大學物理(第四版)課后習題及答案 質點

題1.1：已知質點沿軸作直線運動，其運動方程為。求（l）質點在運動開始后內位移的大小；（2）質點在該時間內所通過的路程。題1.1解：（1）質點在4.0s內位移的大?。?）由得知質點的換向時刻為（t=0不合題意）則：所以，質點在4.0s時間間隔內的路程為題1.2：一質點沿軸方向作直線運動，其速度與時間的關系如圖所示。設時，。試根據已知的圖，畫出圖以及圖。題1.2解：將曲線分為AB、BC、CD三個過程，它們對應的加速度值分別為（勻加速直線運動）（勻速直線）（勻減速直線運動）根據上述結果即可作出質點的a－t圖在勻變速直線運動中，有由此，可計算在02和46s時間間隔內各時刻的位置分別為t/sx/m000.511.5204404.548.75555.558.7660用描數據點的作圖方法，由表中數據可作02s和46s時間內的x－t圖。在24s時間內，質點是作v=的勻速直線運動，其x－t圖是斜率k=20的一段直線。20題1.3：如圖所示，湖中有一小船。岸上有人用繩跨過定滑輪拉船靠岸。設滑輪距水面高度為，滑輪到原船位置的繩長為，試求：當人以勻速拉繩，船運動的速度為多少？題1.3解1：取如圖所示的直角坐標系，船的運動方程為船的運動速度為而收繩的速率，且因，故題1.3解2：取圖所示的極坐標(r,θ)，則是船的徑向速度，是船的橫向速度，而是收繩的速率。由于船速v與徑向速度之間夾角位θ，所以由此可知，收繩的速率只是船速沿繩方向的分量。題1.4：一升降機以加速度上升，當上升速度為時，有一螺絲自升降機的天花板上松脫，天花板與升降機的底面相距。計算：（1）螺絲從天花板落到底面所需要的時間；（2）螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離。題1.4解1：(1)以地面為參考系，取如圖所示的坐標系，升降機與螺絲的運動方程分別為當螺絲落至底面時，有，即(2)螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為題1.4解2：(1)以升降機為參考系，此時，螺絲相對它的加速度大小，螺絲落至底面時，有(2)由于升降機在t時間內上升的高度為則題1.5：一質點沿半徑的圓周作勻速率運動，運動一周所需時間為，設時，質點位于點。按圖中所示度。坐標系，求（1）質點在任意時刻的位矢；（2）時的速度和加速題1.5解：如圖所示，在Oxy坐標系中，因坐標變換后，在Oxy坐標系中有，則質點P的參數方程為則質點P的位矢方程為5s時的速度和加速度分別為題1.6：一質點自原點開始沿拋物線運動，它在軸上的分速度為一恒量，其值為，求質點位于處的速度和加速度。題1.6解：因vx=4.0為一常數，故ax=0。當t=0時，x=0，由積分可得(1)又由質點的拋物線方程，有(2)由y方向的運動方程可得該方向的速度和加速度分量分別為(3)(4)當質點位于x=2.0m時，由上述各式可得題1.7：質點在Oxy平面內運動，其運動方程為。求：（1）質點的軌跡方程；（2）在到時間內的平均速度；（2）時的速度及切向和法向加速度。題1.7解：(1)由參數方程消去t得質點的軌跡方程(2)在s到s時間內的平均速度(3)質點在任意時刻的速度和加速度分別為則t1=1.00s時的速度切向和法向加速度分別為題1.8：質點的運動方程為和，試求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。題1.8解：（1）速度分量式為當t=0時，v0x=-10，v0y=15，則初速度大小為設v0與x軸的夾角為α，則(2)加速度的分量式為則加速度的大小為設a與x軸的夾角為β，則題1.9：一質點具有恒定加速度，在時，其速度為零，位置矢量平面上的軌跡方程，并畫。求：（1）在任意時刻的速度和位置矢量；（2）質點在出軌跡的示意圖。