絕對誤差相對誤差課件

絕對誤差相對誤差絕對誤差相對誤差不同的置信區(qū)間有不同的置信概率置信區(qū)間的表示或其它誤差形式表達(dá)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的算術(shù)平均偏差可以用不同的置信區(qū)間有不同的置信概率置信區(qū)間的表示或其它誤差形式誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差算術(shù)平均誤差都稱為絕對誤差都稱為絕對偏差殘差標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平均值的算術(shù)平均偏差由于真值不可知，因此應(yīng)用中常把偏差說成是誤差誤差都稱為都稱為殘差由于真值不可知，因此應(yīng)用中常把偏差說成是則是相對誤差絕對誤差與真值的比值相對偏差絕對偏差與近真值的比值是以直觀報道測量精度常用百分?jǐn)?shù)表示常把相對偏差說成相對誤差則是相對誤差絕對誤差與真值的比值相對偏差絕對偏差與近真值的比相對誤差能直觀報道測量精度舉例某一物理量的一組測量結(jié)果的絕對誤差是0.05mΔx1=0.05mΔx2=1m測籃球直徑測地球直徑另一物理量的一組測量結(jié)果的絕對誤差是1m但不一定是后者的測量精度低這要看相對誤差情況因此,相對誤差也是測量結(jié)果所要報道的一個內(nèi)容相對誤差能直觀報道測量精度舉例某一物理量的一組測量Δx1=0指測量不計系統(tǒng)誤差并且測量數(shù)據(jù)的誤差分布符合統(tǒng)計規(guī)律我們只要求掌握高斯分布近真值絕對誤差相對誤差置信概率測量次數(shù)因此報道測量的統(tǒng)計結(jié)果必須包含的相關(guān)信息是指測量不計系統(tǒng)誤差我們只要求掌握高斯分布近真值因此報道測量的測量的統(tǒng)計結(jié)果具體表達(dá)形式為公認(rèn)值

or采用不同的絕對偏差報道形式測量的統(tǒng)計結(jié)果表示的方法不一樣測量的統(tǒng)計結(jié)果具體表達(dá)形式為公認(rèn)值or采用不同的絕對偏差1.用測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式意義真值落在

到的概率為68.3％

注這種結(jié)果表達(dá)形式最通用置信概率P＝0.683可以省略即結(jié)果表式中沒注明置信概率,則絕對誤差是用平均值的標(biāo)準(zhǔn)差表示的其中1.用測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)2.用測量列平均值的算術(shù)平均偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式其中意義真值落在到的概率為57.5％從置信概率P＝0.575可知,絕對誤差是用平均值的算術(shù)平均偏差表示的注2.用測量列平均值的算術(shù)平均偏差其中意義真值落在3.用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差

作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式其中意義n次測量得到n個數(shù)據(jù),有68.3％落在

到范圍內(nèi)有測量次數(shù)和置信概率P＝0.683，便知絕對誤差是指測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差注3.用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差其中意義n次測量得到n個數(shù)據(jù),有64.用測量列的算術(shù)平均偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式意義其中n次測量得到n個數(shù)據(jù),有57.5％落在

到范圍內(nèi)有測量次數(shù)和置信概率P＝0.575，便知絕對誤差是指測量列的算術(shù)平均偏差注4.用測量列的算術(shù)平均偏差意義其中n次測量得到n個數(shù)據(jù),比如

用極限誤差表示置信區(qū)間除了以上四種表達(dá)測量結(jié)果的形式外還有其它多種則

置信概率就應(yīng)該寫為P＝0.997比如用極限誤差表示置信區(qū)間除了以上四種表達(dá)測量結(jié)果的形式外以上多種結(jié)果表達(dá)形式本質(zhì)上是一致的

不管用哪種形式報道測量的統(tǒng)計結(jié)果都是設(shè)想隨機(jī)誤差分布服從高斯分布因此目前第1種報道方式比較普及即

用平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示絕對誤差置信區(qū)間這樣，置信概率P=0.683可以省去較普及的報道方式舉例以上多種結(jié)果表達(dá)形式本質(zhì)上是一致的不管用哪種形式報道測量的測量長度L的原始數(shù)據(jù)如表0-2不計系統(tǒng)誤差，對一物理量實(shí)現(xiàn)多次等精度測量，應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差，并報道測量的(統(tǒng)計)結(jié)果結(jié)果表式舉例測量長度L的原始數(shù)據(jù)如表0-2不計系統(tǒng)誤差，對一物理量實(shí)現(xiàn)近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差=…=98.328cm=…=0.227cm為了應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差需計算和近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差=…=98.328cm=…=0.22nnn

