控制工程基礎(chǔ)-第3章時間特性分析法課件

第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進(jìn)行工作的。因此，時間特性分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，從而提供了時間響應(yīng)的全部信息；主要分析一階和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，最后介紹高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)；主要是分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)精度和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)這三個方面。時間特性法是分析系統(tǒng)的方法之一，而分析的基礎(chǔ)，是確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析系統(tǒng)的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進(jìn)行工作的。因此，1第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1.時間響應(yīng)的概念

控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1）瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1.時間響應(yīng)的概念1）瞬2圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。3系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→ts時間內(nèi)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)；當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)的輸出即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)t→∞時，y(t)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若y(t)呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→t4二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來評價的。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。選取輸入信號應(yīng)當(dāng)考慮以下幾個方面輸入信號應(yīng)當(dāng)具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實(shí)際情況輸入信號的形式，應(yīng)當(dāng)盡可能簡單，便于分析處理輸入信號能使系統(tǒng)在最惡劣的情況下工作二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，51.階躍信號階躍信號如圖3-2所示，其函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)R=1時，叫做單位階躍函數(shù)，記為1(t)。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為在t=0處的階躍信號，相當(dāng)于一個數(shù)值為常值的信號，在t≥0突然加到系統(tǒng)上。圖3-2階躍信號

1.階躍信號階躍信號如圖3-2所示，其函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)R=162.斜坡信號（或速度信號）

斜坡信號如圖3-3所示，其函數(shù)表達(dá)式斜坡函數(shù)的拉氏變換為當(dāng)R=1時，叫做單位斜坡函數(shù)。這種信號相當(dāng)于控制系統(tǒng)中加一個按恒速變化的信號，其速度為R。圖3-3斜坡信號

2.斜坡信號（或速度信號）斜坡信號如圖3-3所示，其函數(shù)表73．拋物線信號（加速度信號）拋物線信號如圖3-4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為拋物線信號的拉氏變換為該輸入信號相當(dāng)于控制系統(tǒng)中加入一恒加速度變化的信號，加速度為R，當(dāng)R=1時，叫做單位拋物線信號。圖3-4拋物線信號

3．拋物線信號（加速度信號）拋物線信號如圖3-4所示，其數(shù)學(xué)84.脈沖信號脈沖信號如圖3-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為其中，脈沖寬度為h,脈沖面積為1。若對實(shí)際脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖函數(shù)，記為(t),圖3-5脈沖信號

4.脈沖信號脈沖信號如圖3-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位脈95.正弦信號正弦信號如圖3-6所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

正弦信號的拉氏變換為圖3-6正弦信號

5.正弦信號正弦信號如圖3-6所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為正弦信10三、瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項(xiàng)參數(shù)，稱為性能指標(biāo)。一般以輸入端加入單位階躍函數(shù)時的輸出響應(yīng)加以規(guī)定。線性系統(tǒng)的性能指標(biāo)取決于系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號的大小無關(guān)。同一個線性系統(tǒng)對不同幅值階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)的區(qū)別，僅在于幅值成比例地變化，響應(yīng)時間完全相同，因此，對以單位階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的性能指標(biāo)具有普遍意義。三、瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項(xiàng)參數(shù)，稱為11圖3-7控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

圖3-7控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)121.延遲時間td

響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間，叫延遲時間。對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時間需要無窮大，通常采用響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間；2.上升時間tr

響應(yīng)曲線從零時刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時間，即響應(yīng)曲線從零上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。3.峰值時間tp響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個峰值所需的時間叫做峰值時間。1.延遲時間td對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)134.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%從1開始計(jì)算的響應(yīng)曲線的最大超調(diào)量值叫做最大超調(diào)量Mp。通常采用百分比表示最大超調(diào)量Mp%，定義為：單位階躍響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大差值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分值，即其中，y(∞)代表階躍響應(yīng)的終值，即穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量Mp的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。4.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%其中，y(∞)145.調(diào)整時間ts

在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線第一次達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計(jì)要求，通常取±5%或±2%。調(diào)整時間是評價一個系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的指標(biāo)。6.振蕩次數(shù)N

在調(diào)整時間ts內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。5.調(diào)整時間ts6.振蕩次數(shù)N15第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3-1)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)可看作積分環(huán)節(jié)被反饋通道包圍而成，見圖3-8。第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(3-16給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進(jìn)行拉氏反變換，求出微分方程的解y(t)即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍信號的拉氏變換為二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)此式代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為(3-2)將（3-2）式展開成部分分式，可得(3-3)給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進(jìn)行拉氏反變換，求出17對上式進(jìn)行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)為瞬態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)曲線如圖3-9。T稱為時間常數(shù)，它影響到響應(yīng)的快慢，因而是一階系統(tǒng)的重要參數(shù)。對上式進(jìn)行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)18

