直線和圓的位置關(guān)系拔高練習(xí)與解析

..直線和圓的位置關(guān)系拔高練習(xí)及解析一．解答題〔共30小題1．如圖,已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)〔不與B,C重合,PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑．〔1求證：△APE是等腰直角三角形；〔2若⊙O的直徑為2,求PC2+PB2的值．2．如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點(diǎn)D,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連接OC、AC．〔1求證：AC平分∠DAO．〔2若∠DAO=105°,∠E=30°①求∠OCE的度數(shù)；②若⊙O的半徑為2,求線段EF的長(zhǎng)．3．如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DE,交AC于點(diǎn)E,AC的反向延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．〔1求證：DE⊥AC；〔2若DE+EA=8,⊙O的半徑為10,求AF的長(zhǎng)度．4．如圖,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E．〔1求證：∠A=∠ADE；〔2若AD=16,DE=10,求BC的長(zhǎng)．5．如圖,AB是⊙O的弦,BC切⊙O于點(diǎn)B,AD⊥BC,垂足為D,OA是⊙O的半徑,且OA=3．〔1求證：AB平分∠OAD；〔2若點(diǎn)E是優(yōu)弧上一點(diǎn),且∠AEB=60°,求扇形OAB的面積．〔計(jì)算結(jié)果保留π6．如圖,AB是⊙O的直徑,AC是上半圓的弦,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作切線DE的垂線,垂足為D,且與⊙O交于點(diǎn)F,設(shè)∠DAC,∠CEA的度數(shù)分別是α,β．〔1用含α的代數(shù)式表示β,并直接寫出α的取值范圍；〔2連接OF與AC交于點(diǎn)O′,當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí),求α,β的值．7．已知：AB為⊙O的直徑,AB=2,弦DE=1,直線AD與BE相交于點(diǎn)C,弦DE在⊙O上運(yùn)動(dòng)且保持長(zhǎng)度不變,⊙O的切線DF交BC于點(diǎn)F．〔1如圖1,若DE∥AB,求證：CF=EF；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí),試判斷CF與BF是否相等,并說(shuō)明理由．8．已知,四邊形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D．B點(diǎn)在⊙O上,連接OB．〔1求證：DE=OE；〔2若CD∥AB,求證：四邊形ABCD是菱形．9．如圖,AB為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),連接OD交弦AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．〔1求證：DE是⊙O的切線；〔2連接CD,若OA=AE=4,求四邊形ACDE的面積．10．如圖,已知AB為⊙O的直徑,AD、BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．〔1求證：DC是⊙O的切線；〔2若AE=1,ED=3,求⊙O的半徑．11．如圖,已知AB是⊙O的直徑,過(guò)O點(diǎn)作OP⊥AB,交弦AC于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,且使∠PCA=∠ABC．〔1求證：PC是⊙O的切線；〔2若∠P=60°,PC=2,求PE的長(zhǎng)．12．如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC為⊙O的直徑,點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心,連接AE并延長(zhǎng)交⊙O于D點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至F,使得BD=DF,連接CF、BE．〔1求證：DB=DE；〔2求證：直線CF為⊙O的切線．13．如圖,⊙O中,直徑CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,連AD．〔1求證：AD=AN；〔2若AB=4,ON=1,求⊙O的半徑．14．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑,作⊙A交AB于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F,連接AF、BF,DF．〔1求證：BF⊥AF；〔2當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí),四邊形ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明．15．如圖,已知ED為⊙O的直徑且ED=4,點(diǎn)A〔不與E、D重合為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,且EA=EB,F為⊙O上一點(diǎn),∠FEB=90°,BF的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．〔1求證：△EFB≌△ADE；〔2當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng)時(shí),直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少．16．如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為AB上一點(diǎn),作CD⊥AB交⊙O于D,連接AD,將△ACD沿AD翻折至△AC′D．〔1請(qǐng)你判斷C′D與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；〔2過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥C′D′于B′,交⊙O于E,若CD=,AC=3,求BE的長(zhǎng)．17．如圖,△ABC為等邊三角形,以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于D,F兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E．〔1判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔2過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,若AB=4,則弦FC和弧FC組成的弓形面積．18．如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q,過(guò)Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R．求證：RP=RQ．19．已知⊙O中,AC為直徑,MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B．