機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章解讀課件

機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章靜力和速度——新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章靜力和速度——新疆大學(xué)1第五章速度和靜力概述在本章中，我們將機(jī)器人操作臂的討論擴(kuò)展到靜態(tài)位置問(wèn)題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運(yùn)用這些概念去分析操作臂的運(yùn)動(dòng)。我們將討論作用在剛體上的力，然后應(yīng)用這些概念去研究操作臂靜力學(xué)應(yīng)用的問(wèn)題。關(guān)于速度和靜力的研究將得出一個(gè)稱為操作臂雅克比的實(shí)矩陣。第五章速度和靜力概述2矢量的導(dǎo)數(shù)（5-1）位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點(diǎn)的線速度。式5-1可以看出，可以通過(guò)計(jì)算Q相對(duì)于坐標(biāo)系{B}的微分進(jìn)行描述。左上標(biāo)B是表明相對(duì)于坐標(biāo)系{B}進(jìn)行的微分矢量的導(dǎo)數(shù)3像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標(biāo)系中描述，器參考坐標(biāo)系用左上標(biāo)注明，如果在坐標(biāo)系{A}中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫(xiě)為給出速度表達(dá)式像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標(biāo)系中描述，器參考坐標(biāo)系用左4經(jīng)常討論的是一個(gè)坐標(biāo)系元旦相對(duì)于某個(gè)常見(jiàn)的世界參考坐標(biāo)系的速度，而不考慮任意坐標(biāo)系中一般點(diǎn)的速度。對(duì)于這種情況定義一個(gè)縮寫(xiě)符號(hào)那么是坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中表示的速度，盡管微分是相對(duì)于坐標(biāo)系{U}進(jìn)行的經(jīng)常討論的是一個(gè)坐標(biāo)系元旦相對(duì)于某個(gè)常見(jiàn)的世界參考坐標(biāo)系的速5角速度矢量角速度矢量用符號(hào)表示。線速度描述了點(diǎn)的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標(biāo)系總是固連在剛體上，所以可以用角速度描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。圖5-2在圖5-2中，描述了坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的旋轉(zhuǎn)。實(shí)際上的方向就是{B}相對(duì)于{A}的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸，的大小表示旋轉(zhuǎn)速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標(biāo)中描述，例如，就是坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的角速度在坐標(biāo)系{C}中的描述。角速度矢量角速度矢量用符號(hào)表示。線速度描述了點(diǎn)的一種6在參考坐標(biāo)系非常簡(jiǎn)單可用一種簡(jiǎn)化的表示方法這里，為坐標(biāo)系{C}相對(duì)于某個(gè)已知坐標(biāo)系{U}的角速度。例如就是坐標(biāo)系{C}的角速度在坐標(biāo)系{A}中的描述，盡管這個(gè)角速度是相對(duì)于坐標(biāo)系{U}的。在參考坐標(biāo)系非常簡(jiǎn)單可用一種簡(jiǎn)化的表示方法75.3剛體的線速度和角速度線速度把坐標(biāo)系固連在一剛體上，要求描述相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng),如圖5-3所示。這里已經(jīng)認(rèn)為坐標(biāo)系{A}是固定的。此時(shí)我們假定不隨時(shí)間變化。則Q點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng)是由于或隨時(shí)間的變化引起的。

5.3剛體的線速度和角速度線速度8角速度我們討論兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，相對(duì)線速度為0的情況。(1)時(shí)（5-10）(2)時(shí)（5-11）角速度9線速度和角速度同時(shí)存在的情況（5-13）這是把原點(diǎn)的線速度加到式（5-12）中，得到了從坐標(biāo)系{A}觀測(cè)坐標(biāo)系{B}的普遍公式。線速度和角速度同時(shí)存在的情況105.4對(duì)角速度的進(jìn)一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數(shù)學(xué)方法正交矩陣導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)我們可以推出正交矩陣和某一反對(duì)稱矩陣的一種特殊關(guān)系。