數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章三角函數(shù)(約16課時(shí))1.任意角、弧度了角任意角的看法和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。2.三角函數(shù)（1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；（2）借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出引誘公式（2,的正弦、余弦、正切），能畫(huà)出的圖象ysinx,ycosx,ytanx，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的周期性；（3）借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]，正切函數(shù)在(性質(zhì)（即單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸交點(diǎn)）（4）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx（5）結(jié)合詳盡實(shí)例，認(rèn)識(shí)yAsin(x)的實(shí)質(zhì)意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出yAsin(x)的圖象，觀察參數(shù)A,,對(duì)函數(shù)變化的影響；（6）會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)責(zé)問(wèn)題，領(lǐng)悟三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。第二章平面向量（約12課時(shí)）1．平面向量的實(shí)質(zhì)背景及基本看法經(jīng)過(guò)力和力的解析等實(shí)例，認(rèn)識(shí)向量的實(shí)質(zhì)背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何意義。2．向量的線性運(yùn)算（1）經(jīng)過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；（2）經(jīng)過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；（3）認(rèn)識(shí)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義；3．平面向量的基本定理及其幾何意義（1）認(rèn)識(shí)平面向量的基本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)1表示的平面向量共線的條件。Page1of．平面向量的數(shù)量積（1）經(jīng)過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；、（2）領(lǐng)悟平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。．向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)責(zé)問(wèn)題的過(guò)程，領(lǐng)悟向量是一種辦理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)責(zé)問(wèn)題的能力。第三章三角恒等變換（約8課時(shí)）．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角關(guān)匠余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步領(lǐng)悟向量方法的作用；．能從兩角差的余弦公式化導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，認(rèn)識(shí)它們的內(nèi)在聯(lián)系；．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括指引導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）參按例題例1海水受日月的引力，在必然的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在平時(shí)情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，湊近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻0:003:006:00水深/米時(shí)刻9:0012:0015:00水深/米時(shí)刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0（1）采納一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，給出2整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值；（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全縫隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度為4米，安全縫隙為1.5米，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必定停止卸貨，將船駛向較深的水域？Page2of新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)第一章《三角函數(shù)》一，任意角與弧度制，角的定義：一條射線繞著極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)地址所成的圖形。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正角，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為負(fù)角，不作任何旋轉(zhuǎn)形成零角。2，角的象限：角的極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊落在哪一個(gè)象限，這個(gè)角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ，第二象限的角2k,2k,kZ，22332k,kZ，第四象限的角2k,22k,kZ，22第三象限的角2k,3，所有與角終邊相同的角的會(huì)集：S|2k,kZ，弧度制：若是半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是弧度與角度的互化：180radlr1180rad121801rad12r其中,r,l分別為扇形的圓心角弧25，弧長(zhǎng)公式：lr扇形的面積公式：S扇形＝rl度、半徑、弧長(zhǎng)增強(qiáng)訓(xùn)練：1，已知角是第二象限角，試確定角2，的終邊所在的地址22，（1）若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與的關(guān)系是_____________________（2）若角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則與的關(guān)系是_____________________3，以下列圖，試分別表示終邊落在陰影地域的角，若角是第四象限角，則是第_______象限角，在扇形中，已知半徑為8，弧長(zhǎng)為12，則圓心角是_________弧度，扇形面積是__________6，已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積為多少？武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)二，任意角的三角函數(shù)1，三角函數(shù)的第必然義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Px,y則siny，cosx，tanyx2，三角函數(shù)的第二定義：設(shè)是一個(gè)任意角，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y)，令OPr則sinyxy，cos，tanrrx113，三角函數(shù)線：有向線段MP，OM，AT分別為角的正弦線，余弦線，正切線，合稱三角函數(shù)線。