題1.9解：由加速度定義式，根據初始條件t0=0時v0=0，積分可得又由及初始條件t=0時，r0=(10m)i，積分可得由上述結果可得質點運動方程的分量式，即消去參數t，可得運動的軌跡方程這是一個直線方程，直線斜率，。軌跡如圖所示。題1.10：飛機以前方某一地面目標處。問：（1）此時目標在飛機下方前多遠？（2）投放物品時，駕駛員看目標的視線和水平線成何角度？（3）物品投出的速度沿水平直線飛行，在離地面高為時，駕駛員要把物品投到后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？題1.10解：(1)取如圖所示的坐標，物品下落時在水平和豎直方向的運動方程分別為飛機水平飛行速度前的距離，飛機離地面的高度m，由上述兩式可得目標在飛機正下方(2)視線和水平線的夾角為(3)在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標，物品在拋出2s時，重力加速度的切向分量與法向分量分別為題1.11：一足球運動員在正對球門前處以的初速率罰任意球，已知球門高為。若要在垂直于球門的豎直平面內將足球直接踢進球門，問他應在與地面成什么角度的范圍內踢出足球？（足球可視為質點）題1.11解：取圖示坐標系Oxy，由運動方程消去t得軌跡方程以x=25.0m，v=20.0及3.44y0代入后，可解得71.11oθ169.92o27.92oθ218.89o如何理解上述角度得范圍？在初速度一定的條件下，球擊中球門底線或球門上緣都將對應有兩個不同的投射傾角(如圖所示)。如果以θ71.11或θ<18.89踢出足球，都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制，θ角也并非能取71.11與18.89之間的任何值。當傾角取值為27.92<θ<69.92時，踢出的足球將越過門緣而離去，這時也球不能射入球門。因此可取的角度范圍只能是解中的結果。題1.12：設從某一點以同樣的速率，沿著同一豎直面內各個不同方向同時拋出幾個物體。試證：在任意時刻，這幾個物體總是散落在某個圓周上。題1.12證：取物體拋出點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。物體運動的參數方程為消去式中參數θ，得任意時刻的軌跡方程為這是一個以置。為圓心、v0t為半徑的圓方程(如圖所示)，它代表著所有物體在任意時刻t的位題1.13：一質點在半徑為的圓周上以恒定的速率運動，質點由位置運動到位置，和所對的圓心角為。（1）試證位置和之間的平均加速度為；（2）當分別等于、、和時，平均加速度各為多少？并對結果加以討論。題1.13解：(1)由圖可看到，故而所以(2)將分別代入上式，得上述結果表明：當時，勻速率圓周運動的平均加速度趨于一極限值，該值即為法向加速度。題1.14：一質點沿半徑為的圓周按規(guī)律運動，、都是常量。（1）求時刻的總加速度；（2）為何值時總加速度在數值上等于？（3）當加速度達到時，質點已沿圓周運行了多少圈？題1.14解：(1)質點作圓周運動的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2)要使由可得(3)從t=0開始到t=v0/b時，質點經過的路程為因此質點運行的圈數為題1.15：碟盤是一張表面覆蓋一層信息記錄物質的塑性圓片。若碟盤可讀部分的內外半徑分別為和。在回放時，碟盤被以恒定的線速度由內向外沿螺旋掃描線（阿基米德螺線）進行掃描。（1）若開始時讀寫碟盤的角速度為，則讀完時的角速度為多少？（2）若螺旋線的間距為，求掃描線的總長度和回放時間。題1.15分析：阿基米德螺線是一等速的螺旋線，在極坐標下，它的參數方程可表示為，式中r為極徑，r0為初始極徑，θ為極角，a為常量。它的圖線是等間距的，當間距為d時，常量a=d/2π。因此，掃描線的總長度可通過積分得到。