎？這是我們華夏傳說中的河圖、洛書?！昂映鰣D，洛出書，圣人則之”，伏羲根據河圖演繹了八卦，大禹依據洛書劃分了九州。由此可以說河圖、洛書是我們華夏文化的起源。可你們知道嗎，河圖、洛書其實也是世界上最古老的數陣。什么是數陣呢？將數字按照一定順序組合成圖形就是數陣。今天這節(jié)課，我們就一起來研究一下數陣。當然，對于一個新的內容，我們需要一個研究的載體。所以，我們從一個特殊的三角數陣開始。大家認識這個數陣嗎？在古代，我們稱它為“開方作法本源圖”。而在現代，它還有另外一個名字——“楊輝三角”。-1-1th杓辭?GW楊輝三角在整個數學史中扮演著重要的角色：北宋的賈憲用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高階等差級數（垛積術）；牛頓用它算微積分；華羅庚老先生思路更廣，差分方程，無窮級數都談到了。那么，我們又能從楊輝三角中探尋到哪些秘密呢？讓我們一起來看一下?！驹O計意圖】新課標中提倡體現數學的文化價值。在教學中通過歷史知識引入課堂，既讓學生了解一些數學史，激發(fā)學生的興趣，同時培養(yǎng)學生的民族自豪感。通過數陣的概念引入本節(jié)課，能引發(fā)學生的思考，為后續(xù)探究其他數陣做好鋪墊。學生不是只為研究楊輝三角而研究楊輝三角，而是能通過楊輝三角的研究，總結出一般數陣的研究方式。1.2復習回顧，總結已知楊輝三角在我們學習二項式系數的性質時已經有所接觸。那么,我們已經學習過楊輝三角的哪些性質呢？：賈憲在他的《開方作法本源圖》中寫道：“左衺乃積數,右衺乃隅算,中藏者皆廉”，用今天的話來講，就是說楊輝三角中的每一個數都是二項式系數，而二項式系數都可以寫成組合數。從而我們就可以把楊輝三角寫成以下的形式，其中第n角的哪些性質呢？：賈憲在他的《開方作法本源圖》中寫道：“左衺乃積數,右衺乃隅算,中藏者皆廉”，用今天的話來講，就是說楊輝三角中的每一個數都是二項式系數，而二項式系數都可以寫成組合數。從而我們就可以把楊輝三角寫成以下的形式，其中第n行第r個數可以寫成a=Crtn,rn-1：楊輝三角每一行之和為2的n-1次，C0C1C01C11C2C02C12C22C3

C03C13C23C33C4C04C14C24C34C44C5C05C15C25C35C45C55C66666666C0C1C2C0n-C11n-1C2n-1...Cr-1Cr...Cn-2C0n-1n-1n-1n-1..Cr...Cn-1C0nn組合數表示：C0+C1+C2???+Cr...+Cn-i+Cn=2nnnnnnn③：楊輝三角中每一個數都是兩肩上數之和，用組合數表示就是：Cr-1+Cr=Cr，n-1n-1n這個結論最早是由南宋時期的楊輝所發(fā)現的，所以稱之為楊輝恒等式。④：楊輝三角是左右對稱的：Cr=Cn-rnn【設計意圖】通過教師提問，學生回答的方式，讓學生回顧前面所學楊輝三角的內容,即起到承上的作用，也為接下來的研究做好鋪墊。其中，楊輝恒等式能夠讓學生更容易發(fā)現和證明規(guī)律，而用組合數表示楊輝三角，能夠讓學生更容易總結出規(guī)律，是本節(jié)課研究的關鍵。2.1小組合作，共探新知在研究之前，我們首先需要來一起探討一下，該如何去研究楊輝三角呢？蘇軾有一首詩對我很受啟發(fā)?！皺M看成嶺側成峰，遠近高低各不同”這是蘇軾的《題西林壁》。這首詩告訴我們需要從不同的角度看待一項事物。我們研究楊輝三角時，是不是也可以從這些“橫看”，“側看”，“遠看（整體）”，“近看（局部）”等角度出發(fā)呢？下面，就讓我們4人一組，從這四個角度出發(fā)，用數字格式的楊輝三角觀察規(guī)律，用組合數格式的楊輝三角總結規(guī)律，并加以證明。1111121CoC11331co1c11c214641C02C12C22C315101051C03C13C23C33C41615201561C04C14C24C34C44C5172135352171C05c15c25c35c45c55c618285670562881666……?6.…666C0C1C2...Cr-1Cr...Cn-2C0C0nC1"C2"-1..."Cr"-1.叱”-1"-C0nnnnnn【設計意圖】導學案中已經為學生準備了兩個楊輝三角，一個用數字表示，一個用組合數表示。我要求學生從數字表示的楊輝三角中尋找規(guī)律，從組合數表示的楊輝三角中總結規(guī)律，并加以證明。這體現了“觀察一一歸納一一猜想一一證明”的數學研究理念，并且通過小組合作的方式，既能降低探究的難度，也能培養(yǎng)學生的合作意識，提高學生的學習興趣。

