高等數(shù)學(xué)課件D3-5極值與最值

二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)1定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極大值

;(2)則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)

.一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為2注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點(diǎn),是極大值是極小值為極小值點(diǎn),函數(shù)注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極3定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“4例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令5定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類(lèi)似可證.定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則6例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得7定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)8例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~9例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿(mǎn)足定理1~定理3的條件.例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~10二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.11特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)12例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故13因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,14(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠(chǎng)C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線(xiàn)上選定一點(diǎn)D

向工廠(chǎng)修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)廠(chǎng)C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?km,公路,價(jià)之比為3:5,(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為10015例5.

把一根直徑為

d

的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)

和

b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高16存在一個(gè)取得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來(lái).售出該產(chǎn)品x千件的收入是例8.

設(shè)某工廠(chǎng)生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤(rùn)為問(wèn)是否故在x2=3.414千件處達(dá)到最大利潤(rùn),而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.存在一個(gè)取得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來(lái).售出17說(shuō)明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為邊際成本稱(chēng)為邊際收入稱(chēng)為邊際利潤(rùn)由此例分析過(guò)程可見(jiàn),在給出最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平上即邊際收入＝邊際成本（見(jiàn)右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大說(shuō)明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為邊際成本稱(chēng)為邊際收入稱(chēng)為邊際利潤(rùn)由此例分18用開(kāi)始移動(dòng),例6.

設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力F

作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.設(shè)摩擦系數(shù)問(wèn)力F與水平面夾角

為多少時(shí)才可使力F的大小最小?用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上19令解得而因而F

取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值20清楚(視角最大)?觀(guān)察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:

設(shè)觀(guān)察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀(guān)察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀(guān)察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚.問(wèn)觀(guān)察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角最大)?觀(guān)察者的眼睛1.8m,例7.21內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣定理3內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為022最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判232.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B243.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A3.設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B25作業(yè)P1623;4(2)

13;15;16作業(yè)P1623;4(2)26試問(wèn)為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:

由題意應(yīng)有又

1.求出該極值,并指出它是極大即試問(wèn)為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:由題意應(yīng)27試求解:2.

故所求最大值為試求解:2.故所求最大值為28二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章二、最大值與最小值問(wèn)題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)29定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極大值

;(2)則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)

.一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為30注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點(diǎn),是極大值是極小值為極小值點(diǎn),函數(shù)注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極31定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“32例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令33定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類(lèi)似可證.定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則34例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得35定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)36例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~37例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說(shuō)明:當(dāng)這些充分條件不滿(mǎn)足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿(mǎn)足定理1~定理3的條件.例如,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~38二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.39特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)40例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故41因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.因此也可通過(guò)例3.求函數(shù)說(shuō)明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,42(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠(chǎng)C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線(xiàn)上選定一點(diǎn)D

向工廠(chǎng)修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)廠(chǎng)C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)如何取?km,公路,價(jià)之比為3:5,(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為10043例5.

把一根直徑為

d

的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)

和

b

應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實(shí)際意義可知,所求最值存在,駐點(diǎn)只一個(gè),故所求結(jié)果就是最好的選擇.例5.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問(wèn)矩形截面的高44存在一個(gè)取得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來(lái).售出該產(chǎn)品x千件的收入是例8.

設(shè)某工廠(chǎng)生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤(rùn)為問(wèn)是否故在x2=3.414千件處達(dá)到最大利潤(rùn),而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.存在一個(gè)取得最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來(lái).售出45說(shuō)明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為邊際成本稱(chēng)為邊際收入稱(chēng)為邊際利潤(rùn)由此例分析過(guò)程可見(jiàn),在給出最大利潤(rùn)的生產(chǎn)水平上即邊際收入＝邊際成本（見(jiàn)右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大說(shuō)明：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)為邊際成本稱(chēng)為邊際收入稱(chēng)為邊際利潤(rùn)由此例分46用開(kāi)始移動(dòng),例6.

設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力F

作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.設(shè)摩擦系數(shù)問(wèn)力F與水平面夾角

為多少時(shí)才可使力F的大小最小?用開(kāi)始移動(dòng),例6.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上47令解得而因而F

取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題.令解得而因而F取最小值.解:即令則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值48清楚(視角最大)?觀(guān)察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:

設(shè)觀(guān)察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀(guān)察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀(guān)察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚.問(wèn)觀(guān)察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角最大)?觀(guān)察者的眼睛1.8m,例7.49內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn)