隨機(jī)變量及其分布論述課件

離散型隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量返回主目錄離散型隨機(jī)變量的概率分布

第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)§1隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布一．隨機(jī)變量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗(yàn)的樣本空間為§1隨機(jī)變量返回主目錄§1隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布一．隨機(jī)變量的概例

1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個(gè)變量．但是，X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量．X的取值情況可由下表給出：第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1例

1（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例1（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對應(yīng)著變量X的一個(gè)確定的取值，因此變量X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件．例如

表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量例

1（續(xù)）

表示取出2個(gè)黑球這一事件；返回主目錄由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對應(yīng)我們定義了隨機(jī)變隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是其樣本空間．我們稱樣本空間上的函數(shù)為一個(gè)隨機(jī)變量，如果對于任意的實(shí)數(shù)x，集合都是隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量ReS隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是其樣本空間．我們稱樣本說明第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄說明第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目例

2擲一顆骰子，令：X：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．則X就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．

表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過4這一隨機(jī)事件；

表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例2擲一顆骰子，令：表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過4這一隨機(jī)例

3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：

X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，2，…，6．

表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件；

表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．注意

Y的取值是可列無窮個(gè)！第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：表示通例

5觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)），令：

Z：該生物的壽命．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時(shí)這一隨機(jī)事件．表示該生物的壽命不超過1500小時(shí)這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量注意

Z的取值是不可列無窮個(gè)！返回主目錄例5觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)），令：表示該生物的壽命大例

6擲一枚硬幣，令：則X是一個(gè)隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量說明在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量．返回主目錄例6擲一枚硬幣，令：則X是一個(gè)隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量例

7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：等等．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示等等．第一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)第二章隨機(jī)變量及其分布§2第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為并設(shè)則稱上式或?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布律．返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的說明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):返回主目錄說明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃．第二章例

1從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令：X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄例1從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令：第二章例

2將1枚硬幣擲3次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例2將1枚硬幣擲3次，令：第二章隨機(jī)變量及其分例

3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

則第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則第二章隨機(jī)例

3（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例3（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回例

4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得第二第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨(dú)立的).P{X=3}=(1-p)3p可愛的家園例5第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量設(shè)一汽車在開第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或?qū)懗?/p>

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量解：以p表第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量以p=1二、一些常用的離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量1)Bernoulli分布如果隨機(jī)變量X的分布律為或則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄二、一些常用的離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布§2離Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點(diǎn)分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Bernoulli分布的概率背景進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)：令：X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者說：令返回主目錄Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點(diǎn)分布．第二章例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令

X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件第2）二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄2）二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)說明顯然，當(dāng)n=1時(shí)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄說明顯然，當(dāng)n=1時(shí)第二章隨機(jī)變量及其分布§二項(xiàng)分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中令X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄二項(xiàng)分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試分布律的驗(yàn)證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項(xiàng)式定理，可知所以是分布律．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄分布律的驗(yàn)證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項(xiàng)式定例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，則答5道例

7（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例7（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布的分布形態(tài)由此可知，二項(xiàng)分布的分布先是隨著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個(gè)使得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄二項(xiàng)分布的分布形態(tài)由此可知，二項(xiàng)分布的分布先是隨著k的增可以證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄可以證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主例8對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli試驗(yàn)．令：

則由題意第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例8對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命則由例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為第二章3）Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄3）Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為則分布律的驗(yàn)證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄分布律的驗(yàn)證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分例9設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X的分布律為由已知第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例9設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機(jī)變量及其分布例10第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例10第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目例10（續(xù)）解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例10（續(xù)）解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Poisson定理證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Poisson定理證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機(jī)變量及其分Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知第二章例11設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標(biāo)}

進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn).第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例11設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次例11（續(xù)）所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例11（續(xù)）所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300

臺，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于

0.01？

解：設(shè)需配備

N

人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，則X~b(300，0.01），需要確定最小的

N

的取值，使得：例12返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量為了保證設(shè)備正常查表可知，滿足上式的最小的

N是8,因此至少需配備8個(gè)工人。第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄查表可知，滿足上式的最小的N是8,因此至少需配備設(shè)有80臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法：其一，由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺其二，由3人,共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量例13返回主目錄設(shè)有80臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的

解：按第一種方法.

以X記“第1人負(fù)責(zé)的20臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則X~b(20，0.01）.以Ai

表示事件“第i人負(fù)責(zé)的臺中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”，則80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量例13(續(xù))返回主目錄解：按第一種方法.以X記“第1人負(fù)責(zé)的20

按第二種方法.

