華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第21章二次根式教案教學(xué)設(shè)計(jì)（含教學(xué)反思）

第21章二次根式21.1二次根式 121.3二次根式的加W 1221.1二次根式教學(xué)目標(biāo).能用二次根式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，體會(huì)研究二次根式的必要性；.能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì)，會(huì)求二次根式中被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】了解二次根式的概念及性質(zhì)，會(huì)求二次根式中被開(kāi)方數(shù)中字母的取值范圍.【教學(xué)難點(diǎn)】用二次根式表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系.教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入問(wèn)題1：你能用帶有根號(hào)的式子填空嗎？(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為.(2)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m)則它的寬為m.一個(gè)物體從高處自由落下,落到地面所用的時(shí)間X單位:s)與落下的高度爾單位:m)滿足關(guān)系力=5也如果用含有力的式子表示則力=.問(wèn)題2：上面得到的式子y[s,，而，耒分別表示什么意義？它們有什么共同特征？二、合作探究探究點(diǎn)一：二次根式的定義例1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？⑴y/Tl；(2)-\]—5；(3)-\J(—7)2；y[13； I；⑹寸3—x(xW3)；

(7)、一x(x20)；(8)、(a7)＞；(9)、一、-5；(10)N(a—b)“a"，。).解析：要判斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2,二是看被開(kāi)方數(shù)是不是非負(fù)數(shù).解：因?yàn)槠剑?解：因?yàn)槠剑?(一7)3013—,y](a—1)2,yj(a—b)(a620)中的根指數(shù)都是2,且被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.泅的根指數(shù)不是2,盧,產(chǎn)Xx20),［一“2—5的被開(kāi)方數(shù)小于0,所以不是二次根式.方法總結(jié)：判斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號(hào)“1”；(2)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).探究點(diǎn)二：二次根式有意義的條件［類型—］根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍例2：求使下列式子有意義的x的取值范圍.解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于或等于0且分母不等于0,列不等式(組)求解.4 4 1解：(1)由題意得4—3x＞0,解得*＜鼻.當(dāng)xV三時(shí)，c有意義;J J 中一3”(2)由題意得＜3—(2)由題意得＜3—x?0,x—2W0,解得后3且xW2.當(dāng)后3且#2時(shí),(x+520, 、/x+5(3)由題意得＜ 解得X2—5且正0.當(dāng)5且掙0時(shí)，' 有意義.x方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：(1)如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.［類型二］利用二次根式的非負(fù)性求解例3：(1)已知a、6滿足(2a+8+|b—小|=0,解關(guān)于x的方程(a+2)x+62=a—1；