格羅布斯系數(shù)表

GnGnGn345678910111213141516171819202225301.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74n=10，Gn=2.18nnn格羅布斯系數(shù)表GnGnGn3近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差98.328cm0.227cm為了應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差需計算和n=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可見，第7次測量數(shù)據(jù)超出(97.833,98.823)cm范圍應(yīng)當(dāng)剔除近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差98.328cm0.227cm為了98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可見，第7次測量數(shù)據(jù)超出(97.833,98.823)cm范圍應(yīng)當(dāng)剔除剔除粗差后,n＝9,再計算剔除粗差后,n＝9,重新計算98.257cm

＝0.029cm

近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差＝0.010cm＝0.011％平均值的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.1剔除粗差后,n＝9,重新計算＝0.029cm

標(biāo)準(zhǔn)偏差＝0.011％相對誤差＝0.010cm平均值的標(biāo)準(zhǔn)差98.257cm

近真值0.011％0.010cm98.257cm

因此該組測量的(統(tǒng)計)結(jié)果為

或省去置信概率

剔除粗差后,n＝9,重新計算＝0.029cm標(biāo)準(zhǔn)偏§7單次直接測量的誤差估算某些物理量的測定往往不可能重復(fù)進(jìn)行如測定某物在某時某地的速度對某物理量測一次就夠了

另一些實(shí)驗(yàn)中精度要求不高單次測量的誤差主要取決于●儀器的誤差●實(shí)驗(yàn)者感官分辨能力●觀察時的具體條件等因此單次測量的誤差主要用儀器誤差等來表達(dá)§7單次直接測量的誤差估算某些物理量的測定如測定某物在某儀器誤差可由說明書或相關(guān)資料查到因此可用儀器最小刻度表示儀器精度

●查說明書或相關(guān)資料由儀器的精度決定●一般可用最小刻度表示儀器精度如果沒有說明書或相關(guān)資料由于儀器精度通常與最小刻度是一致的視儀器刻度情況及個人分辨能力而定單次測量的絕對偏差●常取儀器最小刻度值的1/2～1/10●無法估讀的儀器取最小刻度作為絕對偏差●在結(jié)果表達(dá)式中要注明絕對誤差取的是什么儀器誤差可由說明書或相關(guān)資料查到因此可用儀器最小刻度表示用米尺測直徑,單次,觀察值30.02cm測量結(jié)果可寫成舉例Δd取最小刻度的1/2用米尺測直徑,單次,觀察值30.02cm舉例Δd取最小用精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測長度，單次，觀察讀數(shù)為34.58mm，則結(jié)果可寫成：ΔＬ取卡尺的最小刻度用精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測長度，ΔＬ取卡尺的單次測量值誤差大小主要來自于測量儀器的精度這種誤差不服從高斯分布

注意●單次測量的誤差不服從高斯分布為與隨機(jī)誤差的絕對誤差Δx區(qū)分●用Δ儀或Δ(儀器)或Δ表示儀器誤差●儀器誤差也稱為儀器的允許誤差

或示值誤差

比如游標(biāo)卡尺取最小刻度0.02mm表示儀器誤差,則其絕對誤差可寫為(儀器)or單次測量值誤差大小注意●單次測量的誤差不服從高斯分布為與隨待測量

N是直接測量量

A,B,C…的函數(shù)可測出A,B,C…然后求出待測量N

§8間接測量的誤差估算會傳遞給間接測量值

各直接測量值存在測量誤差間接測量的結(jié)果也應(yīng)表達(dá)為間接測量值的誤差估算，就是要求出上式中的絕對誤差ΔN待測量N是直接測量量A,B,C…的函數(shù)§8間間接測量值誤差的兩種估算方法也稱為誤差的傳遞公式●誤差的一般傳遞公式●標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式間接測量值誤差的兩種估算方法也稱為誤差的傳遞公式●誤差的一一.誤差的一般傳遞公式誤差的傳遞公式求全微分設(shè)各直接測量值的絕對誤差分別為用代替則間接測量值N的絕對誤差為為直接測量量的分誤差右端各項(xiàng)最不利情況考慮，認(rèn)為分誤差將累加這會導(dǎo)致間接測量值的誤差偏大但不降低其置信概率

近真值通常取相對誤差絕對誤差一.誤差的一般傳遞公式誤差的傳遞公式求全微分設(shè)各直接測記錄誤差的傳遞公式則如一誤差的傳遞公式記錄誤差的傳遞公式則如一誤差的傳遞公式誤差傳遞公式的兩個推論記錄1.和與差的絕對偏差等于各直接測量量的絕對偏差之和即：如果

