國開電大-高等數(shù)學基礎(chǔ)-第1-4次作業(yè)答案

高等數(shù)學基礎(chǔ)第一次作業(yè)第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)(-)單項選擇題下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等./(X)=(,g(x)=xB./(x)=Jx2,g(x)=xX2—1C./(x)=InX3,g(x)=31nxD./(x)=x+l,g(x)=——-分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應法則相同(2)定義域相同A、 f(x)=(JFK=x,定義域｛xlx＞0);g(x)=x,定義域為R定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、 fW=y[^=\x\,g(x)=x對應法則不同，所以函數(shù)不相等；c、f(x)=\nxi=3｝nx,定義域為｛xlx＞。｝,g(x)=31nx,定義域為｛xlx＞。｝所以兩個函數(shù)相等D、fW=x+\,定義域為R；==l=x+l,定義域為｛xlxcRxNl｝定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選C設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(-8,+00),則函數(shù)/(%)+/(-%)的圖形關(guān)于(C)對稱.B.K軸D.y=xB.K軸D.y=x軸分析：奇函數(shù)，=關(guān)于原點對稱偶函數(shù)，/(-%)=/?,關(guān)于y軸對稱y=f(x)與它的反函數(shù)y= G)關(guān)于y=x對稱，奇函饗等偶粵翅的前饗■義域琴于學點科稱設(shè)g(x)=fG)+f(-x),則g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)所以gG)=fG)+f(-X)為偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y軸對稱故選C下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).A.y=ln(l+x2) b.y=xcosxC.y=——-—— D.y=\n(\+x)分析：A、y(-a:)=In(1+(-x)2)=In(1+xs璀),為偶函數(shù)B、 y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-yG),為奇函數(shù)或者X為奇函數(shù)，COSX為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)C、 (-X)=a'^ax=yG),所以為偶函數(shù)D、 y(-x)=ln(l-x),非奇非偶函數(shù)故選B

