高中數(shù)學(xué)：學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第三冊全概率公式

1.2全概率公式導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標】.理解并掌握全概率公式.了解貝葉斯公式.會用全概率公式及貝葉斯公式解題【自主學(xué)習(xí)】知識點一全概率公式(1)P(歷=P(4)P(=冷+P(7)P(8|7)；⑵定理1若樣本空間O中的事件4,4,…，4滿足：①任意兩個事件均互斥，即447=。，i，j=l,2,…，n,i豐j；②4+4H F4=。；③〃4)>0,7=1,2,???,n.則對。中的任意事件8,都有8=的|+為?+…+力.，且n nP(S)= 9)=4曰4)修口4).知識點二貝葉斯公式(1)一般地，當OVPG4)V1且P(歷>0時，有(Ia—引④(2)定理2若樣本空間。中的事件4,4,…，4滿足：①任意兩個事件均互斥，即44=。，i，7=1,2,n,i豐j；

②4+4+…+4=。③1>P(4)>O，7=1,2,…，n.則對。中的任意概率非零的事件5,有八4)仆8|4，)以AjRB①【合作探究】探究一全概率公式及其應(yīng)用【例1】甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品.(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.［解］(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為d=3..?.這2個產(chǎn)品都是次品的概率為(2)設(shè)事件力為“從乙箱中取出的一個產(chǎn)品是正品”，事件5為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件合為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件4為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件5、事件合、事件氏彼此互斥.C］4'"⑻一心一28'p⑻/⑻—C廠28'TOC\o"1-5"\h\z2 5 4尸(川㈤=§,尸(加5)=§,〃(川區(qū))=§,5 2 15 5 3 4/.P(A)=尸(8)-(川㈤+P?P(A|B)+P⑻P{A\B,^=7TXq+^Xo+^xZ=14 o Zo y Zo y7I?歸納總結(jié)：通過本例我們發(fā)現(xiàn)，當直接求事件4發(fā)生的概率不好求時，可以采用化整為零的方式，即把4事件分解，然后借助全概率公式間接求出事件力發(fā)生的概率【練習(xí)1】號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？［解］記事件4最后從2號箱中取出的是紅球；事件6：從1號箱中取出的是紅球.… 4 2 21產(chǎn)(而6)=1—,、一~3+14(1)P(41協(xié)=胃_|_1o-riy/、z1-x 3 1⑵’"(川8)=7T7=三，Q-TiO=P(岫+P(A~B)=P(A\BP(B+夕(川Z)P(Z)=-X-+-X-=—UOtJo乙/探究二貝葉斯公式及其應(yīng)用【例2】一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病.在患有此種疾病的人群中，通過化驗有95%的人呈陽性反應(yīng)，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應(yīng).某地區(qū)此種病的患者僅占人口的0.5%若某人化驗結(jié)果為陽性，問此人確實患有此病的概率是多大？［解］設(shè)4="呈陽性反應(yīng)”，B=“患有此種疾病”，則夕(冷=尸(0-P{A\B)+PCB}?P{A\~B）=0.5%X95%+99.5%X1%=1.47%.P（B|A）=g^0.5%X95%所以 （）-j-—-32.3%.歸納總結(jié)：第一步：利用全概率公式計算小冷，即興冷二與網(wǎng)團小川團);第二步：計算夕(4面，可利用夕(4面=0(而尸(川而求解;第三步：代入戶刈)=需求解.【練習(xí)2］某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%.35%,又這四條流水線的不合格品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02,現(xiàn)在從該廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？該不合格品是由第四條流水線上生產(chǎn)的概率為多少？［解］設(shè)4=第/條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，了=1,2,3,4；6=抽到不合格品，.?.尸(4)=0.15；/(4)=0.20；/(4)=0.30；-(4)=0.35..,/(84)=0.05；尸(04)=0.04；〃("4)=0.03；P(84)=0.02,⑴夕㈤=￡<(4)尸(6|4)=0.0315.,H4)&84)⑵尸(4㈤=?、八 2222.2d4M例4)探究三全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用【例3】假定具有癥狀S={$,S，S,SJ的疾病有“，"，“三種，現(xiàn)從20000