則

2.積與商的相對偏差等于各直接測量量的相對偏差之和即：如果

則

誤差傳遞公式的兩個推論誤差傳遞公式的兩個推論記錄1.和與差的絕對偏差等于即：先算相對偏差，后算絕對偏差誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧當(dāng)被測量為幾個直接測量量的先算絕對偏差，后算相對偏差●和或差●乘或除誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對偏差，后算絕對偏差誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧當(dāng)被測量為誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例因尺子不夠長,分兩段測一長度測得的結(jié)果分別為求被測長度故誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例因尺子不夠長,分兩段測一長度求被測長用天平稱得質(zhì)量為求固體密度

=?用量筒測得體積為用天平稱得質(zhì)量為求固體密度=?用量筒測得體積為直接測量量求間接測量量的令則直接測量量求間接測量量的令則二標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式二.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式或稱為誤差的方和根合成

如果則證明二標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式二.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的設(shè)在實(shí)驗(yàn)中對各直接測量量作了n次測量則可算出n個N值。每次測量,N的誤差為

兩邊平方22證明設(shè)在實(shí)驗(yàn)中對各直接測量量作了n次測量兩邊平方22證明22將n次測量的相加22將n次測量的相加++…++…由于A,B,C…都是獨(dú)立變量因此dA,dB,dC…可正可負(fù)依據(jù)隨機(jī)誤差的公理大小相等負(fù)號相反的誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等

因此上式交叉乘積項(xiàng)的和將等于零=0因此兩邊微分號換為誤差(殘差)符號即dxi換成兩邊除以n(n-1)，再開方++…++…由于A,B,C…都是獨(dú)立變量依據(jù)隨機(jī)誤此式即為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式或稱為誤差的方和根合成

此式即為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論記錄標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論1.和與差的絕對偏差等于各直接測量量絕對偏差的方和根2.積與商的相對偏差等于各直接測量量相對偏差的方和根

標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論記錄標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論1.特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并如果把寫成則從第二條推論的字面上理解2.積與商的相對偏差等于各直接測量量相對偏差的方和根

相對偏差的結(jié)果似乎應(yīng)該為但這是錯誤的結(jié)果在方和根的方之前,需先對同項(xiàng)合并各直接測量量的相對偏差有三項(xiàng)同項(xiàng)合并，則變?yōu)閮身?xiàng)同項(xiàng)合并后才可進(jìn)行方和根特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并如果把寫成則從第二條推論的字特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并又比如可寫成各直接測量量的絕對偏差為四項(xiàng)合并同項(xiàng)后變?yōu)閮身?xiàng)同項(xiàng)合并后才可進(jìn)行方和根特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并又比如可寫成各直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對偏差，后算絕對偏差當(dāng)被測量為幾個直接測量量的先算絕對偏差，后算相對偏差●和或差●乘或除與誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧一致標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對前面給出了平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式——(0-15)式

平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式的證明現(xiàn)在用標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式證明之證明關(guān)系式等精度測量列的平均值由標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式可得,恒有為各個xi的函數(shù)前面給出了平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式的證明現(xiàn)在用一個測量列中,單次觀測值xi的平均值就是其本身就是測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差即因此因此單次觀測值xi的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差證畢一個測量列中,單次觀測值就是測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差即因此因此三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義估算誤差通?？梢越鉀Q兩方面問題●判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠程度●合理選擇儀器、確定實(shí)驗(yàn)方案舉例三.誤差估算的目的三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義舉例單擺法測重力加速度要求測量精度達(dá)到0.4%試應(yīng)用間接測量誤差傳遞公式合理選擇測量儀器和測量方法舉例單擺法測重力加速度要求測量精度達(dá)到0.4%試應(yīng)用間接測量誤差傳遞公式●誤差均分原則(等精度原則)右兩項(xiàng)應(yīng)當(dāng)具有同樣的準(zhǔn)確度即各直接測量的物理量的測量精度應(yīng)該相等的原則,稱為誤差均分原則,也稱為等精度原則<0.2%根據(jù)要求,可知誤差傳遞公式●誤差均分原則(等精度原則)右兩項(xiàng)應(yīng)當(dāng)具有同樣的<0.2%根據(jù)要求,可知當(dāng)擺長l在60～100cm以內(nèi)時用米尺測l即可達(dá)到Δl<0.1cm從而使El<0.2%<0.2%根據(jù)要求,可知●擺長的測量方法選用米尺，擺長取60cm以上●周期的測量方法◆若用最小刻度為0.1s的機(jī)械秒表測秒表一次測量的誤差約為0.2s計時開始到停止計時是一次時間測量開始撳表和停止計時撳表的誤差各為0.1s