〔1如圖①,若∠BAC=23°,求∠AMB的大??；〔Ⅱ如圖②,過(guò)點(diǎn)B作BD∥MA,交AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,若BD=MA,求∠AMB的大?。?0．如圖,OA是⊙O的半徑,弦CD垂直平分OA于點(diǎn)B,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE,切點(diǎn)為E,連接AE交CD于點(diǎn)F．〔1若CD=6,求⊙O的半徑；〔2若∠A=20°,求∠P的度數(shù)．21．如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交AB于點(diǎn)E,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．〔1求證：EF⊥AB；〔2若∠C=30°,EF=,求EB的長(zhǎng)．22．如圖,⊙O的弦AD∥BC,過(guò)點(diǎn)D的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AC∥DE交BD于點(diǎn)H,DO及延長(zhǎng)線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F．〔1求證：DF垂直平分AC；〔2若弦AD=10,AC=16,求⊙O的半徑．23．如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,C為圓弧上一點(diǎn),AD垂直于過(guò)C點(diǎn)的切線,垂足為D,AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)E．〔1求證：AC平分∠DAB；〔2若AB=4,B為OE的中點(diǎn),CF⊥AB,垂足為點(diǎn)F,求CF的長(zhǎng)．24．在⊙O中,AB為直徑,C為⊙O上一點(diǎn)．〔Ⅰ如圖①,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若∠CAB=32°,求∠P的大??；〔Ⅱ如圖②,D為優(yōu)弧ADC上一點(diǎn),且DO的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)E,連接DC與AB相交于點(diǎn)P,若∠CAB=16°,求∠DPA的大?。?5．如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O是一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線,與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接BC,OE∥BC交⊙O于點(diǎn)E,連接BE交AC于點(diǎn)H．〔1求證：BE平分∠ABC；〔2連接OD,若BH=BD=2,求OD的長(zhǎng)．26．如圖,在△ABC中,點(diǎn)O在邊AC上,⊙O與△ABC的邊AC,AB分別切于C、D兩點(diǎn),與邊AC交于點(diǎn)E,弦與AB平行,與DO的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)．〔1求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；〔2若E是的中點(diǎn),連結(jié)DF,DC,試判斷△DCF的形狀；〔3在〔2的條件下,若BC=a,求AE的長(zhǎng)．27．如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D,DE是⊙O的切線,連結(jié)OD,OE〔1求證：∠DEA=90°；〔2若BC=4,寫出求△OEC的面積的思路．28．如圖,AB是⊙O的直徑,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,連接BC．〔Ⅰ如圖①,若∠P=20°,求∠BCO的度數(shù)；〔Ⅱ如圖②,過(guò)A作弦AD⊥OP于E,連接DC,若OE=CD,求∠P的度數(shù)．29．已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AB=2AC．〔1如圖①,點(diǎn)P是弧BC上一點(diǎn),求∠APC的大??；〔2如圖②,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線MC,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D,BD與⊙O交于點(diǎn)E,若AB=4,求CE的長(zhǎng)．30．如圖,⊙O的直徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線,DE與⊙O相切于點(diǎn)E,并與AM,BN分別相交于D,C兩點(diǎn)．〔Ⅰ若∠ADC=122°,求∠BCD的度數(shù)；〔Ⅱ設(shè)AD=x,BC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．2017年07月25日神州N號(hào)的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共30小題1．〔2017?XX如圖,已知等腰直角三角形ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)〔不與B,C重合,PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑．〔1求證：△APE是等腰直角三角形；〔2若⊙O的直徑為2,求PC2+PB2的值．[分析]〔1只要證明∠AEP=∠ABP=45°,∠PAB=90°即可解決問(wèn)題；〔2作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,則四邊形PMAN是矩形,可得PM=AN,由△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,推出PC=PM,PB=PN,可得PC2+PB2=2〔PM2+PN2=2〔AN2+PN2=2PA2=PE2=22=4；[解答]〔1證明：∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠AEP=∠ABP=45°,∵PE是直徑,∴∠PAB=90°,∴∠APE=∠AEP=45°,∴AP=AE,∴△PAE是等腰直角三角形．〔2作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,則四邊形PMAN是矩形,∴PM=AN,∵△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,∴PC=PM,PB=PN,∴PC2+PB2=2〔PM2+PN2=2〔AN2+PN2=2PA2=PE2=22=4．〔也可以證明△ACP≌△ABE,△PBE是直角三角形[點(diǎn)評(píng)]本題考查三角形的外接圓與外心、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題,屬于中考常考題型．2．〔2017?XX如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,CD是⊙O的切線,AD⊥CD于點(diǎn)D,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連接OC、AC．〔1求證：AC平分∠DAO．〔2若∠DAO=105°,∠E=30°①求∠OCE的度數(shù)；②若⊙O的半徑為2,求線段EF的長(zhǎng)．