份患有疾病d,d2,d的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字:疾病人數(shù)出現(xiàn)S癥狀人數(shù)出77507500di52504200di70003500試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？［解］以力表示事件“患有出現(xiàn)S中的某些癥狀”，〃，表示事件“患者患有疾病d,n(7=1,2,3),由于該問題觀察的個數(shù)很多，用事件的頻率作為概率的近似是合適的，由統(tǒng)計數(shù)字可知TOC\o"1-5"\h\z7750 5250〃(〃)=,八—八=0。3875,尸(〃)2625,乙U\J\J\J 乙UUUU,、 7000 、7500〃(〃)=9八.八八=°, 35, P(A|〃)=7 .二八20. 96/ 7,/UUUU ? ?DU/?、4200 z、3500/(/I〃)=： 8,一(力|〃)=7 八八］=0? 5?D/JU ( UUU從而尸(同=尸(川〃)尸(〃)+尸(川㈤尸(")+尸(4］㈤尸(〃)=0.3875X0.9677+0.2625X0.8+0.35X0.5^0.76.由貝葉斯公式得尸(川⑷=士|〃）小。）尸(川⑷=士|〃）小。）0.3875X0.96710.76=0.4934,/y〃）政）0.2625X0.80.76~0.2763,尸伽⑷="劉〃尸伽⑷="劉〃)%〃)0.35X0.50.76-0.2303,從而推測病人患有疾病d較為合理.歸納總結(jié)：若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：1如果要求的是第二階段某一個結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；2如果第二個階段的某一個結(jié)果是已知的，要求的是此結(jié)果為第一階段某一個結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率,熟記這個特征，在遇到相關(guān)的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效【練習(xí)3】同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應(yīng).由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80,三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2：3：5,將三家產(chǎn)品混合在一起.(D從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？［解］設(shè)事件］表示“取到的產(chǎn)品為正品”，8,反，氏分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，由已知尸(5)=0.2,〃(8)=0.3,尸(加=0.5,產(chǎn)(川4)=0.95,P(川氏)=0.9,P(A\&)=0.8.(1)由全概率公式得：3P(冷=EPU)P(A\ =0.2X0.954-0.3X0.9+0.5X0.8=0.86.7=1(2)由貝葉斯公式得,IH㈤&川5）0.2X0.95P⑻A）=V 一—：怩=0.2209,/1力） U.oO,?、世）/川⑻0.3X0.9「隹㈤=FL=F^^S3140,...用㈤/「㈤0.5X0.8。（笈［A）=v --=nQfi^0.4651./A/it U.oO由以上3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大.課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題.有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.則他遲到的概率為( )A.0.65 B.0.075C.0.145 D.0【答案】C[設(shè)4=他乘火車來，4=他乘船來，4=他乘汽車來，4=他乘飛機來，夕=他遲到.4易見:4,4,4,4構(gòu)成一個完備事件組,由全概率公式得P(0=)尸(4)戶(04)=0.3X0.25+0.2X0.3+0.1X0.1+0.4X0=0.145.]2.兩臺機床加工同樣的零件,第一臺的廢品率為0.04,第二臺的廢品率為0.07,加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為()A.0.21 B.0.06C.0.94 D.0.95【答案】D[令8=取到的零件為合格品，4=零件為第，臺機床的產(chǎn)品，＞=1,2.由全概率公式得：2 1尸⑵=尸(4)/(84)+/⑷M6|4=gX0.96+-X0.93=0.95.故選D.]3.設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6,0.4,汽車和火車正點到達目的地的概率分別為0.9,0.8.則甲正點到達目的地的概率為()A.0.72 B.0.96C.0.86 D.0.84【答案】C[設(shè)事件力表示甲正點到達目的地，事件6表示甲乘火車到達目的地，事件C表示甲乘汽車到達目的地，由題意知。(皮=0.4,尸(0=0.6,/(I㈤=0.8,P{A\C)=0.9.由全概率公式得P(A)=尸(0戶+P(OPa|0=0.4X0.8+0.6X0.9=0.32+0.54=0.86.故選C.].播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，斑的四等種子.