擺長在1m附近時周期約2s則遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求解決的辦法測量多個周期的時間求周期例：測100個周期時間◆若用精度為0.001s的數(shù)字毫秒計測測一個周期即可<0.2%根據(jù)要求,§8有效數(shù)字及其運(yùn)算§8有效數(shù)字及其運(yùn)算一.有效數(shù)字的概念下列數(shù)字是幾位有效數(shù)字？0.0011.00011.0000.00101.1111.0010.111能夠正確而有效地表示測量和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)字，叫做有效數(shù)字通常由準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)數(shù)字構(gòu)成§8有效數(shù)字及其運(yùn)算§8有效數(shù)字及其運(yùn)算一.有效因此，這個數(shù)字47.3是有效的測讀數(shù)據(jù)為47.3mm例3是估讀的是欠準(zhǔn)的但畢竟有一定的參考意義比之不估讀要更接近實(shí)際情況因此，這個數(shù)字47.3是有效的測讀數(shù)據(jù)為47.3mm例3二.測量和數(shù)據(jù)處理中有效數(shù)字處理的基本原則處理有效數(shù)字的原則有效數(shù)字的位數(shù)反映了測量中儀器的精度情況1.有效數(shù)字的位數(shù)不能任意增減有效數(shù)字的位數(shù)是不能任意增減因此例

6.36m≠6360mm應(yīng)寫成標(biāo)準(zhǔn)式6.36m=6.36×103mm測同一長度，量具不同會得到不同結(jié)果米尺

L=(7.32±0.02)cm4位有效數(shù)字游標(biāo)尺

L=(7.310±0.006)cm3位有效數(shù)字千分尺

L=(7.3102±0.0002)cm5位有效數(shù)字可見有效數(shù)字反映了儀器的精密程度二.測量和數(shù)據(jù)處理中處理有效數(shù)字的原則有效數(shù)字的位數(shù)反映了2.有效數(shù)字和小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)最左數(shù)字前的零不是有效數(shù)字?jǐn)?shù)字寫成標(biāo)準(zhǔn)式，有效數(shù)字位數(shù)不變4.18cm=0.0418m=41.8mm300800g=3.00800×102kg都是3位有效數(shù)字都是6位有效數(shù)字2.有效數(shù)字和小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)最左數(shù)字前的零不是有效數(shù)字4一般情況下有效數(shù)字中保存一位欠準(zhǔn)數(shù)字若干個有效數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算后不因運(yùn)算而增加結(jié)果的準(zhǔn)確度但又不損害測量的精密度總則3.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則一般情況下有效數(shù)字中若干個有效數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算后總3.有效數(shù)字(1)四舍五入法則3.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則舍去多余的欠準(zhǔn)數(shù)字時大于5進(jìn)小于5舍等于5使前位成偶數(shù)記成—四舍六入五配偶(1)四舍五入法則3.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則舍去多余的欠(2)加減運(yùn)算結(jié)果以參與運(yùn)算的有效數(shù)字小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為標(biāo)準(zhǔn)多余的四舍五入例11.111+1.1欠準(zhǔn)數(shù)欠準(zhǔn)數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)相加后的數(shù)字為欠準(zhǔn)數(shù)字11.111+1.10011221.=12.211=12.2又如(2)加減運(yùn)算結(jié)果以參與運(yùn)算的有效數(shù)字例11.111+1(3)誤差的有效數(shù)字一般取一位由于誤差本身是可疑的數(shù)字所以表示誤差一般取一位在誤差中，對有效數(shù)字的取舍采用進(jìn)位法，而不用四舍五入法因?yàn)檎`差是作最壞估計，最多取二位0.0044=0.004=0.005四舍五入進(jìn)位法多余的采用進(jìn)位法進(jìn)位引起的附加誤差在整個誤差中占的百分比過大時應(yīng)多保留一位有效數(shù)字即誤差至多取兩位有效數(shù)字=0.2差不多誤差擴(kuò)大了一倍進(jìn)位法取一位0.1112宜多取一位：0.1112=0.12(3)誤差的有效數(shù)字一般取一位由于誤差本身是可疑的數(shù)字在2.3412.1×43212846+(4)乘除運(yùn)算16149.=4.9161=4.9可見積或商的有效位數(shù)，一般應(yīng)與參與運(yùn)算的數(shù)中有效位數(shù)最少的一個相同多余的四舍五入2.3412.1×43212846+(4)乘除運(yùn)(5)常數(shù)與有效數(shù)字運(yùn)算由參與運(yùn)算的有效數(shù)字位數(shù)定結(jié)果位數(shù)常數(shù)有效數(shù)字3.145×36結(jié)果不能只取2位有效數(shù)字!如常數(shù)為無限數(shù)則的位數(shù)應(yīng)比參與運(yùn)算的有效數(shù)字多取一位,結(jié)果以測量量的有效位數(shù)而定(5)常數(shù)與有效數(shù)字運(yùn)算由參與運(yùn)算的有效數(shù)字位數(shù)定結(jié)果位(6)測量結(jié)果的表達(dá)形式與的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)應(yīng)對齊

