概率統(tǒng)計和隨機過程課件第七章-數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

第七章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念1第七章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念1

在終極的分析中,

一切知識都是歷史.

在抽象的意義下,

一切科學都是數(shù)學.

在理性的世界里,

所有的判斷都是統(tǒng)計學.

----C.R.勞在終極的分析中,7.1

數(shù)理統(tǒng)計學的基本概念7.1.1引例7.1.2統(tǒng)計與數(shù)理統(tǒng)計概述7.1.3總體與樣本7.1.4統(tǒng)計量37.1數(shù)理統(tǒng)計學的基本概念7.1.1引例3引例：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實際應(yīng)用中,我們可以提出許多感興趣的問題1.這批元件的平均壽命如何?2.這批元件的壽命服從什么分布?3.如果你是使用單位.要求平均壽命能達到某個指定的數(shù)，例如５０００小時．問這批元件可否被接受？4.如何獲得所需要的數(shù)據(jù)？7.1.1引例4引例：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實際應(yīng)用中,我們可以提出許7.1.2統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學概述統(tǒng)計學：在日常生活中.”統(tǒng)計”相當于”計數(shù)”.小至一個家庭,單位,大至國家,都有許多計數(shù)即統(tǒng)計的工作.

丹麥統(tǒng)計史學家哈爾德認為,”統(tǒng)計學”和”統(tǒng)計學家”詞出于意大利語:統(tǒng)計學即國情學,對象是國務(wù)活動家感興趣的事實,而統(tǒng)計學家則是”處理國務(wù)的人”一、統(tǒng)計淺談57.1.2統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學概述統(tǒng)計學：在日常生活中.”統(tǒng)計

數(shù)理統(tǒng)計：它是使用概率論和數(shù)學的方法，研究怎樣用有效的方法收集（通過試驗或觀察）帶有隨機誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（統(tǒng)計模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進行分析（統(tǒng)計分析）以對所研究的問題作出推斷（統(tǒng)計推斷）．1.數(shù)據(jù)必須帶有隨機性的影響,才能成為數(shù)理統(tǒng)計學的研究對象數(shù)據(jù)隨機性的來源：國家:State.統(tǒng)計學Statistics6數(shù)理統(tǒng)計：它是使用概率論和數(shù)學的方法，研究怎樣用有效的方法Example1.全國人口抽樣調(diào)查Example２.比較兩種小麥品種的優(yōu)良（１）是問題中所涉及的研究對象為數(shù)很大，我們不可能全部加以研究，而只能用“一定的方式”挑選其中一部分去考察。（２）數(shù)據(jù)隨機性的另一種來源是試驗的隨機誤差，這是指那種在試驗過程中未加控制，無法控制，甚至不了解的因素所引起的誤差。7Example1.全國人口抽樣調(diào)查Example２.比較２．所謂有效的方法（１）是可以建立一個在數(shù)學上可以處理并盡可能簡單方便的模型來描述所得的數(shù)據(jù)；（２）數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的，與研究的問題有關(guān)的信息．8２．所謂有效的方法（１）是可以建立一個在數(shù)學上可以處理并盡可

——從部分推斷整體的性質(zhì)，是一種在對有關(guān)信息缺乏完全掌握的情況下進行推斷的方法

——統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律，“統(tǒng)計規(guī)律”這個提法的啟示是：教人看問題不可絕對化，因而有思想方法上的意義．統(tǒng)計規(guī)律未必蘊涵因果關(guān)系．數(shù)理統(tǒng)計的特點歸納與演繹統(tǒng)計規(guī)律與因果關(guān)系二、數(shù)理統(tǒng)計的特點:9數(shù)歸納與演繹Example2:吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙增加患肺癌，其他癌癥以及諸如心臟病等嚴重疾病的危險．１９４８－１９４９，英國學者多爾與希爾從倫敦２０家醫(yī)院中收集了７０９名肺癌病人以及對照組－另７０９名患肺癌者的吸煙情況的資料，按吸煙斗還是紙煙，男或女，將煙吞進肺里與否等指標分類．Example1.設(shè)想有一枚價值高的鉆石，想用一架天平盡可能準確地稱出它的重量有多少？10Example2:吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙增加患肺癌，其他癌癥統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的意義?首先,統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律。

可能會有疑問：群體是抽象的，每件事都必須落實到具體的個體，患不患肺癌是每個人的事，這樣關(guān)于群體中的趨勢的規(guī)律有何意義？１．這種規(guī)律反映了某種客觀存在的現(xiàn)實,有科學和認識意義。２．對個體有警戒作用。11統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的統(tǒng)計應(yīng)用實例：1．孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；２．中國患SARS的病人的死亡率是多少；３．太陽黑子的活動有周期性的規(guī)律嗎？12統(tǒng)計應(yīng)用實例：1．孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；２．中國患SARS4.股票分析系統(tǒng)

4.股票分析系統(tǒng)5.經(jīng)濟統(tǒng)計分析

5.經(jīng)濟統(tǒng)計分析總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì)

統(tǒng)計量

為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.15總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)

——

對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值

——

對已取得的觀測值進行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學16————數(shù)描述統(tǒng)計學參數(shù)估計

假設(shè)檢驗回歸分析方差分析推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學17參數(shù)估計假設(shè)檢驗回歸分析方差分析推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)總體

——

研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標,是一個隨機變量或多維隨機變量.

若為一個隨機變量,可記為X

.例如,某鋼鐵廠生產(chǎn)的鋼錠的強度.

X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.總體和樣本§7.1.3基本概念18總體——研究對象全體元素組成的集合若為一個隨機變抽樣

——

做隨機試驗并記錄其結(jié)果樣本

——

從總體中抽取的部分個體進行觀測.稱為總體X

的一個容量為n

的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用表示樣本，n

為樣本容量.樣本空間

——

樣本所有可能取值的集合.

個體

——

組成總體的每一個元素個體的數(shù)量指標,可以看作隨機變量X的某個取值.用表示.

19抽樣——做隨機試驗并記錄其結(jié)果樣本——從總體中抽取的

設(shè)是來自總體

X的一個樣本,它滿足:一般地,對有限總體,采用放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.當總體中個體的數(shù)目N

與樣本容量

n

之比N/n

10時,可將不放回抽樣近似地看作放回抽樣.(1)與X

有相同的分布(2)獨立性:相互獨立則稱

為簡單隨機樣本.簡單隨機樣本20設(shè)是來自總體X的一個設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x),為總體X

的簡單隨機樣本,若總體X

的概率密度函數(shù)為f(

x),則的聯(lián)合概率密度函數(shù)為則的聯(lián)合分布函數(shù)為21設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),設(shè)是取自總體X的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機變量為統(tǒng)計量.若是一個樣本值,稱的一個樣本值為統(tǒng)計量定義統(tǒng)計量22設(shè)是取自總體X的一個樣本,例

是未知參數(shù),但不是統(tǒng)計量.是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則若,

已知,則為統(tǒng)計量23例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標準差設(shè)是來自總體

X

的容量為

n

的樣本,稱統(tǒng)計量24常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標準差設(shè)是來自總體X為樣本的k

階原點矩為樣本的k

階中心矩25例如為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩25例如(5)順序統(tǒng)計量設(shè)為樣本,為樣本值,且當取值為時,定義隨機變量則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中,26(5)順序統(tǒng)計量設(shè)為樣本,為樣本值,且當取值為時,定義隨機

樣本方差與樣本二階中心矩的關(guān)系故證明:1）27樣本方差與樣本二階中心矩的關(guān)系故證明:1）2推導(dǎo)

設(shè)則2）28推導(dǎo)設(shè)則2）28例1

從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件,

測得其重量為(單位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩.解令29例1從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件,解令29則30則30例2

設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)學期望與方差(2)(3)解(1)31例2設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為為總體的樣本,求(1)的數(shù)(近似),(3)由中心極限定理(2)32(近似),(3)由中心極限定理(2)32§7.3統(tǒng)計量的分布

確定統(tǒng)計量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一.

由于正態(tài)總體是最常見的總體,故本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.問題：計算往往很復(fù)雜方法：求隨機向量的函數(shù)的分布可得到抽樣分布.33§7.3統(tǒng)計量的分布確定統(tǒng)計量的分布(1)

正態(tài)分布則特別地,則統(tǒng)計中常用分布若i.i.d.~若i.i.d.~34(1)正態(tài)分布則特別地,則統(tǒng)計中常用分布若i.i.d.~若(2)分布(n為自由度)定義設(shè)相互獨立,且都服從標準正態(tài)分布N(0,1),則n=1

時,其密度函數(shù)為35(2)分布(n為自由度)定義設(shè)相互獨立,且都服從標準n=2

時,其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.36n=2時,其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.36一般地,其中，在x>0時收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的37一般地,其中，在x>0時收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度n=2n=3n=5n=10n=15

38n=2n=3n=5n=10n=1538分布的性質(zhì)39分布的性質(zhì)39相互獨立,證

1設(shè)則40相互獨立,證1設(shè)則40

作業(yè)習題七1，2,341作業(yè)習題七1，2,341第七章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念42第七章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念1

在終極的分析中,

一切知識都是歷史.