[分析]〔1由切線性質(zhì)知OC⊥CD,結(jié)合AD⊥CD得AD∥OC,即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC,從而得證；〔2①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°,結(jié)合∠E=30°可得答案；②作OG⊥CE,根據(jù)垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)知CG=FG=OG,由OC=2得出CG=FG=OG=2,在Rt△OGE中,由∠E=30°可得答案．[解答]解：〔1∵CD是⊙O的切線,∴OC⊥CD,∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA,∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OAC=∠DAC,∴AC平分∠DAO；〔2①∵AD∥OC,∴∠EOC=∠DAO=105°,∵∠E=30°,∴∠OCE=45°；②作OG⊥CE于點(diǎn)G,則CG=FG=OG,∵OC=2,∠OCE=45°,∴CG=OG=2,∴FG=2,在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=2,∴．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì),熟練掌握切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．〔2017?東營(yíng)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DE,交AC于點(diǎn)E,AC的反向延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．〔1求證：DE⊥AC；〔2若DE+EA=8,⊙O的半徑為10,求AF的長(zhǎng)度．[分析]〔1欲證明DE⊥AC,只需推知OD∥AC即可；〔2如圖,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,構(gòu)建矩形ODEH,設(shè)AH=x．則由矩形的性質(zhì)推知：AE=10﹣x,OH=DE=8﹣〔10﹣x=x﹣2．在Rt△AOH中,由勾股定理知：x2+〔x﹣22=102,通過(guò)解方程得到AH的長(zhǎng)度,結(jié)合OH⊥AF,得到AF=2AH=2×8=16．[解答]〔1證明：∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC．∵DE是⊙O的切線,OD是半徑,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC；〔2如圖,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四邊形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE．設(shè)AH=x．∵DE+AE=8,OD=10,∴AE=10﹣x,OH=DE=8﹣〔10﹣x=x﹣2．在Rt△AOH中,由勾股定理知：AH2+OH2=OA2,即x2+〔x﹣22=102,解得x1=8,x2=﹣6〔不合題意,舍去．∴AH=8．∵OH⊥AF,∴AH=FH=AF,∴AF=2AH=2×8=16．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì)．解題時(shí),利用了方程思想,屬于中檔題．4．〔2017?XX如圖,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E．〔1求證：∠A=∠ADE；〔2若AD=16,DE=10,求BC的長(zhǎng)．[分析]〔1只要證明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解決問(wèn)題；〔2首先證明AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,設(shè)BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=〔x+162﹣202,可得x2+122=〔x+162﹣202,解方程即可解決問(wèn)題；[解答]〔1證明：連接OD,∵DE是切線,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A．〔2連接CD．∵∠ADE=∠A,∴AE=DE,∵BC是⊙O的直徑,∠ACB=90°,∴EC是⊙O的切線,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=10,∴AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC==12,設(shè)BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=〔x+162﹣202,∴x2+122=〔x+162﹣202,解得x=9,∴BC==15．[點(diǎn)評(píng)]本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考常考題型．5．〔2017?XX如圖,AB是⊙O的弦,BC切⊙O于點(diǎn)B,AD⊥BC,垂足為D,OA是⊙O的半徑,且OA=3．〔1求證：AB平分∠OAD；〔2若點(diǎn)E是優(yōu)弧上一點(diǎn),且∠AEB=60°,求扇形OAB的面積．〔計(jì)算結(jié)果保留π[分析]〔1連接OB,由切線的性質(zhì)得出OB⊥BC,證出AD∥OB,由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出∠DAB=∠OAB,即可得出結(jié)論；〔2由圓周角定理得出∠AOB=120°,由扇形面積公式即可得出答案．[解答]〔1證明：連接OB,如圖所示：∵BC切⊙O于點(diǎn)B,∴OB⊥BC,∵AD⊥BC,∴AD∥OB,∴∠DAB=∠OBA,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,∴∠DAB=∠OAB,∴AB平分∠OAD；〔2解：∵點(diǎn)E是優(yōu)弧上一點(diǎn),且∠AEB=60°,∴∠AOB=2∠AEB=120°,∴扇形OAB的面積==3π．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積公式等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．〔2017?XX如圖,AB是⊙O的直徑,AC是上半圓的弦,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作切線DE的垂線,垂足為D,且與⊙O交于點(diǎn)F,設(shè)∠DAC,∠CEA的度數(shù)分別是α,β．〔1用含α的代數(shù)式表示β,并直接寫出α的取值范圍；〔2連接OF與AC交于點(diǎn)O′,當(dāng)點(diǎn)O′是AC的中點(diǎn)時(shí),求α,β的值．[分析]〔1首先證明∠DAE=2α,在Rt△ADE中,根據(jù)兩銳角互余,可知2α+β=90°,〔0°＜α＜45°；〔2連接OF交AC于O′,連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形,推出△AFO是等邊三角形即可解決問(wèn)題；[解答]解：〔1連接OC．∵DE是⊙O的切線,∴OC⊥DE,∵AD⊥DE,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠DAE=2α,∵∠D=90°,∴∠DAE+∠E=90°,∴2α+β=90°〔0°＜α＜45°．