江蘇省南京市2023年高三第三次測評數(shù)學試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．3．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關4．若的展開式中二項式系數(shù)和為256，則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為（）A．85 B．84 C．57 D．565．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或6．設全集，集合，則＝()A． B． C． D．7．已知復數(shù)，，則（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．849．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點，設λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣1211．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．412．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的常數(shù)項為__________.14．己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______15．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．16．設滿足約束條件，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距是，點是橢圓上一動點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值.18．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．19．（12分）設數(shù)列的前列項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：.20．（12分）為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū)，在普查過程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200（1）寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”；（3）以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利的對象數(shù)記為，寫出的分布列，并求的期望值．附：0.100.0100.0012.7066.63510.82821．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，試求曲線在點處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調區(qū)間．22．（10分）為響應“堅定文化自信，建設文化強國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查，統(tǒng)計結果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系？男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計（2）為做好文化建設引領，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù)，求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式：.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【題目詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【答案點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.2．A【答案解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點：函數(shù)的定義域．3．B【答案解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結論.【題目詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【答案點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，屬于基礎題.4．A【答案解析】

先求，再確定展開式中的有理項，最后求系數(shù)之和.【題目詳解】解：的展開式中二項式系數(shù)和為256故，要求展開式中的有理項，則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為：故選：A【答案點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定，基礎題.5．D【答案解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到答案.【題目詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【答案點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.6．A【答案解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【題目詳解】由解得，故，所以，故選A.【答案點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.7．B【答案解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數(shù)問題是高考數(shù)學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模、共軛復數(shù)以及復數(shù)的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.8．D【答案解析】

利用等差數(shù)列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【題目詳解】，解得．．故選：D【答案點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.9．C【答案解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當時，，所以與有6個交點，設各個交點坐標依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質，屬于中檔題．10．D【答案解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，可得，，然后計算，可得結果.【題目詳解】設，聯(lián)立則，因為直線經(jīng)過C的焦點，所以.同理可得，所以故選：D.【答案點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎題。11．C【答案解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系和拋物線的定義即可得出的值．【題目詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【答案點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．12．D【答案解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【題目詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【答案點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．31【答案解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得：因為的展開式得通項為，則的展開式中的常數(shù)項為：，得解.【題目詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：31.【答案點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式，求某項的導數(shù)，考查計算能力.14．【答案解析】

由，則，所以點，因為，可得，點坐標化簡為，代入雙曲線的方程求解.【題目詳解】設，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：【答案點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.15．【答案解析】

利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質，化簡求出公差與的關系，然后轉化求解的值.【題目詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及等比中項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16．【答案解析】

作出可行域，將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質即可求得答案.【題目詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當時，z=0；當時將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【答案點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）設點的坐標,表達出直線的斜率之積,再根據(jù)三點均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達式列式求解即可.（Ⅱ）設直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【題目詳解】（Ⅰ）設,,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標準方程為.（Ⅱ）設直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達定理有設,則.當且僅當時取等號.故的面積的最大值為.【答案點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點坐標滿足的關系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.18．（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【答案解析】

（1）設，根據(jù)可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據(jù)平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據(jù)求得的取值范圍，進而得到最終結果.【題目詳解】（1）設，則由知：點在圓上點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（2）設，由題意知的斜率存在設，代入得：則，解得：設，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點的軌跡方程為【答案點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用已知中所給的等量關系建立起動點橫縱坐標滿足的關系式，進而通過化簡整理得到結果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.19．（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1）由已知可得，構造等比數(shù)列即可求出通項公式；（2）當時，由，可求，時，由，可證，驗證時，不等式也成立，即可得證.【題目詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當時，，,當時，，綜上，由可得遞增，，時；所以，綜上：故.【答案點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.20．（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）（2）有（3）分布列見解析，【答案解析】

（1）根據(jù)題意可以選用分層抽樣法，或者簡單隨機抽樣法.（2）由已知條件代入公式計算出結果，進而可以得到結果.（3）由已知條件計算出的分布列，進而求出的數(shù)學期望.【題目詳解】（1）分層抽樣，簡單隨機抽樣（抽簽亦可）．（2）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得所以有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”．（3）以頻率作為概率，隨機選擇1家個體經(jīng)營戶作為普查對象，入戶登記順利的概率為．可取0，1，2，3，計算可得的分布列為：0123【答案點睛】本題考查了運用數(shù)學模型解答實際生活問題，運用合理的抽樣方法，計算以及數(shù)據(jù)的分布列和數(shù)