在抽象的意義下,

一切科學都是數(shù)學.

在理性的世界里,

所有的判斷都是統(tǒng)計學.

----C.R.勞在終極的分析中,7.1

數(shù)理統(tǒng)計學的基本概念7.1.1引例7.1.2統(tǒng)計與數(shù)理統(tǒng)計概述7.1.3總體與樣本7.1.4統(tǒng)計量447.1數(shù)理統(tǒng)計學的基本概念7.1.1引例3引例：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實際應(yīng)用中,我們可以提出許多感興趣的問題1.這批元件的平均壽命如何?2.這批元件的壽命服從什么分布?3.如果你是使用單位.要求平均壽命能達到某個指定的數(shù)，例如５０００小時．問這批元件可否被接受？4.如何獲得所需要的數(shù)據(jù)？7.1.1引例45引例：某工廠生產(chǎn)大批電子元件.在實際應(yīng)用中,我們可以提出許7.1.2統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學概述統(tǒng)計學：在日常生活中.”統(tǒng)計”相當于”計數(shù)”.小至一個家庭,單位,大至國家,都有許多計數(shù)即統(tǒng)計的工作.

丹麥統(tǒng)計史學家哈爾德認為,”統(tǒng)計學”和”統(tǒng)計學家”詞出于意大利語:統(tǒng)計學即國情學,對象是國務(wù)活動家感興趣的事實,而統(tǒng)計學家則是”處理國務(wù)的人”一、統(tǒng)計淺談467.1.2統(tǒng)計和數(shù)理統(tǒng)計學概述統(tǒng)計學：在日常生活中.”統(tǒng)計

數(shù)理統(tǒng)計：它是使用概率論和數(shù)學的方法，研究怎樣用有效的方法收集（通過試驗或觀察）帶有隨機誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（統(tǒng)計模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進行分析（統(tǒng)計分析）以對所研究的問題作出推斷（統(tǒng)計推斷）．1.數(shù)據(jù)必須帶有隨機性的影響,才能成為數(shù)理統(tǒng)計學的研究對象數(shù)據(jù)隨機性的來源：國家:State.統(tǒng)計學Statistics47數(shù)理統(tǒng)計：它是使用概率論和數(shù)學的方法，研究怎樣用有效的方法Example1.全國人口抽樣調(diào)查Example２.比較兩種小麥品種的優(yōu)良（１）是問題中所涉及的研究對象為數(shù)很大，我們不可能全部加以研究，而只能用“一定的方式”挑選其中一部分去考察。（２）數(shù)據(jù)隨機性的另一種來源是試驗的隨機誤差，這是指那種在試驗過程中未加控制，無法控制，甚至不了解的因素所引起的誤差。48Example1.全國人口抽樣調(diào)查Example２.比較２．所謂有效的方法（１）是可以建立一個在數(shù)學上可以處理并盡可能簡單方便的模型來描述所得的數(shù)據(jù)；（２）數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的，與研究的問題有關(guān)的信息．49２．所謂有效的方法（１）是可以建立一個在數(shù)學上可以處理并盡可

——從部分推斷整體的性質(zhì)，是一種在對有關(guān)信息缺乏完全掌握的情況下進行推斷的方法

——統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律，“統(tǒng)計規(guī)律”這個提法的啟示是：教人看問題不可絕對化，因而有思想方法上的意義．統(tǒng)計規(guī)律未必蘊涵因果關(guān)系．數(shù)理統(tǒng)計的特點歸納與演繹統(tǒng)計規(guī)律與因果關(guān)系二、數(shù)理統(tǒng)計的特點:50數(shù)歸納與演繹Example2:吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙增加患肺癌，其他癌癥以及諸如心臟病等嚴重疾病的危險．１９４８－１９４９，英國學者多爾與希爾從倫敦２０家醫(yī)院中收集了７０９名肺癌病人以及對照組－另７０９名患肺癌者的吸煙情況的資料，按吸煙斗還是紙煙，男或女，將煙吞進肺里與否等指標分類．Example1.設(shè)想有一枚價值高的鉆石，想用一架天平盡可能準確地稱出它的重量有多少？51Example2:吸煙與肺癌的關(guān)系吸煙增加患肺癌，其他癌癥統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的意義?首先,統(tǒng)計規(guī)律是關(guān)于群體的規(guī)律。