〔2連接OF交AC于O′,連接CF．∵AO′=CO′,∴AC⊥OF,∴FA=FC,∴∠FAC=∠FCA=∠CAO,∴CF∥OA,∵AF∥OC,∴四邊形AFCO是平行四邊形,∵OA=OC,∴四邊形AFCO是菱形,∴AF=AO=OF,∴△AOF是等邊三角形,∴∠FAO=2α=60°,∴α=30°,∵2α+β=90°,∴β=30°,∴α=β=30°．[點(diǎn)評(píng)]本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、菱形的判定．等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考?？碱}型．7．〔2017?威海已知：AB為⊙O的直徑,AB=2,弦DE=1,直線AD與BE相交于點(diǎn)C,弦DE在⊙O上運(yùn)動(dòng)且保持長(zhǎng)度不變,⊙O的切線DF交BC于點(diǎn)F．〔1如圖1,若DE∥AB,求證：CF=EF；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí),試判斷CF與BF是否相等,并說(shuō)明理由．[分析]〔1如圖1,連接OD、OE,證得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等邊三角形,進(jìn)一步證得DF⊥CE即可證得結(jié)論；〔2根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．[解答]證明：如圖1,連接OD、OE,∵AB=2,∴OA=OD=OE=OB=1,∵DE=1,∴OD=OE=DE,∴△ODE是等邊三角形,∴∠ODE=∠OED=60°,∵DE∥AB,∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,∴△AOD和△BOE是等邊三角形,∴∠OAD=∠OBE=60°,∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,∴△CDE是等邊三角形,∵DF是⊙O的切線,∴OD⊥DF,∴∠EDF=90°﹣60°=30°,∴∠DFE=90°,∴DF⊥CE,∴CF=EF；〔2相等；如圖2,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí),BC是⊙O的切線,∵⊙O的切線DF交BC于點(diǎn)F,∴BF=DF,∴∠BDF=∠DBF,∵AB是直徑,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴∠FDC=∠C,∴DF=CF,∴BF=CF．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、等腰三角形的判定和性質(zhì),作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．〔2017?XX已知,四邊形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D．B點(diǎn)在⊙O上,連接OB．〔1求證：DE=OE；〔2若CD∥AB,求證：四邊形ABCD是菱形．[分析]〔1先判斷出∠2+∠3=90°,再判斷出∠1=∠2即可得出結(jié)論；〔2先判斷出△ABO≌△CDE得出AB=CD,即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形,最后判斷出CD=AD即可．[解答]解：〔1如圖,連接OD,∵CD是⊙O的切線,∴OD⊥CD,∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°,∵DE=EC,∴∠1=∠2,∴∠3=∠COD,∴DE=OE；〔2∵OD=OE,∴OD=DE=OE,∴∠3=∠COD=∠DEO=60°,∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE,OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,∵AB∥CD,∴∠4=∠1,∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°,∴△ABO≌△CDE,∴AB=CD,∴四邊形A∴D是平行四邊形,∴∠DAE=∠DOE=30°,∴∠1=∠DAE,∴CD=AD,∴?ABCD是菱形．[點(diǎn)評(píng)]此題是切線的性質(zhì),主要考查了同角的余角相等,等腰三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定,判斷出△ABO≌△CDE是解本題的關(guān)鍵．9．〔2017?XX如圖,AB為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),連接OD交弦AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．〔1求證：DE是⊙O的切線；〔2連接CD,若OA=AE=4,求四邊形ACDE的面積．[分析]〔1欲證明DE是⊙O的切線,只要證明AC⊥OD,ED⊥OD即可．〔2由△AFO≌△CFD〔SAS,推出S△AFO=S△CFD,推出S四邊形ACDE=S△ODE,求出△ODE的面積即可．[解答]〔1證明：∵D為的中點(diǎn),∴OD⊥AC,∵AC∥DE,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切線；〔2解：連接DC,∵D為的中點(diǎn),∴OD⊥AC,AF=CF,∵AC∥DE,且OA=AE,∴F為OD的中點(diǎn),即OF=FD,在△AFO和△CFD中,∴△AFO≌△CFD〔SAS,∴S△AFO=S△CFD,∴S四邊形ACDE=S△ODE在Rt△ODE中,OD=OA=AE=4,∴OE=8,∴DE==4,∴S四邊形ACDE=S△ODE=×OD×DE=×4×4=8．[點(diǎn)評(píng)]本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?？碱}型．10．〔2017?涼山州如圖,已知AB為⊙O的直徑,AD、BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．〔1求證：DC是⊙O的切線；〔2若AE=1,ED=3,求⊙O的半徑．[分析]〔1首選連接OD,易證得△COD≌△COB〔SAS,然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,求得∠CDO=90°,即可證得直線CD是⊙O的切線；〔2設(shè)⊙O的半徑為R,則OE=R+1,在Rt△ODE中,利用勾股定理列出方程,求解即可．[解答]解：〔1證明：連結(jié)DO．∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD．又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∵OD=OB,OC=OC,∴△COD≌△COB〔SAS,∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切線,∴∠CBO=90°,∴∠CDO=90°,又∵點(diǎn)D在⊙O上,∴CD是⊙O的切線；〔2設(shè)⊙O的半徑為R,則OD=R,OE=R+1,∵CD是⊙O的切線,∴∠EDO=90°,∴ED2+OD2=OE2,∴32+R2=〔R+12,解得R=2,∴⊙O的半徑為2．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查的是切線的判斷、圓周角定理的應(yīng)用,掌握切線的判定定理,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．