命題及其關系、充分條件與必要條件含解析

歸納與技巧：命題及其關系、充分條件與必要條件基礎知識歸納一、命題的概念其中判斷為真在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.二、四種命題及其關系.四種命題命題表述形式原命題若p,則q逆命題若q,貝Up否命題若p,貝Uq逆否命題若q,貝Up.四種命題間的逆否關系3.四種命題的真假關系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.三、充分條件與必要條件.如果p?q,貝Up是q的充分條件,q是p的必要條件..如果p?q,q?p,貝Up是q的充要條件.基礎題必做.(教材習題改編)下列命題是真命題的為()A,若1=1,則x=yB.若x2=1,則x=1xyC.若x=y,則板=5D.若x<y,則x2<y2

解析：選A由1=4Hx=y,A正確，易知B、C、D錯誤.xyTOC\o"1-5"\h\z.命題“若則tana=1”的逆否命題是（）A.若awj,則tanA.若awj,則tan時14C.右tan/1,則鏟4解析：選C以否定的結論作條件a=7,則tana=1”的逆否命題是“若4B.右a=-,則tan/14…lr兀D.右tan#1,則a=4否定的條件作結論得出的命題為逆否命題，即“若-r兀，tan/1,則aw—.4.設集合A,B,則A?B是AAB=A成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選C由A?B,得AAB=A;反過來，由AAB=A,且（APB）?B,得A?B.因此，A?B是AAB=A成立的充要條件..“在△ABC中，若/C=90°,則/A、/B都是銳角”的否命題為：解析：原命題的條件：在^ABC中，ZC=90°,結論：/A、/B都是銳角.否命題是否定條件和結論.即“在4ABC中，若/CW90°,則/A、/B不都是銳角”.答案：“在△ABC中，若/CW90°,則/A、/B不都是銳角”.下列命題中所有真命題的序號是.①a>b”是a2>b2”的充分條件；②‘a(chǎn)i|>|b|是a2>b2”的必要條件;③a>b"是"a+c>b+c”的充要條件.解析：①由2>-3?/22>（—3）2知，該命題為假；②由a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|知,該命題為真；③a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b,3>b"是"a+c>b+c”的充要條件為真命題.答案：②③解題方法歸納.充分條件與必要條件的兩個特征⑴對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”？“q?p”；（2）傳遞性：若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條件.注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”..從逆否命題，談等價轉換由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而，當判斷原命題的真假比較困難時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假，這就是常說的“正難則反”.四種命題的關系及真假判斷1典題導入［例1］下列命題中正確的是（）①“若x2+y2w0,則x,y不全為零”的否命題；②“正多邊形都相似”的逆命題；③“若m>0,則x2+x—m=0有實根”的逆否命題；④“若x—3彳是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④［自主解答］①中否命題為“若x2+y2=0,則x=y=0"，正確；③中，A=1+4m,當m>0時，A>0,原命題正確，故其逆否命題正確；②中逆命題不正確；④中原命題正確故逆否命題正確.［答案］B2解題方法歸納在判斷四個命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系.要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可.對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手.項以題試法.以下關于命題的說法正確的有（填寫所有正確命題的序號）.①“若log2a>0,則函數(shù)f（x）=logax（a>0,awl）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；②命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若aw0,則abw0”；③命題“若x,y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題；④命題“若aCM,則b?M”與命題“若bCM,則a?M”等價.解析：對于①，若10g2a>0=log2l,則a>1,所以函數(shù)f(x)=logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故①不正確；對于②，依據(jù)一個命題的否命題的定義可知，該說法正確；對于③，原命題的逆命題是“若x+y是偶數(shù)，則x、y都是偶數(shù)”，是假命題，如1+3=4是偶數(shù)，但3和1均為奇數(shù)，故③不正確；對于④，不難看出，命題“若aCM,則b?M”與命題“若bCM,則a?M”是互為逆否命題，因此二者等價，所以④正確.綜上可知正確的說法有②④.答案：②④充分必要條件的判定1典題導入［例2］(1)x<2”是“x2—2x<0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)設a,bCR,"a=0"是"復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件［自主解答］(1)取x=0,則x2-2x=0,故由x<2不能推出x2—2x<0;由x2-2x<0得0Vx<2,故由x2—2x<0可以推出x<2.所以艾<2”是“x2—2x<0"的必要而不充分條件.(2)當a=0,且b=0時，a+bi不是純虛數(shù)；若a+bi是純虛數(shù)，則a=0.故"a=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.［答案］(1)B(2)B2解題方法歸納充要條件的判斷，重在“從定義出發(fā)”，利用命題“若p,則q”及其逆命題的真假進行區(qū)分，在具體解題中，要注意分清“誰是條件”“誰是結論”，如“A是B的什么條件”中，A是條件，B是結論，而“A的什么條件是B”中，A是結論，B是條件.有時還可以通過其逆否命題的真假加以區(qū)分.項以題試法.下列各題中，p是q的什么條件?(1)在△ABC中，p：A=B,q：sinA=sinB;(2)p：岡=*,q:x2+x>0.解：(1)若A=B,則sinA=sinB,即p?q.又若sinA=sinB,貝U2RsinA=2RsinB,即a=b.故A=B,即q?p.所以p是q的充要條件.