1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點(diǎn)，并向時間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值，即為時間常數(shù)T。2.由t=0那一點(diǎn)O（即原點(diǎn)）作響應(yīng)曲線的切線，與穩(wěn)態(tài)值交于A′點(diǎn)。由A′點(diǎn)向時間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值即為時間常數(shù)T。此種方法可由下式得到證明。（3-5）當(dāng)t=3T時間時，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%，當(dāng)t=4T時，達(dá)到98.2%。因而一階系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3~4)T，以此來評定響應(yīng)時間的長短。時間常數(shù)T可通過響應(yīng)曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-5)式即為斜率值，由OA′T即可知上述求時間常數(shù)的求法是正確的。1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點(diǎn)，并向時19三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為（3-6）展開成部分分式（3-7）?。?-7）式的拉氏反變換，可得（3-8）三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（320一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當(dāng)t→∞時，，因而e(∞)=T。系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應(yīng)y(t)和輸入信號x(t)表示于圖3-10中。從圖中也可以看出，當(dāng)t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。圖3-10一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)

一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當(dāng)t→∞時，21四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時式（3-2）為（3-10）取其拉氏反變換得（3-11）圖3-11一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)

四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時22除前面分析之外，還有兩點(diǎn)值得提出：1.當(dāng)輸入信號不為單位值時，輸入信號的拉氏變換分別為：階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

對應(yīng)于不同輸入時的響應(yīng)分別如下列各式階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

除前面分析之外，還有兩點(diǎn)值得提出：1.當(dāng)輸入信號不為單位值232.當(dāng)輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為

(3-12)此時，對應(yīng)于單位輸入信號時，其輸出響應(yīng)分別如下式各式所示：

階躍輸入斜坡輸入

斜坡輸入

2.當(dāng)輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為24例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，由（3-12）式可知例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：首先求出25因此，單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為響應(yīng)曲線如圖3-12所示。圖3-12的單位階躍響應(yīng)曲線

因此，單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為響應(yīng)曲線如圖3-12所示。圖326例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)１

系統(tǒng)２試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標(biāo)是調(diào)整時間的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由時間常數(shù)T決定的。系統(tǒng)1的時間常數(shù)系統(tǒng)2的時間常數(shù)由于T1<T2，因此系統(tǒng)1的響應(yīng)速度快。達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間，如以±2％來算，系統(tǒng)1的調(diào)整時間t1s=4T1=8(s),而系統(tǒng)2的調(diào)整時間為t2s=4T2=24(s)，因此系統(tǒng)1比系統(tǒng)2快3倍。例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標(biāo)是27例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13所示，試寫出其傳遞函數(shù)解：在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值（此值為10）的63.2％（即6.32）點(diǎn)，此點(diǎn)所對應(yīng)的時間為0.1(s），即為時間常數(shù)，而傳遞函數(shù)的增益k值，可由輸出的穩(wěn)態(tài)值10與輸入的階躍值１的比值得到，即（1／s）因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖3-13某系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13所示，試寫出其傳28例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)和單位階躍響應(yīng)h(t)，并討論二者的關(guān)系。解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)的微分方程，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)29系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)對某種輸入（單位階躍）的導(dǎo)數(shù)（單位脈沖）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（h(t)）的導(dǎo)數(shù)（）；系統(tǒng)對某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（g(t)）的積分（）。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有30對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣的，若一個輸入A是另一個輸入B的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)31一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式s的最高冪次為2的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。無論哪一種物理形式的二階系統(tǒng)，最后傳遞函數(shù)都可以變?yōu)橄率龅臉?biāo)準(zhǔn)形式第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3-12）式中為阻尼比、n為無阻尼自然頻率（rad/s）。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能完全由與n確定,因此，與n為二階系統(tǒng)的重要參量。一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式s的32當(dāng)輸入為單位階躍信號時，代入到（3-12）式，可得到二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（3-13）對上式進(jìn)行拉氏反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式（3-12）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（3-14）它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：（3-15）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，代入33對式（3-13）進(jìn)行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，>1以及0<<1三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。(一)重根時，

=1，s1,2=-n臨界阻尼情況（3-16）式變?yōu)椋海?-16）（3-17）對式（3-13）進(jìn)行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，34對上式進(jìn)行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到（3-18）（3-19）響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩，t時，y(t)=1，所以無穩(wěn)態(tài)誤差。對上式進(jìn)行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到35(二)兩個不等的負(fù)實(shí)根時，

>1，過阻尼情況(3-16)式可以寫成部分分式為(3-20)(二)兩個不等的負(fù)實(shí)根時，>1，36求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，，t時，y(t)=1，所以無穩(wěn)態(tài)誤差。求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量37（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，稱為阻尼自然頻率（rad／s）這時，采用部分分式法，式（3-10）變?yōu)?3-22)（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，38上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率d；其振幅衰減的快慢由

和n決定；振蕩幅值隨減小而加大。圖3-14阻尼比不同時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；圖3-14阻尼39y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，將=0代入式（3-15）可得（四）一對復(fù)根時，=0，零阻尼情況二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為n

。穩(wěn)定邊界y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-2440（五）一對正實(shí)部虛根時，<0，負(fù)阻尼情況極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖3-15負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

（五）一對正實(shí)部虛根時，<0，負(fù)阻尼情況極點(diǎn)實(shí)部大于零41頻率n和d的物理意義：

n是無阻尼（=0）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；是欠阻尼（0<<1）時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/d稱為阻尼振蕩周期。顯然n

