河南省洛陽市2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(含詳解)

河南省洛陽市第二外國(guó)語學(xué)校2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共10小題，每小題3分.共30分）1.以下四家銀行的標(biāo)志圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）（0）C2.已知△ABEg^ACD,下列選項(xiàng)中不能被證明的等式是（如圖,A.AD=AEB如圖,DB=1.以下四家銀行的標(biāo)志圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）（0）C2.已知△ABEg^ACD,下列選項(xiàng)中不能被證明的等式是（如圖,A.AD=AEB如圖,DB=AEDF=EFD.DB=EC3.己知，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA.下列結(jié)論:①△ABD@Z\EBC；②NBCE+NBCD=180°；③AD=AE二EC；@AC=2CD.其中正確的有（A.123A.12344.如圖，是4.如圖，是A48C的角平分線，NC=20°,AB+BD=AC,將A4BD沿AO所在直線翻折,點(diǎn)8在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E.那么等于（ ）60°40°D60°40°D.30°5.如圖，在5.如圖，在△ABC中，ZB=ZC=60",點(diǎn)3在AB邊上，DE1AB,并與AC邊交于點(diǎn)E.如果A.5B.4AD=\,BC=6,那么CEA.5B.4AD=\,BC=6,那么CE等于（BC.3D.2.如圖，AABC=AA￡D,連接BE.若NABC=15°,ZD=135°,ZE4C=24°,則NBE4的度數(shù)為().如圖，點(diǎn)P是/AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，PEA.OA,OE=10,點(diǎn)G是線段O尸的中點(diǎn)，連接EG,點(diǎn)尸是射線08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若P尸的最小值為4,則APGE的面積為（ ）.如圖，在RS4BC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為￡>,4/平分NC4B,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F,則下列結(jié)論成立是（ ）EF.如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在AABC處的4處，折痕為OE.如果ZA=a,NCEA'=0,^BDA'=y,那么下列式子中正確的是（）

A.y=2a+夕A.y=2a+夕.如圖，在等腰4ABC與等腰AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,連接BD和CE相交于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)M,交AD與點(diǎn)N.下列結(jié)論：①BD=CE;②NBPE=180-2a;③AP平分/BPE;④若A.123 D.4a=60。，則A.123 D.4為點(diǎn)、P,若為點(diǎn)、P,若NBAC=84。，則NBOC=二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）.一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)<.邊長(zhǎng)分別為。和b的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，則圖中的陰影部分的面積為.如圖，△ABC中，BC的垂直平分線。戶與N84C的角平分線相交于點(diǎn)。，垂足.如圖，在對(duì)ZXABC中，NAC8=90°,BE平分NA8C,CE_LBE于點(diǎn)E,連接AE.若AC=BC=4,則AABE的面積為一則AABE的面積為一.三、解答題(共8小題，共75分).如圖，在a4BC中，ZC=90°,ZA=30°,8c=3,尸是4B上的一動(dòng)點(diǎn)，PE_LAC于E,沿PE將NA折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O,若aBPO是直角三角形，則氏=一..如圖，NA=/B,AE=BE,Z1=Z2,點(diǎn)。在AC邊上.(1)求證：zAEgXBED.(1)求證：zAEgXBED.(2)若N1=40。，求NBCE的度數(shù)..已知:如圖，ZXABN和△ACM位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,Z1=Z2.求證：ZM=ZN..如圖，在△4BC中，邊AB的垂直平分線與邊4c的垂直平分線ON交于點(diǎn)O,分別交BC于點(diǎn)。、E,已知△AOE的周長(zhǎng)5cm.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)分別連接OA、OB、OC,若△OBC的周長(zhǎng)為13cm,求OA的長(zhǎng).

