復(fù)合材料力學(xué)2-5章

第二章 單向?qū)雍习宓恼S剛度本章的一些講法與講義次序不同，請同學(xué)們注意，另外一些在材料力已闡明的概念，如應(yīng)力、應(yīng)變等在這里不再強(qiáng)調(diào)，希望大家能自學(xué)與復(fù)習(xí)。

§2—1 正交各向異性材料的特點(diǎn)各向同性材料各向異性材料料的力學(xué)性質(zhì)不同（機(jī)械性能。正交各向異性材料正交各向異性材料是一種特殊的各向異性材料。:這類材料有三個(gè)互相垂直的彈性對稱面（面對稱的點(diǎn)性質(zhì)相同均相同。如多層單向板，當(dāng)不考慮纖維與基體性質(zhì)的不均勻性，粘結(jié)層又很薄可以忽略，即把它寫作“連續(xù)勻質(zhì)”材料看，則三個(gè)彈性對稱面分別為：與單層平行的面及與它垂直的縱向、橫向的兩個(gè)切面。板上任何兩點(diǎn)，在平行方向上的力學(xué)性質(zhì)是一樣的。把這三個(gè)彈性平面相交的三個(gè)軸稱為彈性主軸，也稱為正軸。交個(gè)向異性板。向?qū)影遄鳛榛締卧獊矸治鰧雍习濉雍习宓慕M成增強(qiáng)纖維排列方向一致所粘合的薄層稱單向(單層)板（層，有正軸的彈性常數(shù)239各獨(dú)立彈性常數(shù)。E、E、E1 2 3

——楊氏模量；G 、G12 13

、G ——剪切模量；23v 、v 、v21 31

——泊松系數(shù)。v 12方向產(chǎn)生的收縮效應(yīng)系數(shù)；21同樣，v12

表示在2方向拉伸時(shí)在1方產(chǎn)生的收縮效應(yīng)系數(shù)。v v21 12

這點(diǎn)與各向同性材料不同。并有關(guān)系式

v v21

v v v v31 13 32 23E E E E E E1 2 1 3 2 3 v 、v 、v12 13 23

是不獨(dú)立的系數(shù)。順便指出，有的文獻(xiàn)定義v12

為1方向拉伸時(shí)在2方向的收縮系數(shù)。對正交個(gè)向異性薄板，在力學(xué)分析中可作為平面應(yīng)力問題處理，此時(shí)不考慮板厚方向的彈性效應(yīng)。如果設(shè)3方向?yàn)榘搴穹较颍瑒t上述彈性常數(shù)G13

、G 、v23

、v 在32方程（關(guān)系）中不出現(xiàn)，因此，對這類問題獨(dú)立的彈性常數(shù)只有4E、E1 2

、v 、G21 1221及關(guān)系式： v21

v 12E E1 2對單向單層板，纖維方向與垂直纖維方向?yàn)閺椥灾鬏S，分別稱為縱軸）和橫軸，這時(shí)正軸彈性常數(shù)也可表示為：E、E 、G 、

及 TL

v LTvL T LT TL EvL T§2—2單層板面內(nèi)彈性常數(shù)的確定方法：有兩種方法來確定單層板的四個(gè)正（主）軸彈性常數(shù)。1、用細(xì)觀力學(xué)中的計(jì)算公式；2、由單向板試驗(yàn)確定；從宏觀力學(xué)研究的角度，都采用第二種方法來確定。正軸拉（壓）試驗(yàn)：縱向單軸試驗(yàn)：PP1P1P——載荷值； A——板橫截面面積。1L——P方向上的測量標(biāo)距； ——在P作用下L段的變形量；l——垂直P方向上的測量標(biāo)距，l——在P作用下橫向變形量。P1 1A

L L1 L

ll說明：

則 E 1， v1 1

21由拉伸或壓縮載荷可得到E1t

和E 氧材料

和E 差1c同；通過試驗(yàn)還可以得到：

基本相等，在應(yīng)用中不必考慮其不21tu——拉伸強(qiáng)度； 1

cu——壓縮強(qiáng)度；1tu——拉伸極限應(yīng)變； cu——壓縮極限應(yīng)變。1 1這些數(shù)據(jù)是強(qiáng)度計(jì)算、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要參數(shù)。層板（16層）進(jìn)行試驗(yàn)，測出的數(shù)據(jù)作為單層板的數(shù)據(jù)。橫向單軸試驗(yàn)PP2P2P L l 22 F

2 L 1 lE 2 2

v 122同樣可得到：

tu、

cu、tu、cu值。2面內(nèi)剪切試驗(yàn)