<d，且隨著的增大，d的值相應(yīng)地減小。頻率n和d的物理意義：42幾點(diǎn)結(jié)論：1、二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時，出現(xiàn)等幅振蕩；0<

<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快；

≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長。2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，響應(yīng)的快速性越好。3、工程中通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩幾點(diǎn)結(jié)論：2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越43三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當(dāng)輸入單位斜坡信號時，（一）0<<1斜坡響應(yīng)為

（3-26）三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍44（三）>1斜坡響應(yīng)為

響應(yīng)曲線如圖3-16所示。（3-28）（二）

=1斜坡響應(yīng)為

(3-27)（三）>1響應(yīng)曲線如圖3-16所示。（3-28）（二）45圖3-16二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線

圖3-16二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線46四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入單位脈沖信號時，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脈沖響應(yīng)為

（3-30）（二）=1脈沖響應(yīng)為

(3-31)四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入單位脈沖信號時，X(s)=47（三）>1脈沖響應(yīng)為

(3-32)圖3-17二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線

（三）>1脈沖響應(yīng)為(3-32)圖3-17二階48表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入信號形式幅值為R

階躍信號

表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入49表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式

輸入信號形式幅值為R

脈沖信號

表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入50表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入信號形式幅值為R

斜坡信號表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入51表3-2阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系阻尼比

極點(diǎn)極點(diǎn)特征兩個不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)兩個相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)

兩個共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于虛軸上的共軛極點(diǎn)兩個共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)五、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系表3-2阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)特征兩個52表3-3極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)在s平面的位置階躍響應(yīng)形式>1=10<<1=0<0表3-3極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)在53若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負(fù)實(shí)部，即Re[si]<0，則其系統(tǒng)會趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。Re[si]絕對值越大，則它所對應(yīng)的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減得越快，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時間越短。虛部Im[si]的分布情況決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。若系統(tǒng)存在具有正實(shí)部的特征根si，即Re[si]>0，則其系統(tǒng)會產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個特征根的實(shí)部為0，而其余特征根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)最終會變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。往往也將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負(fù)54二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進(jìn)一步分析和n與瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的關(guān)系，以便指出設(shè)計(jì)和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動特性，以求能有較短的調(diào)整時間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。二階系統(tǒng)，當(dāng)0<<1時，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)特征指標(biāo)的計(jì)算公式。六、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具551.上升時間tr

根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即可得上升時間tr，即（3-33）由于，為使式（3-33）成立，必須即1.上升時間tr根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即56（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-13。當(dāng)=0時，

=/2；當(dāng)=1時，

=0。由（3-34）可知，當(dāng)阻尼比一定時，若要求上升時間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率n。

圖3-18角的意義

（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-157令上式為零，整理可得即d

tp=n(n=0，1，2，.......k)因?yàn)榉逯禃r間對應(yīng)于第一次峰值超調(diào)量，所以（3-35）因阻尼振蕩周期Td=2/d,故峰值時間tp等于阻尼振蕩頻率周期的一半。從式（3-35）可以看出，當(dāng)一定時，n越大，tp越小，反應(yīng)越快，當(dāng)n一定時，越小，tp也越小。2.峰值時間tp

根據(jù)（3-23）式，將y(t)對時間求導(dǎo)，并令其等于零，可求得峰值時間tp即令上式為零，整理可得即dtp=n(n=0，1583.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間tp處，所以按定義由圖3-18可知3.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間t59上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率n無關(guān)，越小，Mp%越大，當(dāng)=0時，Mp%=100%，而當(dāng)增大到=1時，Mp%=0。所以因此（3-36）上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻60圖3-19二階系統(tǒng)Mp%與的關(guān)系

圖3-19二階系統(tǒng)Mp%與的關(guān)系614.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見，常用二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線代替響應(yīng)曲線。如圖3-20所示。圖3-20二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線

4.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見，常用二階系統(tǒng)單位62曲線是該階躍響應(yīng)的包絡(luò)線。包絡(luò)線的時間常數(shù)為。瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度，取決于時間常數(shù)的數(shù)值。

若響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±5%的范圍時，由圖3-15可得曲線63解出n

ts，即為當(dāng)較小時，由上式得（3-37）如果響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±2%的范圍里，用同樣方法，可導(dǎo)出(3-38)由此可見，n大，ts就??；當(dāng)n一定時，ts與成反比。這與tp、tr和的關(guān)系正好相反。通常值是根據(jù)最大百分比超調(diào)量Mp%來確定，所以調(diào)整時間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率n來確定。這樣，在不改變最大百分比超調(diào)量Mp%的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率n，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的時間。解出nts，即為當(dāng)較小時，由上式得（3-37）如果響645.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為5%時，即（3-39）5.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為5%65將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，必須綜合考慮和n的影響，選取合適的和n。當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為2%時，即影響單位階躍響應(yīng)各項(xiàng)性能指標(biāo)的是二階系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n這兩個重要參數(shù)。（3-40）將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)系歸納66(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調(diào)整時間ts，既可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n對提高系統(tǒng)性能是有利的。(3)若保持n不變而增大值，則會使最大百分比超調(diào)量Mp%減小，增加相對穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在<0.7時，隨著的增大，Mp%減??；而在>0.7時，隨著的增大，tr、ts均增大。系統(tǒng)的快速性變差。(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和快速性，通常取=0.4~0.8，這時系統(tǒng)的最大百分比超調(diào)量Mp%在25%到2.5%之間。若<0.4，系統(tǒng)超調(diào)嚴(yán)重，相對穩(wěn)定性差；若>0.8，則系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，靈敏性差。當(dāng)<0.707時，