可能會有疑問：群體是抽象的，每件事都必須落實到具體的個體，患不患肺癌是每個人的事，這樣關(guān)于群體中的趨勢的規(guī)律有何意義？１．這種規(guī)律反映了某種客觀存在的現(xiàn)實,有科學和認識意義。２．對個體有警戒作用。52統(tǒng)計結(jié)論:吸煙與患肺癌呈明顯的正相關(guān).如何理解這個統(tǒng)計規(guī)律的統(tǒng)計應(yīng)用實例：1．孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；２．中國患SARS的病人的死亡率是多少；３．太陽黑子的活動有周期性的規(guī)律嗎？53統(tǒng)計應(yīng)用實例：1．孟德爾遺傳定律的發(fā)現(xiàn)；２．中國患SARS4.股票分析系統(tǒng)

4.股票分析系統(tǒng)5.經(jīng)濟統(tǒng)計分析

5.經(jīng)濟統(tǒng)計分析總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì)

統(tǒng)計量

為了集中簡單隨機樣本所帶來的總體信息,考慮樣本的函數(shù),且不含任何未知參數(shù),這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.56總體選擇個體樣本觀測樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)

——

對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值

——

對已取得的觀測值進行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學57————數(shù)描述統(tǒng)計學參數(shù)估計

假設(shè)檢驗回歸分析方差分析推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學58參數(shù)估計假設(shè)檢驗回歸分析方差分析推斷統(tǒng)計學推斷統(tǒng)總體

——

研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標,是一個隨機變量或多維隨機變量.

若為一個隨機變量,可記為X

.例如,某鋼鐵廠生產(chǎn)的鋼錠的強度.

X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.總體和樣本§7.1.3基本概念59總體——研究對象全體元素組成的集合若為一個隨機變抽樣

——

做隨機試驗并記錄其結(jié)果樣本

——

從總體中抽取的部分個體進行觀測.稱為總體X

的一個容量為n

的樣本觀測值,或稱樣本的一個實現(xiàn).用表示樣本，n

為樣本容量.樣本空間

——

樣本所有可能取值的集合.

個體

——

組成總體的每一個元素個體的數(shù)量指標,可以看作隨機變量X的某個取值.用表示.

60抽樣——做隨機試驗并記錄其結(jié)果樣本——從總體中抽取的

設(shè)是來自總體

X的一個樣本,它滿足:一般地,對有限總體,采用放回抽樣所得到的樣本為簡單隨機樣本,但使用不方便,常用不放回抽樣代替.當總體中個體的數(shù)目N

與樣本容量

n

之比N/n

10時,可將不放回抽樣近似地看作放回抽樣.(1)與X

有相同的分布(2)獨立性:相互獨立則稱

為簡單隨機樣本.簡單隨機樣本61設(shè)是來自總體X的一個設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x),為總體X

的簡單隨機樣本,若總體X

的概率密度函數(shù)為f(

x),則的聯(lián)合概率密度函數(shù)為則的聯(lián)合分布函數(shù)為62設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),設(shè)是取自總體X的一個樣本,為一實值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機變量為統(tǒng)計量.若是一個樣本值,稱的一個樣本值為統(tǒng)計量定義統(tǒng)計量63設(shè)是取自總體X的一個樣本,例

是未知參數(shù),但不是統(tǒng)計量.是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則若,

已知,則為統(tǒng)計量64例是未知參數(shù),常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標準差設(shè)是來自總體

X

的容量為

n

的樣本,稱統(tǒng)計量65常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標準差設(shè)是來自總體X為樣本的k

階原點矩為樣本的k

階中心矩66例如為樣本的k階原點矩為樣本的k階中心矩25例如(5)順序統(tǒng)計量設(shè)為樣本,為樣本值,且當取值為時,定義隨機變量則稱統(tǒng)計量為順序統(tǒng)計量.其中,67(5)順序統(tǒng)計量設(shè)為樣本,為樣本值,且當取值為時,定義隨機

樣本方差與樣本二階中心矩的關(guān)系故證明:1）68樣本方差與樣本二階中心矩的關(guān)系故證明:1）2推導(dǎo)

設(shè)則2）69推導(dǎo)設(shè)則2）28例1

從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件,

測得其重量為(單位:公斤):