2.2小組展示，分享所得楊輝三角的性質角度一：橫看：楊輝三角中每一行數的平方和都是楊輝三角中的數(C0)2+(Cl)2+.?.(Cn)2=Cnnnn2n思路：既然楊輝三角每一行的和存在規(guī)律，那么每一行的平方和是不是也有規(guī)律呢？證明：由二項展開式可得0(1+x)nX(x+1)n=(1+x)2n/.(C0+C1x+...+CrXr...+CnXn)X(C0Xn+C1Xn-1+...+CrXn-r...+Cn)=C0+C1X+...+CrXr...+C2nX2n"2n2n2n2n2n2n取其中的Xn項等式左邊=[c0)2+(C1)2+...(Cn)21Xnnnn等式右邊=CnXn2n由于等式兩邊相等，所以Xn項的系數也相等，即:(C0)2+(C1)2+...(Cn)2=CnTOC\o"1-5"\h\znnn2n：楊輝三角每一行數字錯一位疊加就得到11的若干次證明：由二項展開式(1+X)n=C0+C1X+C2X2...+CrXr...+Cn-1Xn-1+C”X"nnnnnn賦值x=10得到(1+10)n=11n=C0+C1X10+C2X102...+CrX10r...+Cn-1X10n-1+CnX10nnnnnnn因此，115=1X100000+5X10000+10X1000+10X100+5X10+1i1§1s在楊輝三角中，把第n行中的數字錯位排列相加，-1015其和就是11n-111事Yfi|E11771I&1IIs=161051IIs=1771561：第1,2,4,8,16…這些行即2k(k是自然數)行的各個數字均為奇數，第2k+1行除兩端的1之外都是偶數。：第p+1(p為素數)行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除，其逆命題也成立，即對任意rW{1,2,…，n-1}，都有n1Con是素數。

角度二：側看：每一斜行前n個數加起來都是下面一行的第n個數,C+C+C+A+C=Cr+】（n>r）（用楊輝恒等式證明）rr+1r+2n-1n思路：從求和的角度來研究的，既然橫的一行相加存在規(guī)律，那么斜的一行相加是不是也可以得到一些結論？證明：Cr+Cr+Cr+A+Cr=C；+!+C+1+C+2+A+C-1TOC\o"1-5"\h\z=C+l+Cr+1+Ar++Crn-1_r+2r+2n-1=Cr+1+Cr=Cr-1n-1n：思路一：將楊輝三角30。角斜行加起來思路二：將楊輝三角擺成直角三角形，45°角斜行相加得到數列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…（斐波那契數列）。1、它是由一對兔子的繁衍問題而產生的。'1-、：5'1-、：5、I2丿3、這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達：an4、當n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值越來越接近黃金分割0.618。5、斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣）、蜂巢、蜻蜓翅膀等。：楊輝三角中斜的第一行是一個常數數列，第二行是等差數列，第三行開始每一行都是高階等差數列。角度三：遠看（整體）：將楊輝三角中的奇數用線段連接起來，就構成了一個歇爾賓斯基三角。：2n階楊輝三角中，共有3n個奇數，共有2n-1（l+2n）-3n個偶數（k^N*）。角度四：近看（局部）①：梯形中5個數相加就是下面隔行的數：Cr+Cr+1+Cr+Cr+1+Cr+2=Cr+2nnn+1n+1n+1n+3思路：根據楊輝恒等式，楊輝三角每一個數都是上面兩個數之和，那么是不是可以進步將這兩個數向上推導？證明：根據楊輝恒等式：Cr+2二Cr+1+Cr+2n+3二（C2+C++1）+（Cr+1+Cr+2）二Crn+Cr+1n+Cr+Cr+1+Cr+2nnn+1n+1n+1②：由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為21,2,2,2,3,2,2,2,4,2,2,2,2,4。最小而又大于1的數在楊輝三角形至少出現n次的數為2,3,6,10,120,120,3003。除了1之外，所有正整數都出現有限次。只有2出現剛好一次。6,20,70等出現三次。出現兩次和四次的數很多。