越小，則ts越長；而當(dāng)>0.707時，

越大，則ts越長。(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以67例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-21，當(dāng)輸入為單位階躍信號時，試計(jì)算k=200時的性能指標(biāo)，當(dāng)k減小到13.5或增大到1500時,對系統(tǒng)有什么影響。圖3-21某一位置隨動系統(tǒng)方塊圖

例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-21，當(dāng)輸入為單位68解：當(dāng)k=200時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較：所以：解：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較：所以：69控制工程基礎(chǔ)_第3章時間特性分析法70當(dāng)k=1500時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較：所以：當(dāng)k=1500時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較71控制工程基礎(chǔ)_第3章時間特性分析法72當(dāng)k=13.5時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較：所以：由上可知，系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài)，此時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)k=13.5時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：與標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行比較73由于過阻尼二階系統(tǒng)可以看成是兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串連而成，它們的時間常數(shù)分別為：由于過阻尼二階系統(tǒng)上升時間、峰值時間、最大百分比超調(diào)量均不存在，而調(diào)整時間可以使用其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)來評估，即：由于過阻尼二階系統(tǒng)可以看成是兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串連而74當(dāng)k值改變時，二階位置隨動系統(tǒng)性能指標(biāo)KntrtpMp%ts13.5-----1.4432000.54631.60.0810.1213%0.17415000.19986.60.0210.03752.7%0.174由表可知：當(dāng)K＝13.5時，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，因此具有較長的調(diào)整時間；當(dāng)K＝200和1500時，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，由于調(diào)整時間ts=3/ωn,所以，對于這個給定的系統(tǒng)，ωn是不變的，即ωn=34.5，所以，調(diào)整時間ts在K發(fā)生變化的時候是不變的。當(dāng)k值改變時，二階位置隨動系統(tǒng)性能指標(biāo)Kntrtp75k值變化時，單位階躍響應(yīng)曲線圖3-22k值變化時，單位階躍響應(yīng)曲線

k值變化時，單位階躍響應(yīng)曲線圖3-22k值變化時，單位階躍76例3-5設(shè)單位反饋閉環(huán)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-23。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-23二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