.如圖，ZVIBC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到E,使CE=T8C.點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AB于F,求證:(1)EFLAB,(2)DE=2DF.(1)當(dāng)NO4B=40。時(shí)，ZACB=已知：如圖，NXOY=90。，(1)EFLAB,(2)DE=2DF.(1)當(dāng)NO4B=40。時(shí)，ZACB=8E的反向延長(zhǎng)線與8E的反向延長(zhǎng)線與N0A8的平分線相交于點(diǎn)C.（2）隨點(diǎn)A、8的移動(dòng)，試問NAC8的大小是否變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明：如果發(fā)生變化，請(qǐng)求點(diǎn)C在線段48上，（點(diǎn)C不與A、8重合），分別以AC、BC為邊在A8同側(cè)作等邊三角形AC。和等邊三角形8CE,連接AE、BD交于點(diǎn)、P.【觀察猜想】①AE與的數(shù)量關(guān)系是.【數(shù)學(xué)思考】如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明;拓展應(yīng)用】如圖3,點(diǎn)E為四邊形ABCO內(nèi)一點(diǎn)，且滿足NAEO=N8EC=90。，AE=DE,BE=CE,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,AC=10,則四邊形48co的面積為.

△ABO與aCA￡中，BD=AE,NDBA=NEAC,AB=AC,易證：aABD鄉(xiāng)ACAE.（不需要證明）特例探究：如圖②，在等邊A4BC中，點(diǎn)￡>、E分別在邊BC、AB上，且BZAAE,AO與CE交于點(diǎn)F.求證：△ABOdCAE.歸納證明：如圖③，在等邊aABC中，點(diǎn)。、E分別在邊CB、BA延長(zhǎng)線上，且aABD與KAE是否全等？如果全等，請(qǐng)證明；如果不全等，請(qǐng)說明理由.拓展應(yīng)用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC,點(diǎn)。是48邊的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別在0在08、BA的延長(zhǎng)線上.BD=AE,ZBAC=50°,ZA￡C=32°,求NBA。的度數(shù).（1）【模型呈現(xiàn)】如圖1,NBA￡>=90。，AB^AD,過點(diǎn)B作BCLAC于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作QELAC于點(diǎn)￡由/1+/2=Z2+ZD=90°,得Nl=ND.又NACB=N4EO=90°,可以推理得到△ABC絲ZXD4E.進(jìn)而得到4c=,BC=.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）【模型應(yīng)用】①如圖2,N8AO=NCAE=90°,AB^AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC_LA〃于點(diǎn)從OE與直線AH交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)；②如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x°y中，點(diǎn)A為平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,1）.若aAOB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)

河南省洛陽市第二外國(guó)語學(xué)校2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共10小題，每小題3分.共30分）.以下四家銀行的標(biāo)志圖中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）a?（§3）b-° D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：A、C、D都可以沿某一直線折疊后重合，是軸對(duì)稱圖形.故選B..如圖，已知△ABEgZ\ACD,下列選項(xiàng)中不能被證明的等式是（）B C【答案】B【解析】【詳解】試題解析：???△ABE絲ZXACD,，AB=AC,AD=AE,ZB=ZC,故A正確；，AB-AD=AC-AE,即BD=EC,故D正確；在aBDF和aCEF中[ZB=ZCJZflF￡）=ZCFE.,.ABOF^ACEF（ASA）,[bd=ce.?.DF=EF,故C正確；故選B..如圖，已知，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA.下列結(jié)論:①△ABDgZiEBC；②NBCE+NBCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD.其中正確的有（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】①：BD為AABC的角平分線，.?.NABD=NCBD,在aABD和aEBC中，BD=BC,ZABD=ZCBD,BE=BA,.,.AABD^aEBC(SAS),.?.①正確；②為aABC的角平分線，BD=BC,BE=BA,二NBCD=/BDC=/BAE=NBEA,VaABD^aEBC,；./BCE=NBDA,ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=180°,，②正確；③：/BCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,/BDA=/DAE+/BEA,ZBCD=ZBEA,；.NDCE=/DAE,.MACE為等腰三角形，.\AE=EC,VaABD^aEBC,，AD=EC,.-.AD=AE=EC,.?.③正確；④因?yàn)锽D是AABC的角平分線，且BA>BC,所以D不可能是AC的中點(diǎn)，則ACr2CD,故④錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查角平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積關(guān)系等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.4.如圖，4.如圖，AO是AABC的角平分線，ZC=20°AB+BD=AC,將AABD沿AO所在直線翻折,點(diǎn)B在4C邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E.那么D8等于（A.80°BA.80°B60°40°D.30°【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE,AB=AE,然后根據(jù)AC=AE+EC,AB+BD=AC,證得DE=EC,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角的性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE,AB=AE.VAC=AE+EC,AB+BD=AC,；【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE,AB=AE,然后根據(jù)AC=AE+EC,AB+BD=AC,證得DE=EC,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角的性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE,AB=AE.VAC=AE+EC,AB+BD=AC,；.BD=EC,ADE=EC..,.ZEDC=ZC=20",AZAED=ZEDC+ZC=40°.:.ZB=ZAED=40°故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明DE=EC.5.如圖，在△ABC中，NB=NC=60°,點(diǎn)。在AB邊上，DE±AB,并與AC邊交于點(diǎn)E.如果40=1,BC=6,那么CE等于（ ）DA.5DA.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30。的直角三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】?.,在aABC中，ZB=ZC=60°,ZA=60°,'：DE±AB,，NAE￡)=30°,?：AD=l,：.AE=2,'：BC=6,：.AC=BC=6,J.CE^AC-AE=6-2=4,故選B.【點(diǎn)睛】考查含30。的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30。的直角三角形的性質(zhì)解答..如圖，MBC=M￡D,連接若NA8C=15°,ND=135。，ZE4C=24°,則NBE4的度數(shù)為()【答案】B【解析】【分析】由△ABCgZ\AED可得4ABE是等腰三角形，已知ND和/ABC、NEAC的度數(shù)可求得NEAB的度數(shù)，進(jìn)而求出NBEA的度數(shù).【詳解】?."△ABC^AAED,.*.AB=AE,ZD=ZC=135°,ZABC=ZAED=15°,.,.ZCAB=180°-135°-15°=30°,,:ZEAC=24°,:.NEAB=54°,.?.2ZBEA=180°-54°=126°,.,.NBEA=63°.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找等量關(guān)系是解決這道題的關(guān)鍵..如圖，點(diǎn)P是N4OB角平分線OC上一點(diǎn)，PE1OA,OE=10,點(diǎn)G是線段OP的中點(diǎn)，連接EG,點(diǎn)尸是射線08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若P尸的最小值為4,則APGE的面積為( )