對(duì)于任何n×n正交矩陣R，有（5-14）當(dāng)n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉(zhuǎn)矩陣，對(duì)式（5-14）求導(dǎo)得5.4對(duì)角速度的進(jìn)一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-111定義S為反對(duì)稱矩陣，因此正交矩陣的微分與反對(duì)稱矩陣之間存在如下特性，可以寫(xiě)為定義12由于參考系旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)速度假定固定矢量相對(duì)于坐標(biāo)系{B}是不變的，在另一個(gè)坐標(biāo)系{A}中的描述為由于坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)，代入表達(dá)式，得將代入有(5-24)由于參考系旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)速度假定固定矢量相對(duì)于坐標(biāo)系{B13反對(duì)稱陣和矢量積如果反對(duì)稱陣S的各元素如下：(5-25)定義3×1的列矢量(5-26)容易證明(5-27)反對(duì)稱陣和矢量積如果反對(duì)稱陣S的各元素如下：14與式（5-24）聯(lián)立可得與式（5-24）聯(lián)立可得155.5機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng)連桿間的速度傳遞操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰連桿有關(guān)。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。5.5機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng)連桿間的速度傳遞16如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個(gè)由于關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標(biāo)系{i}，上述關(guān)系可寫(xiě)成圖5-6其中如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一17在方程式5-43兩邊同時(shí)左乘可以得到連桿i+1的角速度相對(duì)于坐標(biāo)系{i+1}的表達(dá)式：在方程式5-43兩邊同時(shí)左乘可以得到連桿i+1的18坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的線速度加上一個(gè)由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于在坐標(biāo)系{i}中是常數(shù)，所以有，（5-46）兩邊同時(shí)左乘得（5-47）從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計(jì)算出最后一個(gè)連桿的角速度和線速度，注意，這兩個(gè)公式是按照坐標(biāo)系{N}表達(dá)的，如果用基坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)角速度和線速度的話，就可以用去左乘速度，向基坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的線速度加上19例5.3圖5-8所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成操作臂末端的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系{3}表示，一種是用坐標(biāo)系{0}表示。圖5-8兩連桿操作臂圖5-9兩連桿操作臂的坐標(biāo)系布局例5.3圖5-8所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算出20首先將坐標(biāo)系固連在連桿上，計(jì)算連桿變換如下首先將坐標(biāo)系固連在連桿上，計(jì)算連桿變換如下21運(yùn)用式（5-45）和式（5-47）從基坐標(biāo){0}依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0。（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）運(yùn)用式（5-45）和式（5-47）從基坐標(biāo){0}依次計(jì)算出每22式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對(duì)于基坐標(biāo)的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)它們作旋轉(zhuǎn)變換，即（5-56）通過(guò)這個(gè)變換可以得到（5-57）式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對(duì)于基坐標(biāo)的表達(dá)，235.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導(dǎo)數(shù)。例如假設(shè)有6個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有6個(gè)獨(dú)立變量：5.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導(dǎo)數(shù)。例如假設(shè)有6個(gè)函數(shù)24由多元函數(shù)求導(dǎo)法則得在任一瞬時(shí)，x都有一個(gè)確定的值，J(X)是一個(gè)線性變換。在每個(gè)新時(shí)刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時(shí)變的線性變換。由多元函數(shù)求導(dǎo)法則得在任一瞬時(shí)，x都有一個(gè)確定的值，J(X)25在機(jī)器人學(xué)中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來(lái)，比如(5-64)式中θ是操作臂關(guān)節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達(dá)式附加了左上標(biāo)，以此來(lái)表示笛卡爾速度所參考的坐標(biāo)系。