例3-5設(shè)單位反饋閉環(huán)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-277可得解：由圖3-23可見由（3-35）式可得解：由圖3-23可見由（3-35）式78因?yàn)?，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋時的開環(huán)傳遞函數(shù)為因?yàn)?，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋時的開環(huán)傳遞函數(shù)為79例3-6如圖3-24(a)所示的一個機(jī)械振動系統(tǒng)。當(dāng)有2N的階躍輸入力作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)中的質(zhì)量塊m按圖3-24(b)的規(guī)律運(yùn)動，試根據(jù)這個響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m、粘性阻尼系數(shù)f與彈性剛度k值。例3-6如圖3-24(a)所示的一個機(jī)械振動系統(tǒng)。當(dāng)有280解：此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面已經(jīng)推導(dǎo)過，即為由于所以由此響應(yīng)曲線可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：解：此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面已經(jīng)推導(dǎo)過，即為由于所以由此響81因此由圖3-19的響應(yīng)曲線得到由峰值時間得因此由圖3-19的響應(yīng)曲線得到由峰值時間得82所以又因?yàn)樗杂傻玫剿杂忠驗(yàn)樗杂傻玫?3第四節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)求高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，意味著求解高階微分方程，其數(shù)學(xué)運(yùn)算是十分復(fù)雜的。如能抓住主要矛盾，忽略次要因素，就可以使問題大大簡化。本節(jié)中，將通過對高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)一般形式的分析，建立閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，并利用這一概念對高階系統(tǒng)作近似處理。第四節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)求高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，意味著求84高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n≥m（3-41）為確定系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)，將上式分子分母分解成因式形式，則上式變?yōu)椋?-42）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n≥m（3-41）為85式中-z1、-z2.......-zm為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；-p1、-p2.......-pn為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。瞬態(tài)響應(yīng)分析的前提是系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，全部極點(diǎn)都在s平面的左半部。如果全部極點(diǎn)都不相同（實(shí)際系統(tǒng)通常是這樣的），對于單位階躍輸入信號，式（3-40）可以寫成（3-43）式中-z1、-z2.......-zm為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)86式中ai是極點(diǎn)s=-pi點(diǎn)的留數(shù)。若所有極點(diǎn)都是不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則有（3-44）如果Y(s)的n個極點(diǎn)中除包含有實(shí)數(shù)極點(diǎn)外，還包含成對的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)可以形成一個s的二次項(xiàng)，這樣式（3-41）可以寫成（3-45）式中ai是極點(diǎn)s=-pi點(diǎn)的留數(shù)。若所有極點(diǎn)都是不同的實(shí)87（3-46）取上式的拉氏反變換，可以得到單位階躍響應(yīng)為（3-47）式中q+2r=n,如果閉環(huán)極點(diǎn)是互不相同的，可將上式展成下面的部分分式a,aj為Y(s)在極點(diǎn)s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Y(s)在極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。（3-46）取上式的拉氏反變換，可以得到單位階躍響應(yīng)為881、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。2、如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半平面，則隨著時間t→∞，y(∞)=a，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3、極點(diǎn)的性質(zhì)決定瞬態(tài)分量的類型實(shí)數(shù)極點(diǎn)→非周期瞬態(tài)分量共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)→阻尼振蕩瞬態(tài)分量1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成89極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減的快慢，距離虛軸越遠(yuǎn)衰減越快；（衰減系數(shù)pj、knk）極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減的快慢，距離虛軸901、系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大小（即各個瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小。一對靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。系統(tǒng)零點(diǎn)分布對時域響應(yīng)的影響2、通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對偶極子，可以對消。1、系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)91閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)中，1.如果距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)，其周圍沒有零點(diǎn);2.其他閉環(huán)極點(diǎn)與該極點(diǎn)的實(shí)部之比超過五倍以上;則這種極點(diǎn)稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點(diǎn)，就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為一階或二階系統(tǒng)進(jìn)行處理。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)中，高階系統(tǒng)，如果能夠找到主92例3-7某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)。解：對分子分母分解因式得極點(diǎn)為p1,2=-10j71.4，p3=-20，p4=-60零點(diǎn)為z1=-20.03例3-7某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)。93從圖3-26中可以看出，由于極點(diǎn)p3和零點(diǎn)z1非常接近，因此他們對系統(tǒng)的作用會相互抵消；另外極點(diǎn)p4離虛軸的距離是極點(diǎn)p1,2離虛軸距離的6倍。因此極點(diǎn)p4對系統(tǒng)的影響可以忽略。極點(diǎn)p1,2是主導(dǎo)極點(diǎn)，因此系統(tǒng)的響應(yīng)主要由主導(dǎo)極點(diǎn)來決定，當(dāng)考慮主導(dǎo)極點(diǎn)削去(s+60)時，只去掉s，保證靜態(tài)增益不變。圖3-26極點(diǎn)零點(diǎn)分布圖

從圖3-26中可以看出，由于極點(diǎn)p3和零點(diǎn)z1非常接近，因此94四階系統(tǒng)→二階系統(tǒng)故本系統(tǒng)可以近似看成具有傳遞函數(shù)為四階系統(tǒng)→二階系統(tǒng)故本系統(tǒng)可以近似看成具有傳遞函數(shù)為95高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線的一些例子示于圖3-20中。這些響應(yīng)曲線都是由一些振蕩曲線和負(fù)指數(shù)衰減曲線疊加而成。其穩(wěn)態(tài)項(xiàng)由輸入量X(s)的極點(diǎn)決定，而響應(yīng)曲線的類型和形狀，決定于閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)決定了響應(yīng)曲線的類型和衰減速度，閉環(huán)零點(diǎn)則影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線幅度的大小。圖3-25高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線的一些例子示于圖3-20中。這些響應(yīng)曲線都是96第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進(jìn)行工作的。因此，時間特性分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，從而提供了時間響應(yīng)的全部信息；主要分析一階和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，最后介紹高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)；主要是分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)精度和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)這三個方面。時間特性法是分析系統(tǒng)的方法之一，而分析的基礎(chǔ)，是確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析系統(tǒng)的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進(jìn)行工作的。因此，97第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1.時間響應(yīng)的概念

控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1）瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1.時間響應(yīng)的概念1）瞬98圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。99系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→ts時間內(nèi)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)；當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)的輸出即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)t→∞時，y(t)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若y(t)呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→t100二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來評價的。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。選取輸入信號應(yīng)當(dāng)考慮以下幾個方面輸入信號應(yīng)當(dāng)具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實(shí)際情況輸入信號的形式，應(yīng)當(dāng)盡可能簡單，便于分析處理輸入信號能使系統(tǒng)在最惡劣的情況下工作二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，1011.階躍信號階躍信號如圖3-2所示，其函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)R=1時，叫做單位階躍函數(shù)，記為1(t)。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為在t=0處的階躍信號，相當(dāng)于一個數(shù)值為常值的信號，在t≥0突然加到系統(tǒng)上。圖3-2階躍信號

1.階躍信號階躍信號如圖3-2所示，其函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)R=11022.斜坡信號（或速度信號）

斜坡信號如圖3-3所示，其函數(shù)表達(dá)式斜坡函數(shù)的拉氏變換為當(dāng)R=1時，叫做單位斜坡函數(shù)。這種信號相當(dāng)于控制系統(tǒng)中加一個按恒速變化的信號，其速度為R。圖3-3斜坡信號