以

Y記

80臺中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺數(shù)，則Y~b(80，0.01）.

故

80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量例13(續(xù))

第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小，且維修工人減少一人。運(yùn)用概率論討論國民經(jīng)濟(jì)問題，可以有效地使用人力、物力資源。返回主目錄按第二種方法.以Y記80臺中同一時(shí)刻發(fā)生4）幾何分布若隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄4）幾何分布若隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變分布律的驗(yàn)證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是一分布律．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄分布律的驗(yàn)證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到A首次出現(xiàn)為止．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量即返回主目錄幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到A例

14對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率為0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時(shí)為止，令：

X：所需射擊次數(shù)．試求隨機(jī)變量X的分布律，并求至少進(jìn)行2次射擊才能擊中目標(biāo)的概率．解：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量例14對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率第二章隨例

14（續(xù)）由獨(dú)立性，得X的分布律為：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例14（續(xù)）由獨(dú)立性，得X的分布律為：第二章隨機(jī)變5）超幾何分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄5）超幾何分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，其余N-M件為正品．現(xiàn)從中取出n件．令：X：取出n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的分布律為§2離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，1.概念

定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x

是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為

X

的分布函數(shù)．對于任意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄1.概念定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x例1

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為：求

X的分布函數(shù).Xpk

-123解：當(dāng)

x<-1

時(shí)，滿足0２xX３-1x2.例子§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：求X的分當(dāng)滿足Xx的X取值為X=-1,

２xX３-1x當(dāng)滿足Xx的X取值為X=-1,或

2

Xpk

-123§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄當(dāng)滿足Xx的X取值為X=-1,２xX３-1x同理當(dāng)-10123

x1§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄同理當(dāng)-10123-10123

x1§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)-10123-1

0123

x1

分布函數(shù)F(x)

在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.Xpk

-123§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄-10123

例2

一個(gè)靶子是半徑為2

米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.

試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：（1）若

x<0,則是不可能事件，于是（2）X§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)例2一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶（3）若

,則是必然事件，于是§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄（3）若,則01231F(x)x§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄01231F(3.

分布函數(shù)的性質(zhì)

分別觀察離散型、連續(xù)型分布函數(shù)的圖象，可以看出，分布函數(shù)

F(x)具有以下基本性質(zhì)：10F(x)是一個(gè)不減的函數(shù)．

0

1231F(x)x§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄3.分布函數(shù)的性質(zhì)分別觀察離散型、2030-10123

x1§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄2030-1012用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率§3隨機(jī)變量的分布函例3§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例3§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例3（續(xù)）§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例3（續(xù)）§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解：由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為解：§3隨機(jī)變例4（續(xù)）解方程組得解§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返回主目錄例4（續(xù)）解方程組得解§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)返§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

概率密度及其性質(zhì)

指數(shù)分布

均勻分布

正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度概率密度及其性質(zhì)

返回主一.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度定義如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)， 存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X

為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X

的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量X由其密度函數(shù)唯一確定．返回主目錄一.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

由定義知道，概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：f(x)0x1返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度由定義知道，概率密度ff(x)x0§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄f(x)x0§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄注意

連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是，密度函數(shù)不是概率！§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特點(diǎn)返回主目錄注意連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度證明：

所以有返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度證明：所以有返回主目錄說明⑴．由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄說明⑴．由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我§4例1設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解：⑴．由密度函數(shù)的性質(zhì)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例1設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解：§4連例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例1（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例2某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量．求5個(gè)同類型的元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)恰有2個(gè)需要更換的概率.解：設(shè)：A={某元件在使用的前150小時(shí)內(nèi)需要更換}§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例2某電子元件的壽命（單位：小時(shí)）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨例2（續(xù)）檢驗(yàn)5個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5重Bernoulli試驗(yàn)．

B={5個(gè)元件中恰有2個(gè)的使用壽命不超過150小時(shí)}§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例2（續(xù)）檢驗(yàn)5個(gè)元件的使用壽命可以看作是在做一個(gè)5§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例3返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例3返回主目錄例4§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例4（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄二.一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度1．均勻分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為記作X~U[a,b]返回主目錄二.一些常用的連續(xù)型隨機(jī)變量§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密密度函數(shù)的驗(yàn)證§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄說明⑴．類似地，我們可以定義§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄說明⑴．類似地，我們可以定義§4連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布的概率背景§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度XXabxll0返回主目錄均勻分布的概率背景§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度XXab均勻分布的分布函數(shù)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度abxF(x)01返回主目錄均勻分布的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度abxF例5