（2）已知x、y都是實(shí)數(shù)，且尸3+^3-x+4,求_/的平方根.解析：（1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可；（2）根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可求得x的值，進(jìn)而求得y的值，進(jìn)而可求出產(chǎn)的平方根.解:（1）根據(jù)題意得＜'2a+8解:（1）根據(jù)題意得＜'2a+8=0,力一十=0,解得a=-4,則(a+2)x+〃=a—1,即一2x+3=-5,解得x=4；fx—320, ,—（2）根據(jù)題意得 、解得尸3.則尸4,故j/=43=64,±洞=±8,的[3—平方根為±8.方法總結(jié)：二次根式和絕對(duì)值都具有非負(fù)性，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.探究點(diǎn)三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問(wèn)題例4：先觀察下列等式，再回答下列問(wèn)題.（1）請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，寫(xiě)出、的結(jié)果；（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫(xiě)出用含n的式子表示的等式5為正整數(shù)）.解:⑵解析：（1）從三個(gè)等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)都是1,第二個(gè)加數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，設(shè)分母為〃，第三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母就是〃+1,結(jié)果是一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分是1,分?jǐn)?shù)部分的分子也是1,分母是前項(xiàng)分?jǐn)?shù)的分母的積；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫(xiě)出表示這個(gè)規(guī)律的式子.解:⑵（〃為正整數(shù)）./,1,1,11]z?2 (〃+1)21nn+1”(〃+1)方法總結(jié)：解答規(guī)律探究性問(wèn)題，都要通過(guò)仔細(xì)觀察找出字母和數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)閱讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來(lái).（〃為正整數(shù)）.三、板書(shū)設(shè)計(jì).二次根式的定義一般地，我們把形如,（a20）的式子叫做二次根式..二次根式有意義的條件被開(kāi)方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)；、「有意義四、教學(xué)反思通過(guò)將新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系與對(duì)比，隨后由學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，用已有的知識(shí)進(jìn)行探究，由此引入二次根式.在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，體會(huì)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.21.2二次根式的乘除第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo).掌握二次根式乘法法則；（重點(diǎn)）.會(huì)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式乘法法則.【教學(xué)難點(diǎn)】進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算.教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入小穎家有一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)mm,寬那么這個(gè)長(zhǎng)方形菜地的面積是多少？二、合作探究探究點(diǎn)：二次根式的乘法［類型一］二次根式的乘法法則成立的條件例1：式子山+1?#2—x=d(x+1)~(2—x)成立的條件是( )A.B.x2一1C.-D.~\<x<2fx+120,解析：根據(jù)題意得°、八解得—1Wa<2.故選C.方法總結(jié)：運(yùn)用二次根式的乘法法則：另(a20,620),必須注意被開(kāi)方數(shù)均是非負(fù)數(shù)這一條件.［類型二］二次根式的乘法運(yùn)算例2：計(jì)算：⑴小又乖;(2)1|*洞；(3)6^27X(-3-73)；解析：有理式的乘法運(yùn)算律及乘法公式對(duì)二次根式同樣適用，計(jì)算時(shí)注意最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)形式.解：⑴小義乖=小丸=乖;*"^64=N64=-\^16=4；6a/27X(-3^/3)=-18^/27X3=-18^81=-18X9=-162；方法總結(jié)：在運(yùn)算過(guò)程中要注意根號(hào)前的因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，必須化成假分?jǐn)?shù)，如果被開(kāi)方數(shù)有能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡(jiǎn)后再相乘.三、板書(shū)設(shè)計(jì)四、教學(xué)反思在教學(xué)安排上，體現(xiàn)由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程.對(duì)于二次根式的乘法法則的推導(dǎo)，先利用幾個(gè)二次根式的具體計(jì)算，歸納出二次根式的乘法運(yùn)算法則.在具體計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，這樣安排有助于學(xué)生縝密思考和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng).第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo).掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)；.會(huì)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】積的算術(shù)平方根的性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入計(jì)算：⑴小X乖與^4X25；⑵聲又小與N16X9.思考：對(duì)于4與，痂呢？從計(jì)算的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)啦x/=q溝，這是什么道理呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)例1：化簡(jiǎn)：⑴N(一36)X16X(—9)；(2)^/362+482；3) +6Ay+94.解析：主要運(yùn)用公式，另=??狼(a20,620)和6=a(a2O)對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).解：⑴勺(一36)X16X(-9)=^/36X16X9=^/62X42X32=y/^XypXy/^=6X4X3=72；(2)(36?+48?= (12x3)2+(12X4)2=y/122X(32+42)=y/12"X小=12X5=60；(3)yjx+6xy+9xy=yjx(x+3y)2=?(x+3y)」?y[x=\x+3y\y[x.方法總結(jié)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn).：探究點(diǎn)二：二次根式乘法的綜合應(yīng)用例2：小明的爸爸做了一個(gè)長(zhǎng)為#588ncm,寬為，山^cm的矩形木相框，還想做一個(gè)與它面積相等的圓形木相框，請(qǐng)你幫他計(jì)算一下這個(gè)圓的半徑(結(jié)果保留根號(hào)).解析：根據(jù)矩形的面積公式、圓的面積公式，構(gòu)造等式進(jìn)行計(jì)算.解：設(shè)圓的半徑為nm.因?yàn)榫匦文鞠嗫虻拿娣e為4588n義小8n=168n(cm2),所以nj^=168n,r=2，I^cm(r=— 舍去).答：這個(gè)圓的半徑是2[&cm.方法總結(jié)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出相應(yīng)的式子進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.三、板書(shū)設(shè)計(jì).二次根式的乘法法則：y[a,y[b—y[ab(a^O,620).積的算術(shù)平方根：■\fab=y[a?y[b(a^Q,620)四、教學(xué)反思在教學(xué)安排上，體現(xiàn)由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程.對(duì)于二次根式的乘法法則的推導(dǎo)，先利用幾個(gè)二次根式的具體計(jì)算，歸納出二次根式的乘法運(yùn)算法則.在具體計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，這樣安排有助于學(xué)生縝密思考和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng).第3課時(shí)教學(xué)目標(biāo).掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算;.能綜合運(yùn)用已學(xué)性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì).【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用已學(xué)性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算.教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入計(jì)算下列各題，觀察有什么規(guī)律？/、倔 /36⑴弱=——5置——?