的位數(shù)由決定通常取一位，最多可取2位例如，測得近真值測量誤差計算值則說明后三位已是欠準(zhǔn)數(shù)字所以結(jié)果形式應(yīng)改成或(6)測量結(jié)果的表達(dá)形式與的小數(shù)點(diǎn)位數(shù)應(yīng)對齊的位數(shù)(8)函數(shù)運(yùn)算②由絕對誤差決定測量數(shù)據(jù)的位數(shù)●函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位的一般方法①求出絕對誤差用間接測量誤差傳遞公式求從舉例中體會●函數(shù)運(yùn)算有效數(shù)字取位的簡單近似法通常取一位,最多取二位(7)相對誤差(8)函數(shù)運(yùn)算②由絕對誤差決定測量數(shù)據(jù)的位數(shù)●函數(shù)運(yùn)算例：測量值1270的對數(shù)lg1270應(yīng)該取幾位有效數(shù)字？lg1270lg1271在小數(shù)點(diǎn)后第三位出現(xiàn)差別=3.103803721=3.104145551分別計算因此取小數(shù)點(diǎn)后三位=3.104

也可多保留一位lg1270=3.1038

例：測量值1270的對數(shù)lg1270lg1270lg1271例：取幾位有效數(shù)字？分別計算＝4.402272141

＝4.403407771

＝4.402取小數(shù)點(diǎn)后三位也可多保留一位＝4.4023例：取幾位有效數(shù)字？分別計算＝4.40227214例：取幾位有效數(shù)字？=0.872922077=0.873063953=0.873=0.8729例：取幾位有效數(shù)字？=0.872922077=絕對誤差相對誤差絕對誤差相對誤差不同的置信區(qū)間有不同的置信概率置信區(qū)間的表示或其它誤差形式表達(dá)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的算術(shù)平均偏差可以用不同的置信區(qū)間有不同的置信概率置信區(qū)間的表示或其它誤差形式誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差算術(shù)平均誤差都稱為絕對誤差都稱為絕對偏差殘差標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平均值的算術(shù)平均偏差由于真值不可知，因此應(yīng)用中常把偏差說成是誤差誤差都稱為都稱為殘差由于真值不可知，因此應(yīng)用中常把偏差說成是則是相對誤差絕對誤差與真值的比值相對偏差絕對偏差與近真值的比值是以直觀報道測量精度常用百分?jǐn)?shù)表示常把相對偏差說成相對誤差則是相對誤差絕對誤差與真值的比值相對偏差絕對偏差與近真值的比相對誤差能直觀報道測量精度舉例某一物理量的一組測量結(jié)果的絕對誤差是0.05mΔx1=0.05mΔx2=1m測籃球直徑測地球直徑另一物理量的一組測量結(jié)果的絕對誤差是1m但不一定是后者的測量精度低這要看相對誤差情況因此,相對誤差也是測量結(jié)果所要報道的一個內(nèi)容相對誤差能直觀報道測量精度舉例某一物理量的一組測量Δx1=0指測量不計系統(tǒng)誤差并且測量數(shù)據(jù)的誤差分布符合統(tǒng)計規(guī)律我們只要求掌握高斯分布近真值絕對誤差相對誤差置信概率測量次數(shù)因此報道測量的統(tǒng)計結(jié)果必須包含的相關(guān)信息是指測量不計系統(tǒng)誤差我們只要求掌握高斯分布近真值因此報道測量的測量的統(tǒng)計結(jié)果具體表達(dá)形式為公認(rèn)值

or采用不同的絕對偏差報道形式測量的統(tǒng)計結(jié)果表示的方法不一樣測量的統(tǒng)計結(jié)果具體表達(dá)形式為公認(rèn)值or采用不同的絕對偏差1.用測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式意義真值落在

