數(shù)學(xué)錯(cuò)題課件

一、數(shù)與式的常見錯(cuò)誤例1、概念混淆不清的錯(cuò)例：（1）倒數(shù)與相反數(shù)：的倒數(shù)是3；的相反數(shù)是（2）算術(shù)平方根與平方根：；25的平方根是5（3）無限循環(huán)小數(shù)和無理數(shù)：是無理數(shù)；（4）完全平方公式與平方差公式：(2a-3b)2=4a2-9b2（5）冪的運(yùn)算：（6）開平方運(yùn)算（7）絕對值運(yùn)算（8）負(fù)指數(shù)運(yùn)算例2、運(yùn)算對象不明確的錯(cuò)例：錯(cuò)誤原因是運(yùn)算順序、運(yùn)算對象不明確，也沒理解“整體”的思想。例如第（1）題，分式的減法，減去的對象應(yīng)該是m+3這個(gè)整體，但是原來的分子沒有括號(hào)，所以學(xué)生容易做錯(cuò)，為了解釋加括號(hào)的原因，我在黑板上寫=m+1÷3+n這個(gè)式子，問學(xué)生寫得對不對，結(jié)果有90%的學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子是錯(cuò)誤的，有60%的學(xué)生回答要把原來的分子和分母分別加上括號(hào)才對，舉例是最好的論證。例3、運(yùn)算法則不明確的錯(cuò)例：（1）解不等式：-2x>4(4)2x>-4x>-2x<-2

錯(cuò)誤原因是不知道什么情況下需要改變不等號(hào)的方向，教學(xué)中要學(xué)生明確不等式兩邊同除或同乘的是個(gè)什么數(shù)？并不是一看到負(fù)號(hào)就要改變不等號(hào)的方向。

錯(cuò)誤原因是不知道約分的法則，在教學(xué)中可以使用商乘以除數(shù)等于被除數(shù)來檢查計(jì)算是否正確，這樣容易說明這種做法的錯(cuò)誤。例2、試證明關(guān)于x的一元二次方程必有實(shí)數(shù)根．錯(cuò)解∵一元二次方程必有實(shí)數(shù)根∴△≥0∴∴

錯(cuò)誤原因是條件和結(jié)論分不清，用結(jié)論來證明結(jié)論，思維混亂。例3（改編自2012包頭）關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+5（m-5）=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且2x1+x2=7，求m的值.錯(cuò)解：根據(jù)題意得x1+x2=m，x1?x2=5（m-5），∵2x1+x2=7，

∴m+x1=7，即x1=7-m，

∴x2=2m-7，把x1，x2

代入x1?x2=5（m-5），∴（7-m）（2m-7）=5（m-5），

整理得m2-8m+12=0，

（m-2）（m-6）=0，

解得m1=2，m2=6，錯(cuò)誤原因是審題不認(rèn)真，沒考慮x1，x2都是正數(shù)這個(gè)條件，即x1+x2=m＞0，x1?x2=5（m-5）＞0，則m＞5，所以符合m＞5這個(gè)條件的只有m=6一個(gè)答案。

甲的解法錯(cuò)在第2步，等號(hào)右邊的“1”漏乘（x-2），乙的解法錯(cuò)在第1步，右邊的分母2-x應(yīng)該化為-（x-2）。這兩位同學(xué)的解法都忘記驗(yàn)根。以上三個(gè)錯(cuò)誤是解分式方程的典型錯(cuò)誤，教學(xué)中一定要強(qiáng)調(diào)去分母時(shí)方程兩邊的每一項(xiàng)（特別是整數(shù)）都要乘最簡公分母，去分母后原來的分子如果是多項(xiàng)式最好加上括號(hào)再做其他運(yùn)算，最后切記檢驗(yàn)這一步。例5（改編自2012年珠海）某商店第一次用4000元購進(jìn)某款書包，很快賣完，第二次又用3000元購進(jìn)該款書包，但這次每個(gè)書包的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的1.2倍，數(shù)量比第一次少了30個(gè)．