4，同角三角函數(shù)關(guān)系平方關(guān)系：sincos1商數(shù)關(guān)系：22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25，sina與cos，sina與cos的大小關(guān)系角的終邊在陰影部分內(nèi)，則sincos角的終邊在陰影部分外，則sincos角的終邊在陰影部分內(nèi)，則sincos角的終邊在陰影部分外，則sincos增強(qiáng)訓(xùn)練1，已知角的終邊上有一點(diǎn)P3a,4a，分別求sin,cos,tan的值2，已知cos0,tan0，試判斷角所在的象限3，在0,2內(nèi)，使sincos成立的的取值范圍是_____________4，化簡(jiǎn)：12sin5cos5_____________5，已知sin1，且角為鈍角，求cos,tan的值36，已知tan2，求sin,cos的值武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)，已知tan2，求以下各式的值4）sin2cos222）sin3cossin2cos3cos4sin8，已知sincos7,0，求1）sincos2）sincos3）tan54三，三角函數(shù)的引誘公式公式一：sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二：sin＋－sin,cos＋－cos,tan＋tan公式三：sinsin,coscos,tantan公式四：sinsin,coscos,tantan公式五：sincos,cossin22公式六：sin＋cos,cos＋－sin引誘公式的規(guī)律：奇變偶不變，符號(hào)看象限。k,kZ的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。（當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)名改變;當(dāng)k2k,kZ所在象為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變。角的函數(shù)值前面加上視為銳角時(shí)，原函數(shù)值在2意思是：限內(nèi)的符號(hào)。）增強(qiáng)訓(xùn)練：1，求以下各三角函數(shù)的值（1）sin(945)（2）tan35331（3）3sin1200coscos585tan346的值2，（1）已知sin15，求sin233（2）已知cos3，已知4m，求sin的值631tan322，求cos2sincos2sin2的值1tan武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)四，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正弦函數(shù)：ysinx的性質(zhì)１）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,12）最小正周期為23）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)）對(duì)稱性對(duì)稱軸：直線x2，余弦函數(shù)：ycosx的性質(zhì)１）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,12）最小正周期為2）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k,2k,kZ，單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ4）奇偶性偶函數(shù)）對(duì)稱性對(duì)稱軸：直線xk,kZ，對(duì)稱中心：點(diǎn)3，正切函數(shù)：ytanx,x１）定義域?yàn)閤|xR,x32k,2k,kZ，單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ22222k,kZ，對(duì)稱中心：點(diǎn)k,0,kZ5k,0,kZ22k,kZ的性質(zhì)k,kZ，值域?yàn)镽2）最小正周期為23）單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4）奇偶性奇函數(shù)k,k,kZ，22k,0,kZ215）對(duì)稱性對(duì)稱中心：點(diǎn)4，三角函數(shù)的圖像變換三種基本變換：）周期變換：ysinysinx0，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的。2）相位變換：ysinysin(x)，向左0或向右0平移個(gè)單位?！凹幼鬁p右”3）振幅變換：ysinyAsinxA0，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍。ysinyAsin(x)0,A0，三個(gè)參數(shù)不相同，所以要經(jīng)過(guò)三個(gè)基本變換，每一個(gè)基本變換改變一個(gè)參數(shù)。變換的步驟一般是先進(jìn)行相位變換，再進(jìn)行周期變換，最后進(jìn)行振幅變換。，已知三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)yAsin(x)，A0,0解析式武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)由最大（最小）值求出A，由周乞求出，由特別點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出。（注意，取零點(diǎn)時(shí)要注意是第一零點(diǎn)還是第二零點(diǎn)。）相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的間距為一個(gè)周期；相鄰的兩個(gè)最值點(diǎn)的間距為半個(gè)周期；相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的間距為半個(gè)周期；最高點(diǎn)和與之相鄰的對(duì)稱中心的間距為四分之一個(gè)周期增強(qiáng)訓(xùn)練：，函數(shù)y2sin(1x)的周期，振幅，初相分別是_______,________,_______242，函數(shù)ycos(2xA．x2)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）3，要獲取函數(shù)y=sin(2x-)的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象（）3A.向左平行搬動(dòng)個(gè)單位B.向左平行搬動(dòng)個(gè)單位36C.向右平行搬動(dòng)個(gè)單位D.向右平行搬動(dòng)個(gè)單位365,，則值域是（）664，若函數(shù)ycos2x2sinx的定義域?yàn)閤A.,2B.2,2C.5，函數(shù)ycos(6，函數(shù)y177,D.2,444x)的單調(diào)遞加區(qū)間是6_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定義域?yàn)開(kāi)_________________7，如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0,0,2)的圖象的6x一部分。則函數(shù)的解析式是___________，函數(shù)y2sin(x)由y=sinx（xR）的圖象怎樣變換獲取的？武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)第二章《平面向量》一，向量的基本看法1，向量的定義：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：）字母表示：a，AB）幾何表示：可以用有向線段表示向量，但有向線段不是向量。3，向量的基本看法1）模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，也稱為模，記作a）零向量：長(zhǎng)度為0的向量3）單位向量：長(zhǎng)度為1的向量）共線向量：方向相同或相反的非零向量為共線向量，也稱平行向量，記作a//b。）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為相反向量。增強(qiáng)訓(xùn)練，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）（A）長(zhǎng)度相等的向量就是相等向量（B）共線向量就是在一條直線上的向量C）零向量的長(zhǎng)度是0（D）方向相同或相反的向量是平行向量A2，如圖，三角形ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別為AC，AB，BC的中點(diǎn)）寫(xiě)出EF與共線的向量2）寫(xiě)出所有與EF模相等的向量FEBD二，平面的線性運(yùn)算1，向量的加法1）加法法規(guī)（1）平行四邊形法規(guī)：共起點(diǎn)（2）三角形法規(guī)：首尾相連CCDBABACABACADABBCAC7）相關(guān)結(jié)論（1）ababab（2）abba（3）abcabc，向量的減法減法法規(guī)三角形法規(guī)：共起點(diǎn)。