對(duì)于通常的6關(guān)節(jié)機(jī)器人，雅克比矩陣是6×6階矩陣，是6×1維的，也是6×1維的。這個(gè)6×1笛卡爾速度矢量是由一個(gè)3×1的線速度矢量和一個(gè)3×1的角速度矢量組合起來(lái)的：(5-65)在機(jī)器人學(xué)中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速26寫(xiě)出例5.3中的雅克比矩陣由例5.3的結(jié)果式（5-55）可寫(xiě)出坐標(biāo)系{3}的雅克比表達(dá)式式（5-57）可寫(xiě)出坐標(biāo)系{0}的雅克比表達(dá)式（5-66）（5-67）寫(xiě)出例5.3中的雅克比矩陣（5-66）（5-67）27雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換已知坐標(biāo)系{B}中的雅克比矩陣，即我們關(guān)心的是給出雅克比矩陣在另一個(gè)坐標(biāo)系{A}中的表達(dá)式。由于因此可以得到雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換已知坐標(biāo)系{B}中的雅克比矩陣，即28顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換：顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換：295.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)自然讓我們想到力和力矩是如何從一個(gè)連桿向下一個(gè)連桿傳遞的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩。我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定義一下特殊符號(hào)：=連桿i-1施加在連桿i上的力=連桿i-1施加在連桿i上的力矩。5.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)自然讓我們想到30建立連桿坐標(biāo)系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿的靜力和靜力矩的平衡關(guān)系建立連桿坐標(biāo)系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重31將繞坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和力矩的描述開(kāi)始，從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一個(gè)連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號(hào)連桿向低序號(hào)連桿進(jìn)行迭代求解。結(jié)果如下用旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換得到最重要的連桿之間的靜力“傳遞”表達(dá)式：將繞坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和32除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機(jī)構(gòu)本身來(lái)平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積：對(duì)于關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計(jì)算靜態(tài)作用下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關(guān)節(jié)力。除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機(jī)構(gòu)33例5.7在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量（可以認(rèn)為該力是作用在坐標(biāo)系{3}的原點(diǎn)上）。按照位形和作用力的函數(shù)給出所需的關(guān)節(jié)力（見(jiàn)圖5-12）。圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端連桿開(kāi)始向機(jī)器人的基座計(jì)算：例5.7圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端34于是有可將這個(gè)關(guān)系寫(xiě)成矩陣算子：于是有可將這個(gè)關(guān)系寫(xiě)成矩陣算子：355.10力域中的雅可比功具有能量的單位，所以它在任何廣義坐標(biāo)系下的測(cè)量值都相同。特別是在笛卡爾空間做的功應(yīng)當(dāng)?shù)扔陉P(guān)節(jié)空作的功式中F是一個(gè)作用在末端執(zhí)行器上的6×1維笛卡爾力-力矩質(zhì)量，δχ是一個(gè)作用在末端執(zhí)行器的6×1維無(wú)窮小笛卡爾位移矢量，τ是6×1維關(guān)節(jié)力矩矢量，δθ是6×1維無(wú)窮小的關(guān)節(jié)位移矢量。式(5-91)也可寫(xiě)成5.10力域中的雅可比功具有能量的單位，所以它在任何廣義36雅克比矩陣的定義為因此可以寫(xiě)出對(duì)所有的δθ，上式均成立，因此有對(duì)上式兩邊轉(zhuǎn)置，可得式5-96從一般意義上證明了里5.6中兩連桿操作臂的特殊情況：雅克比的轉(zhuǎn)置將作用在手臂上的笛卡爾力映射成了等效雅克比矩陣的定義為因此可以寫(xiě)出對(duì)所有的δθ，上式均成立，因此37關(guān)節(jié)力矩。