C.20D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：?.?點(diǎn)P是的角平分線OC上一點(diǎn)，PE1OA,PF的最小值為4,;.PE=4,'：OE=10,：.^OPE的面積=；xl0x4=20,???點(diǎn)G是線段OP的中點(diǎn)，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出尸石=4.F,則下列結(jié)論成立的是（ ）B.FE=FCEFC.CE=CFD.CE=CF=.如圖，在RlZkABC中，ZACB=90°,CD.LABf垂足為。，Ab平分NCAB,交CD于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論成立的是（ ）B.FE=FCEFC.CE=CFD.CE=CF=【答案】C【解析】【分析】求出NCAF=NBAF,ZB=ZACD,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出NCEF=NCFE,即可得出答案；【詳解】,?,在RSABC中，ZACB=90°,CD±AB,.\ZCDB=ZACB=90°,.\ZACD+ZBCD=90°,ZBCD+ZB=90°,AZACD=ZB,

；AF平分NCAB,.".ZCAE=ZBAF,.*.ZACD+ZCAE=ZB+ZBAF,.\ZCEF=ZCFE,，CE=CF.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵..如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在AAfiC處的4處，折痕為OE.如果ZA=a.NCE4'=4，NBDA'=y,那么下列式子中正確的是（）A*1\心:a\I\?%:\et:/\夕4'A.y=2a+0B.y=a+2/3 c.y=a+j3D.nB C7=180-a-/?【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角得：ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',代入已知可得結(jié)論.【詳解】B C由折疊得：ZA=ZA',VZBDA'=Z/1+ZAFD,ZAFZ>ZA,+ZCEA\VZA=a,NCEA?B，NBDAR,/.NBDA'=y=a+a+S=2a+6,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是關(guān)鍵..如圖，在等腰AABC與等腰4ADE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=a,連接BD和CE相交于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)M,交AD與點(diǎn)N.下列結(jié)論：①BD=CE;②/BPE=180~2a;③AP平分NBPE;④若a=60。，則PE=AP+PD.其中一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由“SAS”可△BADgaCAE,可得BD=CE；由全等三角形的性質(zhì)可得NABD=NACE,由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定義可得NBPE=NACB+NABC=180"a；由全等三角形的性質(zhì)可得Sabad=Sacae.利用三角形的面積公式可得AH=AF,由角平分線的性質(zhì)可得AP平分NBPE；由全等三角形的性質(zhì)可得ZBDA=ZCEA,由“SAS”可證AAOE義AAPD,可得AO=AP,可證△APO是等邊三角形，可得AP=PO,即可得出結(jié)果.【詳解】解：；NBAC=NDAE=a,NBAD=NCAE,且AB=AC,AD=AE,