CABACCB武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－6AB數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)，數(shù)乘運(yùn)算）定義：規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記做a。長(zhǎng)度與方向規(guī)定以下：（1）aa（2）當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反）相關(guān)結(jié)論：（1）aa（2）aaa（3）abab（4）00）向量共線定理：a為非零向量，則a//bba（為唯一確定的實(shí)數(shù)））三點(diǎn)共線問(wèn)題：若A、B、C三點(diǎn)共線AB//AC或AB//BC推論：若OAmOBnOC，則A、B、C三點(diǎn)共線mn1增強(qiáng)訓(xùn)練：，在平行四邊形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,則以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是()(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0，化簡(jiǎn)以下各式，結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)1）ABBCCA2）ABACBDCD3）OAODAD4）NQQPMNMPDFCEA3，如圖，已知平行四邊形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，且AEa,AFb，試用a,b表示BC,CDB4，設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BCBA2BP，則（）(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC015，在三角形ABC中，已知D是AB邊上的一點(diǎn)，若AD2DB，CDCACB，則_____836，已知兩非零向量a,b，設(shè)OAab，OBa2b，OCa3b，判斷A，B，C的地址關(guān)系武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)三，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1，平面向量基本定理）平面向量基本定理：若是e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么關(guān)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),，使ae1e2）基底：不共線的兩個(gè)向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。兩個(gè)向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為平面的基底。3）向量共線定理的推論：若a1e11e2，b2e12e2，則a//b1221（交織相乘，積相等）4）向量的夾角：作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角。顯然0,180，當(dāng)0時(shí)，a，b同向；當(dāng)180時(shí)，a，b反向，當(dāng)90時(shí)，稱a，垂直，記作ab。，平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示）正交分解：把一個(gè)向量分解成兩個(gè)相互垂直的兩個(gè)向量，叫做平面向量的正交分解。2）坐標(biāo)表示：取分別與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，關(guān)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，則axiyj。我們將有序數(shù)對(duì)x,y叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝x,y。）向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1）向量平行的坐標(biāo)表示若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則a//bx1y2x2y10增強(qiáng)訓(xùn)練1，設(shè)e1,e2為兩個(gè)不共線的向量,若ae1e2與b(2e13e2)共線，則_____9，在三角形ABC中，設(shè)ABa，ACb，點(diǎn)D在線段BC上，且BD3DC，則把AD用a,b表示為。3，ABCD的3個(gè)極點(diǎn)為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個(gè)極點(diǎn)D的坐標(biāo)是____________4，已知ABC的三個(gè)極點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAPBPCAB，則點(diǎn)P與ABC的關(guān)系是：（）、P在ABC內(nèi)部B、P在ABC外面武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)C、P在直線AB上D、P在ABC的AC邊的一個(gè)三均分點(diǎn)上5，兩點(diǎn)P(4,-9),Q(-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMMQ則為_(kāi)__________6,如圖，直線PQ經(jīng)過(guò)ABC的重心G，分別與AB，AC交于P,Q兩點(diǎn)，A11設(shè)APmAB，AQnAC，則_____mn7，如圖，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，試用PQGBCAAB,AC表示CEB8，若向量a(1,2)，b(x,1)，，當(dāng)a2b與2ab平行時(shí)，則x=______DEC9，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為BF，DE的交點(diǎn)，若ABa,ADb，試以DFCa,b表示DE,BF,CG四，平面向量的數(shù)量積AGEBb，1，數(shù)量積的定義：兩個(gè)非零向量a，b，我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a其中是向量a，b的夾角。特別地，我們把a(bǔ)cos叫做a在b方向上的投影。等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。2，數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a3，運(yùn)算律：b＝ab3）abc＝acbcb＝ba2）ab＝a1）a4，相關(guān)結(jié)論：22a02）abab03）aa4）abab1）05）ab22222a2abb6）ababab，數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y2，坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論221）若a＝x,y，則axy2）若a＝x1,y1，b＝x2,y2，則abx1x2y1y2010武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組－數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)ab3）cosabx1x2y1y2xy2121x2y222，向量與三角形的“四心”已知點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，）若PAPBPC0，則點(diǎn)P是三角形ABC的重心；）若PAPBPBPCPCPA，則點(diǎn)P是三角形ABC的垂心；2223）若PAPBPC，則點(diǎn)P是三角形ABC的外心；；）令A(yù)Bc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0，則點(diǎn)P是三角形ABC的內(nèi)心。增強(qiáng)訓(xùn)練121，若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CMCBCA，則MAMB。63，b2，ab7，則a與b的夾角的余弦值為_(kāi)________________2，若a13，a(2,1),b(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為_(kāi)__________________4，若向量a(1,2)，b(x,1)，當(dāng)a2b與2ab垂直時(shí)，求x.5，已知ab2,8，ab8,1