到的概率為68.3％

注這種結(jié)果表達(dá)形式最通用置信概率P＝0.683可以省略即結(jié)果表式中沒注明置信概率,則絕對誤差是用平均值的標(biāo)準(zhǔn)差表示的其中1.用測量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)2.用測量列平均值的算術(shù)平均偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式其中意義真值落在到的概率為57.5％從置信概率P＝0.575可知,絕對誤差是用平均值的算術(shù)平均偏差表示的注2.用測量列平均值的算術(shù)平均偏差其中意義真值落在3.用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差

作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式其中意義n次測量得到n個數(shù)據(jù),有68.3％落在

到范圍內(nèi)有測量次數(shù)和置信概率P＝0.683，便知絕對誤差是指測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差注3.用測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差其中意義n次測量得到n個數(shù)據(jù),有64.用測量列的算術(shù)平均偏差作為絕對誤差報道測量結(jié)果的表達(dá)形式意義其中n次測量得到n個數(shù)據(jù),有57.5％落在

到范圍內(nèi)有測量次數(shù)和置信概率P＝0.575，便知絕對誤差是指測量列的算術(shù)平均偏差注4.用測量列的算術(shù)平均偏差意義其中n次測量得到n個數(shù)據(jù),比如

用極限誤差表示置信區(qū)間除了以上四種表達(dá)測量結(jié)果的形式外還有其它多種則

置信概率就應(yīng)該寫為P＝0.997比如用極限誤差表示置信區(qū)間除了以上四種表達(dá)測量結(jié)果的形式外以上多種結(jié)果表達(dá)形式本質(zhì)上是一致的

不管用哪種形式報道測量的統(tǒng)計結(jié)果都是設(shè)想隨機(jī)誤差分布服從高斯分布因此目前第1種報道方式比較普及即

用平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示絕對誤差置信區(qū)間這樣，置信概率P=0.683可以省去較普及的報道方式舉例以上多種結(jié)果表達(dá)形式本質(zhì)上是一致的不管用哪種形式報道測量的測量長度L的原始數(shù)據(jù)如表0-2不計系統(tǒng)誤差，對一物理量實(shí)現(xiàn)多次等精度測量，應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差，并報道測量的(統(tǒng)計)結(jié)果結(jié)果表式舉例測量長度L的原始數(shù)據(jù)如表0-2不計系統(tǒng)誤差，對一物理量實(shí)現(xiàn)近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差=…=98.328cm=…=0.227cm為了應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差需計算和近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差=…=98.328cm=…=0.22nnn

格羅布斯系數(shù)表

GnGnGn345678910111213141516171819202225301.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74n=10，Gn=2.18nnn格羅布斯系數(shù)表GnGnGn3近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差98.328cm0.227cm為了應(yīng)用格羅布斯準(zhǔn)則剔除粗差需計算和n=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可見，第7次測量數(shù)據(jù)超出(97.833,98.823)cm范圍應(yīng)當(dāng)剔除近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差98.328cm0.227cm為了98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可見，第7次測量數(shù)據(jù)超出(97.833,98.823)cm范圍應(yīng)當(dāng)剔除剔除粗差后,n＝9,再計算剔除粗差后,n＝9,重新計算98.257cm

＝0.029cm

近真值標(biāo)準(zhǔn)偏差＝0.010cm＝0.011％平均值的標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.1剔除粗差后,n＝9,重新計算＝0.029cm

標(biāo)準(zhǔn)偏差＝0.011％相對誤差＝0.010cm平均值的標(biāo)準(zhǔn)差98.257cm

近真值0.011％0.010cm98.257cm

因此該組測量的(統(tǒng)計)結(jié)果為

或省去置信概率

剔除粗差后,n＝9,重新計算＝0.029cm標(biāo)準(zhǔn)偏§7單次直接測量的誤差估算某些物理量的測定往往不可能重復(fù)進(jìn)行如測定某物在某時某地的速度對某物理量測一次就夠了

另一些實(shí)驗(yàn)中精度要求不高單次測量的誤差主要取決于●儀器的誤差●實(shí)驗(yàn)者感官分辨能力●觀察時的具體條件等因此單次測量的誤差主要用儀器誤差等來表達(dá)§7單次直接測量的誤差估算某些物理量的測定如測定某物在某儀器誤差可由說明書或相關(guān)資料查到因此可用儀器最小刻度表示儀器精度