當(dāng)?shù)玫较鄬?duì)于坐標(biāo)系{0}的雅克比矩陣后，可以由下式對(duì)坐標(biāo)系{0}中的力矢量進(jìn)行變換：注意，式（5-97）是一個(gè)非常有趣的關(guān)系式，它可將一個(gè)笛卡爾空間的兩變換為一個(gè)關(guān)節(jié)空間的兩而無(wú)需計(jì)算任何運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)的逆解。關(guān)節(jié)力矩。當(dāng)?shù)玫较鄬?duì)于坐標(biāo)系{0}的雅克比矩陣后，可以由下式38速度和靜力的笛卡爾變換根據(jù)6×1維的剛體廣義速度表達(dá)式進(jìn)行討論：同樣，考慮6×1維的廣義力矢量表達(dá)式，即很自然的想到將這些量從一個(gè)坐標(biāo)系映射到另一個(gè)坐標(biāo)系。速度和靜力的笛卡爾變換根據(jù)6×1維的剛體廣義速度表達(dá)式進(jìn)行討39這里，用矩陣算子的形式寫(xiě)出式（5-45）和式（5-47），將坐標(biāo)系{A}中的廣義速度矢量變換為在坐標(biāo)系{B}中的描述。這里涉及的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的連接是剛性的，所以在式(5-45)中出現(xiàn)的被置零式中叉乘又可看成是矩陣算子這里，用矩陣算子的形式寫(xiě)出式（5-45）和式（5-47），將40現(xiàn)在式（5-100）將一個(gè)坐標(biāo)系的速度與兩一個(gè)坐標(biāo)系的速度聯(lián)系起來(lái)，這個(gè)6×6算子被稱為速度變換矩陣，用符號(hào)表示，因此可將是（5-100）表示成緊湊的形式：已知{B}中的速度值，為了計(jì)算在{A}中的速度描述，可以對(duì)是（5-100）求逆：即現(xiàn)在式（5-100）將一個(gè)坐標(biāo)系的速度與兩一個(gè)坐標(biāo)系的速度聯(lián)41同樣，由式（5-80）和（5-81）可得6×6的矩陣，它可將在坐標(biāo)系{B}中的廣義力矢量變換成在坐標(biāo)系{A}中的描述，即為可以寫(xiě)成緊湊形式式中用來(lái)表示一個(gè)力—力矩變換速度和力變換矩陣與雅克比矩陣相似，可把不同坐標(biāo)系中的速度和力聯(lián)系起來(lái)。參照雅克比矩陣，有同樣，由式（5-80）和（5-81）可得6×6的矩陣，它可將42機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章靜力和速度——新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第五章靜力和速度——新疆大學(xué)43第五章速度和靜力概述在本章中，我們將機(jī)器人操作臂的討論擴(kuò)展到靜態(tài)位置問(wèn)題以外。我們研究剛體線速度和角速度的表示方法并且運(yùn)用這些概念去分析操作臂的運(yùn)動(dòng)。我們將討論作用在剛體上的力，然后應(yīng)用這些概念去研究操作臂靜力學(xué)應(yīng)用的問(wèn)題。關(guān)于速度和靜力的研究將得出一個(gè)稱為操作臂雅克比的實(shí)矩陣。第五章速度和靜力概述44矢量的導(dǎo)數(shù)（5-1）位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點(diǎn)的線速度。式5-1可以看出，可以通過(guò)計(jì)算Q相對(duì)于坐標(biāo)系{B}的微分進(jìn)行描述。左上標(biāo)B是表明相對(duì)于坐標(biāo)系{B}進(jìn)行的微分矢量的導(dǎo)數(shù)45像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標(biāo)系中描述，器參考坐標(biāo)系用左上標(biāo)注明，如果在坐標(biāo)系{A}中表示式（5-1）的速度矢量，可以寫(xiě)為給出速度表達(dá)式像其他矢量一樣速度矢量能在任意坐標(biāo)系中描述，器參考坐標(biāo)系用左46經(jīng)常討論的是一個(gè)坐標(biāo)系元旦相對(duì)于某個(gè)常見(jiàn)的世界參考坐標(biāo)系的速度，而不考慮任意坐標(biāo)系中一般點(diǎn)的速度。對(duì)于這種情況定義一個(gè)縮寫(xiě)符號(hào)那么是坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中表示的速度，盡管微分是相對(duì)于坐標(biāo)系{U}進(jìn)行的經(jīng)常討論的是一個(gè)坐標(biāo)系元旦相對(duì)于某個(gè)常見(jiàn)的世界參考坐標(biāo)系的速47角速度矢量角速度矢量用符號(hào)表示。線速度描述了點(diǎn)的一種屬性，角速度描述了剛體的一種屬性。坐標(biāo)系總是固連在剛體上，所以可以用角速度描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。圖5-2在圖5-2中，描述了坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的旋轉(zhuǎn)。實(shí)際上的方向就是{B}相對(duì)于{A}的瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)軸，的大小表示旋轉(zhuǎn)速度。角速度矢量同樣可以在任意坐標(biāo)中描述，例如，就是坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的角速度在坐標(biāo)系{C}中的描述。角速度矢量角速度矢量用符號(hào)表示。線速度描述了點(diǎn)的一種48在參考坐標(biāo)系非常簡(jiǎn)單可用一種簡(jiǎn)化的表示方法這里，為坐標(biāo)系{C}相對(duì)于某個(gè)已知坐標(biāo)系{U}的角速度。例如就是坐標(biāo)系{C}的角速度在坐標(biāo)系{A}中的描述，盡管這個(gè)角速度是相對(duì)于坐標(biāo)系{U}的。在參考坐標(biāo)系非常簡(jiǎn)單可用一種簡(jiǎn)化的表示方法495.3剛體的線速度和角速度線速度把坐標(biāo)系固連在一剛體上，要求描述相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng),如圖5-3所示。這里已經(jīng)認(rèn)為坐標(biāo)系{A}是固定的。此時(shí)我們假定不隨時(shí)間變化。則Q點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的運(yùn)動(dòng)是由于或隨時(shí)間的變化引起的。