11．〔2017?永州如圖,已知AB是⊙O的直徑,過(guò)O點(diǎn)作OP⊥AB,交弦AC于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)E,且使∠PCA=∠ABC．〔1求證：PC是⊙O的切線；〔2若∠P=60°,PC=2,求PE的長(zhǎng)．[分析]〔1連接OC,由AB是⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,求得∠BCO+∠ACO=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BCO,等量代換得到∠BCO=∠ACP,求得∠OCP=90°,于是得到結(jié)論；〔2解直角三角形即可得到結(jié)論．[解答]解：〔1連接OC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠ACO=90°,∵OC=OB,∴∠B=∠BCO,∵∠PCA=∠ABC,∴∠BCO=∠ACP,∴∠ACP+∠OCA=90°,∴∠OCP=90°,∴PC是⊙O的切線；〔2∵∠P=60°,PC=2,∠PCO=90°,∴OC=2,OP=2PC=4,∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．〔2017?XX如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC為⊙O的直徑,點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心,連接AE并延長(zhǎng)交⊙O于D點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至F,使得BD=DF,連接CF、BE．〔1求證：DB=DE；〔2求證：直線CF為⊙O的切線．[分析]〔1欲證明DB=DE,只要證明∠DBE=∠DEB；〔2欲證明直線CF為⊙O的切線,只要證明BC⊥CF即可；[解答]〔1證明：∵E是△ABC的內(nèi)心,∴∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC,∵∠BED=∠BAE+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE．〔2連接CD．∵DA平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC,∴=,∴BD=CD,∵BD=DF,∴CD=DB=DF,∴∠BCF=90°,∴BC⊥CF,∴CF是⊙O的切線．[點(diǎn)評(píng)]本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加常用輔助線,屬于中考常考題型．13．〔2017?XX模擬如圖,⊙O中,直徑CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,連AD．〔1求證：AD=AN；〔2若AB=4,ON=1,求⊙O的半徑．[分析]〔1先根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠BCD,再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ANE=∠CNM,故可得出∠BCD=∠BAM,由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE,故可得出結(jié)論；〔2先根據(jù)垂徑定理求出AE的長(zhǎng),設(shè)NE=x,則OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1連結(jié)AO,則AO=OD=2x﹣1,在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理可得出x的值,進(jìn)而得出結(jié)論．[解答]〔1證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對(duì)的圓周角,∴∠BAD=∠BCD,∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠AMC=∠AEN=90°,∵∠ANE=∠CNM,∴∠BCD=∠BAM,∴∠BAM=BAD,在△ANE與△ADE中,∵,∴△ANE≌△ADE,∴AD=AN；〔2解：∵AB=4,AE⊥CD,∴AE=2,又∵ON=1,∴設(shè)NE=x,則OE=x﹣1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x﹣1連結(jié)AO,則AO=OD=2x﹣1,∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x﹣1,AO=2x﹣1,∴〔22+〔x﹣12=〔2x﹣12,解得x=2,∴r=2x﹣1=3．[點(diǎn)評(píng)]本題考查的是垂徑定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．14．〔2017?XX一模在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑,作⊙A交AB于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F,連接AF、BF,DF．〔1求證：BF⊥AF；〔2當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí),四邊形ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明．[分析]〔1首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS證得兩三角形全等,得出對(duì)應(yīng)角相等即可；〔2當(dāng)∠CAB=60°時(shí),四邊形ADFE為菱形,根據(jù)∠CAB=60°,得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,從而得到EF=AD=AE,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形．[解答]〔1證明：∵EF∥AB,∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,∵∠E=∠EFA,∴∠FAB=∠CAB,在△ABC和△ABF中,,∴△ABC≌△ABF〔SAS,∴∠AFB=∠ACB=90°,∴BF⊥AF；〔2解：當(dāng)∠CAB=60°時(shí),四邊形ADFE為菱形．理由如下：∵∠CAB=60°,∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,∴EF=AD=AE,∴四邊形ADFE是菱形．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法,難度不大．15．〔2017?XX二模如圖,已知ED為⊙O的直徑且ED=4,點(diǎn)A〔不與E、D重合為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,且EA=EB,F為⊙O上一點(diǎn),∠FEB=90°,BF的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C．〔1求證：△EFB≌△ADE；〔2當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng)時(shí),直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少．[分析]〔1連接FA,根據(jù)垂直的定義得到EF⊥AB,得到BF=AF,推出BF=ED,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；〔2根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠AED,得到DE∥BC,推出四邊形形FCDE,得到E到BC的距離最大時(shí),四邊形FCDE的面積最大,即點(diǎn)A到DE的距離最大,推出當(dāng)A為的中點(diǎn)時(shí),于是得到結(jié)論．[解答]解：〔1連接FA,∵∠FEB=90°,∴EF⊥AB,∵BE=AE,∴BF=AF,∵∠FEA=∠FEB=90°,∴AF是⊙O的直徑,∴AF=DE,∴BF=ED,在Rt△EFB與Rt△ADE中,,∴Rt△EFB≌Rt△ADE；〔2∵Rt△EFB≌Rt△ADE,∴∠B=∠AED,∴DE∥BC,∵ED為⊙O的直徑,∴AC⊥AB,∵EF⊥AB,∴EF∥CD,∴四邊形形FCDE,∴E到BC的距離最大時(shí),四邊形FCDE的面積最大,即點(diǎn)A到DE的距離最大,∴當(dāng)A為的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A到DE的距離最大是2,∴四邊形FCDE的最大面積=4×2=8．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了圓周角定理,平行四邊形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．〔2017?梁子湖區(qū)模擬如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為AB上一點(diǎn),作CD⊥AB交⊙O于D,連接AD,將△ACD沿AD翻折至△AC′D．〔1請(qǐng)你判斷C′D與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；〔2過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥C′D′于B′,交⊙O于E,若CD=,AC=3,求BE的長(zhǎng)．[分析]〔1連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAD=∠ADO,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠C′DA=∠CDA,于是得到結(jié)論；〔2連接AE,BD,由AB是⊙O的直徑,得到AE⊥BE,AD⊥BD,推出四邊形AEB′C′是矩形,得到AC′=B′E,AE=C′B′,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC′=AC=3,C′D=CD=,根據(jù)平行線等分線段定理得到AO=BO,得到AE=2,根據(jù)射影定理得到CB=7,由勾股定理即可得到結(jié)論．[解答]解：〔1C′D是⊙O的切線,理由：連接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ADO,∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D,∴∠C′DA=∠CDA,∵CD⊥AB,∴∠DAC+∠ADC=90°,∴∠ADO+∠C′DA=90°,∴OD⊥C′D,∴C′D是⊙O的切線；〔2連接AE,BD,∵AB是⊙O的直徑,∴AE⊥BE,AD⊥BD,∵BB′⊥C′D′,∴∠C′=∠B′=∠AEB′=90°,∴四邊形AEB′C′是矩形,∴AC′=B′E,AE=C′B′,∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D,∵AC′=AC=3,C′D=CD=,∵AC′⊥C′B′,OD⊥C′B′,∴AC′∥OD∥BB′,∵AO=BO,∴C′B′=2C′D=2,∴AE=2,∵DC⊥AB,∴CD2=AC?CB,∴CB=7,∴AB=10,∴BE==4．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的判定,平行線等分線段定理,勾股定理,矩形的判定和性質(zhì),射影定理,折疊的性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．〔2017?沈河區(qū)二模如圖,△ABC為等邊三角形,以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于D,F兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E．〔1判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論；〔2過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,若AB=4,則弦FC和弧FC組成的弓形面積π﹣．[分析]〔1連接OD,由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC,∠B=∠C=60°,證出△OBD是等邊三角形,得出∠BOD=∠C,證出OD∥AC,得出DE⊥OD,即可得出結(jié)論；〔2先證明△OCF是等邊三角形,得出CF=OC=BC=AB=2,再由三角函數(shù)即可求出FH,然后根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．[解答]解：〔1DE是⊙O的切線；理由如下：連接OD,如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°,∵OB=OD,∴△OBD是等邊三角形,∴∠BOD=60°,∴∠BOD=∠C,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE是⊙O的切線；〔2連接OF,如圖2所示：∵OC=OF,∠C=60°,∴△OCF是等邊三角形,∴∠COF=60°,CF=OC=BC=AB=2,∵FH⊥BC,∴∠FHC=90°,∴FH=CF?sin∠C=2×=,∴弦FC和弧FC組成的弓形面積=S扇形COF﹣S△COF=﹣×2×=π﹣,故答案為：π﹣．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．〔2017?XX模擬如圖,OA和OB是⊙O的半徑,并且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q,過(guò)Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R．求證：RP=RQ．[分析]首先連接OQ,由切線的性質(zhì),可得∴∠OQB+∠BQR=90°,又由OA⊥OB,可得∠OPB+∠B=90°,繼而可證得∠PQR=∠BPO=∠RPQ,則可證得RP=RQ．[解答]證明：連接OQ,∵RQ是⊙O的切線,∴OQ⊥QR,∴∠OQB+∠BQR=90°．∵OA⊥OB,∴∠OPB+∠B=90°．又∵OB=OQ,∴∠OQB=∠B．∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．∴RP=RQ．[點(diǎn)評(píng)]此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直的定義．此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19．〔2017?紅橋區(qū)三模已知⊙O中,AC為直徑,MA、MB分別切⊙O于點(diǎn)A、B．〔1如圖①,若∠BAC=23°,求∠AMB的大小；〔Ⅱ如圖②,過(guò)點(diǎn)B作BD∥MA,交AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,若BD=MA,求∠AMB的大?。甗分析]〔1根據(jù)切線性質(zhì)求出∠OBM=∠OAM=90°,根據(jù)圓周角定理求出∠COB,求出∠BOA,即可求出答案；〔2連接AB、AD,得出平行四邊形,推出MB=AD,推出AB=AD,求出等邊三角形AMB,即可得出答案．[解答]解：〔1連接OB,∵M(jìn)A、MB分別切⊙O于A、B,∴∠OBM=∠OAM=90°,∵弧BC對(duì)的圓周角是∠BAC,圓心角是∠BOC,∠BAC=23°,∴∠BOC=2∠BAC=46°,∴∠BOA=180°﹣46°=134°,∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°．〔2連接AD,AB,∵BD∥AM,DB=AM,∴四邊形BMAD是平行四邊形,∴BM=AD,∵M(jìn)A切⊙O于A,∴AC⊥AM,∵BD∥AM,∴BD⊥AC,∵AC過(guò)O,∴BE=DE,∴AB=AD=BM,∵M(jìn)A、MB分別切⊙O于A、B,∴MA=MB,∴BM=MA=AB,∴△BMA是等邊三角形,∴∠AMB=60°．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定,切線性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),垂徑定理,平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)行性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．20．〔2017?XX模擬如圖,OA是⊙O的半徑,弦CD垂直平分OA于點(diǎn)B,延長(zhǎng)CD至點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE,切點(diǎn)為E,連接AE交CD于點(diǎn)F．〔1若CD=6,求⊙O的半徑；〔2若∠A=20°,求∠P的度數(shù)．[分析]〔1首先連接OC,由PC垂直平分⊙O的半徑OA,可求得BC與OC的長(zhǎng),由勾股定理即可求得⊙O的半徑；〔2由PE是⊙O的切線,可求得∠AEO=90°,又由∠A=20°,可求得∠AOE的度數(shù),繼而求得答案．[解答]解：〔1連接OC,∵PC垂直平分⊙O的半徑OA,∴BC=CD=×6=3,OC=2OB,∵OB2+BC2=OC2,∴OC=2；〔2∵PE是⊙O的切線,∴∠PEO=90°,∵OE=OA,∴∠AEO=∠A=20°,∴∠AOE=140°,∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°．[點(diǎn)評(píng)]此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．〔2017?灌南縣三模如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,交AB于點(diǎn)E,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．〔1求證：EF⊥AB；〔2若∠C=30°,EF=,求EB的長(zhǎng)．[分析]〔1連接AD、OD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ADC=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明D是BC的中點(diǎn),得到OD是△ABC的中位線,根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論；〔2根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AOD=60°,∠F=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OA=OD=OF,求得AE=根據(jù)平行線等分線段定理得到OD=2AE=2,AB=2OD=4,由線段的和差即可得到結(jié)論．[解答]〔1證明：連接AD、OD,∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADC=90°,又∵AB=AC,∴CD=DB,又CO=AO,∴OD∥AB,∵FD是⊙O的切線,∴OD⊥EF,∴FE⊥AB；〔2∵∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴∠F=30°,∴OA=OD=OF,∵∠AEF=90°EF=,∴AE=,∵OD∥AB,OA=OC=AF,∴OD=2AE=2,AB=2OD=4,∴EB=3．[點(diǎn)評(píng)]本題考查的是切線的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理,掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．22．〔2017?杜爾伯特縣一模如圖,⊙O的弦AD∥BC,過(guò)點(diǎn)D的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AC∥DE交BD于點(diǎn)H,DO及延長(zhǎng)線分別交AC、BC于點(diǎn)G、F．〔1求證：DF垂直平分AC；〔2若弦AD=10,AC=16,求⊙O的半徑．[分析]〔1根據(jù)切線的性質(zhì)得DF⊥DE,再利用平行線的性質(zhì)可判斷DF⊥AC,然后根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；〔2連結(jié)AO,如圖,先利用勾股定理計(jì)算出GD=6,設(shè)圓的半徑為r,則OG=r﹣6,再在Rt△AOG中利用勾股定理得到r2=〔r﹣62+82,然后解方程求出r即可．[解答]〔1證明：∵DE是⊙O的切線,且DF過(guò)圓心O,∴DF⊥DE,又∵AC∥DE,∴DF⊥AC,∴DF垂直平分AC；〔2解：連結(jié)AO,如圖,∵AG=GC,AC=16,∴AG=8,在Rt△AGD中,GD===6,設(shè)圓的半徑為r,則OG=r﹣6,在Rt△AOG中,∵AO2=OG2+AG2,∴r2=〔r﹣62+82,解得r=,即⊙O的半徑為．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．23．〔2017?豐臺(tái)區(qū)二模如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,C為圓弧上一點(diǎn),AD垂直于過(guò)C點(diǎn)的切線,垂足為D,AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)E．〔1求證：AC平分∠DAB；〔2若AB=4,B為OE的中點(diǎn),CF⊥AB,垂足為點(diǎn)F,求CF的長(zhǎng)．[分析]〔1連結(jié)OC,如圖,先利用切線的性質(zhì)得OC⊥CE,加上AD⊥CE,則可判斷OC∥AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠3,由于∠2=∠3,則∠1=∠2；〔2由AB=4,B為OE的中點(diǎn)得到OC=OB=BE=2,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系,在Rt△OCE中得到∠E=30°,則∠COE=60°,然后在Rt△OCF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．