設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量．試求該乘客候車時(shí)間不超過5分鐘的概率．解：設(shè)該乘客于7時(shí)X分到達(dá)此站．§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例5設(shè)公共汽車站從上午7時(shí)起每隔15分鐘來一班車,例5（續(xù)）令：B={候車時(shí)間不超過5分鐘}§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例5（續(xù)）令：B={候車時(shí)間不超過5分鐘}§4連例6§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例6§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例6（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例6（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄2．指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄2．指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為§4連密度函數(shù)的驗(yàn)證§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目例7§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例7§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例7（續(xù)）令：B={等待時(shí)間為10~20分鐘}§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例7（續(xù)）令：B={等待時(shí)間為10~20分鐘}§43．正態(tài)分布§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度xf(x)03．正態(tài)分布§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度xf(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄密度函數(shù)的驗(yàn)證(續(xù))§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度xf(x)0正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度xf(x)0返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：⑴．正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布．§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度⑵．正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的．⑶．正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．返回主目錄正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度x0x-x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度x一般正態(tài)分布的計(jì)算§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一般正態(tài)分布的計(jì)算§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一般正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄一般正態(tài)分布的計(jì)算（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返例8§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例8§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例9§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例9§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度例9續(xù)返回主目錄例10§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例10§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例10（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄例10（續(xù)）§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度0§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度0§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度4.-分布.返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度4.-分布.返回主目錄Γ-函數(shù)§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄Γ-函數(shù)§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度返回主目錄§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度說明：§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度說明：§4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度說明：返回主目錄§4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度說明：返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

離散型

連續(xù)型

定理及其應(yīng)用返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型

返回主目錄隨機(jī)變量的函數(shù)§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄隨機(jī)變量的函數(shù)§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回第一種情形§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄第一種情形§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄第二種情形§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄第二種情形§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄

設(shè)隨機(jī)變量

X

具有以下的分布律，試求

Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y有可能取的值為0，1，4.

且Y=0對應(yīng)于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例2返回主目錄設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律，試求pkX-1同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律為：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例2（續(xù)）返回主目錄同理,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0例3§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例3§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例3（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例3（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布解題思路二.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：試求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函數(shù)

FY(y)：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4返回主目錄設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度：試求Y=2X+8的概率密§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）返回主目錄

整理得Y=2X+8

的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導(dǎo)公式§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）整理得Y=2X+8的概率密度為：本例用到變限的定積分設(shè)隨機(jī)變量

X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函數(shù)

FY(y)：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例5返回主目錄設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例5（續(xù)）返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例5（續(xù)）返回主目錄例如,設(shè)X~N(0,1),其概率密度為：則

Y=X2

的概率密度為：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例如,設(shè)X~N(0,1),其概率密度為：則Y=X2例6§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄

定理

設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度則Y=g(X)

是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量Y，其概率密度為其中h(y)是g(x)的反函數(shù)，即§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度則Y=g(X)是§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

定理（續(xù)）返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理（續(xù)）返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布補(bǔ)充定理：若g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布補(bǔ)充定理：上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其例7§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例7（續(xù)）§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄證

X的概率密度為：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例8返回主目錄證X的概率密度為：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例8由定理的結(jié)論得：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例8(續(xù))返回主目錄由定理的結(jié)論得：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例8(續(xù))例9均勻分布，試求電壓V的概率密度.解：§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄例9均勻分布，試求電壓V的概率密度.解：§5隨機(jī)變§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布返回主目錄

1引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件。

2給出了分布函數(shù)的定義及性質(zhì)，要會利用分布函數(shù)示事件的概率。

3給出了離散型隨機(jī)變量及其分布率的定義、性質(zhì)，要會求離散型隨機(jī)變量的分布率及分布函數(shù)，掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布。

4給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)，要掌握概率密度與分布函數(shù)之間關(guān)系及其運(yùn)算，掌握常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布：均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。

5會求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。第二章小結(jié)返回主目錄作業(yè)：1引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會用隨機(jī)變量表第二章離散型隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量的分布函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第二章隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量返回主目錄離散型隨機(jī)變量的概率分布

第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)§1隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布一．隨機(jī)變量的概念例

1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗(yàn)的樣本空間為§1隨機(jī)變量返回主目錄§1隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布一．隨機(jī)變量的概例

1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個(gè)變量．但是，X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量．X的取值情況可由下表給出：第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1例

1（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例1（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對應(yīng)著變量X的一個(gè)確定的取值，因此變量X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件．例如