2 2 212一致。測出板的剪應(yīng)變12

及剪應(yīng)力 。12則 G 1212應(yīng)力與應(yīng)變的正負(fù)號規(guī)定應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)。:或著說兩個(gè)坐標(biāo)軸正方向的夾角（直角）變小為正，變大為負(fù)。上圖所示的各應(yīng)力均為正值。2、應(yīng)變：應(yīng)力的正負(fù)號與應(yīng)變的正負(fù)號是一致的，這樣保證了計(jì)算中彈性常數(shù)為正值（泊松比除外）——符合常規(guī)物理意義。應(yīng)變——位移關(guān)系應(yīng)變——位移關(guān)系式只表示“幾何關(guān)系”，所以，對各向異性材料表達(dá)式或各向同性材料，在小變形假設(shè)條件下略去二次以上的項(xiàng)，只保留線性項(xiàng)，有： x y

vxy y xU——z方向位移，v——y方向位移過程不再詳述，見彈性力學(xué)。§2—3 正軸應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系正軸拉伸和偏軸拉伸單向板條在單軸拉伸時(shí)，若載荷方向與其中一個(gè)彈性主軸一致，稱為正軸拉伸，不一致時(shí)為偏軸拉伸。正軸壓縮、面內(nèi)剪切也一樣?？赏茝V到正交個(gè)向異性薄板。正軸拉伸時(shí)的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系在線彈性和小變形假設(shè)條件下，正軸無拉（壓）與剪切耦合，則不同載荷作用下應(yīng)力（應(yīng)變）可迭加，這樣： 、1 1 2 、2 1 2 12 121、當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)： 11E11E1v2在2方向應(yīng)變?yōu)椋?212

v(1)21 10

21E 112、當(dāng)

單獨(dú)作用時(shí)：

(2) 22 E22v(2)v (2) 12v1 12 2 E 22 012123、當(dāng)只有剪應(yīng)力作用時(shí)：12

12GLT

0 01 2那么，當(dāng)各個(gè)應(yīng)力分量同時(shí)作用時(shí)，由迭加原理得：v(2)1 12v11 1 E E 211 2 v

(2)

2 212

2 E E 12 1

12G12如果令 S 111 E1

S 122 E12

S 166 G121S 1212 E2

S 21 E1

S S12 21S (i,j——，應(yīng)變——應(yīng)力關(guān)系寫成矩陣形式：ij S S 01

11

1 2 S21 S22

0

2 （2-15） 0 0 S 12 66 12同樣也可以把應(yīng)力用某些系數(shù)乘以應(yīng)變來表示即把S矩陣逆，這時(shí)應(yīng)變前的系數(shù)稱模量分，用Qij 表示(i,j即： Q Q 01 11

1 2 Q21

0 2 0 0 Q

（2-19）12 66 12所以，Qij

]與Sij

]矩陣互為逆陣。通過對Sij

]矩陣求逆得：Q mE11 1

Q mE22

Q G 66 12 Q v E12 12 1

Q mv E21 21

Q Q 12 21Q式中 mv v )1， QQ12 21 ij

= ji即正軸柔量矩陣和正軸模量矩陣都是對稱陣。式2-1（2-1）正軸應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系以后要常用的。兩種特殊的單向?qū)影?、正方對稱鋪層的單向板[見書P91-1（b）]這時(shí): E E1 2

于是S11

S ， Q Q22 11

（2-30）材料的彈性常數(shù)又減少了一個(gè)，只有三個(gè)。600編織的纖維布+樹脂做成的單層板（講，它不能說是單向板。這種板除了滿足(2-30)式關(guān)系外，還有：(Q Q )/2 66

11 12S 2(S

S ) 66

11 12

（2-31） GE/v)其中GG12

，vv12

v 彈性常數(shù)又減少一個(gè)，只有兩個(gè)獨(dú)立的。21例題（P2）A、根據(jù)基常數(shù)E、E、v 、G 計(jì)算S ；1 2 21 21 ijB、根據(jù)應(yīng)力i

和S 計(jì)算；ij iC、做應(yīng)變圖。

S 11

S 12 21 S S12 21 22 2S12 66 12P——N/m2 MPa

——106Pa

=106N/m2=N/mm2 GPa

——109Pa習(xí)題p26 24§2-4工程彈性常數(shù)的限制條件一、各向同性材料泊松比范圍為 0 12二、正交各向異性材料以為例，當(dāng)材料承受單向拉應(yīng)力1 1 1