5.3剛體的線速度和角速度線速度50角速度我們討論兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，相對(duì)線速度為0的情況。(1)時(shí)（5-10）(2)時(shí)（5-11）角速度51線速度和角速度同時(shí)存在的情況（5-13）這是把原點(diǎn)的線速度加到式（5-12）中，得到了從坐標(biāo)系{A}觀測(cè)坐標(biāo)系{B}的普遍公式。線速度和角速度同時(shí)存在的情況525.4對(duì)角速度的進(jìn)一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-10)的有效性，這里將引入數(shù)學(xué)方法正交矩陣導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)我們可以推出正交矩陣和某一反對(duì)稱矩陣的一種特殊關(guān)系。對(duì)于任何n×n正交矩陣R，有（5-14）當(dāng)n=3，R為特征正交矩陣R，即旋轉(zhuǎn)矩陣，對(duì)式（5-14）求導(dǎo)得5.4對(duì)角速度的進(jìn)一步研究前一節(jié)用幾何方法證明了式(5-153定義S為反對(duì)稱矩陣，因此正交矩陣的微分與反對(duì)稱矩陣之間存在如下特性，可以寫(xiě)為定義54由于參考系旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)速度假定固定矢量相對(duì)于坐標(biāo)系{B}是不變的，在另一個(gè)坐標(biāo)系{A}中的描述為由于坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)，代入表達(dá)式，得將代入有(5-24)由于參考系旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)速度假定固定矢量相對(duì)于坐標(biāo)系{B55反對(duì)稱陣和矢量積如果反對(duì)稱陣S的各元素如下：(5-25)定義3×1的列矢量(5-26)容易證明(5-27)反對(duì)稱陣和矢量積如果反對(duì)稱陣S的各元素如下：56與式（5-24）聯(lián)立可得與式（5-24）聯(lián)立可得575.5機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng)連桿間的速度傳遞操作臂是一個(gè)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，每一個(gè)連桿的運(yùn)動(dòng)都與它的相鄰連桿有關(guān)。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關(guān)節(jié)i+1上的新的速度分量。5.5機(jī)器人連桿的運(yùn)動(dòng)連桿間的速度傳遞58如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一個(gè)由于關(guān)節(jié)i+1的角速度引起的分量。參照坐標(biāo)系{i}，上述關(guān)系可寫(xiě)成圖5-6其中如圖5-6所示，連桿i+1的角速度就等于連桿i的角速度加上一59在方程式5-43兩邊同時(shí)左乘可以得到連桿i+1的角速度相對(duì)于坐標(biāo)系{i+1}的表達(dá)式：在方程式5-43兩邊同時(shí)左乘可以得到連桿i+1的60坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的線速度加上一個(gè)由于連桿i的角速度一起的新的分量。由于在坐標(biāo)系{i}中是常數(shù)，所以有，（5-46）兩邊同時(shí)左乘得（5-47）從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿依次應(yīng)用這些公式，可以計(jì)算出最后一個(gè)連桿的角速度和線速度，注意，這兩個(gè)公式是按照坐標(biāo)系{N}表達(dá)的，如果用基坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)角速度和線速度的話，就可以用去左乘速度，向基坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)的線速度等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的線速度加上61例5.3圖5-8所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算出操作臂末端的速度，將它表達(dá)成操作臂末端的函數(shù)。給出兩種形式的解答，一種是用坐標(biāo)系{3}表示，一種是用坐標(biāo)系{0}表示。圖5-8兩連桿操作臂圖5-9兩連桿操作臂的坐標(biāo)系布局例5.3圖5-8所示是具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的操作臂.計(jì)算出62首先將坐標(biāo)系固連在連桿上，計(jì)算連桿變換如下首先將坐標(biāo)系固連在連桿上，計(jì)算連桿變換如下63運(yùn)用式（5-45）和式（5-47）從基坐標(biāo){0}依次計(jì)算出每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的速度，其中基坐標(biāo)系的速度為0。