解：(1)由于線速度恒定，則由，可得，故碟盤讀完時的角速度為，故掃描線的總長度為(2)在可讀范圍內，螺旋線轉過的極角碟盤回放的時間為本題在求掃描線的總長度時，也可采用平均周長的計算方法，即題1.16：地面上垂直豎立一高的旗桿，已知正午時分太陽在旗桿的正上方，求在下午2時正，桿頂在地面上的影子的速度的大小。在何時刻桿影將伸展至長？題1.16解：設太陽光線對地轉動的角速度為ω，從正午時分開始計時，則桿的影長為s=htgωt，下午2時整，桿頂在地面上影子的速度大小為當桿長等于影長時，即s=h，則即為下午3時整。題1.17：一半徑為的飛輪在啟動時的短時間內，其角速度與時間的平方成正比。在時測得輪緣一點速度值為。求：（1）該輪在的角速度，輪緣一點的切向加速度和總加速度；（2）該點在內所轉過的角度。題1.17解：因，由題意得比例系數所以則t=0.5s時的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0s內該點轉過的角度題1.18：一質點在半徑為。（1）求時質點的法向加速度和切向加速度。（2）當切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時，值為多少？（3）為多少時，法向加速度和切向加速度的值相等？的圓周上運動，其角位置為在題1.18解：(1)由于，則角速度，在t=2s時，法向加速度和切向加速度的數值分別為(2)當時，有，即此時刻的角位置為(3)要使，則有題1.19：一無風的下雨天，一列火車以的速度勻速前進，在車內的旅客看見玻璃窗外。（設下降的雨滴作勻速運動）的雨滴和垂線成角下降，求雨滴下落的速度題1.19分析：這是一個相對運動的問題。設雨滴為研究對象，地面為靜止參考系S，火車為動參考系S。v1為S相對S的速度，v2為雨滴相對S的速度，利用相對運動速度的關系即可解。解：以地面為參考系，火車相對地面運動的速度為v1，雨滴相對地面豎直下落的速度為v2，旅客看到雨滴下落的速度v2為相對速度，它們之間的關系為，于是可得題1.20：設有一架飛機從處向東飛到處，然后又向西飛回到處，飛機相對空氣的速率為，而空氣相對地面的速率為，、間的距離為，飛機相對空氣的速率保持不變。（1）假定空氣是靜止的（即），試證來回飛機飛行時間為；（2）假定空氣的速度向東，試證來回飛行時間為；（3）假定空氣的速度向北，試證來回飛行時間為題1.20證：由相對速度的矢量關系。，有(1)空氣是靜止的，即u=0，則往返時，飛機相對地面的飛行速度v就等于相對空氣的速度，故飛行往返所需時間為(2)按題意，當飛機向東時，風速與飛機相對與空氣的速度同向；而飛機由東返回時，兩者剛好反向。這時，飛機在往返飛行時，相對于地面的速度值分別為需時間為和。因此，飛行往返所(3)當空氣速度向北時，飛機相對地面的飛行速度的大小由可得為，則飛機往返所需時間為題1.21：如圖所示，一汽車在雨中沿直線行使，其速率為，下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前角，速率為，若車后有一長方形物體，問車速為多大時，此物體正好不會被雨水淋濕？題1.21分析：這也是一個相對運動的問題。可視雨點為研究對象，地面為靜參考系S，汽車為動參考系S。如圖所示，要使物體不被淋濕，在車上觀察雨點下落的方向(即雨點相對于汽車的運動速度v2的方向)應滿足。再由相對速度的矢量關系，即可求出所需車速v1.解：由，有，則而要使題1.22：一人能在靜水中以的速度劃船前進，今欲橫渡一寬為、水流速度為的大河。（1）他若要從出發(fā)點橫渡該河而到達正對岸的一點，那么應如何確定劃行方向？到達正對岸需多少時間？（2）如果希望用最短的時間過河，應如何確定劃行方向？船到達對岸的位置在什么地方？題1.22解：(1)由(2)由于可知，則船到達正對岸所需時間為，在劃速v一定的條件下，只有當時，v最