時(shí)，應(yīng)變能密度為：W S 22 1 1 2 11 1W0 S 0，同: S ,S 011 22 661 1另外：W

2 得：Q ,Q ,Q 02 1 1

2 11

11 22 66Q11

mE1

得: E

v21

)0E

代入v21E1

12vEv2得： v2

2 或v2 112 E1

21 E2利用上述正交各向異性材料工程常數(shù)的限制條件，校核實(shí)驗(yàn)數(shù)模型、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。第三章 應(yīng)力轉(zhuǎn)換和應(yīng)變轉(zhuǎn)換板變形后的線應(yīng)變也不沿纖維方向，必須進(jìn)行應(yīng)力和應(yīng)變的轉(zhuǎn)換。應(yīng)力轉(zhuǎn)換按力的平衡關(guān)系進(jìn)行，應(yīng)變轉(zhuǎn)換按幾何關(guān)系進(jìn)行。好掌握這方面的知識和結(jié)論。§3-1轉(zhuǎn)換的術(shù)語兩坐標(biāo)夾角正負(fù)的規(guī)定坐標(biāo)系x1oy1逆時(shí)針轉(zhuǎn)向坐標(biāo)系x2oy2時(shí)，轉(zhuǎn)換角為正，反之為負(fù)。單向復(fù)合材料軸反時(shí)針轉(zhuǎn)向的角為正。當(dāng)為負(fù)值時(shí)，只要把—代入表達(dá)式運(yùn)算即可。§3-2 應(yīng)力轉(zhuǎn)換平衡條件導(dǎo)出。（a）（b）為了推導(dǎo)簡單起見，取單位厚度，即h1則 X0 xdx1xydy11cosds112dsssin10把dxdscosdydssin代入得xdscosxydssin1cosds12dssin0消去ds得：xcosxysin1cos12sin0y同理 0得： sin cossin cos0yy xy 1 12如果我們令： mcos nsin1m1則有：

mn12 x xyn m

n m11 解出 、 1

12 y xy m2 n2 1 x

2mnxy mn mn (m2n212由圖（c）得：

x y xy（c） n2 m2 2 x y xy12寫成矩陣形式

mn(y

)(m2x

n2xy m2 1 n2 2

n2 2mnm2

x y

（3-15） 12

m2n2 xy說明：式（3-15）表示了從偏軸應(yīng)力轉(zhuǎn)到主軸應(yīng)力的表達(dá)式。但是，這一關(guān)系式是普遍適用的，等式左端是新軸應(yīng)力，右端是舊軸應(yīng)力，從舊軸到新軸時(shí)，角反時(shí)針旋轉(zhuǎn)代入正值，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)代入負(fù)值。為什么要進(jìn)行應(yīng)力轉(zhuǎn)換，因?yàn)?，?qiáng)度準(zhǔn)則是用主軸應(yīng)力表示的，在偏軸情況下，不同方向有不同的強(qiáng)度值。 m2 n2 x n2 y

2mn

1 2 xy

m2n2 12§3-3 應(yīng)變轉(zhuǎn)換（3-3）的幾何投影關(guān)系不難求出。所以，我們只給出結(jié)果 1 n2 2

n2 mn xm2 mn x y

(3-28) 12

2mn

m2n2 xy在（3-15）和（3-28）m、n函數(shù)，所以稱為冪函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換公式。若已知正軸應(yīng)變，需要求解偏軸應(yīng)變，公式為 m2 n2 x n2 m2 y

mn 1mn 1 2 xy

m2n2 12第四章單向?qū)雍习宓钠S剛度通常單層板或由單層板組成的層合板的普遍受載情況是外載荷實(shí)際上就是其系數(shù)矩陣——即偏軸剛度（模量）和偏軸柔度（柔量的轉(zhuǎn)換?！?-1 偏軸模量偏軸用力——應(yīng)變關(guān)系推導(dǎo)步驟如圖所示偏軸應(yīng)變 正軸應(yīng)變 正軸應(yīng)力 偏軸應(yīng)力1、由x

，應(yīng)變正轉(zhuǎn)換：1m2 n2 x y xy n2 m2 x y xy 12 y

)2mn(m2x

n2xy2、由正軸關(guān)系式（2-19）得; Q

Q 1 11 Q

12 2Q 2 21 1 22 2Q12 66 123、用應(yīng)力負(fù)轉(zhuǎn)換（即把3-15式） m2 n2 2mnx 1 2 12

m2 n

2mn n2y 1

m22

2mn12

n2mn

m2

2mn m2n2 )(m2n2xy 1 2 12把前兩組式子代入第三組，以

為例：x m2(Q x 11

Q 12

)n2(Q 21 1

Q 22

)2mnQ 66 12(m2Q11

n2Q12

)(m2x

n2y

)xy(m2Q n2Q

)(n2 m2

)12

22 x

y66

y

2mn(m2n2)xy m4Q 2m2n2Q n4Q 4m2n2Q 11

12

66 x m2n2Q

(m4n4m2n2Q

4m2n2Q 11

12

66 y m3nQ11

mn3Q12

m3nQ12

mn3Q22

2mn(m2n266 xy如果把上式中、x

和y

的系數(shù)分別令為Q 、Q11 12

及Q ，則上16式變成： Q

Q

Qx同理可得：QQ

16 Q

（4-9）y 21 x

22

26 xy Qxy 61 x

Q 62

Q 66 xy Q Q Q x 11 12 16x Q

Q Qy 21 22 26y Qxy

Q Q61

66 xy這就是偏軸的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式，式中Q （ij稱為偏軸ij模量或偏軸剛度。模量轉(zhuǎn)換式由上面 的具體表達(dá)式可以得知：xQ m4Q11 11