（5-55）（5-54）（5-53）（5-52）（5-51）（5-50）運(yùn)用式（5-45）和式（5-47）從基坐標(biāo){0}依次計(jì)算出每64式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對(duì)于基坐標(biāo)的表達(dá)，用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)它們作旋轉(zhuǎn)變換，即（5-56）通過(guò)這個(gè)變換可以得到（5-57）式（5-55）即為答案。為了得到這些速度相對(duì)于基坐標(biāo)的表達(dá)，655.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導(dǎo)數(shù)。例如假設(shè)有6個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有6個(gè)獨(dú)立變量：5.7雅克比雅克比矩陣是多元形式的導(dǎo)數(shù)。例如假設(shè)有6個(gè)函數(shù)66由多元函數(shù)求導(dǎo)法則得在任一瞬時(shí)，x都有一個(gè)確定的值，J(X)是一個(gè)線性變換。在每個(gè)新時(shí)刻，如果X改變，線性變換也隨之而變。所以雅克比是時(shí)變的線性變換。由多元函數(shù)求導(dǎo)法則得在任一瞬時(shí)，x都有一個(gè)確定的值，J(X)67在機(jī)器人學(xué)中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速度聯(lián)系起來(lái)，比如(5-64)式中θ是操作臂關(guān)節(jié)角矢量，v是笛卡爾速度矢量。在式中我們給雅克比表達(dá)式附加了左上標(biāo)，以此來(lái)表示笛卡爾速度所參考的坐標(biāo)系。對(duì)于通常的6關(guān)節(jié)機(jī)器人，雅克比矩陣是6×6階矩陣，是6×1維的，也是6×1維的。這個(gè)6×1笛卡爾速度矢量是由一個(gè)3×1的線速度矢量和一個(gè)3×1的角速度矢量組合起來(lái)的：(5-65)在機(jī)器人學(xué)中，通常使用雅克比將關(guān)節(jié)速度與操作臂末端的笛卡爾速68寫(xiě)出例5.3中的雅克比矩陣由例5.3的結(jié)果式（5-55）可寫(xiě)出坐標(biāo)系{3}的雅克比表達(dá)式式（5-57）可寫(xiě)出坐標(biāo)系{0}的雅克比表達(dá)式（5-66）（5-67）寫(xiě)出例5.3中的雅克比矩陣（5-66）（5-67）69雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換已知坐標(biāo)系{B}中的雅克比矩陣，即我們關(guān)心的是給出雅克比矩陣在另一個(gè)坐標(biāo)系{A}中的表達(dá)式。由于因此可以得到雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換已知坐標(biāo)系{B}中的雅克比矩陣，即70顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換：顯然利用下列關(guān)系可以完成雅克比矩陣參考坐標(biāo)系的變換：715.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)自然讓我們想到力和力矩是如何從一個(gè)連桿向下一個(gè)連桿傳遞的。我們要做的是求出保持系統(tǒng)靜態(tài)平衡的關(guān)節(jié)扭矩。我們?yōu)橄噜彈U件所施加的力和力矩定義一下特殊符號(hào)：=連桿i-1施加在連桿i上的力=連桿i-1施加在連桿i上的力矩。5.9作用在操作臂上的靜力操作臂的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)自然讓我們想到72建立連桿坐標(biāo)系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重力除外）。將這些力相加并令其和為0，有圖5-11單連桿的靜力和靜力矩的平衡關(guān)系建立連桿坐標(biāo)系，圖5-11為施加在連桿i上的靜力和靜力矩（重73將繞坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和力矩的描述開(kāi)始，從末端連桿到基座進(jìn)行計(jì)算就可以計(jì)算出作用于每一個(gè)連桿上的力和力矩。將以上兩式重新整理，以便從高序號(hào)連桿向低序號(hào)連桿進(jìn)行迭代求解。結(jié)果如下用旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行變換得到最重要的連桿之間的靜力“傳遞”表達(dá)式：將繞坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)的力矩相加，有如果我們從施加于手部的力和74除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機(jī)構(gòu)本身來(lái)平衡。因此，為了求出系統(tǒng)靜平衡所需的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計(jì)算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積：對(duì)于關(guān)節(jié)是移動(dòng)關(guān)節(jié)的情況，可以計(jì)算出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力為式（5-80）到式（5-83）給出一種方法，可以計(jì)算靜態(tài)作用下操作臂末端執(zhí)行器施加力和力矩所需的關(guān)節(jié)力。除了繞關(guān)節(jié)軸的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可由操作臂機(jī)構(gòu)75例5.7在例5.3的兩連桿操作臂，在末端執(zhí)行器施加作用力矢量（可以認(rèn)為該力是作用在坐標(biāo)系{3}的原點(diǎn)上）。按照位形和作用力的函數(shù)給出所需的關(guān)節(jié)力（見(jiàn)圖5-12）。圖5-12應(yīng)用式（5-80）到式（5-82），從末端連桿開(kāi)始向機(jī)器人的基座