●查說明書或相關(guān)資料由儀器的精度決定●一般可用最小刻度表示儀器精度如果沒有說明書或相關(guān)資料由于儀器精度通常與最小刻度是一致的視儀器刻度情況及個人分辨能力而定單次測量的絕對偏差●常取儀器最小刻度值的1/2～1/10●無法估讀的儀器取最小刻度作為絕對偏差●在結(jié)果表達(dá)式中要注明絕對誤差取的是什么儀器誤差可由說明書或相關(guān)資料查到因此可用儀器最小刻度表示用米尺測直徑,單次,觀察值30.02cm測量結(jié)果可寫成舉例Δd取最小刻度的1/2用米尺測直徑,單次,觀察值30.02cm舉例Δd取最小用精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測長度，單次，觀察讀數(shù)為34.58mm，則結(jié)果可寫成：ΔＬ取卡尺的最小刻度用精度為0.02mm的游標(biāo)卡尺測長度，ΔＬ取卡尺的單次測量值誤差大小主要來自于測量儀器的精度這種誤差不服從高斯分布

注意●單次測量的誤差不服從高斯分布為與隨機(jī)誤差的絕對誤差Δx區(qū)分●用Δ儀或Δ(儀器)或Δ表示儀器誤差●儀器誤差也稱為儀器的允許誤差

或示值誤差

比如游標(biāo)卡尺取最小刻度0.02mm表示儀器誤差,則其絕對誤差可寫為(儀器)or單次測量值誤差大小注意●單次測量的誤差不服從高斯分布為與隨待測量

N是直接測量量

A,B,C…的函數(shù)可測出A,B,C…然后求出待測量N

§8間接測量的誤差估算會傳遞給間接測量值

各直接測量值存在測量誤差間接測量的結(jié)果也應(yīng)表達(dá)為間接測量值的誤差估算，就是要求出上式中的絕對誤差ΔN待測量N是直接測量量A,B,C…的函數(shù)§8間間接測量值誤差的兩種估算方法也稱為誤差的傳遞公式●誤差的一般傳遞公式●標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式間接測量值誤差的兩種估算方法也稱為誤差的傳遞公式●誤差的一一.誤差的一般傳遞公式誤差的傳遞公式求全微分設(shè)各直接測量值的絕對誤差分別為用代替則間接測量值N的絕對誤差為為直接測量量的分誤差右端各項(xiàng)最不利情況考慮，認(rèn)為分誤差將累加這會導(dǎo)致間接測量值的誤差偏大但不降低其置信概率

近真值通常取相對誤差絕對誤差一.誤差的一般傳遞公式誤差的傳遞公式求全微分設(shè)各直接測記錄誤差的傳遞公式則如一誤差的傳遞公式記錄誤差的傳遞公式則如一誤差的傳遞公式誤差傳遞公式的兩個推論記錄1.和與差的絕對偏差等于各直接測量量的絕對偏差之和即：如果

則

2.積與商的相對偏差等于各直接測量量的相對偏差之和即：如果

則

誤差傳遞公式的兩個推論誤差傳遞公式的兩個推論記錄1.和與差的絕對偏差等于即：先算相對偏差，后算絕對偏差誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧當(dāng)被測量為幾個直接測量量的先算絕對偏差，后算相對偏差●和或差●乘或除誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對偏差，后算絕對偏差誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧當(dāng)被測量為誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例因尺子不夠長,分兩段測一長度測得的結(jié)果分別為求被測長度故誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例誤差傳遞公式的應(yīng)用舉例因尺子不夠長,分兩段測一長度求被測長用天平稱得質(zhì)量為求固體密度

=?用量筒測得體積為用天平稱得質(zhì)量為求固體密度=?用量筒測得體積為直接測量量求間接測量量的令則直接測量量求間接測量量的令則二標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式二.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式或稱為誤差的方和根合成

如果則證明二標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式二.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的設(shè)在實(shí)驗(yàn)中對各直接測量量作了n次測量則可算出n個N值。每次測量,N的誤差為

兩邊平方22證明設(shè)在實(shí)驗(yàn)中對各直接測量量作了n次測量兩邊平方22證明22將n次測量的相加22將n次測量的相加++…++…由于A,B,C…都是獨(dú)立變量因此dA,dB,dC…可正可負(fù)依據(jù)隨機(jī)誤差的公理大小相等負(fù)號相反的誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等

因此上式交叉乘積項(xiàng)的和將等于零=0因此兩邊微分號換為誤差(殘差)符號即dxi換成兩邊除以n(n-1)，再開方++…++…由于A,B,C…都是獨(dú)立變量依據(jù)隨機(jī)誤此式即為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式或稱為誤差的方和根合成

此式即為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論記錄標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論1.和與差的絕對偏差等于各直接測量量絕對偏差的方和根2.積與商的相對偏差等于各直接測量量相對偏差的方和根

標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論記錄標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的兩個推論1.特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并如果把寫成則從第二條推論的字面上理解2.積與商的相對偏差等于各直接測量量相對偏差的方和根