n4Q22

2m2n2Q12

4m2n2Q66Q m2n2(Q12 11

Q )(m4n2)Q22

4m2n2Q66Q m3nQ16 11

mn3Q22

(mn3m3n)Q12

2(mn3m3n)Q66同樣，由y

的具體表達(dá)式可得出：Q Q21 12Q n4Q22

m4Q22

2m2n2Q12

4m2n2Q66Q mn3Q26 11

m3nQ22

(m3nmn3)Q12

(m3nmn3)Q66由 的具體表達(dá)式可得：Q Qxy 61 16

Q Q62 26Q m2n2Q66 11

m2n2Q22

2m2n2Q12

(m2n2)Q66可按P36頁（4-10）式寫成矩陣形式QQij

64

Q （4-10）ij 上式中m時(shí)針為正。

nsin 仍為x1軸間的夾角，反倍角函數(shù)形式的模量轉(zhuǎn)換根據(jù)三角函數(shù)理論有（m4cos4可化成倍角函數(shù)表示的形式即m4cos414coscos 8m3n、mn3、m2n2、n4均可化為cos、cos、sin、sin表示的形式見書（4-11）式，將這些倍角函數(shù)代入（4-10）式化簡可把Qij用倍角三角函數(shù)來表示，其矩陣形式為：coscosQ 1 1 11 U1

cos

cos

Q22

O cos Q

5 12O cos 25Q66 1

（4-13）Q 16

sin21

sin

Q26

sin2

sinU 3其中 U 1)1 8 11 22 12 66U 1(Q Q )2 2 11 22U 1(Q Q

) （4-14）3 8 11 22 12 661U (Q Q )4 8 11 22 12 66U 1(Q Q )5 8 11 22 12 66U到U 也是表示材料剛度特性的常量，不過是一種綜合常數(shù)。1 5因?yàn)?，只?個(gè)獨(dú)立常數(shù)Q 、Q 、Q11 22 12

和Q 。所以U與U66 1

之間必然U到U1 4

是獨(dú)立的，U5

不獨(dú)立。有2U5

U U（這1 4種表達(dá)式對微積分很方便，比冪函數(shù)表達(dá)式好）利用倍角函數(shù)轉(zhuǎn)換式，要先算出U1

~U ，再計(jì)算Q5

不用（4-10）式中算m4。關(guān)于模量分量的分析1、模量分量的組成：例：Q11

U U1

cos2U3

cosQ22

Q Q11

即有一個(gè)常量和兩個(gè)角倍頻、四倍頻余弦變量組成。2、一階不變量：引入U(xiǎn)i

（i,, 5，即把（4-1）式中所有Qij

均代以Qij

（偏軸模量）如：U

1

)1 8 11 22 12 66同樣有：U ~U2 5把Q與Qij ij

的關(guān)系式（4-15）代入，如：U 11 8

U cosU2

cos)1

U cosU2

cos)U cos)U cos)4 3 5 318 4

4U5164 11221266

)2(Q Q11 1266

)4(Q Q11 12

)661(24Q64 11

24Q22

16Q12

32Q )6618 11 22

)U66 1即U1U1不隨Q而改變同樣得：U U cos2 2U U cos3 3U U4 4U U5 5稱U、U、U為一階不變量，由于U是QQ只有四個(gè)獨(dú)立1 4 5 ij ij量，故它們之間也不互相獨(dú)立，有關(guān)系：2U U U。5 1 43、準(zhǔn)各向同性材料的條件：對準(zhǔn)各向同性材料，各方向的剛度數(shù)值應(yīng)一樣，即模量分量（Q ）不隨角度的變化而變化。11如：Q11

U U1

cosU3

cos要不隨QU2

U 0。3由U、U2 3

表達(dá)式得： Q Q11 22

2Q Q Q66 11 124、偏軸模量之間的關(guān)系：

Q 0 Q 016 26正交各向異性板有四個(gè)獨(dú)立的模量，即正軸時(shí)Q Q Q 和11 22 12Q 。現(xiàn)在對偏軸情況有六個(gè)模量Q 、Q 、Q66 11 22

、Q 、Q66

和Q 所以26它們之間必然存在兩個(gè)關(guān)系式，是：Q Q11 22

2Q12

2(U1

U)Q Q4 11 2Q12Q Q66 12

U U5

Q Q66 125、偏軸模量分量變化曲線之間的關(guān)系：Q 900)Q11

)Q 900)Q16 2Q

)

（4-20)~（4~23）u4Q16

224Q26§4-2 偏軸柔量前面求偏軸模量是由偏軸應(yīng)變導(dǎo)出了偏軸應(yīng)力—應(yīng)變的表達(dá)

x

。要求偏軸柔量則是用偏軸應(yīng)力導(dǎo)出偏應(yīng)變——x應(yīng)力表達(dá)式。

x

1

x m2 n2 1 n2 m2 2 mn

2mnm2n

x y 12 S

xy0111

1 2 S21 S22

0 2 0 0 S 12 66 2 m2 n2 2mn x 1 x 1n212y 12

m2 2mn 2xy

mn mn m2n2 1

x2 y12 xy倍角函數(shù)關(guān)系(4-26),只是柔量的U1~U5與S1~S4的關(guān)系式中某些系數(shù)與模量相對應(yīng)的式子不同，同學(xué)們要注意。同樣有關(guān)系式：U52(U1U4)U1U1 U4U4 U5U5§4-3偏軸工程彈性常數(shù)偏軸工程彈性常數(shù)1、定義：材料在偏軸向單軸受力時(shí)（拉、壓或剪）的剛度特性。2、特點(diǎn)：A、是偏軸角的函數(shù)B、與偏軸柔量有直接關(guān)如果把 0、 0代入x y xy S S S 2122x11 12 16x2122 S