下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）.A.y=x+\B.C.y=x^D.y=-x-i,x<0y=-1, x>0分析：六種基本初等函數(shù)y=cA.y=x+\B.C.y=x^D.y=-x-i,x<0y=-1, x>0分析：六種基本初等函數(shù)y=c(常值) 常值函數(shù)y=N,a為常數(shù)——幕函數(shù)y=aAa>0,a^\) 指數(shù)函數(shù)y=logxG>0,a*l) 對數(shù)函數(shù)ay=sinx,y=cosx,y=tanx,y=colx 三角函數(shù)y=t尸csinx,[—1,1],y=?rccosx,[-1,1],(1)(2)(3)(4)(5)(6)反三角函數(shù)y=arctany=arctanx,y=arccolx分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，對照比較選C下列極限存計算不正確的是（D）.故D選項不對C.分析:A.rsinxhmx=0A、已知lim一=0（n>0）X2BC.分析:A.rsinxhmx=0A、已知lim一=0（n>0）X2B、C、B.limln(l+x)=0D.limxsin—=0xX2 Y7lim =lim =lim 5*2+2，-KCX2+2X2X2limln(1+x)=ln(l+0)=0x->0初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是連續(xù)的..sinxr1.nlim =lim_sinx=0二]+2_1+0°X2xToo時，一是無窮小量，sinx是有界函數(shù),無窮小量X有界函數(shù)仍是無窮小量D、limxsinl=lim—jA,令r=1->0,x->oo,則原式Tim竺]故選D當XT0時，變量（C）是無窮小量.sinx 1A. B.-xsin— d.In(x+2)x分析；lim/G)=O,則稱/(x)為xt。時的無窮小量A、lim竺三=1,重要極限x->0xx->0B、lim_=oo,無窮大量x->0Xlimxsinl=O,無窮小量xx有界函數(shù)sin!仍為無窮小量xtOx xD、 limln(x+2)=ln(0+2)=In2xtO故選c若函數(shù)r(x)在點寫滿足(A),則/(”在點爲連續(xù)。A.limf(x)=f(XQ) B.f。)在點爲的某個鄰域內(nèi)有定義X—C.lim'/(x)=f(x) D.limf(x)=limf(x)0A—XU： —￡ /、 ,、分析：連續(xù)的定義：極限存在且等于此點的函數(shù)值，則在11匕點連續(xù)即lim/G)=/(x)連續(xù)的充分必要條件lim/G)=/G)<=>lim/G)=limf('x)=f(x)0 0故選A(二)填空題 函數(shù)加=號&(心的定義域是」血>3} 分析：求定義域一般遵循的原則偶次根號下的量20分母的值不等于0對數(shù)符號下量(真值)為正反三角中反正弦、反余弦符號內(nèi)的量，絕對偵小于等于1正切符號內(nèi)的量不能取婦I土;>Q=0,l,2)然后求聘足上述條件的集合的交集,即為定義域fM=—二9+m(1+X)要求 …x-3x2-9>0\>3?￡x<-3"-3*0得｛*工3 求交集 —3"1人 .l+x>0x>~\定義域為{x\x>3}己知函數(shù)/(X+1)=X2+X,則.分析：法一，令t=x+\得x=—1則/(O=G-l)2+G-l)=Z2-r則f(x)=x2_x法二，/(x+l)=x(x+l)=G+l-l)G+l)所以 =3.1im(l+——= is2xe,等價式lim(l+x)i=ex-?0e,等價式lim(l+x)i=ex-?0推廣lim/G)=co則lim(l+—=ex-hi laJU丿lim/G)=0則lim(l+f(x?心=eTOC\o"1-5"\h\zx-￥a XT。lim(l+—)v=lim(l+—)2xxt=eiX-XCLX 匕X4.若函數(shù)fW=(l+x)x，xvO，在x=o處連續(xù)，則k= 4.若函數(shù)fW=分析：分段函數(shù)在分段點x處連續(xù)lim/G)=lim/G)=/G)0 IX+ n 0lim/(x)=limG+k)=0+S??或,、或,、 所以Selimf(x)=lim(l+x》=eX-?O-/ A->0-x+1,工>0 八，八的間斷點是 x=0 .sinx,x<0分析：間斷點即定義域不存在的點或不連續(xù)的點初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點的連續(xù)性(利用連續(xù)的充分必要條件)lim/(x)=limG+I)=O+1=1：亍/、.八不等，所以工=°為其間斷點hmfVx7=hmsinx=Ox-M)- x->0-6.若limf(x)=A,則當時，f(x)-A稱為_xtx,時的無窮小量分析：lim(/(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=O所以f(x)-A為xr%時的無窮小量(二)計算題1.設(shè)函數(shù)x>0x>0x<0求：/(-2),/(0),/⑴.解：八-2)=-2,八0)=0,八1)=心2x-\ 的定義域.2.求函數(shù)y=lg 的定義域.2r-1 解：y=ig 有意義，要求，X則定義域為，x\x<OeS.x>L-在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面枳表示成其高的函數(shù).解：4必im榮.x-?osinZv設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形4必im榮.x-?osinZvsin3xlimJ：x2=1。sin3xlimJ：x2=1。而2工2~1T133-X—= 122..sin3x3―*A解：lim =lim zsin2xI。sin2."Y~2T~求lim—11一!_x->_isin(x+l).. . ..(x—1X^+1)..x—1=-2解：lim =lim 2 1=hm - =-2x->-isin(x+1)—Isin(x+1)sm(.+l)x+\?..tan3x求hm .x->0X心,,tan3xsin3x1 ..sin3x1ot1oo解：hm =hm =hm x x3=lx_x3=3x_?ox *項xcos3xX_M3xcos3x1亠rJ\+X2TOC\o"1-5"\h\z求lim : .esin、 ? J1+X2-1 (J1+X2-1)(Jl+X2+1) X2 iosinx解.lim一； =hm _y =lim— iosinxd (Jl+*2+l)sinxio(y/1+X2+l)sinx

