D104重積分的應(yīng)用課件

第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力重積分的應(yīng)用第十章第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)11.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立積分式分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn):畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法:1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可2一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為一、立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為占有空間有界3任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲4任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xOy面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的5例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立6二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平7故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即8若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且9例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xOy面上投影為則出的面積A.例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xOy面10例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(略)方法1利用球坐標(biāo)方程.例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為11三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)12將

分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)將分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令13同理可得則得形心坐標(biāo)：同理可得則得形心坐標(biāo)：14若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x軸的

靜矩—對(duì)y軸的

靜矩若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D15例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻16例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為17D104重積分的應(yīng)用課件18四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密19類似可得:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似可得:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)20如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.21例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如22解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求23解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求24,G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中,G為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體25若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為則上式改為D上的二重積分,密度函數(shù)改為即可.例如,其中:若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引26例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由27例10.求半徑為R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)例10.求半徑為R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:28為球的質(zhì)量為球的質(zhì)量29作業(yè)P153

7，10,17P173

1，3，6,11,13,14習(xí)題課作業(yè)P1537，10,17習(xí)30(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問(wèn)高度為130cm的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)備用題(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長(zhǎng)度單31側(cè)面方程:提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))側(cè)面方程:提示:記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用32由題意知令得因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).由題意知令得因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需的時(shí)間33第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力重積分的應(yīng)用第十章第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)341.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立積分式分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn):畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問(wèn)題的方法:1.能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可35一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為一、立體體積曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為占有空間有界36任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲37任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xOy面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的38例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為例2.求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立39二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平40故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即41若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且42例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xOy面上投影為則出的面積A.例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xOy面43例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(略)方法1利用球坐標(biāo)方程.例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為44三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)45將

分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)將分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令46同理可得則得形心坐標(biāo)：同理可得則得形心坐標(biāo)：47若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x軸的

靜矩—對(duì)y軸的

靜矩若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D48例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:利用對(duì)稱性可知而之間均勻49例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為50D104重積分的應(yīng)用課件51四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密52類似可得:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似可得:對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)53如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.54例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如55解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求56解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求密度為的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸

l的設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:取球心為原點(diǎn),z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求57,G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中,G為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體58若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為則上式改為D