熱力學(xué)與統(tǒng)計物理課后習(xí)題答案第六章

第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布1試根據(jù)式（6.2.13）證明：在體積V內(nèi)，在￡到￡+住的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為Q（￡）d￡=^^（2加戶/de.解：式（6213）給出，在體積y=Z?內(nèi)，在凡至Upx+dPx，P）,至I」Py+dp2到凡+dp,的動量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為?d〃xd〃vd凡.（1）用動量空間的球坐標(biāo)描述自由粒子的動量，并對動量方向積分，可得在體積V內(nèi)，動量大小在p到p+d〃范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為蟀P2dp.（2）h3上式可以理解為將〃空間體積元4d獷即（體積匕動量球殼4切2切）除以相格大小小而得到的狀態(tài)數(shù).自由粒子的能量動量關(guān)系為2m因此p=yj2me,

pdp=mds.將上式代入式（2）,即得在體積V內(nèi)，在￡到￡+公的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)為D（￡）d￡=（2mp（3）6.2試證明，對于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，在￡到￡+也的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為解：根據(jù)式（6214）,一維自由粒子在〃空間體積元drd凡內(nèi)可能的量子態(tài)數(shù)為凡

~h~在長度L內(nèi)，動量大小在p到p+d〃范圍內(nèi)（注意動量可以有正負(fù)兩個可能的方向）的量子態(tài)數(shù)為將能量動量關(guān)系代入，即得O（￡）dc=3試證明，對于二維的自由粒子，在面積Z?內(nèi)，在￡到￡+北的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為解：根據(jù)式（6.2.14）,二維自由粒子在〃空間體積兀dxdyd〃xd〃v內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為用二維動量空間的極坐標(biāo)P，夕描述粒子的動量，P，。與Px，P,的關(guān)系為Px=pcos。,

py=psin"用極坐標(biāo)描述時，二維動量空間的體積元為pdpdO.在面積爐內(nèi)，動量大小在〃到p+dp范圍內(nèi)，動量方向在〃到e+d。范圍內(nèi)，二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為h2

對m積分，從0積分到2兀，有fd9=2兀Jo可得在面積Z?內(nèi)，動量大小在〃到p+d〃范圍內(nèi)(動量方向任意)，二維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為(3)P2(3)P22m將能量動量關(guān)系代入，即有(4)在極端相對論情形下，粒子的能量動量關(guān)系為e=cp.試求在體積V內(nèi)，在￡到的能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù).解:式(6.2.16)已給出在體積V內(nèi)，動量大小在〃到p+d〃范圍內(nèi)三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為寫P2dp.(1)h3將極端相對論粒子的能量動量關(guān)系￡-Cp代入，可得在體積V內(nèi)，在￡至?+也的能量范圍內(nèi)，極端相對論粒子的量子態(tài)數(shù)為Z)(￡)d￡=4以￡&.(2)(⑹設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N，.粒子間的相互作用很弱，可以看作是近獨(dú)立的.假設(shè)粒子可以分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制.試證明，在平衡狀態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為

at=ge其中9和與'是兩種粒子的能級，勺和加是能級的簡并度.解：當(dāng)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N，，總能量為E,體積為V時，兩種粒子的分布佃｝和忖｝必須滿足條件￡%=N,￡a；=N;1:,（1）Eg%+￡c；a；=EtI才有可能實現(xiàn).在粒子可以分辨，且處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制的情形下，兩種粒子分別處在分布｛《｝和,'｝時各自的微觀狀態(tài)數(shù)為N!N'!(2)N'!系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。⑻為。⑼=0。.（3）平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的垠概然分布是在滿足式（1）的條件下使。⑼或In為極大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得InO(°)=ln(O0=NInN-lnq+ZqInq+N，lnN-Z〃；In。；+Z。；1nq,////為求使lnO（。）為極大的分布，令《和a；各有必和曲;的變化，In。㈣將因而有bin。⑼的變化.使In。⑼為極大的分布出｝和卜；｝必使61nQ（°）=0,但這些必和函'但這些必和函'不完全是獨(dú)立的，它們必須滿足條件&N=Zm=a/6N，=工6al=0,/6E=z4網(wǎng)+Z，："：=°，//用拉氏乘子a,僅和夕分別乘這三個式子并從61nO(。)中減去，得5In。⑼-abN-a-優(yōu)E<\/9、=-工In—+aln&+a'+的‘5a/,I〃),7,I3：)=0.根據(jù)拉氏乘子法原理，每個甌和陰'的系數(shù)都等于零，所以得\n—+a+附=0,r1*+優(yōu)+網(wǎng)=0,a(4)5=COga-阿a；=co；L-罔.(4)拉氏乘子a,〃和夕由條件（1）確定.式（4）表明，兩種粒子各自遵從玻耳茲曼分布.兩個分布的a和〃可以不同，但有共同的〃.原因在于我們開始就假設(shè)兩種粒子的粒子數(shù)MV和能量E具有確定值，這意味著在相互作用中兩種粒子可以交換能量，但不會相互轉(zhuǎn)化.從上述結(jié)果還可以看出，由兩個弱相互作用的子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)達(dá)到平衡時，兩個子系統(tǒng)有相同的力.6.6同上題，如果粒子是玻色子或費(fèi)米子，結(jié)果如何？解：當(dāng)系統(tǒng)含有N個玻色子，N，個費(fèi)米子，總能量為瓦體積為V時，粒子的分布｛“和忖｝必須滿足條件/fa；=N,I+2￡：a：=E（1）

才有可能實現(xiàn).玻色子處在分布｛《｝,費(fèi)米子處在分布3'｝時，其微觀狀態(tài)數(shù)分別為n?—1)!n?—1)!【Jq!?-1)!’。⑼=OQ'.系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。⑼為(3)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的最概然分布是在滿足式（1）條件下使。⑼或ln。。）為極大的分布.將式（2）和式（3）取對數(shù)，利用斯特令公式可得in。⑼=Z［（Q+。/）In（2+q）—1。4—秋In2］+IZ上4'In（o\-a；Ina：-?-a；）In（“-a\）］.令各為和"有M和ba；的變化，lnd。）將因而有31n0（。）的變化，使用權(quán)InQ四為極大的分布佃｝和［a；］必使61n0（°）=O,即8In"°)=時(例+4)必+zIn/aiia\=0.但這此致M和M'不完全是獨(dú)立的，它們必須滿足條件6N=ZM=0,/6N'=ZM'=O，/6E=Z弓甌+E=0.//用拉氏乘子a,優(yōu)和夕分別乘這三個式子并從bln。⑼中減去，得6InQ⑼-a3N-a'&N'-例E?Iat71a；\7=0.根據(jù)拉氏乘子法原理，每個M和M'的系數(shù)都等于零，所以得I