2.斜坡信號（或速度信號）斜坡信號如圖3-3所示，其函數(shù)表1033．拋物線信號（加速度信號）拋物線信號如圖3-4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為拋物線信號的拉氏變換為該輸入信號相當(dāng)于控制系統(tǒng)中加入一恒加速度變化的信號，加速度為R，當(dāng)R=1時，叫做單位拋物線信號。圖3-4拋物線信號

3．拋物線信號（加速度信號）拋物線信號如圖3-4所示，其數(shù)學(xué)1044.脈沖信號脈沖信號如圖3-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為其中，脈沖寬度為h,脈沖面積為1。若對實(shí)際脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖函數(shù)，記為(t),圖3-5脈沖信號

4.脈沖信號脈沖信號如圖3-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為單位脈1055.正弦信號正弦信號如圖3-6所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

正弦信號的拉氏變換為圖3-6正弦信號

5.正弦信號正弦信號如圖3-6所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為正弦信106三、瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項(xiàng)參數(shù)，稱為性能指標(biāo)。一般以輸入端加入單位階躍函數(shù)時的輸出響應(yīng)加以規(guī)定。線性系統(tǒng)的性能指標(biāo)取決于系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號的大小無關(guān)。同一個線性系統(tǒng)對不同幅值階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)的區(qū)別，僅在于幅值成比例地變化，響應(yīng)時間完全相同，因此，對以單位階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的性能指標(biāo)具有普遍意義。三、瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項(xiàng)參數(shù)，稱為107圖3-7控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

圖3-7控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)1081.延遲時間td

響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間，叫延遲時間。對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)值時間需要無窮大，通常采用響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間；2.上升時間tr

響應(yīng)曲線從零時刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時間，即響應(yīng)曲線從零上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。3.峰值時間tp響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值而達(dá)到第一個峰值所需的時間叫做峰值時間。1.延遲時間td對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,理論上到達(dá)穩(wěn)態(tài)1094.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%從1開始計(jì)算的響應(yīng)曲線的最大超調(diào)量值叫做最大超調(diào)量Mp。通常采用百分比表示最大超調(diào)量Mp%，定義為：單位階躍響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大差值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分值，即其中，y(∞)代表階躍響應(yīng)的終值，即穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量Mp的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。4.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%其中，y(∞)1105.調(diào)整時間ts

在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線第一次達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計(jì)要求，通常取±5%或±2%。調(diào)整時間是評價一個系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的指標(biāo)。6.振蕩次數(shù)N

在調(diào)整時間ts內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。5.調(diào)整時間ts6.振蕩次數(shù)N111第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3-1)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)可看作積分環(huán)節(jié)被反饋通道包圍而成，見圖3-8。第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(3-112給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進(jìn)行拉氏反變換，求出微分方程的解y(t)即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍信號的拉氏變換為二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)此式代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為(3-2)將（3-2）式展開成部分分式，可得(3-3)給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進(jìn)行拉氏反變換，求出113對上式進(jìn)行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)為瞬態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)曲線如圖3-9。T稱為時間常數(shù)，它影響到響應(yīng)的快慢，因而是一階系統(tǒng)的重要參數(shù)。對上式進(jìn)行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)114

1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點(diǎn)，并向時間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值，即為時間常數(shù)T。2.由t=0那一點(diǎn)O（即原點(diǎn)）作響應(yīng)曲線的切線，與穩(wěn)態(tài)值交于A′點(diǎn)。由A′點(diǎn)向時間軸t作垂線，與其交點(diǎn)值即為時間常數(shù)T。此種方法可由下式得到證明。（3-5）當(dāng)t=3T時間時，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%，當(dāng)t=4T時，達(dá)到98.2%。因而一階系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3~4)T，以此來評定響應(yīng)時間的長短。時間常數(shù)T可通過響應(yīng)曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-5)式即為斜率值，由OA′T即可知上述求時間常數(shù)的求法是正確的。1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點(diǎn)，并向時115三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為（3-6）展開成部分分式（3-7）取（3-7）式的拉氏反變換，可得（3-8）三、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（3116一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當(dāng)t→∞時，，因而e(∞)=T。系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應(yīng)y(t)和輸入信號x(t)表示于圖3-10中。從圖中也可以看出，當(dāng)t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。圖3-10一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)

一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當(dāng)t→∞時，117四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時式（3-2）為（3-10）取其拉氏反變換得（3-11）圖3-11一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)

四、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時118除前面分析之外，還有兩點(diǎn)值得提出：1.當(dāng)輸入信號不為單位值時，輸入信號的拉氏變換分別為：階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

對應(yīng)于不同輸入時的響應(yīng)分別如下列各式階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

除前面分析之外，還有兩點(diǎn)值得提出：1.當(dāng)輸入信號不為單位值1192.當(dāng)輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為

(3-12)此時，對應(yīng)于單位輸入信號時，其輸出響應(yīng)分別如下式各式所示：

階躍輸入斜坡輸入

斜坡輸入

2.當(dāng)輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為120例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，由（3-12）式可知例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：首先求出121因此，單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為響應(yīng)曲線如圖3-12所示。圖3-12的單位階躍響應(yīng)曲線