8求lim(^―)^.—x+3r_1 I-1 (l-')x [(1+1)-]-.心解：lim( )*=lim(——)、=lim J—=lim =一=e-4，+3f]+蘭f(]+b[(1+丄)：]3e39.求limA-?4解：limx->4X2-6x+8x2-5x+4x2-6x+8X2-5x+4= 牛]imx-Mx-2?-?44-2_24^r=3(3)2,x>1x<-\10.(3)2,x>1x<-\/W=X+1,討論的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.解：分別對分段點X=-1,X=1處討論連續(xù)性limf(x)=limx=-\lim/Cx)=limG+l)=-1+1=0羸jimfQtlim/G),即/G)在x=-l處不連續(xù)1-1十 xf-1-(2)lim/G)=lim(x-2>=(1-2>=1X—>1+ ,、X—>1+limf\x)=limx=135)=i'*所以limf(x)=lim/G)=/(1)即fG)在x=\處連續(xù)A—>1+ ,yt—>1—由(1)(2)得f*)在除點x=-i外均連續(xù)故八工)的連續(xù)區(qū)間為Jo,-1)(-l,Mo)《高等數(shù)學基礎(chǔ)》第二次作業(yè)第3章導數(shù)與微分(-)單項選擇題設(shè)/(0)=0且極限lim^M存在，則(C).x->0* *tOX/(O) B.廣(0)C.f\x) D.Ocvx設(shè)/(x)在工可導，則lim二；)_侶)=(D).° 方項2hA.-2廣(七) B.f\x)C.2/V)° D.-亦°)設(shè)f(x)=e-t,則lim+ =(A).At->0 kA.e B.2e11C-2e D4e4.S/?=x(x-l)(x-2)??(x-99),則廣(0)=(D).A.99 B.-99C.99! d.-99!5.下列結(jié)論中正確的是(C).若/Xx)在點爲有極限，則在點％可導.若/(》)在點X。連續(xù)，則在點爲可導.若f(x)在點％可導，則在點％有極限.若f(')在點為有極限，則在點％連續(xù).(二)填空題.In? sin_,工。0 宀八設(shè)函數(shù)f(x)=X,則/'(0)= 00, 4=0d.r設(shè)/(e?)=e2.+5e?,則x+5_d.rX曲線f(x)=J7+1在(1,2)處的切線斜率是k=；曲線fix)=sinx在(：，1)處的切線方程是>=萼x設(shè)y=x2xt則y'=2x2x(1+Inx)設(shè)y=xlnx,則y"=—x(三)計算題1.求下列函數(shù)的導數(shù)礦：⑴y=(xb+3)s(2)y=cotx+x2Inx⑶ycosx+2x(4)y= j3iy=(X2+3)e*+—xie>y'=-csc2x+x+2xlnx2xInx+xln2x.x(-sinx+2*In2)-3(cosx+2?)

y= \nx-x2⑸y=—: sinxsin2xsinx(\nx-x2⑸y=—: sinxsin2xyf=4x3-—-cosxhxx2.求下列函數(shù)的導數(shù)2.求下列函數(shù)的導數(shù))，'：(l)y=e'^s\nx+x2⑺尸3，,3*(cosx+2x)-(sinx+x2)3?In33 3：x(8)y=e*tanx+Ina,1y=e、tanx+ +—COS2XX(2)y=Incosx3COSX3礦=-sin^3v2=_3jv2tanwCOSX3y=人+爪,1 ±-2 14y=-(x+x2)3(1+3X2)y=cos2exy'=-exsin(2ex)Q=COSBy'=一2x3sin(7)y=sin”xcosnxy'=nsinn-ixcosxcosnx-nsin?xsin(nx)⑻y=5"yr=2xln5cos%25sin^⑼y=esin2xyr=sin2工。如2》V="+e-x-2(10/yf=尤以(%+2xlnx)+2xe^y=x+ec、(11)丿_+gxlnx)+eex在下列方程中，ycosx=e2yy'cosx-ysinx=leiyy',_ysinxcosx-2e2y是由方程確定的函數(shù)，求y=cosyinxy'=siny.y'Inx+cosy.—y，=cosyx(l+sinyinx)c?X2zxsiny-—y2xcosy.y'+2siny=電“一'")y22xcosy.y'+2siny=電“一'")y2y^Zxcosy+—)y2竺-2sin），,2Ay-2ysinyy= 2xy2cosy+x2y=x+lny/=Z+iyy-ilnx+ey=y2—+e>y'=2yyr'x(2y-e>)y2+1=e?siny2yyf=excosy.y'+sin