還未能找到出現剛好五次的數。120,210,1540等出現剛好六次?！驹O計意圖】每個小組發(fā)言，結合性質的特點，進行組合數的總結。在總結過程中，從特殊情形出發(fā)，推導出性質的一般表示，體現從特殊到一般的思想。通過學生歸納猜想，引導學生驗證猜想結論是否正確？同時為了突破利用科學探究的思想指導學生研究未知數陣這一難點，引導學生從模型化的角度出發(fā)，多角度的分析問題、探究問題、解決問題，將學生思維推向高潮。這既加深學生對前后知識內在聯系的理解，又從深度和廣度上讓學生感受數學知識的串聯和呼應。教師補充，再得新知將楊輝三角中的奇數用線段連接起來，就可以得到一個有趣的三角形——歇爾賓斯基三角。對歇爾賓斯基三角進行拓展一一謝爾賓斯基塔（三棱錐）一一謝爾賓斯基地毯（正方形）——謝爾賓斯基海綿（正方體）——分形數學。介紹分形之美。通過30°角斜行相加，得到斐波那契數列，展示斐波那契數列的優(yōu)美視頻?！驹O計意圖】對楊輝三角中部分學生沒有發(fā)現的性質，教師做簡單補充，既讓學生了解到楊輝三角中更多的秘密，也讓學生學會從不同的角度看待問題。同時，圖片、視頻形式的資料直觀地展現數學之美，增加學生對數學的熱愛之情。3、探究小結，盤點新知本節(jié)課的收獲：楊輝三角的秘密，同時也是二項式系數的性質。通過對楊輝三角的研究，學生得到對于一般數陣的研究方法橫看，豎看，側看，局部看，整體看?！驹O計意圖】本環(huán)節(jié)通過教師的引導，讓學生總結本節(jié)課的收獲，并由老師作必要補充。將收獲分為兩層境界：首先是知識上的收獲，即楊輝三角的秘密；其次是方法上的收獲，通過對楊輝三角的研究，得到了對一般數陣的研究思路。從觀察橫行，斜行，豎行，折線，局部，整體等角度研究。作業(yè)：1查找資料，并閱讀華羅庚的《從楊輝三角說起》看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現的秘密。2用我們今天所學的探究方法，研究萊布尼茨三角，你能從這個數陣中發(fā)現哪些秘密呢？附:導學案楊輝三角”中的一些秘密班級姓名閱讀材料：楊輝三角的歷史《易?系辭上》：“河出圖，洛出書，圣人則之?！毕鄠?，伏羲在黃河邊思考天地的至理。突然，一匹龍馬從黃河中奔騰而出。伏羲發(fā)現，龍馬的身上有一幅圖畫。伏羲從圖中領悟了八卦，這幅圖就是傳說中的河圖。大禹在治理洪水時，有一只大烏龜從洛水中浮出，背上刻有紋理。大禹依據這些紋理劃分了九州，這些紋理就是洛書。河圖，洛書是我們華夏文化的起源。同時，他們也是世界上最古老的數陣。數陣的概念與數列很相似，我們將數字按一定的順序排列成圖形就構成了數陣。IH護IH護楊輝三角就是一個特殊的數陣，其最早出現在北宋賈憲的“開方作法本源圖”中。南宋時期的楊輝在他的著作《詳解九章算術》中引用了這幅圖，并注明了“出釋鎖算書，賈憲用此術”。元朝的朱世杰對楊輝三角作了進一步研究，從中推導出了高階差分數列的求和。在歐洲直到1623年以后，法國數學家帕斯卡在13歲時發(fā)現了這個三角,所以“楊輝三角”在國外又被稱為“帕斯卡三角”。世界著名數學家華羅庚在他的《從楊輝三角談起》中將其稱為“楊輝三角”，于是才有了“楊輝三角”的說法。近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形"(Chinesetriangle)。楊輝三角在整個數學史中扮演著重要的角色，宋朝的賈憲用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高階差分數列(垛積術)，牛頓用它算微積分，華羅庚老先生思路更廣，差分方程、無窮級數都談到了。同學們，我們又能發(fā)現楊輝三角的哪些秘密呢？一:回顧楊輝三角第1行1第2行11第3行121第4行1331第5行14641第6行15101051第7行1615201561第8行我們已經學習過楊輝三角的哪些性質？

三:初探楊輝三角觀察：第1行1第2行11第3行121第4行1331第5行14641第6行15101051第7行1615201561第8行172135352171第9行18285670562881第10行193684126126843691第11行1104512021025221012045101第12行1115516533046246233016555111第13行1126622049