相對偏差的結(jié)果似乎應(yīng)該為但這是錯誤的結(jié)果在方和根的方之前,需先對同項(xiàng)合并各直接測量量的相對偏差有三項(xiàng)同項(xiàng)合并，則變?yōu)閮身?xiàng)同項(xiàng)合并后才可進(jìn)行方和根特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并如果把寫成則從第二條推論的字特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并又比如可寫成各直接測量量的絕對偏差為四項(xiàng)合并同項(xiàng)后變?yōu)閮身?xiàng)同項(xiàng)合并后才可進(jìn)行方和根特別注意方和根之前需先對同項(xiàng)合并又比如可寫成各直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對偏差，后算絕對偏差當(dāng)被測量為幾個直接測量量的先算絕對偏差，后算相對偏差●和或差●乘或除與誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧一致標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式的應(yīng)用技巧先算相對前面給出了平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式——(0-15)式

平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式的證明現(xiàn)在用標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式證明之證明關(guān)系式等精度測量列的平均值由標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式可得,恒有為各個xi的函數(shù)前面給出了平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差關(guān)系式的證明現(xiàn)在用一個測量列中,單次觀測值xi的平均值就是其本身就是測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差即因此因此單次觀測值xi的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差證畢一個測量列中,單次觀測值就是測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差即因此因此三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義估算誤差通?？梢越鉀Q兩方面問題●判斷實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠程度●合理選擇儀器、確定實(shí)驗(yàn)方案舉例三.誤差估算的目的三.誤差估算的目的及其對實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)意義舉例單擺法測重力加速度要求測量精度達(dá)到0.4%試應(yīng)用間接測量誤差傳遞公式合理選擇測量儀器和測量方法舉例單擺法測重力加速度要求測量精度達(dá)到0.4%試應(yīng)用間接測量誤差傳遞公式●誤差均分原則(等精度原則)右兩項(xiàng)應(yīng)當(dāng)具有同樣的準(zhǔn)確度即各直接測量的物理量的測量精度應(yīng)該相等的原則,稱為誤差均分原則,也稱為等精度原則<0.2%根據(jù)要求,可知誤差傳遞公式●誤差均分原則(等精度原則)右兩項(xiàng)應(yīng)當(dāng)具有同樣的<0.2%根據(jù)要求,可知當(dāng)擺長l在60～100cm以內(nèi)時用米尺測l即可達(dá)到Δl<0.1cm從而使El<0.2%<0.2%根據(jù)要求,可知●擺長的測量方法選用米尺，擺長取60cm以上●周期的測量方法◆若用最小刻度為0.1s的機(jī)械秒表測秒表一次測量的誤差約為0.2s計時開始到停止計時是一次時間測量開始撳表和停止計時撳表的誤差各為0.1s

擺長在1m附近時周期約2s則遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求解決的辦法測量多個周期的時間求周期例：測100個周期時間◆若用精度為0.001s的數(shù)字毫秒計測測一個周期即可<0.2%根據(jù)要求,§8有效數(shù)字及其運(yùn)算§8有效數(shù)字及其運(yùn)算一.有效數(shù)字的概念下列數(shù)字是幾位有效數(shù)字？0.0011.00011.0000.00101.1111.0010.111能夠正確而有效地表示測量和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)字，叫做有效數(shù)字通常由準(zhǔn)確數(shù)字和一位欠準(zhǔn)數(shù)字構(gòu)成§8有效數(shù)字及其運(yùn)算§8有效數(shù)字及其運(yùn)算一.有效因此，這個數(shù)字47.3是有效的測讀數(shù)據(jù)為47.3mm例3是估讀的是欠準(zhǔn)的但畢竟有一定的參考意義比之不估讀要更接近實(shí)際情況因此，這個數(shù)字47.3是有效的測讀數(shù)據(jù)為47.3mm例3二.測量和數(shù)據(jù)處理中有效數(shù)字處理的基本原則處理有效數(shù)字的原則有效數(shù)字的位數(shù)反映了測量中儀器的精度情況1.有效數(shù)字的位數(shù)不能任意增減有效數(shù)字的位數(shù)是不能任意增減因此例

6.36m≠6360mm應(yīng)寫成標(biāo)準(zhǔn)式6.36m=6.36×103mm測同一長度，量具不同會得到不同結(jié)果米尺

L=(7.32±0.02)cm4位有效數(shù)字游標(biāo)尺

L=(7.310±0.006)cm3位有效數(shù)字千分尺

L=(7.3102±0.0002)cm5位有效數(shù)字可見有效數(shù)字反映了儀器的精密程度二.測量和