模塊綜合檢測（B）

模塊綜合檢測(B)(時間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．已知sinα＝eq\f(3,5)，則cos2α的值為________．2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，則k＝________.3．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，則a·b＝________.4．設(shè)cos(α＋π)＝eq\f(\r(3),2)(π<α<eq\f(3π,2))，那么sin(2π－α)的值為________．5．已知α為第二象限的角，sinα＝eq\f(3,5)，則tan2α＝________.6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan2α的值為________．7．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sin(α＋eq\f(π,4))＝________.8．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，則|a－b|＝________.9．把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位可以得到函數(shù)g(x)的圖象，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________.10．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，則|a＋b|的取值范圍是________．11．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是________．12．設(shè)ω>0，若函數(shù)f(x)＝2sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________．13．已知cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，則sin4θ＋cos4θ的值為________．14.如圖，正六邊形ABCDEF中，有下列四個命題：①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))；④(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))．其中真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號)二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)已知0<x<eq\f(π,2)，化簡：lg(cosx·tanx＋1－2sin2eq\f(x,2))＋lg[eq\r(2)cos(x－eq\f(π,4))]－lg(1＋sin2x)．16．(14分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．17．(14分)如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β(0<β<α<π)，它們終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，已知點P點的坐標為(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))．(1)求eq\f(sin2α＋cos2α＋1,1＋tanα)的值；(2)若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，求sin(α＋β)．18．(16分)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，eq\r(3)cosx)，函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標；(2)當0≤x≤eq\f(π,2)時，求函數(shù)f(x)的值域．19．(16分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f(eq\f(2,3)α＋eq\f(π,12))＝eq\f(12,5)，求sinα.20．(16分)已知a＝(cosωx，sinωx)，b＝(2cosωx＋sinωx，cosωx)，x∈R，ω>0，記f(x)＝a·b，且該函數(shù)的最小正周期是eq\f(π,4).(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．模塊綜合檢測(B)1.eq\f(7,25)解析cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(eq\f(3,5))2＝eq\f(7,25).2．0解析∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.3．－10解析∵a∥b，∴1×(－4)－2x＝0，x＝－2.∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.4.eq\f(1,2)解析∵cos(α＋π)＝－cosα＝eq\f(\r(3),2)，∴cosα＝－eq\f(\r(3),2)，∵π<α<eq\f(3π,2)，∴α＝eq\f(7π,6)，∴sin(2π－α)＝－sinα＝－sineq\f(7,6)π＝eq\f(1,2).5．－eq\f(24,7)解析由于α為第二象限的角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5).∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－\f(3,4),1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(\f(3,2),1－\f(9,16))＝－eq\f(24,7).6．－eq\f(4,7)解析tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(3＋5,1－3×5)＝－eq\f(4,7).7．－eq\f(7\r(2),10)解析∵cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角．∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(7\r(2),10).8．2或10解析∵a·b＝2x＋3－x2＝0.∴x1＝－1或x2＝3.a－b＝(－2x－2,2x)．當x＝－1時，a－b＝(0，－2)，|a－b|＝2；當x＝3時，a－b＝(－8,6)，則|a－b|＝10.9．1解析f(x)＝sin(－2x＋eq\f(π,3))向右平移eq\f(π,3)個單位后，圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為f(x－eq\f(π,3))＝sin[－2(x－eq\f(π,3))＋eq\f(π,3)]＝sin(－2x＋π)＝sin2x.∴g(x)＝sin2x，g(eq\f(π,4))＝sineq\f(π,2)＝1.10．[eq\r(2)，2]解析|a＋b|＝eq\r(1＋cosθ2＋sinθ2)＝eq\r(2＋2cosθ).∵θ∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[eq\r(2)，2]．11.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.∴cos〈a，b〉≤eq\f(1,2)，〈a，b〉∈[0，π]．∴eq\f(π,3)≤〈a，b〉≤π.12.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))解析令－eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(π,2)，－eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(π,2ω)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))是函數(shù)關(guān)于原點對稱的遞增區(qū)間中范圍最大的，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤\f(π,2ω),－\f(π,3)－\f(π,2ω)))?0<ω≥eq\f(3,2).13.eq\f(11,18)解析sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝eq\f(11,18).14．①②④解析在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，①正確；設(shè)正六邊形的中心為O，則2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，②正確；易知向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AD,\s\up6(→))上的投影不相等，即eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)≠eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|).∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，③不正確；∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝－2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))?(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝－2eq\o(EF,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))?eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－2eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))?eq\o(AF,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→)))＝0.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→)))＝0成立．從而④正確．15．解0<x<eq\f(π,2)，∴原式＝lg(cosx·eq\f(sinx,cosx)＋cosx)＋lg(cosx＋sinx)－lg(1＋sin2x)＝lg(sinx＋cosx)＋lg(cosx＋sinx)－lg(1＋sin2x)＝lg(sinx＋cosx)2－lg(1＋sin2x)＝lg(1＋sin2x)－lg(1＋sin2x)＝0.16．解(1)因為a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝eq\f(1,4).(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.從而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2).又由0<θ<π知，eq\f(π,4)<2θ＋eq\f(π,4)<eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4).因此θ＝eq\f(π,2)，或θ＝eq\f(3π,4).17．解(1)由三角函數(shù)定義得cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，∴原式＝eq\f(2sinαcosα＋2cos2α,1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(2cosαsinα＋cosα,\f(sinα＋cosα,cosα))＝2cos2α＝2·(－eq\f(3,5))2＝eq\f(18,25).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴β＝α－eq\f(π,2)，∴sinβ＝sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝eq\f(3,5)，cosβ＝cos(α－eq\f(π,2))＝sinα＝eq\f(4,5).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝eq\f(7,25).18．解(1)f(x)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x－eq\f(π,3))．所以f(x)的最小正周期為π.令sin(2x－eq\f(π,3))＝0，得2x－eq\f(π,3)＝kπ，∴x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z.故所求對稱中心的坐標為(eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，0)，(k∈Z)．(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3).∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x－eq\f(π,3))≤1，即f(x)的值域為[－eq\f(\r(3),2)，1]．19．解(1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝eq\f(2π,3)，即f(x)的最小正周期為eq\f(2π,3).(2)∵當x＝eq\f(π,12)時，f(x)有最大值4，∴A＝4.∴4＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(π,12)＋φ))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1.即eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(3)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\