(2)p：{x|X|=x}={x|x>0}=A,q：{x|x2+x>0}={x|x>0,或xW—1}=B,?.AB,，p是q的充分不必要條件.充分必要條件的應用1典題導入［例3］已知p：—4<x—a<4,q：(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍為.［自主解答］設q,p表示的范圍為集合A,B,則A=(2,3),B=(a-4,a+4).由于q是p的充分而不必要條件，則有AB,a—4W2,a—4<2,即《或?=解得一1WaW6.a+4>3a+4>3,［答案］［—1,6］2解題方法歸納利用充分條件、必要條件可以求解參數(shù)的值或取值范圍，其依據(jù)是充分、必要條件的定義，其思維方式是：(1)若p是q的充分不必要條件，則p?q且q?/p；(2)若p是q的必要不充分條件，則p?/q,且q?p；⑶若p是q的充要條件，則p?q.事以題試法3,"xC{3,a}”是不等式2x2—5x—3>0成立的一個充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(3,+8)B.「0°,—1ju[3，+°°)C『8,一；〕D.[-0°,-2lu(3,+8)解析：選D由2x2—5x—3>0得xw—2或x>3.???xC{3,a}是不等式2x2—5x—3>0成立的一個充分不必要條件，又根據(jù)集合元素的互異性aw3,??aw——或a>3.21蜀全員必做題已知向量a=（x—1,2）,b=（2,1）,則a^b的充要條件是（）1A.x=—2B.x=-1C.x=5D,x=0解析：選Da^b?2（x—1）+2=0,得x=0..命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解析：選B原命題的逆命題是：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù).aab.設a,bCR,貝Ua>0,b>0是一2->相的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選D由a>0,b>0不能彳#知^^也>?^,如取a=b=1時,"a^b^^;由^^上>^^ab不救#知a>0,b>0,如取a=4,b=0時，滿足一廠>4五，但b=0.綜上所述，“a>0,b>0”是“22">a”的既不充分也不必要條件..已知p：“a=?”，q：“直線x+y=0與圓x2+（y—a）2=1相切"，則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A由直線x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切得，圓心(0,a)到直線x+y=0的距離等于圓的半徑，即有母=1,a=.因此，p是q的充分不必要條件.,2.命題：“若x2<1,則—1<x<1”的逆否命題是()A,若x2>1,則x>1或xw—1B.若—1<x<1,則x2<1C.若x>1或x<—1,則x2>1D.若x>1或xw—1,則x2>1解析：選Dx2<1的否定為：x2>1；-1<x<1的否定為x>1或xw—1,故原命題的逆否命題為：若x>1或xw—1,則x2>1..設集合A={xCR|x-2>0},B={xCR|x<0},C={xCR|x(x-2)>0},貝U“xCAUB”是“xCC”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：選CAUB={xCR|x<0,或x>2},C={xCR|x<0,或x>2},???AUB=C,xCAUB是xCC的充分必要條件..下列命題中為真命題的是()A.命題“若x>y,則x>|y|"的逆命題.命題“x>1,則x2>1”的否命題C.命題“若x=1,則x2+x—2=0”的否命題D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題解析：選A對于A,其逆命題是：若x>|y|,則x>y,是真命題，這是因為x>|y|>y,必有x>y;對于B,否命題是：若xw1,則x2<1,是假命題.如x=—5,x2=25>1;對于C,其否命題是：若xw1,則x2+x—2W0,由于x=—2時，x2+x-2=0,所以是假命題；對于D,若x2>0,則x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命題與它的逆否命題都是假命題..對于函數(shù)y=f(x),xCR,"y=|f(x)|的圖象關于y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B若y=f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),???|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,，y=|f(x)|的圖象關于y軸對稱，但若y=|f(x)|的圖象關于y軸對稱，如y=f(x)=x2,而它不是奇函數(shù).命題“若x>0,則x2>0”的否命題是命題.(填“真”或"假”)解析：其否命題為“若XW0,則X2W0”，它是假命題.答案：假.已知集合A={x|y=lg(4—x)},集合B={x|x<a},若P:“xCA”是Q：“xCB”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是.解析：A={x|x<4},由題意得AB結合數(shù)軸易得a>4.答案：(4,+8)22xy.“―3<a<1”是“方程不+亡a=1表小橢圓的條件.a+3>0,解析：方程表示橢圓時，應有11—a>0,[a+3w1—a解得—3<a<1且aw—1,故"―3<a<1”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.答案：必要不充分.若x2>1"是x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為.解析：由x2>1,得x<—1或x>1,又x2>1"是x<a"的必要不充分條件，知由x<a"可以推出艾2>1"，反之不成立，所以aw—1,即a的最大值為一1.答案：—1.下列命題：①若ac2>bc2,則a>b;sina=sin3,則a=3;③“實數(shù)a=0”是“直線x-2ay=1和直線2x-2ay=1平行”的充要條件；④若f(x)=log2x,則f(|x|)是偶函數(shù).其中正確命題的序號是.解析：對于①，ac2>bc2,c2>0,a>b正確；對于②，sin30=sin150？°/30=150°,所以②錯誤；對于③，l〔//l2?A1B2=A2B1,即一2a=—4a?2=0且人42?/A2c1,所以③正確；④顯然正確.答案：①③④/小2-I.…什口的、,14,已知集合A=x^x-x-6<1,B={x|log4(x+a)<1},若xCA是xCB的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是.解析：由C12—x—6<1,即x2-x-6>0,解得x<—2或x>3,故A={xx<-2,或x>3};由10g4(x+a)<1,即0<x+a<4,解得一a<x<4—a,故B={x|—a<x<4—a},由題意，可知BA,所以4一aw一2或一a>3,解得a>6或aw-3.