（1）求第一次每個(gè)書包的進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）若這兩次購進(jìn)的書包按同一價(jià)格銷售完畢后總獲利不少于2100元，問每個(gè)書包的銷售價(jià)至少多少元？錯(cuò)解：（1）設(shè)第一次每個(gè)書包進(jìn)價(jià)為x，根據(jù)題意列方程得，

解得x=50（2）兩次共買得書包總數(shù)=設(shè)每個(gè)書包售價(jià)為y，可列得

三、函數(shù)的常見錯(cuò)誤例1(2013廣州改編）使函數(shù)有意義的x的取值范圍是（D）

A．x≥0B.x≠2C．x≥0且x≠2D．x>2

錯(cuò)誤原因是認(rèn)為分母不等于零就必須大于零，而沒考慮分母也可以小于零。

例2、點(diǎn)P（-3，4）到x軸、y軸的距離分別是（B）

A．-3，4B．3，4C．4，-3D．4，3

錯(cuò)誤原因是沒有用數(shù)形結(jié)合的方法去考慮問題，可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫出直角坐標(biāo)系找到點(diǎn)P的位置就能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到x軸的距離等于縱坐標(biāo)的絕對值，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標(biāo)的絕對值這個(gè)規(guī)律。例4、某電信局規(guī)定了家庭寬帶上網(wǎng)的兩種收費(fèi)方式，

A方式：0.05元/分鐘；B方式：54元/月，另加通信費(fèi)0.02元/分鐘．（1）設(shè)某用戶某月上網(wǎng)的時(shí)間為x小時(shí)，兩種方式的費(fèi)用分別為y1（元）、y2（元），寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象；（3）請你幫該用戶選擇哪種方式上網(wǎng)更省錢？

錯(cuò)解:（1）A種方式收費(fèi)為y1=0.05x；

B種方式收費(fèi)為y2=54+0.02x；（2）畫圖如右（3）選擇y2比y1更省錢。例5、把二次函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位,所得到的圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是(A)A.B.

D.

錯(cuò)誤原因是沒有理解函數(shù)平移的變化規(guī)律，只是死記硬背口訣：左加右減、上加下減；當(dāng)題目先說上下平移再說左右平移時(shí)學(xué)生就不會(huì)變通了，在教學(xué)中要通過作圖發(fā)現(xiàn)左右平移是橫坐標(biāo)x發(fā)生變化，上下平移是縱坐標(biāo)y發(fā)生變化，所以可以總結(jié)得再詳細(xì)一點(diǎn):括號(hào)內(nèi)左加右減，括號(hào)外上加下減。例6、把二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的函數(shù)關(guān)系式是。

錯(cuò)誤原因是沒有把原來的函數(shù)配成頂點(diǎn)式就直接寫答案。

例7、（2013廣東）已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1．

（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請說明理由。錯(cuò)解：（1）把點(diǎn)O（0，0）代入二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1，得出：m2-1=0，

解得m1=1，m2=-1（不符題意，舍去）

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x

（2）∵二次函數(shù)y=x2-2x=（x-1）2-1，

∴拋物線的頂點(diǎn)為：D（1，-1），

當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；（3）作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C＇

，連接C＇Ｄ交x軸于點(diǎn)P，如圖1所示。P四、圖形轉(zhuǎn)化的常見錯(cuò)誤和解題技巧

例1、（2013廣東）如題，將一張直角三角板紙片ABC沿中位線DE剪開后,在平面上將△BDE繞著CB的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)E到了點(diǎn)E′位置,則四邊形ACE′E的形狀是___菱形__.