_exsiny2y-e^cosye.v=ex-y3eyy'=ex—3y2y'y'=—+3y2eyy=5、+2y/=5?ln5+/2yln2, 5?ln5y= !-2>ln2求下列函數(shù)的微分dy：(l)y=cotx+cscx婦二丄-*)必cos2xsin2x⑵"Inx⑵"Inxsinx—sinx-ln—sinx-lnxcosxdy=4 dxsin2%.1-x(3)y=arcsin.1-x(3)y=arcsin \+x：4)y=^rH兩邊對數(shù)得：Iny=Alln(l-x)-ln(l+x)]dy=2sin =sin(2e?)e?d￥y=tane*3dy=sec23x2dx=3雙。鯉sec2xdx求下列函數(shù)的二階導數(shù):y=xlnxy'=1=Inx/=-xy=xsinxy'=xcosx+sinxy"=-xsinx+2cosxy=arctanx“宀1+X2〃2xy= (1+X2)2⑷y=3*yf=2x3x2]n3yn=4m3/In23+21n3-3^2(四)證明題設(shè)須(X)是可導的奇函數(shù)，試證須'(X)是偶函數(shù).證：因為f(x)是奇函數(shù)所以f(-x)=-f(x)兩邊導數(shù)得：廣(一以一1)=-f(x)=>f\-x)=f(x)所以廣(X)是偶函數(shù)。《高等數(shù)學基礎(chǔ)》第三次作業(yè)第4章導數(shù)的應用單項選擇題若函數(shù)/(*)滿足條件(D),則存在&￡(。，仞，使得件)="円_了(。)b-aA.在GM)內(nèi)連續(xù) B.在(oM)內(nèi)可導C.在伝M)內(nèi)連續(xù)且可導 D.在［。，仞內(nèi)連續(xù)，在怎M)內(nèi)可導2屈數(shù)f(x)=x2+4x-\的單調(diào)增加區(qū)間是(D).A.(-oo,2) B.(-U)C.(2,+oo) D.(-2,+<?)函數(shù)y=x2+4x-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足(A).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D.單調(diào)上升函數(shù)八對滿足尸(對=0的點，一定是/⑴的(C).A.間斷點 B.極值點C.駐點 D,拐點設(shè)/(x)在SM)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，若/(x)滿足(C),則/(*)在爲取到極小值.A.廣(爲)>0,廣(寫)=0 B.fXxo)<O,f"(Xo)=OC.廣(爲)=0,廣(爲)>0 D.廣(爲)=0,廣(爲)〈0設(shè)/(!)在GM)宙有連續(xù)的二階導數(shù)，且》3v0,戶(W<0,則f。)在此區(qū)間內(nèi)是(A).A.單調(diào)減少曰是凸的 B.單調(diào)減少日是凹的C.單調(diào)增加且是凸的 D.單調(diào)增加且是凹的填空題設(shè)f(x)在SM)內(nèi)可導，寫硅(a,b),且當x<XQ時廣(x)vO,當x>%時ffM>0,則氣是/⑴的極小扃點.若函數(shù)/3)在點％可導，且、是f⑴的極值點，則/(%)= ?3屈數(shù)y=ln(l+X2)的單調(diào)減少區(qū)間是(-oo,0).函數(shù)/(%)=B的單調(diào)増加區(qū)間是(0,+8)若函數(shù)/⑴在［。M］內(nèi)恒有f(x)<0,則/(%)&［aM］上的最大值是f(a).函數(shù)fW=2+5x-3x3的拐點是x=0 .計算題求函數(shù)y=(x+\)(x-5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.令y'=(x+l)2(x+5)2=2(x-5Xx-2)X(-8,2)2(2,5)5(5,+8)y+極大-極小+