答案：（一8,—3]U[6,+8）B級?重點選做題.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，則A<B”是“cosA>cos2B'W()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選C由大邊對大角可知，A<B?a<b.ab由正弦th理可知=,故a<b?sinA<sinB.sinAsinB而cos2A=1-2sin2A,cos2B=1-2sin2B,又sinA>0,sinB>0,所以sinA<sinB?cos2A>cos2B.所以a<b?cos2A>cos2B,即A<B”是“cosA>cos2B”的充要條件..設x、y是兩個實數(shù)，命題“x、y中至少有一個數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是()A.x+y=2B.x+y>2C.x2+y2>2D.xy>1解析：選B命題“x、y中至少有一個數(shù)大于1”等價于"x>1或y>1”.若x+y>2,必有x>1或y>1,否則x+yW2;而當x=2,y=—1時，2—1=1<2,所以x>1或y>1不能推出x+y>2.對于x+y=2,當x=1,且y=1時，滿足x+y=2,不能推出x>1或y>1.對于x2+y2>2,當x<—1,y<—1時，滿足x2+y2>2,故不能推出x>1或y>1.對于xy>1,當x<-1,y<-1時，滿足xy>1,不能推出x>1或y>1,故選B.3.已知不等式x—m|<1成立的充分不必要條件是；<x<1,則m的取值范圍是.32解析：由題意知："1<x<1”是“不等式|x—m|<1”成立的充分不必要條件.2’11\"士人所以\3<x<2混{x|x—m|<1}的真子集.而{x||x—m|<1}={x|—1+m<x<1+m},1—1+mW3,所以有1J+m>2，解得一2<m<4.所以m所以m的取值范圍是-141[2'3J答案:.在“a,b是實數(shù)”的大前提之下，已知原命題是“若不等式x2+ax+bw0的解集是非空數(shù)集，則a2—4b>0”，給出下列命題：①若a2—4b>0,則不等式x2+ax+bW0的解集是非空數(shù)集;②若a2—4b<0,則不等式x2+ax+bw0的解集是空集；③若不等式x2+ax+b<0的解集是空集，則a2—4b<0;④若不等式x2+ax+b<0的解集是非空數(shù)集，則a2—4b<0;⑤若a2—4b<0,則不等式x2+ax+bw0的解集是非空數(shù)集；⑥若不等式x2+ax+bw0的解集是空集，則a2-4b>0.其中是原命題的逆命題、否命題、逆否命題和命題的否定的命題的序號依次是(按要求的順序填寫).解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于"的否定是“小于”，根據(jù)命題的構造規(guī)則，題目的答案是①③②④.答案：①③②④5,設條件p：2x2-3x+K0,條件q：x2-(2a+1)x+a(a+1)<0,若稅p是稅q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.1解：條件p為：］Wxwi,條件q為：awxwa+1.“1r.!iMp對應的集合A=》x>1,或x<2\Mq對應的集合B={x|x>a+1,或x<a}.?.?稅p是稅q的必要不充分條件，'''BA,a+1>1且aw1或a+1>1且a<~22一一一一1一-0<a<2.故a的取值范圍是6.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)(x-8)<0}.(1)求MnP={x|5<x<8}的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為MnP={x|5<x<8}的一個充分但不必要條件.解：(1)由MnP={x|5<xW8},得一3WaW5,因此MAP={x|5<xW8}的充要條件是一3<a<5;(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為MAP={x|5<xW8}的一個充分但不必要條件，就是在集合{a|—3waw5}中取一個值，如取a=0,此時必有MnP={x|5<xw8}；反之，MnP={x|5<x<8}未必有a=0,故a=0是MAP={x|5<xW8}的一個充分不必要條件.|敖際各選題1.在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，正確命題的

TOC\o"1-5"\h\z個數(shù)記為f(p),已知命題p：“若兩條直線li:aix+biy+ci=。，I2：a2x+b2y+02=0平行，則a〔b2—a2bi=0”.那么f(p)