錯(cuò)誤原因是憑直觀感覺猜測的，不會(huì)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)DE=DE′=AC，從而EE′=AC，又AC∥EE′，所以四邊形ACE′E的形狀是平行四邊形。

例2、如圖，在長為32米，寬為20米的矩形耕地上，修筑同樣寬度的三條小道，把耕地分成大小等的六塊作實(shí)驗(yàn)田，要使實(shí)驗(yàn)田的面積為480米2,設(shè)小道的寬度為X，則可列方程為32x+20·2x=32×20-480。

此題是圖形轉(zhuǎn)化的常見題型，一般有兩種做法，部分學(xué)生喜歡用三條小道的面積來列方程，由于忘記減掉兩個(gè)重疊的正方形面積，所以這個(gè)方程是錯(cuò)誤的；另一種解法是把三條小道分別移到最左邊和最上邊得到右圖，這樣就把六塊實(shí)驗(yàn)田合成一個(gè)大矩形，可列得方程：（32—2x）(20—x)=480例3（改編自課本）如圖3，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，上底長為80m，下底長為100m，上下底相距80m，在兩腰中點(diǎn)連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，甬道面積是梯形面積的六分之一，甬道的寬應(yīng)是多少米？

此題通過割補(bǔ)法把等腰梯形轉(zhuǎn)化成等面積的矩形如圖4就跟例2一樣了！

欣賞一些求陰影部分面積的題目，解題的技巧是靈活地運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)和平移，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成常規(guī)圖形：

例5、兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1，則陰影部分面積為

。

分析：因?yàn)閳A是中心對稱圖形，用直徑把圓分成對稱的兩部分，把AB右邊的陰影部分繞著圓心旋轉(zhuǎn)180°就會(huì)轉(zhuǎn)到AB左邊的空白部分，剛好構(gòu)成半個(gè)圓環(huán)的面積．BA例6、將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′，使A、B、C′在同一直線上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，則圖中陰影部分面積為

。

分析：由圖可知把左邊的紅色陰影部分繞著圓心B旋轉(zhuǎn)120°就會(huì)轉(zhuǎn)到右邊的紅色陰影部分，剛好構(gòu)成三分之一的圓環(huán)面積。例8（2013?佛山）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；（3）把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．

分析：在圖②中，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)P求出向上平移的距離PP′，連接AP，過點(diǎn)P′作AP的平行線A′P′交y軸于點(diǎn)A′，把原拋物線向上平移可看做把紅色陰影面積向上平移到藍(lán)色陰影面積，剛好拼成一個(gè)平行四邊形的面積，如圖③所示。五、圓中的常見錯(cuò)誤例1、下列說法正確的是（A）A、平分弦的直徑垂直于弦B、圓周角等于圓心角的一半C、相等的弦所對的弧相等D、等弧所對的弦相等此題大部分學(xué)生會(huì)錯(cuò)選A，忘記考慮這條弦不能是直徑；有部分學(xué)生會(huì)錯(cuò)選C和B，是忘記了同圓或等圓這個(gè)前提條件。例2、與三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是這個(gè)三角形的(B)A．三條中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)。

錯(cuò)誤原因是對三角形外心和內(nèi)心的概念混淆不清，考試中如果忘記了，可以畫出三角形的內(nèi)切圓和外接圓進(jìn)行對比就可以找到答案了。例6．如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，且∠ACB=65°，則∠P=_115__度.

錯(cuò)誤原因是以為PA、PB是切線，就能得到∠PAC=∠PBC=90°，∴∠P+∠C=180°，得出∠P=115°

例7、如圖，在△ABC中，∠BOC=140°，點(diǎn)O是內(nèi)心，∠A的度數(shù)等于

70°

此題部分學(xué)生把∠A當(dāng)做∠BOC的同弧所對圓周角，得到錯(cuò)誤答案70°。錯(cuò)誤原因是把內(nèi)心當(dāng)做外心，教學(xué)中最好要求學(xué)生在三角形中畫出內(nèi)切圓就能發(fā)現(xiàn)問題。例8.如圖，公路MN與公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，（1）如果拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否受到噪音影響？說明理由；（2）如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間是多少秒？FBC