S yxy

S S61

26 S66

yxy得 Sx 11 x

由于 即有： E 1x S11S

E V1y S 1221

S 21SS11V 12yz S22

G xy S66在 作用下，不但產(chǎn)生、，還會產(chǎn)生和 ，稱為耦合。x x y xyC、存在拉剪(剪拉)耦合系數(shù)——這是各向異性材料所特有的，也是正交各向異性薄板（單向單層板）偏軸拉（壓、剪）時(shí)特有的。定義：拉剪耦合系數(shù)：

xy,

( xy(x)x(x)

S 61SS11Sxy,y

xy(x)y

62S22XY.y

S16S22剪拉耦合系數(shù)：

x,

(xy)S16S (x) S16S(xy)xy 66y,xy

S26S66在（面（變形面，如 表示在x方向受單向載荷時(shí)，xy面上的剪切變形系數(shù)。XY.x同樣有剪——拉、拉——剪耦合系數(shù)滿足：xy,x

x,xy

xy,y

y,xy

（4-54）E Gx xy

E Gy xy偏軸工程彈性常數(shù)之間的某些關(guān)系:如果令：

VyxV E

Sa 22SSxxy Y 11x E Sxy,x x Gx,xy

b 66S11xy,y

EyG

Sc 66SSy,xy xy 22例：已知x方向模量與剪切模量的比值即剛度比，可求解耦合系數(shù)的比值，進(jìn)而確定。系數(shù)a、b、c反映了在一定的偏軸角時(shí)的剛度比，都是偏軸角的函數(shù)，我們可以通過選取不同的角以獲得不同的剛度比。所以，以后研究不僅要單獨(dú)研究E 或E ，還要研究它們的比值，x y就可知總體受力與變形情況。偏軸工程彈性常數(shù)與正軸工程彈性常數(shù)的關(guān)系1、演算過程2、轉(zhuǎn)換公式1 1 1 cos4( )sin2cos2 sin41 1 1E E G E Ex 1 12 1 2P47~48 （4-55）式耦合系數(shù)對sin 是奇函數(shù)關(guān)系，角正負(fù)號影響其值的正負(fù)要注意。3、彈性常數(shù)極值的求法：因?yàn)槠S工程常數(shù)是的函數(shù)，在某一確定角時(shí)取極值，按條dEx0，解，這對優(yōu)化設(shè)計(jì)是有用的。d注意：單向?qū)雍习宓牟牧闲阅軜O值并不一定發(fā)生在材料主軸方向ExE 。T

均大于EEL

，有時(shí)Ex

均小于E、L例1 求圖示碳/環(huán)氧單向復(fù)合材料板在x

40MPa

作用下的應(yīng)變yx及耦合系數(shù)xyx。材料基本常數(shù)見P252-2。解; 300由表4-2及式（4-26）得：1 1S U U cosU cos69.5651.55 7.81

)111 1 2

2 2 a1S S21 12

U U4

cos410.977.812

14.88(TPa

)1S U sin16 2

sin51.55 27.81 58.17(TP332 2 33

) S 11 x

47.6910124010619071061907 S 21 x

14.88101240106595106595 S 10124010623271062327xy 16 xV yx

S210.312S11XY.x

S61S11

1.231變形示意圖見上。知數(shù)據(jù)，盡量簡化計(jì)算過程，不必重復(fù)書中的推導(dǎo)過程。例2 P53頁4、偏軸柔量與偏軸模量之間的演算;我們知道： ij

ij

1對這樣的33階對稱矩陣，我們給出了其遞陣元素的求解公式，以后使用時(shí)可直接代公式，見書中P53頁（4-63）式。已知Q求Sij ij

表示是QijijQij

的行列式，不是絕對值。同樣，當(dāng)已知Sij

求Q時(shí)，只要把等式左邊換成Qij

，右邊換為Sij

即可。第五章單向?qū)影宓膹?qiáng)度§5-1單向?qū)雍习宓幕緩?qiáng)度強(qiáng)度，比金屬材料復(fù)雜的多。金屬材料的強(qiáng)度指標(biāo)只有一個(gè)：

（或s

0.2

）——塑性材料 (0.5~，不是獨(dú)立的強(qiáng)度指標(biāo)s s ——脆性材料b使用正軸應(yīng)力或主軸應(yīng)力。復(fù)合材料的強(qiáng)度指標(biāo)復(fù)合材料的強(qiáng)度問題主要涉及：強(qiáng)度指標(biāo) 失效判據(jù)基本強(qiáng)度指標(biāo)共五個(gè)，分別為：X——縱拉伸強(qiáng)度 Xt