[解答]〔1證明：連結(jié)OC,如圖,∵直線CE與⊙O相切于點(diǎn)C,∴OC⊥CE,∵AD⊥CE,∴OC∥AD,∴∠1=∠3,∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴AC平分∠DAB；〔2解：∵AB=4,B為OE的中點(diǎn),∴OC=2,OB=BE=2,在Rt△OCE中,∵OC=OE,∴∠E=30°,∴∠COE=60°,在Rt△OCF中,∵∠OCF=30°,∴OF=OC=1,CF=OF=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了解直角三角形．24．〔2017?河西區(qū)一模在⊙O中,AB為直徑,C為⊙O上一點(diǎn)．〔Ⅰ如圖①,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若∠CAB=32°,求∠P的大??；〔Ⅱ如圖②,D為優(yōu)弧ADC上一點(diǎn),且DO的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)E,連接DC與AB相交于點(diǎn)P,若∠CAB=16°,求∠DPA的大小．[分析]〔Ⅰ連接OC,如圖①,根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OCP=90°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠CAB=32°,則利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠POC,然后利用互余計(jì)算∠P的度數(shù)；〔Ⅱ如圖②,根據(jù)垂徑定理的推論,由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得到OD⊥AC,則利用三角形外角性質(zhì)得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°,再根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠AOD=53°,然后利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠DPA的度數(shù)．[解答]解：〔Ⅰ連接OC,如圖①,∵PC為切線,∴OC⊥PC,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB=32°,∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°,∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；〔Ⅱ如圖②,∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),∴OD⊥AC,∴∠OEA=90°,∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°,∴∠C=∠AOD=53°,∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線,必連過(guò)切點(diǎn)的半徑,構(gòu)造定理圖,得出垂直關(guān)系．也考查了垂徑定理和圓周角定理．25．〔2017?西城區(qū)二模如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O是一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線,與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接BC,OE∥BC交⊙O于點(diǎn)E,連接BE交AC于點(diǎn)H．〔1求證：BE平分∠ABC；〔2連接OD,若BH=BD=2,求OD的長(zhǎng)．[分析]〔1根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ACB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OE⊥AC,根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；〔2根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABD=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBD=∠2,解直角三角形即可得到結(jié)論．[解答]〔1證明：∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∵OE∥BC,∴OE⊥AC,∴=,∴∠1=∠2,∴BE平分∠ABC；〔2解：∵BD是⊙O的切線,∴∠ABD=90°,∵∠ACB=90°,BH=BD=2,∴∠CBD=∠2,∴∠1=∠2=∠CBD,∴∠CBD=30°,∠ADB=60°,∵∠ABD=90°,∴AB=2,OB=,∵OD2=OB2+BD2,∴OD=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線的性質(zhì),圓周角定理,垂徑定理,角平分線的判定,勾股定理,正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．26．〔2017?石城縣模擬如圖,在△ABC中,點(diǎn)O在邊AC上,⊙O與△ABC的邊AC,AB分別切于C、D兩點(diǎn),與邊AC交于點(diǎn)E,弦與AB平行,與DO的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)．〔1求證：點(diǎn)M是CF的中點(diǎn)；〔2若E是的中點(diǎn),連結(jié)DF,DC,試判斷△DCF的形狀；〔3在〔2的條件下,若BC=a,求AE的長(zhǎng)．[分析]〔1根據(jù)垂徑定理可知,只要證明OM⊥CF即可解決問(wèn)題；〔2結(jié)論：△DFC是等邊三角形．由點(diǎn)M是CF中點(diǎn),DM⊥CF,推出DE=DF,由E是中點(diǎn),推出DC=CF,推出DC=CF=DF,即可；〔3只要證明△BCD是等邊三角形,即可推出∠B=60°,∠A=30°,在Rt△ABC中,BC=BD=CD=a,可得OC=OD=a,OA=a,由此即可解決問(wèn)題；[解答]〔1證明：∵AB是⊙O的切線,∴OD⊥AB,∴∠ODB=90°,∵CF∥AB,∴∠OMF=∠ODB=90°,∴OM⊥CF,∴CM=MF．〔2解：結(jié)論：△DFC是等邊三角形．理由：∵點(diǎn)M是CF中點(diǎn),DM⊥CF,∴DE=DF,∵E是中點(diǎn),∴DC=CF,∴DC=CF=DF,∴△DCF是等邊三角形．〔3解：∵BC、BD是切線,∴BC=BD,∵CE垂直平分DF,∴∠DCA=30°,∠DCB=60°,∴△BCD是等邊三角形,∴∠B=60°,∠A=30°,在Rt△ABC中,BC=BD=CD=a,∴OC=OD=a,OA=a,∴AE=OA﹣OC=a．[點(diǎn)評(píng)]本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．27．〔2017?房山區(qū)一模如圖,已知等腰三角形ABC的底角為30°,以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D,DE是⊙O的切線,連結(jié)OD,OE〔1求證：∠DEA=90°；〔2若BC=4,寫出求△OEC的面積的思路．[分析]〔1連接OD,求出∠A=∠ODB,推出OD∥AC,即可得出答案；〔2求出AD、CD,由Rt△AED中,∠A=30°,AD的長(zhǎng),得ED,AE進(jìn)而求得EC由DE,AE的長(zhǎng)得△DEC的面積由OD∥AC,△DE