AABAD^ACAE(SAS),???BD=CE,故①符合題意；VABAD^ACAE,AZABD=ZACE,■:ZBAC=a,ZABC+ZACB=180°-a,VZBPE=ZPBC+ZPCB=ZPBC+ZACB+ZACP=ZPBC+ZACB+ZABP,JZBPE=ZACB+ZABC=180°-a,故②不符合題意；如圖，過點(diǎn)A作AHLBD,AF±CE,VABAD^ACAE,??Sabad=Sacae?/.-BDxAH=-C￡xAF,且BD=CE,2 2，AH=AF,且AHJ_BD,AF±CE,；.AP平分NBPE,故③符合題意；如圖，在線段PE上截取OE=PD,連接AO,.,.ZBDA=ZCEA,且OE=PD,AE=AD,.,.△AOE^AAPD(SAS),/.AP=AO,ZBPE=180°-a=120°,且AP平分NBPE,...NAPO=60°,且AP=AO,.'.△APO是等邊三角形，.\AP=PO,PE=PO+OE,.,.PE=AP+PD,故④符合題意.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的綜合題，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）.一個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)cm.【答案】17【解析】【分析】分3cm為等腰三角形的腰和7cm為等腰三角形的腰，先判斷符合不符合三邊關(guān)系，再求出周長(zhǎng).【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為3時(shí)，3+3<7,所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為7時(shí)，3+7>7,所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：3+7+7=17.故答案為：17.【點(diǎn)睛】此題是等腰三角形的性質(zhì)題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分類考慮是解本題的關(guān)鍵..邊長(zhǎng)分別為。和匕的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，則圖中的陰影部分的面積為一.【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=大正方形的面積的+小正方形的面積-兩個(gè)直角三角形的面積.【詳解】解：圖中的陰影部分的面積為/+〃一,雙。+打一,4（。一切一!〃=!62,2 2 2 21,故答案為：一b;2【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是列出求陰影部分面積的式子.13.如圖，△ABC中，BC垂直平分線OP與NBAC的角平分線相交于點(diǎn)O,垂足為點(diǎn)P,若NBAC=84。，則/BOC=.【解析】【詳解】過點(diǎn)。作。E_LA8,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,4C于F,

TAO是NBAC的平分線，：.DE=DF,???OP是BC的垂直平分線，C.BD^CD,在RtaDEB和RNDFC中,DE=DF,BD=CD,，RtQEB鄴tGFCQHD.：.ZBDE=ZCDF,：.4BDC=4EDF,'：NDEB=NDFC=90。,，ZE4F+Z￡DF=180°,■■■ZBAC=84°,:.ZBDC=ZEDF=96°.故答案為：96°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及全等三角形的判定及性質(zhì)，正確作出輔助線證明用△￡>￡?四心△DFC是解題的關(guān)鍵.14.如圖，在RrZ\ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,CELBE于點(diǎn)E,連接AE.若AC=BC=4,則△ABE的面積為一.【答案】4【答案】4【解析】【分析】作于H,EKL8C于K.在E8上取一點(diǎn)J,使得E/=EC,連接CJ.設(shè)EC=E/=機(jī).利S々?AB?七Hab4J?用勾股定理構(gòu)建方程求出相，。求出△BEC的面積，再根據(jù)飛但=] =后=2-=&求解S&EBCL.BC.EKBC42即可.【詳解】解：作E4_L48于4,EKLBC于K.在EB上取一點(diǎn)J,使得口=EC,連接C/.設(shè)EC=E/=m.N\,z\ \?在町/XABC中,???A8=“2+42=40，〈BE平分NABC,CE_LBE于點(diǎn)E,VZACB=45°,8E平分N4BC,：.ZCBE=22.5°,?；EC=EJ=m,NCEJ=90°,；?NEJC=45°,?:NEJC=/JCB+NJBC,：.ZJCB=ZJBC=22.5°,JC-JB— ,：.EB=m+y/2m，EC2+EB2=BC?,工//?+(機(jī)+ =42,??zn2=8—4^2，S.ecb = + = +J〈EB平分NA8C,EH_LAB,EK_LBC,NAC8=90°,AC=BC=492)7n2=2>/2,:?EH=EK,2~.BC?EK2AB4>/2尻= = 2~.BC?EK2BC4【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.15.如圖，在aABC中，ZC=90°,44=30。，BC=3,P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PE±ACTE,沿PE將折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，若aBPO是直角三角形，則附=【答案】2或【答案】2或4【解析】【分析】分為點(diǎn)。在AC上和點(diǎn)。在AC的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△P8D為有一個(gè)角為30。的直角三角形，最后依據(jù)4尸+依=6列方程求解即可.【詳解】解：?.?ZA=30。，ZC=90°,BC=3,AB=2BC=6，如圖1所示:如圖1所示:圖1E由翻折的性質(zhì)可知：AP=PD>:.ZA=ZPDA=30°,：.ZBPD=ZA+ZPDA=60°,?.?ZPBD<Z/,BC=60°,.?.若aBPO是直角三角形，則NPZ)3=90。，NPBD=90°-ZBPD=30°,:.PB=2PD,.\AP+2AP=6,解得AP=2；如圖2所示：