——縱壓縮強(qiáng)度Y——橫拉伸強(qiáng)度 Yt

——橫壓縮強(qiáng)度S——面內(nèi)剪切強(qiáng)度拉壓相同時(shí)為三個(gè)。這些參數(shù)一般由典型的正軸單軸加載試驗(yàn)所確定。例如：通過單向?qū)雍习蹇v向拉伸試驗(yàn)得到破壞時(shí)的P，uuA則; X PuAt u偏軸剪應(yīng)力方向偏軸剪應(yīng)力方向的正負(fù)對單層板的強(qiáng)度有很大影響：§5-2 失效判據(jù)對于各向同性材料，材料力學(xué)用“強(qiáng)度理論”來描述破壞條件，例如最大拉應(yīng)力理論認(rèn)為：當(dāng)結(jié)構(gòu)在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的最大拉應(yīng)力達(dá)到了同樣材料在單向拉伸時(shí)的極限應(yīng)力，就認(rèn)為結(jié)構(gòu)破壞。一樣是一種假設(shè)。失效判據(jù)最大應(yīng)力失效判據(jù)個(gè)應(yīng)力分量達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)，材料就失效。X1

|1

Xc Y失效表達(dá)式 2

|2 s12

Yc

（5-1）只要單層板內(nèi)任一個(gè)正軸應(yīng)力（主向應(yīng)力）滿足上述等式（或左端項(xiàng)大于右端項(xiàng)）就認(rèn)為材料失效。A.失效判據(jù)習(xí)慣上不寫“”肯定是失效；B.式（5-1）軸應(yīng)力轉(zhuǎn)換成正軸（主向）應(yīng)力，再代入判據(jù)。最大應(yīng)變失效判據(jù)定義：不論什么應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)單向?qū)雍习逭S向的任何一個(gè)應(yīng)變分量達(dá)到極限應(yīng)變時(shí)，材料就失效。表達(dá)式為： 1 xt

（或1

）xc2yt2yt12 2yt2yt12 sXEX E

（或

(5-2)

tY E

xc c1Y E根據(jù)線彈性假設(shè)： yt t 2 SG

yc c 2

（5-3）s 12利用正軸應(yīng)力—應(yīng)變式：VSS 1 21V1 11 1 12 2 E E 2V1 1V1xtE于是（5-2）式可寫成： Xt1xtE1

1 21E E 21 1則應(yīng)變失效判據(jù)可寫成用應(yīng)力和基本強(qiáng)度表達(dá)的形式，所以有：V1

2Xt

V X21 V

1 21 2 c 2 12 1 t

V Y 12 S

2 12 1 c蔡—希爾失效判據(jù)由各向同性材料的形狀改變必能理論推廣而來。表達(dá)式：2

2

2 1

2

1 2

12 1 （5-10）X Y X2 S（主向應(yīng)力層板就失效。說明：A、是從各向同性材料中的“形狀改變必能”強(qiáng)度理論引申得來，本身無明確的物理意義。當(dāng) 0X為X 0X為X同樣當(dāng) 0Y為Y 0，1 t 1 c 2 t 2Y為Y。c用一個(gè)式子不能計(jì)算拉、壓不同的材料，顯然，當(dāng)拉、壓相同時(shí)可以。C、考慮了各應(yīng)力（各單軸強(qiáng)度）之間的相互影響，對前一個(gè)判據(jù)有所改進(jìn)。D、某些方面考慮不夠(如何更全面考慮“耦合”效應(yīng)，如何用一個(gè)表達(dá)式來描述拉、壓)§5-3 蔡-胡失效判據(jù)

fi

Fij i

Fi

1 （i,j）這是用指標(biāo)表示法的簡潔形式，把它展開后即為：F22F

F2F

22F

2F

F

F

F 111 1

12 1

22

66

16 1

26 2 6 1 1 2 2 6 6其中：F F16 61

F F26 62

（5-12）式中6

，F(xiàn)12

(F)是系數(shù)，由單軸試驗(yàn)或簡單的雙軸試驗(yàn)確定。i系數(shù)Fij

、F的確定i正軸剪切應(yīng)力6

的正負(fù)對板強(qiáng)度無影響即當(dāng)6

（5-1）式為：F22F

F2

22F

F

FF 111 1

12 1

22

66

16 1 6

26 2 6 1

2 2 6 6兩式相減得： 4F16 1 6

4F26 2

2F 6 6

（5-13）由于、1

、有任意多種組合，要滿足上式，只有：2 6F F16 26

F 06于是（5-12）式變?yōu)椋篎22F

F2F

2F

F

1 （5-14）11 1

12 1

22

66

1 1 2 2縱向拉伸和壓縮試驗(yàn)：拉伸載荷下， X， 0則（5-14）式變成：1 t 2 6F X211 t

FX 11 t在壓縮載荷下， X1 c

0。則：F X11 c

FX 11 c聯(lián)立求解上二式得：F 111 XXt c

F 1 11 X Xt c橫向拉伸和壓縮試驗(yàn)。分別取2

Y和 Yt 2

02 6則得： F22

1YY

F 112 Y Yt c t c面內(nèi)剪切試驗(yàn)。由于材料主向的剪切強(qiáng)度與剪應(yīng)力正負(fù)號無關(guān)，因此，在上面已得出了 的奇函數(shù)項(xiàng)系數(shù)為0，在（5-14）中只有一項(xiàng)，把 S代6 6入得：F12