用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為()A.0.8 B.0.8325C.0.5325 D.0.4825【答案】D[設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是4,4,4,4,則它們構(gòu)成樣本空間的一個劃分.設(shè)Q“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥粒”，則：4P⑦=2/(4)P(B\A^=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%X0.1+1%XO.05=0.4827=1.故選D.].設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn);，乙、丙兩廠各生產(chǎn);,而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%,現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為()B.0.08A.0.0B.0.08C.0.07D.0.1C.0.07【答案】A［設(shè)4,4,4分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，6表示次品，則〃(4)=0.5,夕(4)="(4)=0.25,/(倒4)=0.02,/(冽4)=0.02,0(84)=0.04,.?.尸(而=尸(4)P(B\4)+尸(4)P{B\4)+尸(4)P{B\4)=0.5X0.02+0.25X0.02+0.25X0.04=0.025.故選A.］.一道考題有4個【答案】，要求學(xué)生將其中的一個正確【答案】選擇出來.某1 9考生知道正確【答案】的概率為》而亂猜正確的概率為亍在亂猜時，4個【答案】都有機會被他選擇,如果他答對了，則他確實知道正確【答案】的概率是()【答案】B［設(shè)］="考生答對”，q“考生知道正確【答案r,由全概率公式：— — 1 211尸(4)=尸(而尸(川面+尸(B)P⑷^)=-Xl+-X-=-1\H)32,,,rt_r又由貝葉斯公式：P(B\A)= ——=t=t.故選B.]/1) L?J2二、填空題7.某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別有2、6、9、3名.又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32,今隨機選一人參加比賽，則該小組在比賽中射中目標的概率為?【答案】0.5275[設(shè)B=｛該小組在比賽中射中目標｝,A,=｛選i級射手參加比賽｝)(7=1,2,3,4).由全概率公式，有/(而=￡/(4)夕(冽4)2 6 9 3=~X0.85+~X0.64+~X0.45+~X0.32=0.5275.]20 20 20 20.袋中有10個黑球，5個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球.若已知取出的球全是白球，則擲出3點的概率為.【答案】0.04835[設(shè)6=｛取出的球全是白球｝,4=｛擲出，點｝(7=1,2,…，6),則由貝葉斯公式，得1產(chǎn)(41而=/7V；=- ;=0.04835.]昌僅4)h6|4)￡.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗有如下的效果：若以/表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有夕(4。=0.95,^(717)=0.95,現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(O=0.005,則P{C\A)=.(精確到0.001)【答案】0.087[由題設(shè)，有P(?)=1-P(O=0.995,P{A\~C)=\—P(A|7)=0.05,由貝葉斯公式，得P(C\A)= '/']——^0.087.]I\A\C)IiCi+f\A\~C)PCC).一個盒子中裝有15個乒乓球，其中9個新球，在第一次比賽時任意抽取3只，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時同樣地任取3只球，則第二次取出的3個球均為新球的概率為.[設(shè)4="第二次取出的均為新球”，B,="第一次取出的3個球恰有/個新球”(i=0,1,2,3).由全概率公式產(chǎn)(#=P⑻P(A|A)+P⑻尸(川5)+P⑻P(A|B)+尸(曲尸(劉加528=5915'」.電報發(fā)射臺發(fā)出“和“一”的比例為5：3,由于干擾，傳送“時失2 1真的概率為.傳送“-”時失真的概率為鼻，則接受臺收到“時發(fā)出信號恰O J是“產(chǎn)的概率為?3【答案】7［設(shè)4=收到“?"，8=發(fā)出“由貝葉斯公式3-83-553-83-55-8三、解答題12.設(shè)甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分別為3，7.現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人.754(D求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率.［解］設(shè)4=第，個地區(qū)，7=1,2,3；6=感染此病.,.〃(4)=；；/(4)=/尸(4)=；..?/(34)=；；"("4)=(；尸(冽4)=；.I M T383⑴產(chǎn)(而=工"(4)P(B\4)=—=^0.198，li 42U,、/0/WWl4)28⑵P(A2㈤=， 一蒜］0?337.Oo冽4)13.設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球，求：(1)從乙盒取出2個紅球的概率;

