MXT-高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)疑點(diǎn)難點(diǎn)講解-2

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)疑點(diǎn)難點(diǎn)講解【考點(diǎn)審查】1、掌握三角函數(shù)看法，其中以三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)為重點(diǎn)。（理科：兼顧反三角）2、提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，重點(diǎn)是熟悉引誘公式、同角關(guān)系、和差角公式及倍角公式等，掌握常有的變形方法。3、解決三角函數(shù)中的求值問題，重點(diǎn)是掌握未知與已知之間的聯(lián)系。4、熟練運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)，需關(guān)注復(fù)合問題，在問題轉(zhuǎn)變過程中，進(jìn)一步重視三角恒等變形。5、掌握yAsin(x)等的圖象及性質(zhì)，深刻理解圖象變換之原理。6、解決與三角函數(shù)有關(guān)的（常有的）最值問題。7、正確辦理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題，主若是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理，提高邊角、角角轉(zhuǎn)變意識(shí)。8、提高綜合運(yùn)用的能力，如對(duì)實(shí)責(zé)問題的解決以及與其他章節(jié)內(nèi)容的整合辦理?！疽呻y點(diǎn)拔】一、看法不清例1．若、為第三象限角，且，則（）（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D）以上都不對(duì)錯(cuò)解選（A）解析：角的看法不清，誤將象限角看作近似(,3)區(qū)間角。如取27,4263選（D）。二、以偏概全

，可知（A）不對(duì)。用消除法，可知應(yīng)例2．已知sinm，求cos的值及相應(yīng)的取值范圍。錯(cuò)解當(dāng)是第一、四象限時(shí)，cos1m2，當(dāng)是第二、三象限時(shí)，cos1m2。解析：把限制為象限角時(shí)，只考慮|m|1且m0的情況，遺漏了界線角。應(yīng)增補(bǔ)：當(dāng)|m|1時(shí)，k(kZ),cos0；當(dāng)m0時(shí)，k(kZ),cos1，或cos1。2三、忽略隱含條件例3．若sinxcosx10，求x的取值范圍。錯(cuò)解移項(xiàng)得sinxcosx，兩邊平方得sin2x0,那么2k2x2k(kZ)1即kxk(kZ)2解析：忽略了滿足不等式的x在第一象限，上述解法引進(jìn)了sinxcosx1。正解：sinxcosx1即2sin(x)1，由sin(x)22得442k4x2k3(kZ)∴2kx2k(kZ)442四、忽略角的范圍，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．設(shè)、為銳角，且+120，談?wù)摵瘮?shù)ycos2cos2的最值。錯(cuò)解y11(cos2cos2)1cos()cos()11cos()22可見，當(dāng)cos()1時(shí)，ymax3)1時(shí)，ymin1；當(dāng)cos(。22解析：由已知得30,90，∴6060，則1cos()12∴當(dāng)cos()1，即60時(shí)，ymin1，最大值不存在。2五、忽略應(yīng)用均值不等式的條件例5．求函數(shù)ya2b2(ab0,0x)的最小值。cos2xsin2x2錯(cuò)解ya2b2(1)2ab4ab(2)4ab(0sin2x1)cos2xsin2xsinxcosxsin2x∴當(dāng)sin2x1時(shí)，ymin4ab解析：在已知條件下，（1）、（2）兩處不能夠同時(shí)取等號(hào)。正解：ya2(1tan2x)b2(1cot2x)a2b2(a2tan2xb2cot2x)a2b22ab(ab)2當(dāng)且僅當(dāng)atanxbcotx，即tanxb，時(shí)，ymin(ab)2a專題四：三角函數(shù)【經(jīng)典題例】例1：點(diǎn)P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)2弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（）3（A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3)（D）(3,1)22222222[思路解析]記POQ，由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足xrcos,yrsin，應(yīng)選（A）[簡(jiǎn)要談?wù)揮三角函數(shù)定義是三角函數(shù)理論的基礎(chǔ)，理解掌握能起到事半功倍的收效。例2：求函數(shù)sin4xcos4xsin2xcos2xf(x)2的最小正周期、最大值和最小值.sin2x[思路解析]f(x)1sin2xcos2x1(1sinxcosx)1sin2x12(1sinxcosx)242因此函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是3，最小值是1.44[簡(jiǎn)要談?wù)揮三角恒等變形是歷年高考察看的主要內(nèi)容，變形能力的提高取決于必然量的訓(xùn)練以及方法的積累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。其他，求函數(shù)的周期、最值是察看的熱點(diǎn)，變形化簡(jiǎn)是必經(jīng)之路。例3：已知sin(2)sin(2)1,(,)，求2sin244442tancot1的值.[思路解析]∵sin(42)sin(42)sin(2)cos(42)41sin(4)1cos4,∴得cos41.又(,),因此5.22224212于是2sin2tancot1cos2sin2cos2cos22cos2sincossin2(cos22cot2)(cos52cot5)(323)53.6622[簡(jiǎn)要談?wù)揮此類求值問題的種類是：已知三角方程，求某三角代數(shù)式的值。一般來說先解三角方程，得角的值或角的某個(gè)三角函數(shù)值。如何使解題過程化繁為簡(jiǎn)，變形依舊顯得重要，此題中巧用引誘公式、二倍角公式，還用到了常用的變形方法，即“化正余切為正余弦”。例4：已知b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2bxc對(duì)任意α、βR有：f(sin)0,且f(2cos)0,（1）求f（1）的值；（2）證明：c3；（3）設(shè)f(sin)的最大值為10，求f（x）。[思路解析]（1）令α=，得f(1)0,令β=，得f(1)0,因此f(1)0,；2（2）證明：由已知，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0,當(dāng)1x3時(shí)，f(x)0,經(jīng)過數(shù)形結(jié)合的方法可得：f(3)0,化簡(jiǎn)得c3；（3）由上述可知，[-1，1]是f(x)的減區(qū)間，那么f(1)10,又f(1)0,聯(lián)立方程組可得b5,c4,因此f(x)x25x4[簡(jiǎn)要談?wù)揮三角復(fù)合問題是綜合運(yùn)用知識(shí)的一個(gè)方面，復(fù)合函數(shù)問題的認(rèn)識(shí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這一方面的學(xué)習(xí)有利于提高綜合運(yùn)用的能力。例5：關(guān)于正弦曲線回答下述問題：（1）函數(shù)ylog1sin(3x)的單調(diào)遞加區(qū)間是[8k2x8k4]kZ；2433（2）若函數(shù)ysin2xacos2x的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則a的值是1；8（3）把函數(shù)ysin(3x)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），則所得48的函數(shù)解析式子是；（4）若函數(shù)yAsin(x)B(A0,0,||)的最大值是22，最小值是22，圖象經(jīng)過，最小正周期是23點(diǎn)（0，-2），則函數(shù)的解析式子是；4[思路解析]略[簡(jiǎn)要談?wù)揮正弦曲線問題是三角函數(shù)性質(zhì)、圖象問題中的重點(diǎn)內(nèi)容，必定熟練掌握。上述問題的解答能夠依照正弦曲線的“五點(diǎn)畫法”在稿本紙上作出函數(shù)的草圖來考據(jù)答案或獲取答案。例6：函數(shù)f(x)

sin2x1sinxcosx（1）求f(x)的定義域；（2）求f(x)的最大值及對(duì)應(yīng)的x值。[思路解析]（1）{x|x2k且x2kkZ}2(2)設(shè)t=sinx+cosx,則y=t-1ymax21,x2k4kZ[簡(jiǎn)要談?wù)揮若f(x)關(guān)于sinxcosx與sinx?cosx的表達(dá)式，求函數(shù)的最值常經(jīng)過換元法，如令tsinxcosx，使問題得到簡(jiǎn)化。例7：在ABC中，已知sinAcos2CsinCcos2A3sinB（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；（2）求角B的取值范圍。222[思路解析]（1）條件等式降次化簡(jiǎn)得sinAsinC2sinBac2ba2c2(ac)2221,（2）cosB23(ac)2ac6ac2ac2ac8ac8ac2∴，得B的取值范圍(0,]3[簡(jiǎn)要談?wù)揮三角形中的變換問題，除了需要運(yùn)用三角式變換的所有方法、技巧外，還經(jīng)常需要考慮對(duì)條件或結(jié)論中的“邊”與“角”運(yùn)用“正弦定理、余弦定理或面積公式”進(jìn)行互換。例8：水渠橫斷面為等腰梯形，以下列圖，渠道深為h，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)BA到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時(shí)下底角α應(yīng)該是多少？