數集和確界原理

§2數集和確界原理教學目的與要求：使學生正確理解實數集合的定義及各種表示方法，掌握實數集合有界，有上下確界的定義，理解確界原理。教學重點，難點：集合有界，有上下確界的定義，確界原理的證明及應用。教學內容：本節(jié)內容分兩部分介紹，我們首先定義實數集R中的兩類重要數集一區(qū)間與鄰域，然后討論有界集并給出確界定義和確界原理。一區(qū)間與鄰域1、區(qū)間的定義設a、beR且aVb.開區(qū)間(a,b)、閉區(qū)間［a,b］、半開半閉區(qū)間1^,b)和(a,b］、有限區(qū)間的定義。幾何意義。區(qū)間a,+8)、。8,a］、(a,+8)、。8,a)、(一8,+8)=R、無限區(qū)間的定義。有限區(qū)間和無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間。滿足絕對值不等式k-。|<8的全體實數x的集合稱為2、鄰域的定義設aeR,8>0。點a的5鄰域U(a;6)或U(a)的定義點a的空心5鄰域U。(a;5)或U。(a)的定義U。(a;5)與。(a;5)的差別點a的5右鄰域U+(a;5)或U+(a)點a的5左鄰域U(a;5)或U(a)點a的空心5左、右鄰域U。一(a)、U。一(a)等的定義鄰域U(鄰域U(8)、+8鄰域U(+8)、-8鄰域U(-8)。二有界集?確界原理1、有階集的定義定義1設S為R中的一個數集。若存在數M(L)，使得對一切keS,都有k<MG>L)則稱S為有上界(下界)的數集，數M(L)稱為S的一個上界(下界)。若數集S既有上界又有下界，則稱S為有界集。若S不是有界集，則稱S為無界集。注：介紹有界集的幾種等價定義，正面敘述無界集的概念。例1證明數集七=例1證明數集N='n為正整數例1證明數集七=分析證例任何有限區(qū)間都是有界集，無限區(qū)間都是無界集；由有限個數組成的數集是有界集。2、數集的上確界和下確界的精確定義描述性定義：若數集S有上界，則顯然它有無窮多個上界，而其中最小的一個上界常常具有重要的作用，稱它為數集S的上確界。同樣，有下界數集的最大下界，稱為該數集的下確界。精確定義定義2設S是R中的一個數集。若數門滿足：（i）對一切xeS,有x<n,即門是S的上界；（ii）對任何。<門,存在X。eS,使得x°>a,即不又是S的最小上界，則稱數門為數集S的上確界，記作門=supS.定義3設S是R中的一個數集。若數&滿足：（i）對一切xeS,有x岌,即&是5的下界；（ii）對任何8>&,存在x。eS,使得x。<p,即&又是S的最大下界，則稱數&為數集S的下確界，記作E=infS.上確界與下確界統(tǒng)稱為確界。注：以上確界為例，下確界類似定義設S是R中的一個數集。若數門滿足：（i）對一切xeS,有x<n,即門是S的上界;（ii）對任何￡>0,存在x。eS,使得x。>門-￡,即不又是S的最小上界,則稱數門也為數集S的上確界。設S=設S={x為區(qū)間（。,1中的有理數}試按上、下界的定義驗證：supS=1,inf例閉區(qū)間［0，1］的上、下確界分別為1和0對于數集E=\（1）\n=1,2,|的上、下確界分別為supE=!,infE=一1InI2正整數集N+有下確界infN+=L而沒有上確界。

注1由上（下）確界的定義可見，若數集S存在上（下）確界，則一定是唯一的。又若數集S存在上、下確界，則有infSWsupS.注2從上面一些例子可見，數集S的確界可能屬于S,也可能不屬于S。例3設數集S有上確界。證明門=supSgS。門二maxS分析證3、確界原理及其應用定理1.1（確界原理）設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。分析證采用構造性證明方法證明關于上確界的結論注：在本書中確界原理是極限理論的基礎。例4設A、B為非空數集，滿足：對一切尤gA和ygB有x<y.證明：數集^有上確界，數集B有下確，且supA<infB.（2）分析證例5設A、B為非空有界數集，S=AUB0證明:(i)supS=max《upA,supB>(ii)inf(ii)infS=min{nfA,infb}分析證確界原理的擴充若把+8和-3補充到實數集中，并規(guī)定一實數a與+8、-3的大小關系為：aV+8,a>-3，-3v+8，則確界概念可擴充為：若S無上界，則定義+8為S的非正常上確界，記作supS=+8；若要無下界，則定義-3為S的非正常下確界，記作infS=-3，相應地，前面定義2和定義3中所定義的確界分別稱為正常上、下確界。推廣的確界原理任一非空