列表:上升27下降上升列表:上升27下降上升極大值：/(2)=27極小值：/(5)=0求函數(shù)y=xz-2%+3在區(qū)間[0,3]內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值.令：y,=2x-2=0 =>%=!(駐點)/(0)=3f⑶=6 /(D=2n最大值=最小值八3)=6f⑴=23.試確定函數(shù)y=axi+bx2+cx+d中的。、，d,使函數(shù)圖形過點(-2,44)和點(1,一10),且x=-2是駐點，x=l是拐點.44=-8b+4b-2x+da=1—\0=a+b+c=dh=—3解：〈cs=>'0=\2a-4b+cc=160=6。+2bd=-24求曲線>2=2x上的點，使其到點A(2,0)的距離最短.解：設(shè)p(x,y)是)，2=2x上的點，d為p到A點的距離，則:d=J(x-2)2+y2=J([-2)2+2x令d=― -= ——=0 =>x=2j(x-2)2+2xJ(x-2)2+2xy2=2*上點(1,2)到點A(2,0)的距離最短。圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積V=TiR2h=Tt(L2-h2)h令：Vr=n[h(-2h)+Li-h2]=n[L2-3,?2]=0 =>L=J^hh=^LR=辱 .?.當h=*,R=導時其體積最大?！w積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最?。吭O(shè)園柱體半徑為R,髙為h,則體積VV=7tR2hS=2nRh+2nR2=2—+2tiR2表而積 R

令：S,=-2VR-2+4kR=0A。書h=令：S,=-2VR-2+4kR=0A。書h=答：當&=時表面積最大。欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？解：設(shè)底連長為x,高為h。則：62.5=x^h,62.5=>62.5=x^hX2側(cè)面積為：s=X2+4xh=X2+——令S令S,=2x-—=0=>X3=125=>x=5吋，或勇>°)ln(l+x)<1吋，或勇>°)ln(l+x)<1=>x>ln(l+x)(當x>On寸)答：當?shù)走B長為5米，髙為2.5米時用料最省。證明題當工>0時，證明不等式x>ln(l+x).,,?宀,ln(1+x)ln(l+x)-ln1 1證：由中值定理得： - -當x>0時，證明不等式ex>x+l.渤(x)=c-(x+1)r(x)=e、_l>0 (當工>0時)n當X>0時/⑴單調(diào)上升且/(0)=0f(x)>0,即ex>(x+l) 證畢

《高等數(shù)學基礎(chǔ)》第四次作業(yè)

第5章不定積分

第6章定積分及其應用（一）單項選擇題1.若/⑴的一個原函數(shù)是丄，則f\x）=（D）.xA.財B,-—

X2A.財B,-—

X22.下列等式成立的是(D).f'(x)dx=f(x)C.若f(x)=cosx,A.sinx+cB.AJx2/(x3)ck=(B).d_vB.fdf(x)=/WC.dj/(x)dx=/(x)D. =/w則Jr(x)dx=(B).cosx+cc.-sinx+c d.-cosx+cA./(X3)B.X2/(X3)C.-f(x)D.若j/(x)dr=F(x)+c,則I-^/(Jx)dA-=(B).A.F(Jx)+cB.2F亦)+cC.F(2yfx)+cD.-^=F(Jx)+c由區(qū)間［a.b］上的兩條光滑曲線y=f(x)和y=g(x)以及兩條直線x=a^x=b^圍成甲平面區(qū)域的面枳是(C).A.Jtfd⑴］&C.C.(二)填空題 f函數(shù)f3)的不定積分是Jf(x)dx.若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之間有關(guān)系式心-G(x)=c(常數(shù)).