的確定：

F 166 S2在（5-14）式中共有六個(gè)基本強(qiáng)度系數(shù)，五個(gè)可由基本強(qiáng)度破壞F12

與兩個(gè)應(yīng)力、1

有關(guān)，不能由材料的任2何單向?qū)嶒?yàn)來確定，必須采用雙軸向加載試驗(yàn)，可取 ，1 2 0 06而是 0條件下達(dá)到破壞時(shí)的極限應(yīng)力代5-1）0 1 2 6式，并考慮到以求得的系數(shù)得：1 1 1 1 1

1 F X

Y

X

Y

2 （5-15）000t12 2 0t

0c t c t

t c 普遍性。強(qiáng)度參數(shù)F12

的討論;試驗(yàn)測定F12

的困難性：雙軸試驗(yàn)較復(fù)雜，0

值不易精確測定，現(xiàn)在還缺少標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)方法來確定。F12

的取值范圍：考慮特殊情況：取6

0Xt

X，YYc t c則 F 11 Xt

1 0 FX 2c

110Y Yt c則（5-14）

22F

F21 （5-16）11 1

12 1

22 2從數(shù)學(xué)角度上分析式（5-16，這是一條平面上的二次曲線。判別式為：FF11 22

F212F，12

（i）并令iFF12 12

F F*FF11 22FFFF11 22FF11 22FF1 1

1F11F11FF2 2

2F22F22代入（5-16）式則可化為：2

2F

1 （5-17）1 12 1 2 212曲線判別式為：1F212可能表示三種曲線之一，即：由F的取值所決定。12從強(qiáng)度角度來說，這個(gè)曲線方程只能表示橢圓，也就是說，我們要把F的取值限制在橢圓情況內(nèi)，如圖所示。12于是只有1F12

0，即：11F112F近似值;12上面給出了取值范圍，實(shí)際取多大值有待進(jìn)一步研究。在缺少可靠的雙軸向試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，Tsai建議?。?12FF11 22F 12FF11 2212

F F∴12∴這是與各向同性材料中來賽斯（Mises）判據(jù)對照得來的。當(dāng) 0時(shí)，Mises準(zhǔn)則可化為：xy 2

2

1

2

1 21sss2 sss對各向同性材料，F(xiàn) 11

代入上式并注意到1 1

F111F1s

sF 2F2 2 22s則有：2

1 （5-18）1 2 1 2與式(5-17)2F12

1 即F12

1。2應(yīng)變空間中的失效判據(jù)關(guān)系，用應(yīng)變來代替，則用指標(biāo)表示時(shí)為：i ik Q (i,ki ik Q1 11 1

Q12

Q16 6代入（5-11）式得:FQQij ik if k

FQi ij

1 (i,j,k,f（5-19）G FQQkf ij ik if設(shè)： GFQ 于是有：

j iG kf k

ijG 1j j

(5-20)在單向板正軸向上，如同應(yīng)力空間式子一樣有：G G16 26

G 06故（5-19）展開為：G22G

G 2

2G

G

1 （5-21）11 1

12 1

22

66 6 1 1 2 2式中;

FQQ

FQ

FQ

FQQ11 11 11FQ2

11 12 112FQ

21 21 21 F Q2

22 21 2111 11

12 11

22 12G F Q222 22 22

2F12

Q Q22

FQ211 12G F12 11

QQ11

F (QQ12 11

Q212

)F22

QQ12 22G FQ266 66 66GFQ1 1 11

FQ2 12G FQ FQ

(5-22)2 1 12 2 22這樣使用單向板的主向應(yīng)變來判斷是否失效。偏軸下的失效判據(jù)在一般情況下，需將偏軸應(yīng)力轉(zhuǎn)換成正軸應(yīng)力，再代入相應(yīng)的失效判據(jù)進(jìn)行強(qiáng)度校核，但對于Tsai-Wu注意：這只是對Tsai-Wu判據(jù)才有此屬性，張量具有不變性。由于在正軸時(shí)有兩種表達(dá)形式：應(yīng)力空間，應(yīng)變空間。偏軸應(yīng)力空間表達(dá)式 x 1 y 2 xy 6則主向應(yīng)力為： m2 n2 m2n2 1 x y xy 1 2 6 n2 m2 2mn2 1 2 6 mn12 1