由翻折的性質(zhì)可知：AP=PD，由翻折的性質(zhì)可知：AP=PD，;./BPD=NA+NPDA=&f,NPDB<Z,BDC<90°，.?.若△ 是直角三角形，則ZPBD=90°,NPDB=900-ZBPD=30°,:.PB=-PD=-AP,AP+-AP=6,2解得AP=4,綜上所述，釬的長(zhǎng)為2或4,故答案為：2或4.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是翻折變換、含30。宜角三角形的性質(zhì)，證得△WY）為一個(gè)含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.三、解答題（共8小題，共75分）16.如圖，NA=NB,AE=BE,Z1=Z2,點(diǎn)。在AC邊上.(1)求證：AAEgABED.(1)求證：AAEgABED.（2）若Nl=40。,求NBOE的度數(shù).【答案】（1）見解析（2）70°【解析】【分析】（【分析】（1）要證明AAECnABED,根據(jù)題目中條件，先證明NAEC=NB￡O即可，由N1=N2,即可證明結(jié)論成立;即可得到NAEC=N8￡O,然后寫出全等的條件,（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),即可證明結(jié)論成立;【小問1詳解】

解：證明：?.?N1=N2,Z1+ZAED=Z2+ZAED,/.ZAEC=/BED,在AAEC和AB田中，Z=NB<AE=BE AAEC=ABED(ASA)；ZAEC=NBED【小問2詳解】解：-.AAECsAfiED,:.ED=EC,ZACE=/BDE,:.NECD=NEDC,vZl=40°...ZECD=Z￡DC=70°,.?.Z￡C4=70°,：.^BDE=70P,即NBDE是70。.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.17.已知:如圖，ZXABN和4ACM位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,Z1=Z2.求證：ZM=ZN.【答案】證明見解析.【解析】【分析】通過"AB=AC,AD=AE,N1=N2”可以得到△ABDg^ACE,從而得到NB=NC,從而證得△ABNg/XACM,從而得到答案.【詳解】證明：在4ABD與4ACE中AB=AC>Z1=Z2.,.AABD^AACE(SAS)AD=AE：.NB=/C

