近世代數(shù)課件-21-群的定義

§1．群的定義內(nèi)容導(dǎo)航1.1引例1.2群的第一定義及例子1.3群的第二定義1.4群的第三定義1.5群的第四定義1.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念§1．群的定義內(nèi)容導(dǎo)航11.1引例例1集合上所有一一變換……………….引入記號(hào):1.1引例例1集合上所有2例2保持平面上正△不變的保距變換.………

,具有乘法運(yùn)算(映射復(fù)合),滿足性質(zhì):Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；例2保持平面上正△不變的保距變換.3Ⅳ．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅴ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.例3保持中多項(xiàng)式不變的變換.Ⅳ．里至少存在一個(gè)，能讓Ⅴ．對(duì)于的每一個(gè)元41.2群的第一定義及例子群的定義I我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:III．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；1.2群的第一定義及例子群的定義I我們說(shuō)，5Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.注1群與運(yùn)算聯(lián)系在一起.例4.(平凡群)只包含一個(gè)元．乘法是．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群．例5.在數(shù)集中,關(guān)于熟習(xí)的運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子……………...Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記注6例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空間是一個(gè)加法群例8(重新定義的運(yùn)算)在上定義運(yùn)算判斷關(guān)于給定的運(yùn)算是否構(gòu)成群.注2群定義中,I和II是驗(yàn)算,III和IV需要找元素.注3III和IV有邏輯先后.例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空7作業(yè):判斷下列是否構(gòu)成群(1)在上定義運(yùn)算(2)在上定義運(yùn)算作業(yè):判斷下列是否構(gòu)成群上定義運(yùn)算(2)在上定義運(yùn)算81.3群的第二定義引理1一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元,這句話的意思是：證明有元有左逆元，使得一方面,但另一方面,所以1.3群的第二定義引理1一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元,9引理2一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元．這就是說(shuō)：證明:

群的定義II我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；引理2一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元．這就證明:10III’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；Ⅳ’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的右逆元.證明:(1)定義I證明定義II,已經(jīng)完成(2)定義II證明定義I,需要類似的二步(作業(yè))III’．里至少存在一個(gè)，能讓Ⅳ’．對(duì)于的每111.4群的第三定義群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；III’’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；1.4群的第三定義群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合12Ⅳ’’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的逆元.Ⅳ’’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記131.5群的第四定義群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；V．對(duì)于的任意兩個(gè)元，來(lái)說(shuō)，方程和都在里有解．1.5群的第四定義群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合14證明定義III定義IV定義I定義III(1)定義III定義IV,容易(2)定義IV定義I

III.需要證明：里至少存在一個(gè)元，叫做的一個(gè)左單位元，能讓對(duì)于的任何元都成立．對(duì)于一個(gè)固定的元，在里有解．我們?nèi)我馊∫粋€(gè)解，叫它作：（１）證明定義III定義IV定義I15我們要證明這個(gè)就是左單位元，即：對(duì)于的任意元，成立．有解：（２）由（１），（２）這樣，我們證明了的存在．我們要證明這個(gè)就是左單位元，即：對(duì)于的任意元16Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里至少存在一個(gè)元，叫做的一個(gè)左逆元，能讓成立．這里是一個(gè)固定的左單位元．由V，可解．(3)定義I定義III，已經(jīng)完成。Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里至少存在一個(gè)171.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念以下我們還要說(shuō)明幾個(gè)名詞和符號(hào)．一個(gè)群的元素的個(gè)數(shù)可以有限也可以無(wú)限．我們規(guī)定定義1一個(gè)群叫做有限群，假如這個(gè)群的元的個(gè)數(shù)是一個(gè)有限數(shù)．不然的話，這個(gè)群叫做無(wú)限群．一個(gè)有限群的元的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)群的階．1.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念以下我們還要說(shuō)明幾個(gè)名詞和符號(hào)．一個(gè)18在一個(gè)群里結(jié)合律是對(duì)的，所以