例9（2013珠海）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、C、D，且與AB相切于點(diǎn)A。（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）求∠B的度數(shù)．。錯(cuò)解：（1）方法（一）∵AB=BC,且AB是⊙O的切線∴BC也是⊙O的切線。方法（二）連接AO、CO∵AB=BC,∴∠BCO=∠BAO=90°（2）連接BD、AO、CO∵∠AOC=2∠ADC，

且∠ABC=∠ADC，

∴∠AOC=2∠ABC

∵∠ABC+∠AOC=180°

∴∠3ABC=180°，

∴∠ABC=60°．例3、（2013?天津）天塔是天津市的標(biāo)志性建筑之一，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量天塔的高度，如圖，他們在點(diǎn)A處測得天塔最高點(diǎn)C的仰角為45°，再往天塔方向前進(jìn)至點(diǎn)B處測得最高點(diǎn)C的仰角為54°，AB=112m，根據(jù)這個(gè)興趣小組測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，結(jié)果保留整數(shù)）．

錯(cuò)誤原因是tan∠BCD不是等于，而是，這是三角函數(shù)定義記不清造成的，也受到圖中標(biāo)出的54°與題目提供的tan36°≈0.73，不是同一個(gè)角所造成的混亂。七、統(tǒng)計(jì)和概率

例1、下列事件，（1）兩個(gè)正數(shù)的和仍是正數(shù)；（2）明天太陽從西邊升起；（3）小明在下屆科技節(jié)的航模比賽中一定能得一等獎(jiǎng)；（4）擲一枚硬幣，落地后正面朝上；（5）打開電視，正在播放體育節(jié)目．其中是確定事件的有（A）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)

D．4個(gè)

錯(cuò)誤原因是對確定事件的概念理解不清．認(rèn)為“明天太陽從西邊升起”是不可能的事件，但不可能的事件也是確定事件。

例2、數(shù)學(xué)老師布置10道題作為課堂練習(xí)，科代表將全班同學(xué)的答題情況繪制成條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖），根據(jù)圖表，答對的題數(shù)所組成樣本的中位數(shù)分別為（C）

A．8 B．9C．8.5 D．8錯(cuò)誤原因是直接在圖中按照7、8、9、10的數(shù)據(jù)來選中位數(shù)，沒有考慮各組的人數(shù)不同，

例3、將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片洗勻后，背面朝上，放在桌面上，隨機(jī)抽取一張（不放回），接著再隨機(jī)抽取一張，恰好兩張卡片上的數(shù)字相鄰的概率為

.

錯(cuò)誤原因是沒考慮不放回的情況，或者對相鄰兩個(gè)數(shù)的理解不對。例4、（2013?舟山）為了解學(xué)生零花錢的使用情況，校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生每人一周的零花錢數(shù)額，并繪制了如圖甲、乙所示的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖（部分未完成）．請根據(jù)圖中信息，回答下列問題：

（1）校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了多少學(xué)生？請你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）表示“50元”的扇形的圓心角是多少度？補(bǔ)調(diào)查的學(xué)生每人一周零花錢數(shù)額的中位數(shù)是多少元？

（3）四川雅安地震后，全校1000名學(xué)生每人自發(fā)地捐出一周零花錢的一半，以支援災(zāi)區(qū)建設(shè)．請估算全校學(xué)生共捐款多少元？此題的易錯(cuò)點(diǎn)有4處：（1）有學(xué)生忘記在圖中補(bǔ)全條形圖（2）求圓心角度數(shù)求成百分比（3）求中位數(shù)時(shí)沒考慮總?cè)藬?shù)（4）不會(huì)通過樣本平均數(shù)估計(jì)總體的捐款數(shù)。八、動(dòng)點(diǎn)問題的常見錯(cuò)誤例1、如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘△PBQ與△ABC相似？試說明理由．

常見錯(cuò)誤1、沒認(rèn)真審題，設(shè)錯(cuò)動(dòng)點(diǎn)所走的距離。如當(dāng)t秒時(shí)，AP=2t，CQ=4t，正確如圖1。

2、不會(huì)畫出動(dòng)點(diǎn)在滿足條件時(shí)新的圖形來討論