表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量例

1（續(xù)）

表示取出2個(gè)黑球這一事件；返回主目錄由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對應(yīng)我們定義了隨機(jī)變隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是其樣本空間．我們稱樣本空間上的函數(shù)為一個(gè)隨機(jī)變量，如果對于任意的實(shí)數(shù)x，集合都是隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量ReS隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是其樣本空間．我們稱樣本說明第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄說明第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目例

2擲一顆骰子，令：X：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．則X就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為1，2，3，4，5，6．

表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過4這一隨機(jī)事件；

表示擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例2擲一顆骰子，令：表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過4這一隨機(jī)例

3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：

X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，2，…，6．

表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件；

表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正例

4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：

Y：該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件．注意

Y的取值是可列無窮個(gè)！第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例4上午8:00～9:00在某路口觀察，令：表示通例

5觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)），令：

Z：該生物的壽命．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時(shí)這一隨機(jī)事件．表示該生物的壽命不超過1500小時(shí)這一隨機(jī)事件．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量注意

Z的取值是不可列無窮個(gè)！返回主目錄例5觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)），令：表示該生物的壽命大例

6擲一枚硬幣，令：則X是一個(gè)隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量說明在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量．返回主目錄例6擲一枚硬幣，令：則X是一個(gè)隨機(jī)變量．第二章隨機(jī)變量例

7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義：等等．第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量返回主目錄例7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機(jī)變量X表示等等．第一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的定義如果隨機(jī)變量X的取值是有限個(gè)或可列無窮個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄一.離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)第二章隨機(jī)變量及其分布§2第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為并設(shè)則稱上式或?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布律．返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的說明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機(jī)變量可完全由其的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì):返回主目錄說明離散型隨機(jī)變量可完全由其分布律來刻劃．第二章例

1從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令：X：取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄例1從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，令：第二章例

2將1枚硬幣擲3次，令：X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例2將1枚硬幣擲3次，令：第二章隨機(jī)變量及其分例

3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

則第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則第二章隨機(jī)例

3（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例3（續(xù)）第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回例

4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解：由隨機(jī)變量的性質(zhì)，得第二第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X

的分布律.(信號燈的工作是相互獨(dú)立的).P{X=3}=(1-p)3p可愛的家園例5第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量設(shè)一汽車在開第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X

的分布律為：Xpk

01234p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或?qū)懗?/p>

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量解：以p表第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量以p=1二、一些常用的離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量1)Bernoulli分布如果隨機(jī)變量X的分布律為或則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄二、一些常用的離散型隨機(jī)變量第二章隨機(jī)變量及其分布§2離Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點(diǎn)分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Bernoulli分布的概率背景進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)：令：X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．或者說：令返回主目錄Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點(diǎn)分布．第二章例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令

X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件第2）二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄2）二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X的分布律為第二章隨機(jī)說明顯然，當(dāng)n=1時(shí)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄說明顯然，當(dāng)n=1時(shí)第二章隨機(jī)變量及其分布§二項(xiàng)分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中令X：在這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄二項(xiàng)分布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試分布律的驗(yàn)證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項(xiàng)式定理，可知所以是分布律．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄分布律的驗(yàn)證⑴．由于以及n為自然數(shù)，可知⑵．又由二項(xiàng)式定例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn)．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例7一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，則答5道例

7（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例7（續(xù)）所以第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量二項(xiàng)分布的分布形態(tài)由此可知，二項(xiàng)分布的分布先是隨著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個(gè)使得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄二項(xiàng)分布的分布形態(tài)由此可知，二項(xiàng)分布的分布先是隨著k的增可以證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄可以證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主例8對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli試驗(yàn)．令：

則由題意第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例8對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命則由例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例8（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為第二章3）Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄3）Poisson分布如果隨機(jī)變量X的分布律為則分布律的驗(yàn)證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄分布律的驗(yàn)證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù)，某一時(shí)間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分例9設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機(jī)變量X的分布律為由已知第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例9設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例9（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機(jī)變量及其分布例10第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例10第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目例10（續(xù)）解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Bayes公式，得第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例10（續(xù)）解：設(shè)B={此人在一年中得3次感冒}則由Poisson定理證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量Poisson定理證明：第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，有第二章隨Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))所以，第二章隨機(jī)變量及其分Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知第二章例11設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標(biāo)}

進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn).第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例11設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次例11（續(xù)）所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量返回主目錄例11（續(xù)）所以，第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)第二章隨機(jī)變量及其分布§2離散型隨機(jī)變量為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備300

臺，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備的故障可有一人來處理.問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于

0.01？

解：設(shè)需配備

N

人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺數(shù)為X，則X~b(300，0.0