DC[思路解析]CD=Shcot,C=Sh(2cot),轉(zhuǎn)變成考慮y=2cos的最小值，可適合時(shí)，y最小，即Chhsinsin3最小。[簡(jiǎn)要談?wù)揮“學(xué)以致用”是學(xué)習(xí)的目的之一，三角知識(shí)的應(yīng)用很廣泛，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)碰到重視。【熱身沖刺】一、選擇題：10a10，則滿足sina=0.5的角a的個(gè)數(shù)是（C）．若（A）2（B）3（C）4（D）52．為了獲取函數(shù)ysin(2x)的圖象，能夠?qū)⒑瘮?shù)ycos2x的圖象（）6（A）向右平移個(gè)單位長度（B）向右平移個(gè)單位長度63（C）向左平移個(gè)單位長度（D）向左平移個(gè)單位長度63f(3)0；（3）f(3)f(3)0；3．已知函數(shù)f(x)sinx,，則下面三個(gè)命題中：（1）f(1)f( )0；（2）f(2)444其中正確的命題共有（）（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)4．若f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x2sinx，則當(dāng)xR時(shí)，f(x)為( )（A）2sinx（）2（）（）xsinx|x|xsinxBCD|x|xsinx5．函數(shù)f(x)3cos(3x)sin(3x)是奇函數(shù)，則等于（）（A）k（B）k6（C）k3（D）k36．若是圓x2y2k2最少覆蓋函數(shù)f(x)3sinx的一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則k的取值范圍是（）k（A）|k|3（B）|k|2（C）|k|1（D）1|k|27．若x∈[5,]，則y＝tan(x2)tan(x)cos(x)123366的最大值是（）（A）122（B）112（C）113（D）12356658．．函數(shù)ysin2x2cosx在區(qū)間[2,a]上的最小值為-1，則a的取值為（）34（A）[2,)（B）[0，2]（C）[2,2]（D）(2,4]31(a2333339．若△ABC面積S=b2c2)則∠C=（）4（A）2（B）（C）4（D）3610．已知向量a(2cos,2sin),(,),b(0,1),則a與b的夾角為（）2（A）3（B）2（C）2（D）2二、填空題：11．若f(x)是以5為周期的奇函數(shù)，f(3)=4,且cos1，則f(4cos2)=-4.212．函數(shù)y=lg(sinxcosx)的增區(qū)間是(k,k]kZ413．用[x]表示不高出實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)。則[sin10][sin20][sin30][sin2000]=-81。14．設(shè)xcossin，且sin3cos30，則x的取值范圍是(0,2]；三、解答題：15．（文）求函數(shù)y22sinxlg(3tanx3)的定義域。答案：kkk7k3)kZ(2,2](26,2264（理）二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，對(duì)任何xR，都有f(x3)）=f(1x)，設(shè)M=f[arcsin(sin4)]，N=f[arcos(cos4)]，談?wù)揗和N的大小。答案：M>N16．在銳角三角形ABC中，sin(AB)3,sin(AB)1.55（Ⅰ）求證tanA2tanB；（Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.sinAcosBcosAsinB3sinAcosB2,,5略解（Ⅰ）證明：5tanA2.1.1tanBsinAcosBcosAsinBcosAsinB55因此tanA2tanB.（Ⅱ）解：AB2即tanAtanB1tanAtanB

，sin(AB)3,因此tan(AB)3,543，將tanA2tanB代入上式并整理后解得426tanA2tanB26.tanB，舍去負(fù)值，∴2設(shè)AB邊上的高為CD.由AB=AD+DB=CDCD2CD得CD=2+6.tanAtanB2617．已知y2sin?cossincos，xsincos，其中0.，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值。答案：yx2x1；ymax5;ymin1;418．在銳角ABC中，已知A<B<C,且B=60，又(1cos2A)(1cos2C)31，求證：a2b2c2略證：由已知得cosAcosC31,又cos(AC)1，進(jìn)一步可求出cos(C3，得42A)2A45,B60,C75，∴a2b2R(sin452sin60)4R?624Rsin752c419．（1）已知x(0,)，證明不存在實(shí)數(shù)m(0,1)能使等式cosx+msinx=m(*)成立；2（2）試擴(kuò)大x的取值范圍，使關(guān)于實(shí)數(shù)m(0,1)，等式(*)能成立；（3）在擴(kuò)大后的x取值范圍內(nèi)，若取m3成立的x值。,求出使等式(*)3提示：（1）可化為mtan(x)1（2）x(,)（3）x2422620．設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x