(2)已知從乙盒取出2個紅球，求從甲盒取出兩個紅球的概率.［解］(1)設(shè)4=從甲盒取出2個紅球；4=從甲盒取出2個白球；4=從甲盒取出1個白球1個紅球；6=從乙盒取出2個紅球.則4,4,4兩兩互斥，且4+4+4=Q,所以P⑦=f(4)P(B\4)+尸(4)P(B\4)+P(4)P{B\4)CiC,C^O,C；Cid3-crcrdxcrcxcr?o-⑵也㈤⑵也㈤=螺=勺)破4)=與=引4)70]_3114.設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支己校正.一射手用校正過的槍射擊,中靶率為0.9,用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率.［解］設(shè)］表示槍己校正，8表示射擊中靶.TOC\o"1-5"\h\z3 _ 2則P(A)=~,/(A)=-,P{B\A)=0.9,5 5P(~S\A)=Q.1,P(b7)=0.4,尸(2I7)=0.6._ _ 3 2⑴尸㈤=尸(⑷尸(用加+尸(/)尸(冽4)==X0.9+=X0.4=0.7.5 52,、，——、 (了次洌彳) 5X0-6⑵尸(/|8)=-~"二-=- =(H不一74)+(/!)?冽1O.6+7XO.I5 5

B組能力提升一、選擇題1.某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（）33-8B.【答案】B［用4表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用氏表示丟失的一箱為左，攵=1,2,3分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書.3由全概率公式得尸（力=含尸（加尸（式8）=1? ,］=親1_&21_&2*Cl3

f\A)=36OQ36=8'故選B。］二、填空題.已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率是0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率是0.05,則在檢查后認為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率為.（精確到0.001）【答案】0.998［設(shè)4=任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品,8=任取一產(chǎn)品確是合格品，則力=為+彳力產(chǎn)(⑷=尸(0尸(/1⑸+2(2)尸(412)

=0.96X0.98+0.04X0.05=0.9428,故所求概率為0.96X0.980.96X0.980.9428Q0.998..8支步槍中有5支已校準過，3支未校準.一名射手用校準過的槍射擊時，中靶的概率為0.8;用未校準的槍射擊時，中靶的概率為0.3.現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶，則所用的槍是校準過的概率為.40【答案喝［設(shè)8=｛使用的槍校準過｝,8=｛使用的槍未校準｝，力=｛射擊時中靶｝,則P（㈤TOC\o"1-5"\h\z5 ,、3=『P（B）=~,O O0（加5）=0.8,夕（川氏）=0.3.由貝葉斯公式，得P（B）⑷= 帥\對心 =40v11,外川5）&5）+44|5）/（區(qū)）49?__40所以，所用的槍是校準過的概率為石?］.人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%,則該支股票將上漲的概率為.【答案】64%［記4為事件“利率下調(diào)”，那么4即為“利率不變”，記6為事件“股票價格上漲”.依題設(shè)知產(chǎn)（⑷=60%,尸工）=40%,P｛B\A）=80%,"（例彳）=40%,于是P{B}=P{AB)+P{AB)=P{A}P{B\A)+PCA)P{B\~A)=60%X80%+4