n2y

2

(m2n2)26代入Tsai-Wu應(yīng)力式5-1，展開歸并得：(m4F11

n4F22

2m2nF12

m2n2F 266 12(m2n2F11

m2n2F22

(m4n4)F12

m2n2F66

)1 2(n4F11

m4F22

2m2n2F12

m2n2F 266 2(4m2n2F11

4m2n2F22

8m2n2F12

(m2n2)F 266 62(2m3nF11

2mn3F22

2(mn3m3n)F12

(mn3m3n)F66

)1 62(2mn3F11

2m3nF22

2(m3nmn3)F12

(m3nmn3)F66

2 6(m2Fn2F (n2

m2F22mn(F

F 11 2 1

1 2

1 2 6令各系數(shù)為：F 、F11 12則上式可寫成：

、F 、F22

、F 、F16

、F、F、F。1 2 6F2

2F

F 2

22F

2F 11 1

12 1

22

66

16 1

26 2 6F1 1

F2

F 16 6那么這些系數(shù)可寫成矩陣形式：F m4 n

2m2n

m2n

F 11 11 n 22

2m2n

m2n2 F22F m2n

m2n2 m4n4 m2n2

（5-48）12 F 4m2n2 4m2n2 8m2n2 (m2n2)2 F 66 F

2m3n

2mn3 2(mn3m3n) mn3m3nF 16 12 F 2mn326

2m3n 2(m3nmn3) m3nmn3F 66F m2 n2 F 1

1

（5-49）2Fn22

m2

26F 2mn 2mnF26說明：a. 形式與正軸情況一樣，只是F16

0、F26

0、F6

0。Fij

~F之間的系數(shù)矩陣同柔量轉(zhuǎn)換矩陣（4-25）完全一樣ij所以這一轉(zhuǎn)換相當(dāng)于柔量轉(zhuǎn)換。增加了矩陣形式倍角函數(shù)轉(zhuǎn)換：那么（5-48）式也同樣可用倍角函數(shù)來表示。F (F) coscos I 11 1 F (F221F (F221

cos0

cos cosU(F)12 4

2

（5-50）F (F

0 4cos F0 66 5F0

sin2sin 3 16 3 F 026

sin

2sinU(F)F 1 cosP(F) 1

12 2F2

1 2cos2

（5-51） F 0 2sin6

q(F)12說明：式（5-50）中的U12

F) i)表達(dá)式與柔量轉(zhuǎn)換時(shí)用的Ui i相同，只是要求把P（4-27）中的Sij應(yīng)變空間表達(dá)式

換成F。ij同樣，可使用偏軸應(yīng)變代入應(yīng)變空間失效判據(jù)，這時(shí)Gij

~G的轉(zhuǎn)ij換同模量Qij

~Q轉(zhuǎn)換。ijG m4 n4 11 n4 22

2m2n2m2n

4m2n24m2n2

G G 11G 22G m2n2 m2n2 m4n4 4m2n2

（5-52） 12 G m2n2 m2n2 2m2n2 (m2n2)2 G 66 G

m3

mn3 mn3m3n 2(mn3m3

G 16 12G26

mn3

m3n m3nmn3

2(m3nmn3)G 66G m2 n2 G 1

1

（5-53）Gn2

m2 2

2G6 mn2

mnG同樣，也有倍角轉(zhuǎn)換形式：U(G)

cos

cosG 1 I 11 (G) coscos G 1

22G

U(G) 4

cos

U(G)

（5-54）12(G) 0 4cos 2 5G66 1 5G 0

sin2

sin

16

G 0 sin sinU(G)26 2 3當(dāng)然，U(G)與模量式轉(zhuǎn)換中的Ui

表達(dá)式相同，只是把Qij

換成Gij

即可。例題1：試用Tsai-Wu判據(jù)求解碳/環(huán)氧單層板材料在450偏軸下的拉、壓強(qiáng)度。解;

0 , 0F F 11 2 6 11 1 x xmcos450

nsin450222 222F m4F11 111

n4F22

2m2n2F12

m2n2F66 370.7210.23500.5)217.97(GP4 1

)2Fm2Fn2F (0.38726.17)12.89(GP)11 1 2 2 a212.9721 1

10代入解得：1 12.89

12.89212.8924212.97

0.04465) GP )

44.65MP1 2

a

a 105.2 a即材料在450偏軸下受載時(shí)：拉伸強(qiáng)度為44.65MPa

，壓縮強(qiáng)度為105.2MPa2試求由Tsai-Wu判據(jù)求出碳環(huán)氧材料在450強(qiáng)度。解： 0 01 2 6 判據(jù)為：F

2F2166 6 6 65-3F66

4m2n2F11

392.3(GPa

)2F 26.56(GP6 a

)1226.566 6

10解得：

0.09464

94.64 Gp6 0.02693 a 26.93 a即正剪切時(shí)強(qiáng)度為94.64MPa

，負(fù)剪切時(shí)強(qiáng)度為26.93MPa注：如何依據(jù)纖維方向，畫受力后單層板的變形圖