河南省開封市重點名校2023屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)，若存在四個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知，則的值為（）A.-4 B.C. D.43．已知,則（）A. B.C. D.4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是A. B.C. D.5．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.9 D.277．已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（）A.（0，1） B.（-2，1）C.（0，） D.（0，2）8．直線l過點A(3,4)，且與點B(－3,2)的距離最遠(yuǎn)，則直線l的方程為()A.3x－y－5＝0 B.3x－y＋5＝0C.3x＋y＋13＝0 D.3x＋y－13＝09．設(shè)集合，則A. B.C. D.10．設(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有三個解且，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．若，記，，，則P、Q、R的大小關(guān)系為______12．已知是偶函數(shù)，且方程有五個解，則這五個解之和為______13．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.14．已知函數(shù)是定義在上且以3為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，__________，函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為__________15．已知，則__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間x（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，日銷售量（單位：件）與時間x（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10152025305055605550（1）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值17．已知函數(shù)（1）求方程在上的解；（2）求證：對任意的，方程都有解18．一種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效治療的作用，已知每服用且克的藥劑，藥劑在血液中的含量（克）隨著時間（小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中（1）若病人一次服用9克的藥劑，則有效治療時間可達(dá)多少小時？（2）若病人第一次服用6克的藥劑，6個小時后再服用3m克的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療，試求m的最小值19．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.20．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P=3-6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q=a+2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).（1）當(dāng)甲城市投資50萬元時，求此時公司的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大?21．在中，設(shè)角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、D【解析】令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實根，由圖可知，得或，所以和各有兩個解當(dāng)有兩個解時，則，當(dāng)有兩個解時，則或，綜上，的取值范圍是，故選D點睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．本題為嵌套函數(shù)的應(yīng)用，一般的，我們應(yīng)用整體思想解決問題，所以令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實根，再結(jié)合圖象逐步分析，解得答案2、A【解析】由題，解得.故選A.3、B【解析】利用誘導(dǎo)公式，化簡條件及結(jié)論，再利用二倍角公式，即可求得結(jié)論【詳解】解：∵sin，∴sin，∵sinsincos（2α）＝1﹣2sin21故選B【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的運用，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】由三視圖可知幾何體是一個底面為梯形的棱柱,再求幾何體的表面積得解.【詳解】由三視圖可知幾何體是一個底面為直角梯形的棱柱,梯形的上底為1，下底為2，高為2，棱柱的高為2.由題可計算得梯形的另外一個腰長為.所以該幾何體的表面積=.故答案為A【點睛】本題主要考查三視圖找原圖，考查幾何體的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象分析推理能力.5、C【解析】計算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實數(shù)的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，所以的最小值為，所以；故選：C7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A8、D【解析】由題意確定直線斜率，再根據(jù)點斜式求直線方程.【詳解】由題意直線l與AB垂直，所以，選D.【點睛】本題考查直線斜率與直線方程，考查基本求解能力.9、C【解析】集合，根據(jù)元素和集合的關(guān)系知道故答案為C10、B【解析】解：分別作出y=cosx，x∈（，3π）與y=m的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得則﹣1＜m＜0，故排除C，D，再分別令m=﹣，m=﹣，求出x1，x2，x3，驗證x22=x1?x3是否成立；【詳解】解：分別作出y=cosx，x∈（，3π）與y=m的圖象，如圖所示，方程cosx=m在區(qū)間（，3π）上恰有三個解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），則﹣1＜m＜0，故排除C，D，當(dāng)m=﹣時，此時cosx=﹣在區(qū)間（，3π），解得x1=π，x2=π，x3=π，則x22=π2≠x1?x3=π2，故A錯誤，當(dāng)m=﹣時，此時cosx=﹣在區(qū)間（，3π），解得x1=π，x2=π，x3=π，則x22=π2=x1?x3=π2，故B正確，故選B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】利用平方差公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得P、R的關(guān)系，然后作差，因式分解，結(jié)合已知可判斷P、Q的大小關(guān)系.【詳解】又因為，所以所以，即所以P、Q、R的大小關(guān)系為.故答案為：12、【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和圖象變換，得到函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，進(jìn)而得出方程其中其中一個解為，另外四個解滿足，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是偶函數(shù)，可函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，根據(jù)函數(shù)圖象的變換，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又由方程有五個解，則其中一個解為，不妨設(shè)另外四個解分別為且，則滿足，即，所以這五個解之和為.故答案為：.13、【解析】如圖，取中點，中點，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點睛：本題采用幾何法去找二面角，再進(jìn)行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點，在兩個面內(nèi)分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對應(yīng)三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．14、①.②.5【解析】（1）當(dāng)時，，∴，又函數(shù)是奇函數(shù)，∴故當(dāng)時，（2）當(dāng)時，令，得，即，解得，即，又函數(shù)為奇函數(shù)，故可得，且∵函數(shù)是以3為周期的函數(shù)，∴，，又，∴綜上可得函數(shù)在區(qū)間上的零點為，共5個答案：，515、【解析】將題干中的兩個等式先平方再相加，利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】由，，兩式相加有，可得故答案為：.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）選擇模型②：，；（2）441.【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)的變化趨勢選擇函數(shù)模型，再將數(shù)據(jù)代入解析式求參數(shù)值，即可得解析式.（2）由題設(shè)及（1）所得解析式求的解析式，再由分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分式型函數(shù)最值的求法求的最小值【小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變換時，先增后減，而①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，，所以日銷售量與時間x的變化的關(guān)系式為【小問2詳解】由（2）知：，所以，即，當(dāng)，時，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，當(dāng)，時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值44117、（1）或；（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）令，分，，三種情況，分別根據(jù)零點存在定理可得證.【詳解】解：（1）由，得，所以當(dāng)時，上述方程的解為或，即方程在上的解為或；（2）證明：令，則，①當(dāng)時，，令，則，即此時方程有解；②當(dāng)時，，又∵在區(qū)間上是不間斷的一條曲線，由零點存在性定理可知，在區(qū)間上有零點，即此時方程有解；③當(dāng)時，，，又∵在區(qū)間上是不間斷的一條曲線，由零點存在性定理可知，在區(qū)間上有零點，即此時方程有解綜上，對任意的，方程都有解18、（1）；（2）【解析】（1）分兩段解不等式，解得結(jié)果即可得解；（2）求出當(dāng)時，，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最小值為，解不等式可得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)可得，當(dāng)時，，解得，此時；當(dāng)時，，解得，此時，綜上可得，所以病人一次服用9克的藥劑，則有效治療時間可達(dá)小時；（2）當(dāng)時，，由，在均為減函數(shù)，可得在遞減，即有，由，可得，可得m的最小值為【點睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，正確求出分段函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡得，即可求解；（2）由（1）知，根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，化簡得到原式，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，解得.（2）由（1）知，又由.因為，且，所以，可得，所以20、（1）43.5(萬元)；（2）甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元.【解析】（1）直接代入收益公式進(jìn)行計算即可.（2）由收益公式寫出f(x)=-x+3+26，令t=，將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）當(dāng)x=50時，此時甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元，所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬元).（2）由題知，甲城市投資x萬元，乙城市投資(120-x)萬元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，則t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.當(dāng)t=6，即x=72萬元時，y的最大值為44