VZ1=Z2/.Z1+ZNAM=Z2+ZNAM即NBAN=NCAM在aABN與[ZB=ZC<AB=AC/.AABN^AACM(ASA)|ZBAN=NC4M，ZM=ZN【點(diǎn)睛】本題考查的三角形全等的判定與性質(zhì)，通過SAS證得△ABDgAACE從而得到/B=NC,是解題的關(guān)鍵.18.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線0M與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O,分別交BC于點(diǎn)。、E,已知△4/)￡■的周長(zhǎng)5cm.(1)求8C的長(zhǎng)；【答案】(1)5；(2)4【解析】(2)分別連接04、OB、OC,若△OBC【答案】(1)5；(2)4【解析】【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到D4=O8、EA=EC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；(2)根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求出OB+OC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OB=OC,計(jì)算即可.【詳解】解：(1) 是線段AB的垂直平分線，：.DA=DB,同理，EA=EC,?.?△4OE的周長(zhǎng)5,：.AD+DE+EA=5,：.BC=DB+DE+EC=AD+DE+EA=5(cm)；(2)???△OBC的周長(zhǎng)為13,：.0B+0C+BC=\3,:BC=5,：.O8+OC=8,垂直平分AB,：.OA=OB,【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.19.如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到E,使CE=gBC.點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)EO交4B于F,求證：(1)EFLAB-(2)DE=2DF.【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,ZACB=ZB=60°,求出CO=CE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出/￡=30°,求出/BFE即可；(2)連接8。，求出8￡)=￡>E,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出8。=2。凡即可得出答案.【詳解】證明：(1)..?△ABC是等邊三角形，：.AC=BC,NACB=NB=60°,?.?。為AC的中點(diǎn)，：.AD=CD=^AC,;CE=；BC,:.CD=CE,'：ZE+ZCDE=ZACB=6Qa,.\Z￡=ZCDE=30°,

VZB=60°,，NEFB=180°-60°-30°=90°,即EF_LAB；(2)連接BD,「△ABC是等邊三角形,，A8=BC,/4BC=60°,???O為AC中點(diǎn)，Z.NDBC=NABD=gZABC=30°,VZE=30°,:.NDBC=NE,:.DE=BD,,：ZBFE=90°,ZABD=30°,：.BD=2DF,即DE=2DF.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.20.已知：如圖，NXOY=90。，點(diǎn)A、B分別在射線OX、OY上移動(dòng)(不與點(diǎn)。重合)，BE是NABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與NOAB的平分線相交于點(diǎn)C.(1)當(dāng)NO4B=40。時(shí)，/ACB=度；出變化范圍.(2)隨點(diǎn)4、B的移動(dòng)，試問N4CB的大小是否變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍.【答案】(1)45;(2)NACB的大小不發(fā)生變化.【解析】【分析】(1)先利用角平分線得出NCAB=g/OAB,ZEBA=yZYBA,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(2)先利用角平分線得出/CAB=g/OAB,ZEBA=^ZYBA,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解：⑴?."ZXOY=90°,ZOAB=40°,.,.ZABY=130°,；AC平分NOAB,BE平分NYBA,NCAB=；ZOAB=20°,NEBA=；/YBA=65。，VZEBA=ZC+ZCAB,，ZC=ZEBA-ZCAB=45°,故答案為45；(2)NACB的大小不變化.理由：：AC平分/OAB,BE平分NYBA,AZCAB=^-ZOAB,NEBA=g/YBA,,."ZEBA=ZC+ZCAB,/.ZC=ZEBA-NCAB=g/YBA-yZOAB=y(ZYBA-NOAB),VZYBA-ZOAB=90°,ZC=yx90°=45°,即：NACB的大小不發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線定理，三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出NYBA-NOAB=90°.21.如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，(點(diǎn)C不與A、8重合)，分別以AC、BC為邊在A8同側(cè)作等邊三角形4CO和等邊三角形8CE,連接A￡、BD交于點(diǎn)P.【觀察猜想】①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是；②NAPO的度數(shù)為.【數(shù)學(xué)思考】如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，(1)中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；【拓展應(yīng)用】如圖3,點(diǎn)E為四邊形48CO內(nèi)一點(diǎn)，且滿足NAEO=N8EC=90。，AE=OE,BE=CE,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,AC=10,則四邊形ABC。的面積為.【解析】【分析】觀察猜想：證明AACEg/SDCB(SAS),可得AE=BD,ZCAO=ZODP,由/AOC=NDOP,推出NDPO=ZACO=60°；數(shù)學(xué)思考：結(jié)論成立，證明方法類似；拓展應(yīng)用：證明ACJ_BD,可得S四邊形ABCD=y?AC?DP+?AC?PB=?AC?(DP+PB)=y?AC?BD.【詳解】觀察猜想：結(jié)論：AE=BD.NAPD=60。.?.?△ADC,AECB都是等邊三角形，，CA=CD,ZACD=ZECB=60°,CE=CB,.\ZACE=ZDCB,.'.△ACE^ADCB(SAS),.*.AE=BD,ZCAO=ZODP,VZAOC=ZDOP,ZDPO=ZACO=60°,即NAPD=60°.故答案為AE=BD,60°.數(shù)學(xué)思考：結(jié)論仍然成立.