二、合作探究探究點(diǎn)一：二次根式的除法［類型一］二次根式的除法運(yùn)算例1：計(jì)算：⑶嚼⑷后1一5通.解析：本題主要運(yùn)用二次根式的除法法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算，若被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)，則被開(kāi)方數(shù)相除時(shí)，可先用除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行約分.解:76JO.1解:76JO.19-方法總結(jié)：利用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以用“除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分化簡(jiǎn).［類型二］二次根式的乘除混合運(yùn)算例2：計(jì)算：解析：先把系數(shù)進(jìn)行乘除運(yùn)算，再根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算.解:(1) = /45x|x1=18^/3；方法總結(jié)：二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相同，在運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算符號(hào)和運(yùn)算順序，若被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將其化為假分?jǐn)?shù).探究點(diǎn)二：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)［類型一］利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍例3：若入乒=后區(qū)，則a的取值范圍是（）2-ay12-aA.a<2B.aW2C.0WaV2D.a20a20,解析：根據(jù)題意得cc解得0/aV2.故選C.、2—a>0,方法總結(jié):運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì):a>0,方法總結(jié):運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì):a>0,620）,必須注意被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不等于零這一條件.［類型二］利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式例4：化簡(jiǎn):b>0,c>0).解析：運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根.方法總結(jié)：被開(kāi)方數(shù)中的帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，被開(kāi)方數(shù)中的分母要化去，即被開(kāi)方數(shù)不含分母，從而化為最簡(jiǎn)二次根式.探究點(diǎn)三：最簡(jiǎn)二次根式例5：在下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？并說(shuō)明理由.(l)^/45； (3)；(4)V^~5；(5)^J11.解析：根據(jù)滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件判斷即可.解：(1)m=3或，被開(kāi)方數(shù)含有開(kāi)得盡方的因數(shù)，因此不是最簡(jiǎn)二次根式；(2){|=坐，被開(kāi)方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式；(3)呼，被開(kāi)方數(shù)不含分母，且被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，因此它是最簡(jiǎn)二次根式；(4)位=\上=坐被開(kāi)方數(shù)含有小數(shù)，因此不是最簡(jiǎn)二次根式；(5)j|=yi=乎，被開(kāi)方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式.方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.探究點(diǎn)四：二次根式除法的綜合運(yùn)用例6：座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其周期計(jì)算公式為T=2，也,其中7表示周期(單位：秒)，/表示擺長(zhǎng)(單位：米)，g=9.8米/秒:假若一臺(tái)座鐘擺長(zhǎng)為0.5米，它每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲(n^3.14)?解析：由給出的公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.要先求出這個(gè)鐘擺的周期，然后利用時(shí)間除周期得到次數(shù).解：???7=2 翳七1.42,丹=黑心42(次)，，在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了\1v.o 1 1.42次滴答聲.方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用公式.用二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算，解這類問(wèn)題時(shí)要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一.三、板書(shū)設(shè)計(jì).二次根式的除法運(yùn)算.商的算術(shù)平方根.最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.四、教學(xué)反思在教學(xué)中應(yīng)注重積和商的互相轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例再結(jié)合積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，對(duì)比、歸納得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì).在此過(guò)程中應(yīng)給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，可提出問(wèn)題讓學(xué)生有一定的探索方向.在設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容時(shí)，以提問(wèn)的方式引出本節(jié)課要解決的問(wèn)題，讓學(xué)生自主探究，在探究過(guò)程中觀察知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的全過(guò)程，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)品質(zhì)得到升華，學(xué)生的創(chuàng)新精神得到發(fā)展.21.3二次根式的加減教學(xué)目標(biāo).會(huì)將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，掌握二次根式加減法的運(yùn)算；.熟練進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，并運(yùn)用其解決問(wèn)題；.正確地運(yùn)用二次根式加減乘除法則及運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并把結(jié)果化簡(jiǎn).教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，掌握二次根式加減法的運(yùn)算.【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用二次根式加減乘除法則及運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，并把結(jié)果化簡(jiǎn).教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入小明家的客廳是長(zhǎng)7.5m,寬5m的長(zhǎng)方形，他要在客廳中截出兩個(gè)面積分別為8m和18nl2的正方形鋪不同顏色的地磚，問(wèn)能否截出？二、合作探究探究點(diǎn)一：同類二次根式例1：已知最簡(jiǎn)二次根式，2a+6與a+g3a—4能夠合并同類項(xiàng),求a+6的值.解析：利用最簡(jiǎn)二次根式的概念求出a,6的值，再代入a+6求解即可.解：,最簡(jiǎn)二次根式#2a+6與3a—4能夠合并同類項(xiàng),:.a+b=2,2a+b—3a—4,解得a=3,b=—i,，a+6=3+(―1)=2.方法總結(jié)：根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時(shí)，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的概念建立方程或方程組求解.探究點(diǎn)二：二次根式的運(yùn)算［類型一］二次根式的加減運(yùn)算例2：計(jì)算：/一已一(*)?+|2—解析：二次根式的加減運(yùn)算應(yīng)先化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式.解：原式=2/一坐_2+2—:=(2—1—方法總結(jié)：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并時(shí)系數(shù)相加減，根式不變.［類型二］二次根式的四則運(yùn)算⑶斕一(4+2)+小.解析：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把括號(hào)內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，然后進(jìn)行加法運(yùn)算.解：⑴原式=1x9X\監(jiān)X右xJ=：X9X=*；Z \/OXOO ?⑵原式=(6月平+4同+2■挈X東+巖+15；(3)原式=/一(/+2)+疝=$一與2=/一1一￥.

方法總結(jié)：二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.［類型三］二次根式的化簡(jiǎn)求值例4：先化簡(jiǎn)，再求值：丐‘七!3一冽其中a=2+［ib=2一小.解析：先將原式化為最簡(jiǎn)形式，再將a與6的值代入計(jì)算即可求出.a a+6(a-b)2a—B, (a+6)(a—b)a2a a+6(a-b)2a—B解：原式= + = 3 3 3當(dāng)a=2+/'6=2—小時(shí)’原