有意義，是的某一個(gè)元．這樣，我們當(dāng)然可以把個(gè)相同的元來(lái)相乘．因?yàn)槲覀冇闷胀ǔ朔ǖ姆?hào)來(lái)表示群的乘法，這樣得來(lái)的一個(gè)元我們也用普通符號(hào)來(lái)表示：是正整數(shù)并且也把它叫做的次乘方（簡(jiǎn)稱次方）

在一個(gè)群里結(jié)合律是對(duì)的，所以19在一般的群里交換律未必成立．但在特別的群里交換律是可以成立的，比方說(shuō)我們以上三個(gè)例子里的群就都有這個(gè)性質(zhì)．定義2一個(gè)群叫做交換群，假如對(duì)于的任何兩個(gè)元，都成立．作業(yè):p35:3在一般的群里交換律未必成立．但在特別的群里交換律是可以成立的20§1．群的定義內(nèi)容導(dǎo)航1.1引例1.2群的第一定義及例子1.3群的第二定義1.4群的第三定義1.5群的第四定義1.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念§1．群的定義內(nèi)容導(dǎo)航211.1引例例1集合上所有一一變換……………….引入記號(hào):1.1引例例1集合上所有22例2保持平面上正△不變的保距變換.………

,具有乘法運(yùn)算(映射復(fù)合),滿足性質(zhì):Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；例2保持平面上正△不變的保距變換.23Ⅳ．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅴ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.例3保持中多項(xiàng)式不變的變換.Ⅳ．里至少存在一個(gè)，能讓Ⅴ．對(duì)于的每一個(gè)元241.2群的第一定義及例子群的定義I我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:III．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為左單位元；Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；1.2群的第一定義及例子群的定義I我們說(shuō)，25Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的左逆元.注1群與運(yùn)算聯(lián)系在一起.例4.(平凡群)只包含一個(gè)元．乘法是．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群．例5.在數(shù)集中,關(guān)于熟習(xí)的運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子……………...Ⅳ．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記注26例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空間是一個(gè)加法群例8(重新定義的運(yùn)算)在上定義運(yùn)算判斷關(guān)于給定的運(yùn)算是否構(gòu)成群.注2群定義中,I和II是驗(yàn)算,III和IV需要找元素.注3III和IV有邏輯先后.例6在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7向量空27作業(yè):判斷下列是否構(gòu)成群(1)在上定義運(yùn)算(2)在上定義運(yùn)算作業(yè):判斷下列是否構(gòu)成群上定義運(yùn)算(2)在上定義運(yùn)算281.3群的第二定義引理1一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元,這句話的意思是：證明有元有左逆元，使得一方面,但另一方面,所以1.3群的第二定義引理1一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元,29引理2一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元．這就是說(shuō)：證明:

群的定義II我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；引理2一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元．這就證明:30III’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；Ⅳ’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的右逆元.證明:(1)定義I證明定義II,已經(jīng)完成(2)定義II證明定義I,需要類似的二步(作業(yè))III’．里至少存在一個(gè)，能讓Ⅳ’．對(duì)于的每311.4群的第三定義群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的:對(duì)于；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；III’’．里至少存在一個(gè)，能讓對(duì)于的任何元都成立,這樣的稱為右單位元；1.4群的第三定義群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合32Ⅳ’’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記為，能讓這樣的稱為的逆元.Ⅳ’’．對(duì)于的每一個(gè)元，在里存在一個(gè)元,記331.5群的第四定義群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:Ⅰ．對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的；Ⅱ．結(jié)合律成立：,對(duì)于；V．對(duì)于的任意兩個(gè)元，來(lái)說(shuō)，方程和都在里有解．1.5群的第四定義群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合34證明定義III定義IV定義I定義III(1)定義III定義IV,容易(2)定義IV定義I

III.需要證明：里至少存在一個(gè)元，叫做的一個(gè)左單位元，能讓對(duì)于的任何元都成立．對(duì)于一個(gè)固定的元，在里有解．我們?nèi)我馊∫粋€(gè)解，叫它作：（１）證明定義III定義IV定義I35我們要證明這個(gè)就是左單位元，即：對(duì)于的任意元，成立．有解：（２）由（１），（２）這樣，我們證明了