理由：設(shè)AC理由：設(shè)AC交BD于點(diǎn)O.VAADC,aECB都是等邊三角形，???CA=CD,ZACD=ZECB=60°,CE=CB,AZACE=ZDCBAAACE^ADCB(SAS),???AE=BD,ZPAO=ZODC,VZAOP=ZDOC,AZAPO=ZDCO=60°,即NAPD=60。.拓展應(yīng)用：設(shè)AC交BE于點(diǎn)O.:△ADE,AECB都是等腰直角三角形，???ED=EA,ZAED=ZBEC=90°,CE=EB,.\ZAEC=ZDEBAAAEC^ADEB(SAS),AAC=BD=10,ZPBO=ZOCE,VZBOP=ZEOC,/.ZBPO=ZCEO=90°,.\AC±BD,y?AC?BD=50.S四邊形ABCD=|?AC?DP+1?AC?PB=y?AC?(DP+PB)y?AC?BD=50.故答案為50.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.22.問題情境：如圖①，在aAB。與ACAE中，BD=AE,ZDBA=ZEAC,AB=AC,易證：△ABOgZXCAE.（不需要證明）特例探究：如圖②，在等邊aABC中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、AB上，且BZA4E,4。與CE交于點(diǎn)F.求證：aABD^ACAE.歸納證明：如圖③，在等邊AA8C中，點(diǎn)。、E分別在邊CB、BA的延長(zhǎng)線上，且8￡>=AE."BD與aCAE是否全等？如果全等，請(qǐng)證明：如果不全等，請(qǐng)說明理由.拓展應(yīng)用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC,點(diǎn)。是AB邊的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別在08、BA的延長(zhǎng)線上.BD=AE,ZBAC=50°,ZAEC=32°,求NBA。的度數(shù).【解析】【分析】特例探究：利用等邊三角形的三條邊都相等、三個(gè)內(nèi)角都是60。的性質(zhì)推知AB=AC,NQBA=NEAC=60。，然后結(jié)合已知條件BD=AE,利用全等三角形的判定定理SAS證得歸納證明：aABO與ACAE全等.利用等邊三角形的三條邊都相等、三個(gè)內(nèi)角都是60。的性質(zhì)以及三角形外角定理推知4B=AC，ZDBA=ZEAC=\20°,然后結(jié)合已知條件B￡H4E,利用全等三角形的判定定理SAS證得aABO絲△C4E：拓展應(yīng)用：利用全等三角形（AABZ底△C4E）的對(duì)應(yīng)角NBD4=NAEC=32。，然后由三角形的外角定理求得NBA。的度數(shù).【詳解】解：特例探究：證明：?.,△ABC是等邊三角形，，4B=AC,ZDBA=ZEAC=60°,AB=CA在△AB。與aCAE中，，ZDBA=ZEAC,BD=AE/. (SAS)；歸納證明：△ABD與4CAE全等.理由如下：?在等邊AA8C中，AB=AC,ZABC=ZBAC=60°,ZDBA=ZEAC=\20°.AB=CA在△ABO與中，\ZDBA=ZEAC,BD=AE(SAS)；拓展應(yīng)用：?.?點(diǎn)。在AB的垂直平分線上，：.OA=OB,：.ZOBA=ZBAC=5Q°,NEAC=NDBC.在△ABO與AC4E中，[AB=CAJZDBA=ZEAC,[bd=ae/. (SAS),ZBDA=ZAEC=32°,：.ZBAD=ZOBA-N8D4=18°.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.23.通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)【模型呈現(xiàn)】如圖1,NBAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作BCL4c于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作￡)EJ_AC于點(diǎn)￡由Nl+N2=Z2+ZD=90°,得N1=ND.又NACB=NAED=90。，可以推理得到△ABC絲△D4E.進(jìn)而得到4C=,BC=.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；(2)【模型應(yīng)用】①如圖2,/8AO=NCAE=90°,AB^AD,AC=AE,連接8C,DE,且BC_LA，于點(diǎn)〃，OE與直線AH交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是OE的中點(diǎn)；②如圖3,在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)4為平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).若△AOB是以