因此，單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為響應(yīng)曲線如圖3-12所示。圖3122例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)１

系統(tǒng)２試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標(biāo)是調(diào)整時間的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由時間常數(shù)T決定的。系統(tǒng)1的時間常數(shù)系統(tǒng)2的時間常數(shù)由于T1<T2，因此系統(tǒng)1的響應(yīng)速度快。達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間，如以±2％來算，系統(tǒng)1的調(diào)整時間t1s=4T1=8(s),而系統(tǒng)2的調(diào)整時間為t2s=4T2=24(s)，因此系統(tǒng)1比系統(tǒng)2快3倍。例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標(biāo)是123例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13所示，試寫出其傳遞函數(shù)解：在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值（此值為10）的63.2％（即6.32）點(diǎn)，此點(diǎn)所對應(yīng)的時間為0.1(s），即為時間常數(shù)，而傳遞函數(shù)的增益k值，可由輸出的穩(wěn)態(tài)值10與輸入的階躍值１的比值得到，即（1／s）因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖3-13某系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13所示，試寫出其傳124例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)和單位階躍響應(yīng)h(t)，并討論二者的關(guān)系。解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)的微分方程，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)125系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)對某種輸入（單位階躍）的導(dǎo)數(shù)（單位脈沖）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（h(t)）的導(dǎo)數(shù)（）；系統(tǒng)對某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（g(t)）的積分（）。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有126對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣的，若一個輸入A是另一個輸入B的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)127一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式s的最高冪次為2的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。無論哪一種物理形式的二階系統(tǒng)，最后傳遞函數(shù)都可以變?yōu)橄率龅臉?biāo)準(zhǔn)形式第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3-12）式中為阻尼比、n為無阻尼自然頻率（rad/s）。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能完全由與n確定,因此，與n為二階系統(tǒng)的重要參量。一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式s的128當(dāng)輸入為單位階躍信號時，代入到（3-12）式，可得到二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（3-13）對上式進(jìn)行拉氏反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式（3-12）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（3-14）它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)：（3-15）當(dāng)輸入為單位階躍信號時，代入129對式（3-13）進(jìn)行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，>1以及0<<1三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。(一)重根時，

=1，s1,2=-n臨界阻尼情況（3-16）式變?yōu)椋海?-16）（3-17）對式（3-13）進(jìn)行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，130對上式進(jìn)行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到（3-18）（3-19）響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩，t時，y(t)=1，所以無穩(wěn)態(tài)誤差。對上式進(jìn)行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到131(二)兩個不等的負(fù)實(shí)根時，

>1，過阻尼情況(3-16)式可以寫成部分分式為(3-20)(二)兩個不等的負(fù)實(shí)根時，>1，132求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，，t時，y(t)=1，所以無穩(wěn)態(tài)誤差。求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量133（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，稱為阻尼自然頻率（rad／s）這時，采用部分分式法，式（3-10）變?yōu)?3-22)（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，134上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率d；其振幅衰減的快慢由

和n決定；振蕩幅值隨減小而加大。圖3-14阻尼比不同時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；圖3-14阻尼135y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，將=0代入式（3-15）可得（四）一對復(fù)根時，=0，零阻尼情況二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為n

。穩(wěn)定邊界y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24136（五）一對正實(shí)部虛根時，<0，負(fù)阻尼情況極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖3-15負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

（五）一對正實(shí)部虛根時，<0，負(fù)阻尼情況極點(diǎn)實(shí)部大于零137頻率n和d的物理意義：

n是無阻尼（=0）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；是欠阻尼（0<<1）時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/d稱為阻尼振蕩周期。顯然n

<d，且隨著的增大，d的值相應(yīng)地減小。頻率n和d的物理意義：138幾點(diǎn)結(jié)論：1、二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時，出現(xiàn)等幅振蕩；0<

<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快；

≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長。2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，響應(yīng)的快速性越好。3、工程中通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩幾點(diǎn)結(jié)論：2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越139三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當(dāng)輸入單位斜坡信號時，（一）0<<1斜坡響應(yīng)為

（3-26）三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍140（三）>1斜坡響應(yīng)為

響應(yīng)曲線如圖3-16所示。（3-28）（二）

=1斜坡響應(yīng)為

(3-27)（三）>1響應(yīng)曲線如圖3-16所示。（3-28）（二）141圖3-16二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線

圖3-16二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線142四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入單位脈沖信號時，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脈沖響應(yīng)為

（3-30）（二）=1脈沖響應(yīng)為

(3-31)四、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入單位脈沖信號時，X(s)=143（三）>1脈沖響應(yīng)為

(3-32)圖3-17二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線

（三）>1脈沖響應(yīng)為(3-32)圖3-17二階144表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入信號形式幅值為R

階躍信號

表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入145表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式

輸入信號形式幅值為R

脈沖信號

表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入146表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入信號形式幅值為R

斜坡信號表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達(dá)式信號形式輸入147表3-2阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系阻尼比

極點(diǎn)極點(diǎn)特征兩個不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)兩個相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)

兩個共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于虛軸上的共軛極點(diǎn)兩個共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)五、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點(diǎn)的關(guān)系表3-2阻尼比與極點(diǎn)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)特征兩個148表3-3極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)在s平面的位置階躍響應(yīng)形式>1=10<<1=0<0表3-3極點(diǎn)與階躍響應(yīng)的關(guān)系阻尼比極點(diǎn)極點(diǎn)在149若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負(fù)實(shí)部，即Re[si]<0，則其系統(tǒng)會趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。Re[si]絕對值越大，則它所對應(yīng)的自由響應(yīng)項(xiàng)衰減得越快，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時間越短。虛部Im[si]的分布情況決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。若系統(tǒng)存在具有正實(shí)部的特征根si，即Re[si]>0，則其系統(tǒng)會產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個特征根的實(shí)部為0，而其余特征根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，系統(tǒng)最終會變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。往往也將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負(fù)150二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進(jìn)一步分析和n與瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的關(guān)系，以便指出設(shè)計(jì)和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動特性，以求能有較短的調(diào)整時間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。二階系統(tǒng)，當(dāng)0<<1時，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)特征指標(biāo)的計(jì)算公式。六、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具1511.上升時間tr

根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即可得上升時間tr，即（3-33）由于，為使式（3-33）成立，必須即1.上升時間tr根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即152（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-13。當(dāng)=0時，

=/2；當(dāng)=1時，

=0。由（3-34）可知，當(dāng)阻尼比一定時，若要求上升時間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率n。

圖3-18角的意義

（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-1153令上式為零，整理可得即d

tp=n(n=0，1，2，.......k)因?yàn)榉逯禃r間對應(yīng)于第一次峰值超調(diào)量，所以（3-35）因阻尼振蕩周期Td=2/d,故峰值時間tp等于阻尼振蕩頻率周期的一半。從式（3-35）可以看出，當(dāng)一定時，n越大，tp越小，反應(yīng)越快，當(dāng)n一定時，越小，tp也越小。2.峰值時間tp

根據(jù)（3-23）式，將y(t)對時間求導(dǎo)，并令其等于零，可求得峰值時間tp即令上式為零，整理可得即dtp=n(n=0，11543.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間tp處，所以按定義由圖3-18可知3.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間t155上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率n無關(guān)，越小，Mp%越大，當(dāng)=0時，Mp%=100%，而當(dāng)增大到=1時，Mp%=0。所以因此（3-36）上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻156圖3-19二階系統(tǒng)Mp%與的關(guān)系

圖3-19二階系統(tǒng)Mp%與的關(guān)系1574.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見，常用二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線代替響應(yīng)曲線。如圖3-20所示。圖3-20二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線

4.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見，常用二階系統(tǒng)單位158曲線是該階躍響應(yīng)的包絡(luò)線。包絡(luò)線的時間常數(shù)為。瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度，取決于時間常數(shù)的數(shù)值。

若響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±5%的范圍時，由圖3-15可得曲線159解出n

ts，即為當(dāng)較小時，由上式得（3-37）如果響應(yīng)曲線進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)值的±2%的范圍里，用同樣方法，可導(dǎo)出(3-38)由此可見，n大，ts就小；當(dāng)n一定時，ts與成反比。這與tp、tr和的關(guān)系正好相反。通常值是根據(jù)最大百分比超調(diào)量Mp%來確定，所以調(diào)整時間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率n來確定。這樣，在不改變最大百分比超調(diào)量Mp%的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率n，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的時間。解出nts，即為當(dāng)較小時，由上式得（3-37）如果響1605.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為5%時，即（3-39）5.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為5%161將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，必須綜合考慮和n的影響，選取合適的和n。當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為2%時，即影響單位階躍響應(yīng)各項(xiàng)性能指標(biāo)的是二階系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n這兩個重要參數(shù)。（3-40）將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項(xiàng)指標(biāo)間的關(guān)系歸納162(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調(diào)整時間ts，既可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n對提高系統(tǒng)性能是有利的。(3)若保持n不變而增大值，則會使最大百分比超調(diào)量Mp%減小，增加相對穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在<0.7時，隨著的增大，Mp%減??；而在>0.7時，隨著的增大，tr、ts均增大。系統(tǒng)的快速性變差。(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和快速性，通常取=0.4~0.8，這時系統(tǒng)的最大百分比超調(diào)量Mp%在25%到2.5%之間。若<0.4，系統(tǒng)超調(diào)嚴(yán)重，相對穩(wěn)定性差；若>0.8，則系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，靈敏性差。當(dāng)<0.707時，

越小，則ts越長；而當(dāng)>0.707時，

越大，則ts越長。(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以163例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-21，當(dāng)輸入為單位階躍信號時，試計(jì)算k=200時的性能指標(biāo)，當(dāng)k減小到13.5或增大到1500時,對系統(tǒng)有什么影響。圖3-21某一位置隨動系統(tǒng)方塊圖

例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-21，當(dāng)輸入為單位16